Euclidis Opera omnia

Google

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the

public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual
personal, non-commercial purposes.

and we request that you use these files for

Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web
a[nttp: //books . google. con/]

EUCLIDIS

OPERA OMNIA.

I. L. HEIBERG ET H. MENGE.

&

LIPSIAE
IN AEDIBUS B. G, TEUBNERI.

MDCCCLXXXV.

EUCLIDIS

ELEMENI A.

fé f- c$7
EDIDIT ET LATINE INTERPRETATUS EST

I. L. HEIBERG,

DER. PHIL.

————ÓM

UOL. IV.
LIBROS XI—XIII CONTINENS.

Bi

LIPSIAE
IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

MDCCCLXXXV.

LIPSIAE: TYPIS B. 6. TEUBNERI.

PRAEFATIO.

— át

Prodit iam, uti dixeram in uol. II p. XXII, quartum
Elementorum uolumen ante tertium, id quod hoc ad-
tulit incommodum, quod propositiones quaedam libri X
non iis numeris citandae erant, quibus in editionibus
uulgatis feruntur, sed iis, quibus in hac editione cum
codicibus significabuntur. sed hoe incommodum edito
ierlio uolumine sublatum erit, e£ nunc quoque propo-
siliones illae facile reperientur addita ad numerum a
me citatum unitate.

In hoc uolumine praeter codices solitos PBF V *)
(u. uol. I p. VIII—IX) his subsidiis usus sum:

b — cod. Bononiensi, de quo u. uol. I p. IX; extremam
partem libri XI et totum librum XII in append. II
recepi, sicut in codice legitur; cfr. p. 385 not.

q — cod. Parisino 2844, de quo ἃ. uol. II p. V. usur-
patus est ab initio libri XII, quia in XII, 3 p. 154,
1 deficit F.

*) Hoc loco additamenta quaedam cod. B subiungam,
uibus in adparatu locus non fuit. XI, 4 enim p. 14, 1 supra
ἀπειλήφϑωσαν add. τετμήσϑωσαν m. rec. XI, 10 p. 80, 2 supra
παρά add. ἤτοι παράλληλοι ταῖς δυσὶν εὐθείαις ταῖς ἁπτομέναις
ἀλλήλων m.rec. XII, 12 p. 208, 9 in mg. add. pro scholio ὀρϑὴ
γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν m. 1.

VI PRAEFATIO.

L — eod. palimpsesto Londinensi Musei Britannici
Add. 17211, qui praeter partes quasdam libri X
etiam XIII, 14 continet ab initio p. 296, 3 ad
uocabulum ἴση p. 300, 4. de hoc codice pluri-
bus egi et scripturam plenam edidi in Philologi
uol. XLIV p. 353—366.

Praeuideram fore, ut inter hoc uolumen et prius
satis magnum temporis spatium intercederet; sed maius
eliam euenit, quam putaueram, quia interim nouum
munus scholastieum suscepi et praeterea alio opere
ad usum scholarum destinato occupatus fui. sed finito
iam hoc labore et primis difficultatibus noui officii
superatis spero, me breui hoc opus diuturnum ad
finem perducturum esse, praesertim cum materiam reli-
quorum uoluminum iam omnem fere collectam habeam.

Ser. Hauniae mense Iunio MDCCCLXXXV.
I. L. Hoeiberg.

ΣΤΟΙΧΈΕΤΙΑ.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

10

1ὅ

20

,

ια΄.
Ὅροι.

α΄. Στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάϑος
ἔχον.

β΄. Στερεοῦ δὲ πέρας ἐπιφάνεια.

γ΄. Εὐϑεῖα πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, ὅταν
πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας
ἐν τῷ [ὑποκειμένῳ] ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιῇ γωνίας.

0. ᾿ΕἘπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστιν,
ὅταν αἷ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἀγό-
μεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν.
ε΄. Εὐϑείας πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστίν, ὅταν
ἀπὸ τοῦ μετεώρου πέρατος τῆς εὐθείας ἐπὶ τὸ ἐπίπε-
δον κάϑετος ἀχϑῇ, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου σημείου
ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπι-
ξευχϑῇ. ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς ἀχϑείσης καὶ
τῆς ἐφεστώσης.

ς΄. Ἐπιπέδου πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ
περιεχομένη ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρϑὰς τῇ κοινῇ
τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν
ἐπιπέδων.

Def. 1—2. Hero def. 13, Psellus p. 49. 3—4. Hero def.
115, 2.

Εὐκλείδου στοιχείων τὰ PV et b, sed mg. m. 1: ye. στε-
ρεῶν. Εὐκλείδου στερεῶν α στοιχ. ix Β. Εὐκλείδου στερεῶν τὰ,
add. στοιχείων F. 1. ὅροι] om. codd. Numeros om. oodd.

7. ὑποκειμένῳ] supra acr. m. rec. P, supra m. 1 V; αὐτῷ b, mg.

ΧΙ.

Definitiones.

1. Solidum est, quod longitudinem et latitudinem
et altitudinem habet.

2. Terminus autem solidi superficies est.

9. Recta ad planum perpendicularis est, ubi ad
omnes rectas eam tangentes et in plano illo ductas
rectos angulos efficit.

4. Planum ad planum perpendiculare est, ubi rectae
ad communem sectionem planorum perpendiculares in
alierutro planorum ductae ad alterum planum perpen-
diculares sunt.

5. Rectae ad planum inclinatio est, ubi ab eleuato
iermino rectae ad planum perpendicularis: ducitur, et
ab puncto ita orto ad terminum rectae in plano po-
situm recta ducitur, angulus a recta ita ducta et ab
erecía comprehensus.

6. Plani ad planum inclinatio est angulus acutus
comprehensus a rectis in utroque plano ad idem punctum
perpendieularibus ad communem sectionem ductis.

m. 1: yg. ὑποκειμένῳ; F mg. m. 1: yo. ἐν τῷ αὐτῷ. ποιεῖ F, et
P, corr. m. 2. 9. πρός — 10. ἐπιπέδων] mg. m. iV. 10. τῷ]
καὶ τῷ V, καί supra scr. m. 2 F. 12. εὐϑείας] -ας post ins. m.
1 P. εὐθείας — 17. ἐφεστώσης] m. 2 B, om. Fb. — 15. ἐπὶ τό]
P, ἀπὸ τοῦ B (sed corr.), in ras. V, m. rec. P. πέρας] P, πέρα-
τος B (sed corr), e corr. V, m. rec. P. 19. ὀξεῖα) om. V (ras.
est 8 litt). 20. Post τομῇ 'spatium 4 litt. relinquitur in F.
τῶν ἐπιπέδων) corr. ex τῆς ἐπιπέδου m. 1 b.

1*

b

10

15

20

2b

4 ZTOIXEIOSN ια΄.

ξ΄. ᾿Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσϑαι
λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἴ εἰρημέναι τῶν
κλίσεων γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν.

η΄. Παράλληλα ἐπίπεδά ἐστι τὰ ἀσύμπτωτα.

9'. Ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων
ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τὸ πλῆϑος.

. Ἴσα δὲ καὶ ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι
τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τῷ πλήϑει
καὶ τῷ μεγέϑει.

ια΄. Στερεὰ γωνέα ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο
γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐν τῇ αὐτῇ ἐπι-
φανείᾳ οὐσῶν πρὸς πάσαις ταῖς γραμμαῖς κλέσις. "AÀ-
λως᾽ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο yo-
νιῶν ἐπιπέδων περιεχομένη μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων.

iB. Πυραμίές ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περι-
᾿χόμενον ἀπὸ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστώς.

ιγ΄. Πρφίσμα ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περι-
ἐχόμενον, ὧν δύο τὰ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ Ouod.
ἐστι καὶ παράλληλα, τὰ δὲ λοιπὰ παραλληλόγραμμα.

ιδ΄. Σφαῖρά ἐστιν, ὅταν ἡμικυχλίου μενούσηςτῆς δια-
μέτρου περιενεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀπο-
κατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι, τὸ περιληφϑὲν σχῆμα.

ιε΄. ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν ἡ μένουσα
εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ ἡμικύκλιον στρέφεται.

ιΞ΄. Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶ τὸ αὐτό, ὃ
καὶ τοῦ ἡμικυχλίου.

8. Hero def. 116, 2. 9. ib. 118, 2. 11. ib. 924.
12. ib. 100. 14. ib. 77. 11—165. Psellus p. 49—50.

8. oc, Vb. 4. παράλληλα ἐπί- in ras, -πεδα mg. m.
2 V. 6. ὑπό] corr. ex ἀπό m. 1 b. 19. πρός] B; ἡ πρός

ELEMENTORUM LIBER XI. 5

1. Planum ad planum similiter inclinatum dicitur
atque aliud planum ad aliud, ubi anguli inclinationum,
quos definiuimus, aequales suni inter se.

8. Parallela.plana sunt, quae non concurrunt.

9. Similes figurae solidae sunt, quae planis simi-
libus eontinentur numero aequalibus.

10. Aequales autem et similes figurae solidae sunt,
quae planis similibus continentur et numero et magni
tudine aequalibus.

11. Solidus angulus est amplius quam duarum
reciarum inter se tangentium nec in eadem superficie
positarum ad omnes rectas inelinatio.!) Aliter. Soli-
dus angulus est, qui amplius quam duobus angulis
planis continetur non in eodem plano positis et ad
unum punctum coniunctis.

12. Pyramis est figura solida planis comprehensa,
quae ab uno plano ad unum punctum componitur.

13. Prisma est figura solida planis comprehensa,
quorum duo opposita et aequalia.et similia sunt, re-
liqua autem parallelogramma.

14. Sphaera est figura comprehensa, ubi manente
diametro semicireuli semicirculus. circumactus rursus
ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est.

15. Axis autem sphaerae est recta manens, cireum
quam semicirculus circumagitur.

.16. Centrum autem sphaerae idem est ac semicireuli.

1) Haec definitio, quae loquendi genere ab Euclide ab-
horret, fortasse ex Elementis antiquioribus &b eo desumpta est.

PFVb. 418. émuxíóov" γωνιῶν’ F, ἐπιπέδων γωνιῶν B.
15. Ànte é»/ del. ey F.— 17. συνεστός Bb; in P non liquet.
18. ἐστίν PF. 19. ὧν] om. g. 20. ἐστιν F. 242. τὸ ἡμι-
κύκλιον] mg. m. 1 b. 26. ἐστέν F.

σι

10

1ὅ

2

2ῦ

.Φ

6 ZTOIXEIQN ια΄.

ιζ΄. Διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐϑεῖα
τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽
ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

ιη΄. Κῶνός ἐστιν, ὅταν ὀρϑογωνίου τριγώνου με-
νούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν
περιενεχϑὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατα-
σταϑῇ. ὅϑεν ἤρξατο 'φέρεσϑαι, τὸ περιληφϑὲν σχῆμα.
κἂν μὲν ἡ μένουσα εὐθεῖα ἴση y τῇ λοιτῇ [τῇ] περὶ
τὴν ὀρϑὴν περιφερομένῃ, ὀρθϑογώνιος ἔσται ὁ κῶνος,
ἐὰν δὲ ἐλάττων, ἀμβλυγώνιος, ἐὰν δὲ usifov,
ὀξυγώνιος.

i. “ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα,
περὶ ἣν τὸ τρίγωνον στρέφεται.

x. Βάσις δὲ Ó κύκλος ὁ ὑπὸ τῆς περιφερομένης
εὐϑείας γραφόμενος.

κα΄. Κύλινδρός ἐστιν, ὅταν ὀρϑογωνίου παραλ-
ληλογράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν
ὀρϑὴν γωνίαν περιενεχϑὲν τὸ παραλληλόγραμμον εἰς
τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι,

᾿τὸ περιληφϑὲν σχῆμα.

κβ΄. ἄξων ὃὲ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἡ μένουσα
εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ παραλληλόγραμμον στρέφεται.

κγ΄. Βάσεις δὲ οἱ κύκλοι o ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον
περιαγομένων δύο πλευρῶν γραφόμενοι.

κὃ΄. Ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν ot
τε ἄξονες καὶ αἴ διάμετροι τῶν βάσεων ἀνάλογόν εἰσιν.

18. Hero def. 84, 9. 21—28. ib. 96. 18 —23. Psellus
p. 90. )

1. σφαίρας] c- suprà scr. mJ. 1P. 8. τά] om. b. μέρει g.
4. τρι- ἴῃ ras, m. 1 B... 5. πλευρᾶς μιᾶς τῶν) corr. ex
τοῦ m. 1b. ὀρϑήν] om. Vb, -» euan. F. γωψία g. 8. τῇ]

ELEMENTORUM LIBER XI. T

17. Diametrus autem sphaerae est recta aliqua per
centrum. ducta οὐ ad utramque partem superficie
sphaerae terminata.

18. Conus est figura comprehensa, ubi manente
alterutro latere trianguli rectanguli eorum, quae rectum
angulum comprehendunt, triangulus cireumactus rursus
ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est.
ei si recta manens aequals est reliquae ad angulum
rectum positae, quae circumagitur, conus rectangulus
erit, sin minor est, obtusiangulus, sin maior, acuti-
angulus.

19. Axis autem coni recta est manens, circum
quam iriangulus circumagitur.

20. Basis autem circulus est, qui a recía circum-
acta describitur.

21. Cylindrus est figura comprehensa, ubi alterutro
laterum parallelogrammi rectanguli rectum angulum
comprehendentium manente parallelogrammum circum-
actum rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri
coeptum est.

29. Axis autem cylindri recta est manens, circum
quam parallelogrammum circumagitur.

23. Bases autem circuli sunt, qui a duobus late-
ribus inter se oppositis in cireumagendo describuntur.

24. Similes coni et cylindri sunt, quorum axes et
basium diametri proportionales Sunt.

m, rec. P, om. Vbg. 89. Post ὀρϑήν add. yovíay Psellus et
F, sed punetis del. 10. ἀμβυγωνιος φ. 12. δέ] supra scr. m.
1 V. εὐθεῖα] om. V. 16. δέ ἐστιν V. 18. γωνίαν] om.
Β. 28. βάσις Vbg. ἀπεναντίέων b. 26. ἀνάλογοι V b.

ὦσιν P, εἰσι Vb

10

16

20

8 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ α΄.

κε΄. Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἕξ τετραγώ-
νῶν ἴσων περιεχόμενον.

κα΄. Ὀχτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀχτὼ
τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

κξ΄. Εἰκοσάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι
τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

κη΄. Δωδεκάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δω-
δεκα πενταγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων
περιεχόμενον.

7,

e.

Εὐϑείας γραμμῆς μέρος μέν τι ovx ἔστιν ἐν
τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεω-
φοτέρῳ. |

Ei γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ABI ué-
οος μέν τι τὸ 48 ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ,
μέρος δέ τι τὸ BI' ἐν μετεωροτέρῳ.

Ἔσται δή τις τῇ AB συνεχὴς εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐϑείας
ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. ἔστω ἡ Bat: δύο ἄρα
εὐθειῶν τῶν ABI, 484 κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ AB:
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ
διαστήματι τῷ 418 κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι
ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.

Εὐϑείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν

25. Hero def, 104. 26. ib. 102. 97. ib. 101.
28. ib. 108. 25—28. Psellus p. 50—51.

2. Post ἴσων eras. καὶ ἰσοπλεύρων V. Def. 297—928 hoc
ordine habent P et Psellus; permutauit Theon (BFVb).
5. σχῆμα στερεόν) τό V, et b, sed mg. m. 1: ye. σχῆμα στερεόν.
εἴκοσι) x F. 7. ἐστιν F. δώδεκα] in ras. V. 8. -yo-
νέων supra ras, m. 1 V. 10. ϑεώρημα α΄ V. 19. τι ἐν
τι ἐν τῷ ΒΕ. μετεώρῳ b, mg. m. 1: yo. ἐν τῷ μετεωροτέρῳ.
16. ἐν] ἐν τῷ F. 18. ἄρα] δή D, supra scr. m. 1.

ELEMENTORUM LIBER XI. 9

25. Cubus est figura solida sex quadratis aequa-
libus comprehensa.

26. Octaédrum est figura solida octo triangulis
aequalibus et aequilateris comprehensa.

27. Icosaédrum est figura solida uiginti triangulis
aequalibus et aequilateris comprehensa.

28. Dodecaédrum est figura solida duodecim pen-
iagonis aequalibus et aequilateris et aequiangulis com-
prehensa.

I.

Fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in plano
subiacenti, pars autem in eleuatiore.

Nam si fieri potest, rectae lineae 4BI' pars 48

Γ sib in plano subiacenti, pars autem ΒΓ
in eleuatiore.

erit igitur in plano subiacenti recta
aliqua rectam 4 B in directum continuans.
sit B 7. itaque duarum reetarum ΑΒΓ,
A B 4 pars communis est 4B; quod fieri
non potest, quia, si centro B, radio autem
AB circulum descripserimus, diametri [4BI' 484]
inaequales arcus circuli abscindent.!)

Ergo fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in

1) Eos scilicet, qui inter puncta 4, I' et inter 4, 4 positi
Sunt. tum cfr. I def. 17.

19. δοϑεισῶν εὐθειῶν Theon (BF Vb) AB] B in ras. m. 1 B.
7] inras. V, τό b. 20. ἐστιν] om. V. ἐπειδήπερ — 32. περι-
φερείας] P (ἐάν m. 1 ex ἄν corr); εὐθεῖα γὰρ εὐθείᾳ οὐ συμ-
βάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καϑ᾽ ἕν᾽ εἰ δὲ μή, ἐφαρμόσουσιν
ἀλλήλαις αἴ εὐθεῖαι Theon? (BF V b); idem mg. m. rec. P., add.
οὕτως iv ἄλλοις εὕρηται, ἔπειτα τό εὐθείας ἄρα γραμμῆς.

οι

10

1

σι

—.90

25

10 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ :«'.

τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ᾽ ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.
p.

Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν évé
εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν éví ἐστιν
ἐπιπέδῳ.

ΖΔύο γὰρ εὐϑεῖαι αἱ AB, ΓΖ τεμνέτωσαν ἀλλήλας
κατὰ τὸ E σημεῖον" λέγω, ὅτι αἱ AB, Γ4 ἐν éví
εἶσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.

Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῶν EI, ΕΒ τυχόντα σημεῖα
τὰ Z, H, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ ΓΒ, ZH, καὶ διήχϑω-
σαν αἱ ZO, HK: λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρί-
γῶνον ἐν ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ
τριγώνου μέρος ἦτοι τὸ ΖΘΙΓ ἢ τὸ HBK ἐν τῷ ὑπο-
κειμένῳ [ἐπιπέδῳ], τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ
μιᾶς τῶν EI', ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑπο-
κειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ. εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ
τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ͂ μέρος ἡ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν
ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμέμῳ ἐπι-
πέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ᾽ ὅπερ ἄτοπον ἐδείχϑη. τὸ ἄρα
ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δέ ἐστι
τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑχατέρα τῶν EI,
ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, EB, ἐν τούτῳ καὶ αἵ
AB, ΓΖ. αἵ AB, ΓΖ ἄρα εὐϑεῖαι ἐν ἕνί εἰσιν ἐπι-
πέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν éví ἐστιν ἐπιπέδῳ" ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

1. τὸ δέ] Pb, μέρος δέ τι ΒΕΥ͂. ἐν] ἐν τῷ Ε. 7. αἵ
om. F. 10. E T, EB] in ras. V. 11. l'B] corr. in ΒΓ
12. Ε ΓΒ] litt. B in ras.m.1P; EBI'B. 14. ZI' P.

iv — 15. ἄλλῳ] om. b, mg. m. 1 V. 15. ἐπιπέδῳ] om. P.

ELEMENTORUM LIBER XI. 11

plano subiacenti, pars autem in eleuatiore; quod erat
demonstrandum.

II.

Si duae rectae inter se secant, in eodem plano
sunt, et omnis triangulus in eodem plano est.

Nam duae rectae 4B, ΓΖ inter se secent in
puncto E. dico, rectas 4B, ΓΖ in eodem plano
esse, οὖ omnem triangulum in eodem plano esse.

sumantur enim in EI, EB quaelibet puncta Z,
H, et ducantur I'B, ZH et eas secantes ZO, HK.
dico primum, triangulum EI'B in eodem plano esse.

nam si pars trianguh ΕΓΒ uel ZeT

4. 4 wel HBK in subiacenti est, reliquum

/^ autem in alio, etiam rectarum ΕΓ, EB

Z H . pars in plano subiacenti, pars autem in
alio erit. sin trianguli EI'B pars, quae
est ZI'BH, in plano subiacenti est, re-
liquum autem in alio, etiam utriusque rectae ΕΓ,
EB pars in subiacenti plano erit, pars autem in alio;
quod demonstrauimus absurdum esse [prop. I]. ergo
iriangulus EI'B in eodem plano est. in quo autem
est triangulus ΕΓΒ, in eo est etiam utraque ET,
EB, in quo uero utraque EI', EB, in eo etiam 4B,
ΓΖ sunt [prop. I]. ergo rectae 4B, ΓΖ in eodem
plano sunt, et omnis triangulus in eodem plano est;
quod erat demonstrandum.

II. Galen. III. p. 880.

16. EB] ΓΒ g. 18. lZBH V. 7] P, εἴη BFVb,
ἐστιν bene Áugust. 19. ἔσται) εἴη ἂν F. 20. EB, ΕΓῈ.
91. ααλλωι F. 929. ΕΓΒ] litt. I'B in ras. V, ἘΒ΄ Γ' b.
23. ED'B] litt. ΓΒ in ras. V, EB'I" b. 9484. EB, ΕΓ Vb.

26. εὐϑεῖα q (non F). 27. δεῖξαι) :c- F.

rl ek B

10

1ὅ

20

25

19 XTOIXEION ια΄.

7. .

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἢ κοινὴ
αὐτῶν τομὴ εὐϑεῖα ἐστιν.

Zio γὰρ ἐπίπεδα τὰ 4B, ΒΓ τομνέτω ἄλληλα,
κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ AB γραμμή" λέγω. ὅτι
ἡ 4B γραμμὴ εὐθεῖα ἐστιν.

Εἰ γὰρ μή, ἐπεξεύχϑω ἀπὸ τοῦ 244 ἐπὶ τὸ B iv
μὲν τῷ AB ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ A4EB, ἐν δὲ τῷ ΒΓ
ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ 428. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν
ΔΕΒ, 428 τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ
χωρίον᾽ ὅπερ ἄτοπον. οὔκ ἄρα αἴ AEB, 4128 εὐϑεῖαί
εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ
τοῦ Zi ἐπὶ τὸ B ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς
4B κοινῆς τομῆς τῶν 48, ΒΓ ἐπιπέδων.

᾿Εὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν
τομὴ εὐθεῖα ἐστιν ὅπερ £s, δεῖξαι.

δ΄.

Ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλή-
λας πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπι-
σταϑῇ; καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς
ἔσται.

Εὐϑεῖα γάρ vig ἡ ΕΖ δύο εὐϑείαις ταῖς AB, I4
τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ E σημεῖον ἀπὸ τοῦ E
πρὸς ὀρϑὰς ἐφεστάτω᾽ λέγω, ὅτι y EZ καὶ τῷ διὰ
τῶν 48, Γ4 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.

8. ἐστι V, comp. Ὁ. 4. BI']| Γ4Ῥ. τεμνέτωσαν BFYVb.
7. τό] τοῦ φ. 9. ἔσται δή] ἔστω μὲν ἡ q. . 10. περιέξουσιν
PV, et B, sed corr.; F hic legi uix potest. 12. δή] δέ Pb.
οὐδ᾽ Vb. 18. ἐστι F. 16. ἐστιν ἡ 48 F. 18. ἐάν

ELEMENTORUM LIBER XI. 13

I1.

Si duo plana inter se secant, communis eorum
sectio recta est.

Nam duo plana 4B, BI'inter se secent, et com-
munis eorum sectio sit linea 7/B. dico, lineam 4B
rectam esse.

nam si minus, ab 4 ad B in plano AB ducatur
recta ZEB, in plano autem ΒΓ recta ZZB. itaque

duarum rectarum Z/EB, 428 iidem
B lermini erunt, et ita spatium compre-

hendent; quod absurdum est. quare 4/EB,

2428 rectae non sunt. similiter demon-
/| 4 Siabimus, ne aliam quidem ullam a 4

ad B duclam rectam esse praeter ZB

communem sectionem planorum 4 B, BI.
Ergo si duo plana inter se secant, communis eorum
sectio recta est; quod erat demonstrandum.

T

| IV.
Si recta ad duas rectas inter se secantes in com-
muni sectione perpendicularis

Z
ANS erecta erit, etiam ad planum
74 χ᾽ earum perpendicularis erit.
4. Nam recta EZ ad duas
B rectas 48, ΓΖ inter se in

puncto E secantes ab E per-
pendicularis erecta sit. dico, EZ etiam ad planum
rectarum 4B, I'Z/ perpendicularem esse.

— 19. ὀρϑας] in ras. V. — 20. αὐτόν F, sed corr. 22. εὖ-
ϑείας τάς b. 238. τεμνούσας b. — 25. τῶν] τῆς b, corr. m. 1.

cx

10

1

e

20

25

14 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

᾿“πειλήφϑωσαν γὰρ αἱ AE, ΕΒ, ΓΕ, Ez ἴσαι
ἀλλήλαις, καὶ διήχϑω τις διὰ τοῦ E, ὡς ἔτυχεν, ἡ
HEO, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 44, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ
τυχόντος τοῦ Z ἐπεξεύχϑωσαν αἱ Z4, ZH, Z4, ZI
ZO, ZB. καὶ ἐπεὶ δύὸ αἱ AE, Ez δυσὶ ταῖς ΓΕ,
ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα
ἡ 44 βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ 4 2 τρίγωνον
τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται" ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
Z4AE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EBI' ἴση [ἐστίν]. ἔστι δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ AEH γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴδη. δύο δὴ τρί-
γωνά ἐστι τὰ AH E, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ yo-
νέαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν
μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν AE
τῇ EB' καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς
πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν. ἴδη ἀρὰ ἡ μὲν HE τῇ EO,
ἡ δὲ AH τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AE τῇ EB,
κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ
βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ
τῇ Z4 ἐστιν i65. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 44 τῇ IB,
ἔστι δὲ καὶ ἡ ZA τῇ ZB ἴση, δύο δὴ αἱ ZA, AA
δυσὶ ταῖς ZB, BI' ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα" καὶ
βάσις ἡ Z4 βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχϑη ἴση" καὶ γωνία ἄρα
ἡ ὑπὸ Z44 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν. καὶ.
ἐπεὶ πάλιν ἐδείχϑη ἡ AH τῇ BO ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ
q ZA τῇ ZB ἴση, δύο δὴ αἵ ZA, AH δυσὶ ταῖς
ZB, BO ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία y ὑπὸ ZAH ἐδεί-
χϑὴ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ' βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ

8. ΠΕΘ] EO F, et V m. 1, corr. n. 3; Eeras. B. α -- 4.
ἐπεξζεύυχϑωσαν]) postea ins. m. 1P. — 5. Ε 47 corr. ex EB m.2 F.
6. περιέχουσι F V b. 7. BI F. ἐστίν} comp. Fb, εἰσίν

8. τῷ) corr. ex τό m. 1 F. τριγώνῳ) om. BFVb.

ELEMENTORUM LIBER XI. 15

&abscindantur enim 4E, EB, ΓΕ, EZ inter se
aequales, οὗ per E quaelibet recta H E ducatur, et
ducantur 44/1, I'B, et praeterea & quolibet puncto Z
ducantur Z4, ZH, Z4, ZI', ZO, ZB. et quoniam
duae rectae 4E, ΕΖ duabus ΓΕ. EB aequales sunt
el aequales angulos comprehendunt [I, 15), basis 44
basi ΓΒ aequalis est, et triangulus 4E71 triangulo
ΓΕΒ aequalis (I, 4J. quare etiam [, 44 E — ΕΒΓ
[id.]. uerum etiam [ 4EH — BEO [I, 15]. itaque
duo trianguli sunt 4H E, BEG duos angulos duobus
angulis allerum alteri aequalem habentes et unum
latus uni lateri aequale, quod ad angulos aequales
positum est, 4E — EB. itaque etiam reliqua latera
reliquis lateribus aequalia habebunt [I, 26]. quare
H E — ΕΘ, AH — BO. eti quoniam 4E — EB, et
ΖΕ communis est et perpendicularis, erit Z4 — ZB
[I, 4]. eadem de causa erit etiam ZI'zZ.. et
quoniam 444/ —I'B et Z4 -— ZB, duo latera Z 4,
44 duobus lateribus ZB, BI' alterum alteri aequalia
sunt; et demonstratum est, esse Zzf — ZI. eritigitur
etiam ( Ζ.44 — ZBI'[I, 8]. et quoniam rursus de-
monstratum eet, esse 4H — BO, οἱ est Z4 — ZB,
duo latera Z4, 4H duobus ZB, ΒΘ aequalia sunt;
eti demonstratum est, esse [| Z4 H — ZBO. itaque
ZH —Z0 [], 4]. et quoniam rursus demonstratum

9. ἐστίν} om. P. 11. ἐστι] εἰσι F' V. 19. ἔχοντας g.

18. τήν) t4? V. τὰς ἴσας Vb. γωνίας bg. 14. τῇ] supra
scr. m. 1b. 17.Z4] 4inras. B. 20. ἔστινΒ. | A4] 4e
corr. V. 238. ἡ] m.2F. Ante ZA4 eras. τῶν F. στίν
comp. b, ἐστί P. 96. Ζ47 (alt.) 4 6 corr. m. 1 F. 296. εἰσίν
comp. F, εἰσι Vb. ZAH] corr. ex ΖΑΒ τῷ 1b. 27.Z2B60]
B ecorr. m. 1 F. ἄρα] om. V. ZH] H"Z' b.

16 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ΖΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχϑη ἡ ΗΕ τῇ
ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ. ΕΖ, δύο δὴ αἱ HE, EZ δυσὶ ταῖς
GE, EZ ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις ἡ ZH βάσει τῇ ΖΘ
ἴση" γωνία ἄρα ἣ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ
ὅ ἴση ἐστίν. ὀρϑὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ
γωνιῶν. ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ
Ε ἀχϑεῖσαν ὀρϑή ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ
ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ
οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γω-
10 νέας. εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, ὅταν
πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας
ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιῇ γωνίας: ἡ ΖΕ ἄρα
τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ ὑπο-
κείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν 48, L'A εὐϑειῶν.
15 ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῷ διὰ τῶν AB, I4
ἐπιπέδῳ.
Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας
πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταϑῇ, καὶ τῷ
δι᾽ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι

[4

20 e €.
Ἐὰν εὐϑεῖα τρισὶν εὐϑείαις ἁπτομέναις
ἀλλήλων πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπι-
σταϑῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ 48 τρισὶν εὐθείαις ταῖς BI,
35 ΒΖ, BE πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ B ἁφῆς ἐφε-
στάτω᾽ λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, Β4, BE ἐν ἑνί εἰσιν ἐπι-
πέδῳ.

8. εἰσίν) comp. F. — 5. ἐστιν ἴση BFV. — 6. ἡ διά b.
7. ἀχθεῖσα Fb. δή] om. F. 8. αὐτῆς] corr. ex αὐτῇ m.
1 B. 9. τῷ] τῷ αὐτῷ F, sed corr. 11. πρός] ins. m.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 11

est, esse H E — ΕΘ, et Z E communis est, duo latera
HE, EZ duobus € E, EZ aequalia sunt; οὐ ZH — Z6.
itaque ( ΗΕΖ — ΘΕΖ [I, 8]. itaque uterque angulus
ΗΕΖ, EZ rectus est [I def. 10]. ergo ΖΕ ad
rectam ΗΘ fortuito per E ductam perpendicularis est.
lam eodem modo demonstrabimus, Z E ad omnes rectas
eam tangentes ei in plano subiacenti positas rectos
efficere angulos. recta autem ad planum perpendicu-
laris est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in
eodem plano ductas rectos angulos efficit [def. 3].
itaque ΖΕ ad planum subiacens perpendicularis est.
subiacens autem planum id est, quod per rectas 48,
ΓΖ ductum est. itaque Z E ad planum rectarum 4B,
I'4 perpendicularis est.

Ergo si recta ad duas rectas inter se secantes in
communi sectione perpendicularis erecta erit, etiam ad
planum earum perpendicularis erit; quod erat demon-
strandum.

. V.

Si recta ad tres rectas inter se tangentes in com-
muni sectione perpendicularis erecta erit, ires illae
rectae in eodem plano sunt.

Nam recta 4B ad ires rectas ΒΓ, B4, BE in
puncto sectionis B perpendicularis erecta sit. dico,
rectas ΒΓ, Β4, BE in eodem plano esse.

——

2 F. αὐτῆς] corr. ex αὐτῇ m. 1 B. 12. ἐν] ἐπί g.
αὐτῷ] om. V. ποιεῖ P. 18. ἐν τῷ B. ἐστιν} comp.
Fb, ἔστι P. 14. τῶν] bis V, sed corr. 15. Γ' Δ εὐθειῶν
Vb. 106. ἐπιπέδων b. 17. εὐθεῖα δύο εὐθείαις] B sv?9 F.
δύο — 19. δεῖξαι] καὶ τὰ ἑξῆς B. 17. τεμνούσαις --- 19.
ἔσται] καὶ τὰ ἑξῆς F. 19. ἐστιν V b. ὕπερ ἔδει δεῖξαι
comp. F. 286, ἐφεστάτω] corr. ex ἀφεστάτω m. rec. P.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 2

10

1ὅ

20

25

18 ZTOIXEIQS9N ια΄.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν BA,
BE ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ BI' ἐν μετεω-
φοτέρῳ; καὶ ἐκβεβλήσϑω τὸ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπί-
πεδον" κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα
εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν 48, ΒΓ αἱ τρεῖς
εὐθεῖαι αἱ 4B, BI', ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ 48 ὀρϑή ἐστι
πρὸς ἑκατέραν τῶν B 4, BE, καὶ τῷ διὰ τῶν B4, BE
ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ AB. τὸ δὲ διὰ τῶν B,
BE ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν ἡ AB ἄρα ὀρθή
ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. στε καὶ πρὸς
πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ
ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας ἡ 48.
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ᾽ ἡ ἄρα ὑπὸ 482 γωνία ὀρϑή ἔστιν. ὑπόκειται
0b καὶ $ ὑπὸ ABD ὀρϑή᾽ ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ 4BZ γω-
vía τῇ ὑπὸ ABI. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ" ὅπερ
ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐϑεῖα ἐν μετεωρο-
τέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ" αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, Β4,
BE ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.

"Xv ἄρα εὐϑεῖα τρισὶν εὐϑείαις ἁπτομέναις ἀλλή-
λων ἐπὶ τῆς ἁφῆς προς ὀρϑὰς ἐπισταϑῇ, αἱ τρεῖς
εὐϑεῖαι ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

σ΄.

Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς

ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται al εὐϑεῖαι.

1. Bd]ecorr. m. 1b. 8. ἡ δέ --- ὅ. εὐθεῖαν] mg. m. 1 V,
in textu ras. est. 2. μετεώρῳ V. 8. καῶ καί Ov b. 4. δή]
postea ins. FP. — 5. καὶ εὐθεῖαν b, et B, corr. m. 2; καί (comp.)
ins. m. 1 F. ποιήτω φ. εἰσὶν ἄρα b. 71. ἐστιν P; ἔσται 5,

ELEMENTORUM LIBER XI. 19

ne sint enim, uerum, si fleri potest, B, BE in
plano subiacenti sint, BI'autem in eleuatiore, ei pro-
ducatur planum per 4B, BI: communem igitur sectio-
nem in plano subiacenti reciam
efficiet [prop. IIT] efficiat ΒΖ.
ilaque tres rectae 4B, ΒΓ, ΒΖ in
eodem plano sunt, quod per ΑΒ,
BI' ducitur. et quoniam 4B ad
utramque B Z1, B E perpendicularis
est, etiam ad planum rectarum B Zf,
BE perpendicularis est 4B [prop. IV]. planum autem
rectarum B1, B E subiacens est; 44B igitur ad pla-
num subiacens perpendicularis est. quare etiam ad om-
nes rectas eam tangentes et in subiacenti plano po-
sitas rectos angulos efficiet 4 B [def. 3]. tangit autem
eam ΒΖ in subiacenti plano posita. itaque ( 4BZ
rectus est. supposuimus autem, etiam [4 BI' rectum
esse. erit igitur ( 482 — ABI. et in eodem plano
sunt; quod fieri non potest. itaque recta BI'in plano
eleuatiore posita non est; itaque ires rectae BI', ΒΖ,
B E in eodem plano sunt.

Ergo si recta ad tres rectas inter se tangentes in
puncto tactionis perpendicularis erecta erit, tres illae
reciae in eodem plano sunt; quod erat demonstrandum.

VI.

Si duae rectae ad idem planum perpendiculares
sunt, rectae parallelae erunt.

corr. m. 1. 8. B4] (ali) B in ras. m. 1 B. 9. ἄρα] prius «
in ras. m. 1 P. 10. 4B] Β΄ Α΄ F. 13. αὐτῆι b. — 19. ΒΓ]
corr. ex 4B V; AB supra scr. I" m. 1 b. 26. ὦσι P Vb.

9*

b

90 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

Zvo γὰρ εὐϑεῖαι αἱ AB, ΓΖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστωσαν' λέγω, ὅτι παράλληλός
ἐστιν ἢ AB τῇ ΓΖ.

Συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ
τὰ B, 4 σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ B4 εὐϑεῖα. καὶ
ἤχϑω τῇ Β4 πρὸς ὀρϑὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ
ἡ 4E, καὶ κείσϑω τῇ 4B ἴση ἡ 4E, καὶ ἐπεξεύχϑω-
ὅαν αἱ BE, AE, AA.

Kal ἐπεὶ ἡ 48 ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον

10 ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας [ἄρα] τὰς ἁπτομένας αὐτῆς

15

20

26

εὐθείας καὶ οὔσας iv τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς
ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς 418 ἑκατέρα τῶν
B4, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὴ ἄρα
ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ 484, ABE γωνιῶν. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΖΒ,. ΓΖΕ ὀρϑή ἐστιν.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν y 48Β τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ BA,
δύο δὴ αἱ 4B, B δυσὶ ταῖς Ez, 4B ἴσαι εἰσίν"
καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν" βάσις ἄρα ἡ 44 βάσει
τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ AE,
ἀλλὰ καὶ ἡ 44 τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ 48, ΒΕ δυσὶ
ταῖς ΕΖ, 4 4 ἴσαι εἰσίν" καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ
AE: γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ABE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΑ͂
ἐστιν ἴση. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ ABE: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ
ὑπὸ Ez: ἡ Ez ἄρα πρὸς τὴν 4.44 ὀρϑή ἐστιν.
ἔστι δὲ καὶ πρὲς ἑκατέραν τῶν Bl, 4Γ ὀρϑή. ἡ ΕΖ
ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς Bzl, 44, 4Γ πρὸς ὀρϑὰς
1. αἴ] supra m.rec.P. 4. συμβαλέτωσαν P (συμπιπτέτωσαν
Supra scr. m. rec.) et supra scr. À V.. 5. B4] corr. ex B m. 9 B.
6. τῷ] τῷ αὐτῷ P. 9. ἐστίν F. - 10. ἄρα] om. P. — 12. Ante τῶν
ras. 2 litt. V, τῆς τῶν b. 18. οὖσαι ΒΕ. 16. τῇ — Bí] mg. m. 1P.

11. ταῖς] miro comp. F, ut lin. 21. εἰσί Vb, comp. supra ser. φ.
18. καί] comp. supra scr.g. περιέχουσι BVb A 4] corr. ex

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 91

Nam duae rectae 48, ΓΖ, ad planum subiacens
perpendiculares sint. dico, 4B rectae I'zf paralle-
lam esse.

concurrant enim cum plano sub-
iacenti in punctis B, 71, οὐ duca--
lur recta. B, et ad rectam B.Z4
perpendicularis in plano subiacenti
ducatur ΖΕ, οὐ ponatur

AB -— AE,
et ducantur BE, AE, 44.

el quoniam 4B ad planum subiacens perpendicu-
laris est, etiam ad omnes recias eam tangentes et in
plano subiacenti positas rectos angulos efficiet [def. 3].
uerum uiraque ΒΖ], BE in plano subiacenti positae
rectam 4B ianguni; itaque uterque angulus 4B 4,
44 B E rectus est. eadem de causa etiam uterque angu-
lus Dl4B, L4 E rectus est. eti quoniam 4B τῷ ΖΕ,
οὐ B1 communis est, duo latera 48. B4! duobus
E24, 4B aequalia sunt; οὖ aequales angulos compre-
hendunt. itaque 421 — BE [I, 4]. et quoniam 4B
— E, el 421 — BE, duo latera 4B, BE duobus
Ed, 44 aequalia sunt; et basis eorum communis
est AE. itaque [. ABE — ΕΖ 4 [1,8]. uerum [, ABE
rectus est; quare eliam [ Ez1.4 rectus est. itaque
ΕΖ ad 4.4 perpendicularis est. sed etiam ad utram-
que B4, ΖΓ perpendicularis est. itaque ΕΖ, ad ires
rectas ΒΖ, 444, ΖΓ perpendicularis in puncto tactio-

r A

4B m.1b. 19. ἴση ἐστίν V. 51. εἰσί Vb, comp. F. — 98. ἴση
ἐστίν Vb. T](prius) ins. m. 2 F. | 24. «ovy Ez AP. — 26. ἔστι)
supra ser. comp. m. 1 F. Sequentia usque ad p. 32, 5: ἐπι-
πέδῳ in ras. V. ὀρϑή] corr. ex οϑη m. rec. P.

10

1

20

2

σι

ὅ

ex

99 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν" αἵ τρεῖς ἄρα εὐϑεῖαι αἴ B4,
44, AT ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δὲ αἱ AB,
44, ἐν τούτῳ καὶ ἧ AB: πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἕνί
ἐστιν ἐπιπέδῳ᾽ αἴ ἄρα 48. B, AT' εὐϑεῖαι ἐν évé
εἰσιν ἐπιπέδῳ: καί ἐστιν ὀρϑὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ
AB A, BAT γωνιῶν" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AB
τῇ ΓΖ.

"E&v ἄρα δύο εὐϑεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς
ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ξ΄.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφϑῇ
δὲ ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ
τὰ σημεῖα ἐπιξευγνυμένη εὐϑεῖα ἐν τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἴ AB, ΓΖ,
καὶ εἰλήφϑω ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ
E, Ζ' λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ E, Z σημεῖα ἐπιξευγνυμένη
εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ
ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχϑω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον" το-
μὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐϑεῖαν.
ποιείτω ὡς τὴν EZ δύο ἄρα εὐϑεῖαι al ΕΗΖ, ΕΖ
χωρέον περιέξουσιν" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ
ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεω-

φοτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ᾽ ἐν τῷ διὰ τῶν AB, ΓΖ ἄρα

2. ἐν ᾧ — 5. ἐπιπέδῳ] om. b. 2. 4B, 44] 44, 4B Pj
B4, 44, AT'F. 6, BAT] B in ras. V; TAB P. ἄρα) corr.
ex ἃ m. 9 P. 8. edd) om V. 9. ὦσι Vb. ἀλλήλαις
αἴ V. 11. ὦσιν Β. 18. αὐτῷ} supra m. 2 B. 17. λέγω
— E, Z] mg. m. 1 F. σημεῖα) om. V. 290. ἡ] 9, al? F.

δια] vó διά BF, τό supra scr. V. — 21. ἐπιπέδῳ] mg. V.

-—moT om UT πα - 099

ELEMENTORUM LIBER XT. 23

nis erecia esi; quare ires rectae Bf, 214, 4Γ τὰ
eodem plano sunt [prop. V]. in quo autem plano
sunt 28. 4144. in eodem est etiam 4B; omnis enim
triangulus in eodem plano est [prop. II]. itaque rectae
A4 B, B4, ΖΓ in eodem plano sunt. οὐ uterque angulus
484, BAI rectius est. itaque 4B rectae ΓΖ, par-
allela est [I, 28].

Ergo si duae rectae ad idem planum perpendicu-
lares sunt, rectae parallelae erunt; quod erat demon-
strandum.

VII.

Si duae rectae parallelae sunt, et in utraque quae-
libet puncta sumuntur, recta puncta coniungens in
eodem plano est, in quo parallelae.

Sint duae rectae parallelae
AB, I4, ei in utraque quaeli-
H bet puncta sumantur E, Z. dico,
rectam puncta E, Z coniungen-
iem in eodem plano esse, in quo
sint rectae parallelae.

ne sii enim, sed, si fieri potest, in eleuatiore sit ut
ΕΗΖ, et per ΕΗΖ planum ducatur. itaque in plano
subiacenti sectionem efficiet rectam [prop. III]. efficiat
EZ. ergo duae rectae EHZ, EZ spatium compre-
hendent; quod fieri non potest. itaque reeta E, Z con-
iungens in plano eleuatiore non est. ergo recia E, Z
coniungens in plano parallelarum 4B, ΓΖ est.

A4 E B

D Z

22. ὡς] supra scr. m. 1 B, om. FVb. ΕΗΖ] HZ V.
28. περιέχουσιν V b. ἀδύνατον) mg. V. 26. ἄρα] supra
scr, V.

Q

10

15

20

26

24 EZTOIXEION ια΄.

παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z
ἐπιξευγνυμένη εὐϑεῖα.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι, ληφϑῇ δὲ
ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα
ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς
παραλλήλοις" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

,

η΄.
Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ

ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρϑὰς fj, καὶ
ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.

Ἔστωσαν δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι αἱ AB, ΓΖΩ,
ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ AB τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΖ τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.

Συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ 4B, ΓΖ τῷ ὑποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ κατὰ và B, 4 σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ .Β 4
αἱ AB, ΓΖ, B4 ἄρα ἐν ἕνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἤχϑω
τῇ B.4 πρὸς ὀρϑὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ AE,
καὶ κείσϑω τῇ AB ἴση ἡ 4E, xal ἐπεξεύχϑωσαν ot
BE, AE, 44. καὶ ἐπεὶ ἡ AB ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ
ὑποχείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἅπτο-
μένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ἡ Α4Β᾽ ὀρϑὴ ἄρα [ἐστὶν] ἕκα-
τέρα τῶν ὑπὸ 484, ABE γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ εἰς
παραλλήλους τὰς 48, I' 4 εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ B Δ],
αἱ ἄρα ὑπὸ 48Β4., Γ4ΩΒ γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι
εἰσίν. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ 484 ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ
D4B: ἡ ΓΖ ἄρα πρὸς τὴν Β4 ὀρϑή ἐστιν. καὶ

8. ὦσιν PB. 8. ὦσιν PB. ἡ δέ] ἡ δὲ ἡ V. 9. ἢ]
om. V. 10. πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ b. 12. An

ELEMENTORUM LIBER XI. 2b

Ergo si duae rectae parallelae sunt, et in uira-
que quaelibet puncta sumuntur, recta puncta con-
iungens in eodem plano est, in quo parallelae; quod
erat demonstrandum,

VIII.

Si duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad pla-
num aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad idem
planum perpendicularis erit.

Sint duae rectae parallelae 4B,
ΓΖ. et alterutra earum A4B ad pla-
num subiacens perpendicularis sit.
dico, etiam reliquam I'Z ad idem

4 planum perpendicularem fore.

concurrant enim 4B, I'Z cum

plano subiacenti in punctis B, 4,

E el ducatur BJ. itaque 4B, ΓΖ.
B2 in eodem plano sunt [prop. VII][. ad B4 in
plano subiacenti perpendicularis ducatur 4, E, οὐ po-
natur ΖΕ -— 4B, οὐ ducantur BE, AE, 44. et
quoniam 44 B ad planum subiacens perpendicularis est,
eliam ad omnes rectas eam tangentes et in plano
subiacenti positas perpendicularis est 44B [def. 3].
rectus igitur uterque angulus 4B, 4BE. et
quoniam in paralllas 4B, I'4 recta incidit B4,
anguli 484, I'4B duobus rectis aequales sunt ἢ,
29]. uerum [ 4B. rectus est; quare etiam ἐ I'4B
rectus est. quare ΓΖ ad B.4 perpendicularis est.

4 r

ἐπιπέδῳ m. 1 del ἐν P. 18. καὶ ἡ] F, 0 qg. 11. L'd] Δ

corr. ex B m. rec. B. 20. 4E] 4E φ. ἐστιν P. 238. πρὸς

ὀρϑας] ὀρϑή BFV. ἐστίν] (α1}.) om. P. 26. εὐθείας V.
26. γωνέαι) F, γωνία g.

96 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 4Ε, κοινὴ δὲ ἡ B4, δύο
δὴ αἱ 4B, Β4 δυσὶ ταῖς ΕΖ, 48 ἴσαι εἰσίν" καὶ
γωνία ἡ ὑπὲ 48Β4 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAB ἴση" ὀρϑὴ
γὰρ ἑκατέρα" βάσις ἄρα ἡ 44] βάσει τῇ BE ἴση.
5 καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἣ uiv 4B τῇ AE, ἡ δὲ BE τῇ
AA, δύο δὴ al AB, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΖ, 44 ἴσαι
εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα... καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ AE:
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ABE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ezl4 ἐστιν
ἴση. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ ABE: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ
10 ΕΖ4.4᾽ ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς τὴν 44 ὀρϑή ἐστιν. ἔστι
ὃὲ καὶ πρὸς τὴν 4B ὀρϑή᾽ ἡ EA ἄρα καὶ τῷ διὰ
τῶν B, 44 ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας
ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ
διὰ τῶν B4 ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας ἡ EA.
15 ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν BA ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ AI, ἔπει-
δήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν Bz4 ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἴ AB,
BA, ἐν o d δὲ αἱ AB, BA, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ AT
ἡ ΕΔ ἄρα τῇ 4Γ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ὥστε καὶ ἡ ΓΖΔ
τῇ 4E πρὸς ὀρϑάς ἔστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῇ BA
40 πρὸς ὀρθάς. ἡ ΓΖ ἄρα δύο εὐϑείαις τεμνούσαις ἀλ-
λήλας ταῖς 44 E, 48 ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ 4 τομῆς πρὺς
ὐὀρϑὰς ἐφέστηκεν' ὥστε ἡ ΓΖ καὶ τῷ διὰ τῶν AE,
48 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν AE,
248 ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν ἡ ΓΖ ἄρα τῷ
26 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐϑεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μέα
2. 4B] BA Ὁ. clot uz cop. F. 4. ἐστιν ἴση BY b.
7. ἑκατέρᾳ] supra scr. F. ra scr. m. 1 V
8. E414] B4 seq. ras. 1 litt. g. done] supra sor. m. 1 F.
9. ὀρθή — ABE] in ras. plurium litt 10. 44] 44A P.

11. 4B] in rae. V. — 12. ἐστι V, comp. Fb. 14. B.414]
P; 44, AB B; BA, AB b et in ras. FV. A4EP. 1ῦ.ἕὃ ΒΖ,

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 2d

el quoniam 4B — Z4 E, et Bzf communis est, duo
latera 4B, Bz1 duobus ΕΖ, 4B aequalia sunt; et
ἰιἰ 484 — EZB (uterque enim rectus est); itaque
44 — BE [I, 4]. et quonam 4B — ZE, et BE
— 4, duo latera 4 B, BE duobus EZ, 71.4 aequalia
sunt; et basis eorum communis est 44 E; itaque /, 4B E
— E44 [I, 8]. uerum [| ABE rectus est; itaque
eliam [ E214 recius est; ergo E41 ad 44 perpen-
dicularis est. uerum etiam ad 241B perpendicularis est.
EZ igitur etiam ad planum rectarum B, 7144 per-
pendieularis est [prop. IV]. quare etiam ad omnes
recias eam tangentes et in plano rectarum B4, 44
positas rectos angulos efficiet Ef. in plano autem
rectiarum B4, 41.4 posita est Z/T', quoniam 4B, B 4
in plano rectarum Bf, 24144 suni [prop. II], in quo
autem plano sunt 4B, B, in eodem etiam 2 Γ' po-
Sita est. itaque E71 ad Ζ Γ᾿ perpendicularis est; quare
eliam ΓΖ ad 4E perpendicularis est. uerum I'4
eliam ad B perpendicularis est. ΓΖ igitur ad duas
rectas inter se secantes ΖΕ, 41B in sectione 4) per-
pendieularis erecta est; quare I'z/ etiam ad planum
reclarum Z/E, 418 perpendicularis est [prop. IV].
uerum planum rectarum ΖΕ, Z1 B subiacens est. ita-
que I'Z/ ad planum subiacens perpendicularis est.
Ergo si duae rectae parallelae sunt, et alterutra
ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua

44 BFb, in ras. Υ. 17.4I] D4 b. 18. 4T] in ras.
m. 1 PV. 19. τῇ — ΓΔῚ bis P, corr. m. 1. x«t] om.
P. vj] καὶ τῇ P. Bd] 4B F. 20. ἀλλήλαις b,
corr. m. 1. 21. 4B] in ras. V. 22. ἡ] καὶ ἡ V.

28. 4B] 4E b. 24. ὑποκείμενόν ἐστιν} ἸῺ ras. V. 20.

ὦσιν PB.

cQ

10

15

20

28 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ἧ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

9'.

AL τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὐὖ-
σαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις
εἰσὶ παράλληλοι.

Ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν 48Β. ΓΖ τῇ ΕΖ παράλ-
ληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ᾽ λέγω, ὅτι
παράλληλός ἐστιν ἡ 48 τῇ ΓΖ.

Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ H,
καὶ ἀπ᾿’ αὐτοῦ τῇ EZ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν EZ, AB
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν
ΖΕ, ΓΖ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ ΗΚ. καὶ
ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν HO, HK ὀρϑή ἐστιν.
ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρθάς ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ AB παράλληλος"
καὶ ἡ 4B ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρ-
ϑάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῷ διὰ τῶν
OHK ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν᾽ ἑκατέρα ἄρα τῶν
AB, I'4 τῷ διὰ τῶν ΘΗ Κ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς
ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρϑὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἴ εὐθεῖαι" παράλληλος
ἄρα ἐστὶν ἡ 48 vij Lf: ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

Ld ἐστιν , p scr. j. ἃ. ἔσται] ἐστιν BF V.

6. εἰσέν 7. γάρ] y corr. ex x m. rec. B. παράλληλος τῇ
EZ V. παράλληλοι Β. 9. ΦΤΎ. 10. Post τυχόν ras. 2
litt. V. 12. 7] supra m. 1 P. 48. ΖΕ] in ras. V. |
HK) NK F,H post ins. V. 14. ἡ] af F. 15. ΗΘ] 6e

b supra scr. m. 1; litt. H postea ins. m. 1 BF. 16. ἐστι» -
comp. Fb, ἐστι PY. καί — 18. ἐστιν} mg. m. 2 B.

17. Qo] om. P. 19. ἑκατέρα — 31. ἐστιν} mg. m. 1 in ras.

ELEMENTORUM LIBER XI. 20

ad idem planum perpendicularis erit; quod erat de-
monstrandum.

ΙΧ.

Quae eidem rectae parallelae sunt, etiam 81 1ἢ eodem
plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt.

B Θ A Nam uiraque 4B, ΓΖ
reciae EZ parallela sit, non
positae in eodem plano. dico,
AB rectae ΓΖ, parallelam
esse.

sumatur enim in ΕΖ quoduis punctum H, et ab
eo ad rectam EZ perpendicularis ducatur in plano EZ,
A4 B rectarum HO, in plano autem Z E, I'z1 rectarum
ad EZ rursus perpendicularis ducatur H K. et quoniam
EZ ad utramque HO, HK perpendicularis est, EZ
eliam ad planum rectarum ΗΘ, H K perpendicularis
est [prop. IV]. et EZ rectae 4B parallela est. ita-
que etiam 4B ad planum rectarum ΘΗ, ΗΚ perpen-
dicularis est [prop. VIII]. eadem de causa etiam ΓΖ
ad planum rectarum 6 H, HK perpendicularis est;
quare utraque 4B, ΓΖ ad planum rectarum 0 H, HK
perpendicularis est. sin duae rectae ad idem planum
perpendiculares sunt, rectae parallelae sunt [prop. VI].
ergo 4B rectae ΓΖ parallela est; quod erat demon-
strandum.

P. 19. 4ox] supra F. 20. τῷ] corr. ex τῶν P. H6,
HK m. 2 ΒΥ. 22. ὦσι Vb. slow] ἔσονται V.
28. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. V.

ex

10

15

20

25

30 ZTOIXEION ια΄.

( [4

ε΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ
δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ 4B, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων
παρὰ δύο εὐθείας τὰς 4E, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων
ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ABI γωνία τῇ ὑπὸ 4ΕΖ.

᾿Δπειλήφϑωσαν γὰρ αἱ B.4, ΒΓ, Ε4, EZ ἴσαι
ἀλλήλαις, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 44, ΓΖ, ΒΕ, 4,
4Z. καὶ ἐπεὶ ἡ B4 τῇ EA ἴση ἐστὶ xol παράλλη-
Aog, καὶ ἡ 44 ἄρα τῇ BE ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παρ-
«AAgAog" ἑκατέρα ἄρα τῶν 44. ΓΖ τῇ BE ἴση ἐστὶ
καὶ παράλληλος. αἷ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι
καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις
εἰσὶ παράλληλοι" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 44 τῇ ΓΖ
καὶ ἴση. καὶ ἐπιξευγνύουσιν αὐτὰς αἵ 4Γ, AZ: καὶ
ἢ 4Γ ἄρα τῇ AZ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. καὶ ἐπεὶ
δύο aí 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς 4Ε, EZ ἴσαι εἰσίν, καὶ
βάσις ἡ 4Γ βάσει τῇ 42 ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ
48Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ AEZ ἐστιν ἴση.

"Eàv ἄρα δύο εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ
δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

^ 8. ὦσιν PB. 4. οὖσαι, ἴσας b. περιέξουσι Vb. b. αἴ
AB, ΒΤΓῚ om. BFV. BI'] postea ins. n. 1P. 6. αὖ AB, BI'
παρά BFV. "T. αὐτῷ] supra scr. F. 9. BA] in ras. m. 1 P.

EZ]litb.Z e corr. V. 11. ἐστίν B. 12. ἐστιν ἴση BFb.

14. ἑκατέρα — 16. παράλληλος] bis Ε΄, sed corr. m. 1; mg.
V. 16. καὶ μή — ἐπιπέδῳ] om. V. 171. παράλληλοι] supra

ΒΟΥ, m. 1 ΒΞ ἄρα] supra scr. m. 2 B. 18. «o/| (primum)
supra m. 1 V. 19. ἐστίν PB. 20. εἰσί Vb, comp. F.

ELEMENTORUM LIBER XI. 81

Χ,

Si duae reciae inter se tangentes duabus rectis
inter se tangentibus non positis in eodem plano par-
allelae sunt, angulos aequales comprehendent.

Nam duae rectae 4B, ΒΓ inter se tangentes duabus
rectis inter se tangentibus
4E, EZ non positis in
eodem plano parallelae sint.
dico, esse /. ABI — AEZ.

ponantur enim B.
— BI'-—E4-EZ, et
ducantur 44, ΓΖ, BE,
AT, 42Z. et quoniam B.4
reciae Ez/ aequalis et parallela est, etiam 4471 rectae
BE aequalis et parallela est [I, 32]. eadem de causa
etiam ΓΖ rectae B E aequalis et parallela est. itaque
utraque 4471, ΓΖ rectae B E aequalis et parallela est.
quae autem eidem rectae parallelae sunt, etiam si in
eodem plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt
[prop. IX]. itaque 4.4 rectae ΓΖ parallela est et
aequalis. et eas iungunt 4Γ,, 4/Z; quare etiam ΑΓ
rectae 42 aequalis et parallela est [I, 33]. et quoniam
duo latera 4B, BI' duobus 4E, EZ aequales sunt,
et 4Γ — 4Z, erit ἰ ABI' — AEZ [I, 8].

Ergo si duae rectae inter se tangentes duabus
rectis inter se langentibus non positis in eodem plano
parallelae sunt, angulos aequales comprehendent; quod
erat demonstrandum.

22. ὑπό] om. V. 23. ἁπτόμεναι — 90. δεῖξαι] καὶ τὰ ἑξῆς
V. 84, ὦσι (ὦσιν F) παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων
BFb. ὦσιν P

10

15

20

25

39 ZTOIXEISN ια΄.

,

Lt.

"4zxó τοῦ δοϑέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ
τὸ δοϑὲν ἐπίπεδον κάϑετον εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.

Ἔστω τὸ μὲν δοϑὲν σημεῖον μετέωρον τὸ 4, τὸ
δὲ δοϑὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον᾽ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ
ΑΙ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετου εὐ-
ϑεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Διήχϑω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐϑεῖα,
ὡς ἔτυχεν, ἡ BI, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἐπὶ
τὴν ΒΓ κάθετος ἡ 44. εἰ μὲν οὖν ἡ 44 κάϑετός
ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ rd ἐπέπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη
τὸ ἐπιταχϑέν. εἰ δὲ ov, ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 σημείου
τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς 7) 4Ε,
καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν AE κάϑετος ἡ AZ,
καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ ΗΘ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν 244, 4E πρὸς ὀρ-
ϑάς ἐστιν, ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΖ Α ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ
ΗΘ' ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία
αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς T, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ
διὰ τῶν Ez, 44 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. καὶ
πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ
οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, 44 ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν
ἡ ΗΘ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ 42 οὖσα ἐν τῷ διὰ

2. μετέωρον qo (non EF), μετεωροτέρου b. 8. δοϑέν] P,
ὑποκείμενον BF Vb, P mg. m. 1. 9. γάρ] om. V. εὐθεῖα]
postea ins. F. 10. ΓΒ F. 19. ἐστε καί] ἐστιν e corr. m.
2 F. émí]om.b. γεγονός] eras. V. 18. τό] supra scr.
F. δέ] supra acr. V. 17. ἐπί φ.

ELEMENTORUM LIBER XI. . 99

XI.

A dato puncto eleuato ad datum planum perpen-
dieularem lineam rectam ducere.

Nam datum punctum eleuatum sit 4, οὗ datum
planum sit, quod subiacet. oportet igitur à puncto 4
ad planum subiacens rectam lineam
perpendicularem ducere.

ducatur enim in plano subia-
centi recta quaelibet BI, et ab
44 puncto ad BI' perpendicularis
ducatur 421 [I, 12]. iam si 44
eliam ad planum subiacens per-
pendicularis est, faetum est, quod propositum erat.
sin minus, à 4΄ puncto in plano subiacenti ad rectam
BI' perpendieularis dueatur ΖΕ [I, 11], et ab 4 ad
4 E perpendicularis ducatur 4Z [I, 12], et per Z
punetum rectae BI' parallela ducatur ΗΘ [1], 31].

el quoniam BI'ad utramque 4.4, 4 Ε perpen-
dicularis est, etiam ad planum rectarum Ez, 244
perpendicularis est BI' [prop. IV]. et ei parallela est
HO. sin duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad
planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad
idem planum perpendicularis est [ptop. VIII]; itaque
eliam HO ad planum rectarumn Ez, 7144 perpendicu-
laris esi. quare eliam ad omnes rectas eam tangentes
οὐ in plano reciarum Ez, 71.4 positas perpendicu-
laris est HO [def. 3]. uerum A4Z eam tangit in plano

21—924 nonnulla in F euan. 23. ἐστιν] comp. Fb, ἐστι P,
ἔσται V. 26. 4.4] 4, ut uidetur, e corr. F. 26. ΘΗ B.
ἐν τῷ] sustulit reparatio in F

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 8

10

15

20

25

24. ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

τῶν ΕΖ, 44 ἐπιπέδῳ ἡ ΗΘ ἄρα ὀρϑή ἐστι πρὸς
τὴν Z.: ὥστε καὶ ἡ Z4 ὀρϑή ἐστι πρὸς τὴν OH.
ἔστι δὲ ἡ AZ καὶ πρὸς τὴν 4E ὀρϑή᾽ ἡ AZ ἄρα
πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, 4E ὀρϑή ἐστιν. ἐὰν δὲ
εὐθεῖα δυσὶν εὐϑείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς vo-
μῆς πρὸς ὀρϑὰς ἐπισταϑῇ, καὶ τῷ δι᾿ αὐτῶν ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ἔσται ἡ Ζ.4 ἄρα τῷ διὰ τῶν Ε4, ΗΘ
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ, HO
ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον᾽ ἡ AZ ἄρα τῷ ὑποκει-
μένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.

᾿4πὸ τοῦ ἄρα δοϑέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α͂
ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετος εὐϑεῖα γραμμὴ
ἦκται ἡ AZ: ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

ιβ.

Τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ
δοϑέντος δημείου πρὸς ὀρϑὰς εὐϑεῖαν γραμ-
υὴν ἀναστῆσαι. |

Ἔστω τὸ μὲν δοϑὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὲ
δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ 4 δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ 4 ση-.
μείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς εὐϑεῖαν
γραμμὴν ἀναστῆσαι.

Νενοήσθϑω τι σημεῖον μετέωρον τὸ B, καὶ ἀπὸ
τοῦ B ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάϑετος ἤχϑω 7
ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ 44 σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω
ἡ 44.

et b, sed corr. m. 1. 8. ἔστι — καί] sustulit reparatio in F.
7] (prius) καὶ ἡ V. τήν] m. 2 F. 4442] (6}}.) 6 corr. m.
2 F, seq. ras. 1 litt. ἄρα καί F. 5. εὐθείας] εὐθεῖαι φ.
τεμνούσαις] Pb, F mg.; ἁπτομέναις BF V, b mg. ἀλλήλας] -ας
in ras m, 1 b, ἀλλήλων BF V. 6. δι᾽] om. g. 8. ἐστιν] comp.

1. ἐστιν PV. 2. ἐστιν φ. p OK 9, HO B, ZHP,

ELEMENTORUM LIBER XI. 35

rectarum Ez, 71.4 posita. itaque ΗΘ ad Z4 per-
pendieularis est; quare etiam Z.4 ad H9 perpendicu-
laris esl. uerum AZ etiam ad Z/E perpendicularis
est. 42 igilur ad utramque ΗΘ, 7 E perpendicularis
est. sin recta ad duas rectas inter se secantes in
seciione perpendicularis erigitur, etiam ad planum
earum perpendicularis erit [prop. IV]. itaque Z.4 ad
planum reciarum Εἰ 2. H6 perpendicularis est. uerum
planum rectarum Ezf, H6 subiacens est. ilaque A4Z
ad planum subiacens perpendicularis est.

Ergo a dato puncto eleuato .4 ad planum sub-
jacens perpendicularis ducta est recta linea 42; quod
oportebat fieri.

XII.
Ád datum planum a puncto in eo dato rectam
A Ir lineam perpendicularem erigere.

Sit datum planum, quod subia
cet, οὖ punctum in eo datum sit 4.
oportet igitur, ab 44 puncto ad pla-
num subiacens perpendicularem rec-
iam lineam erigere. .
supponatur eleuatum aliquod punctum B, et a B
ad planum subiacens perpendicularis ducatur BI'[prop.
XI], et per 4 punctum rectae BI' parallela ducatur 44.

Fb, iow PBV. 9. ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον) ἐπιπέδων
πρὸς ὀρϑάς ἐστινῳ 2Ζ4Ὁ. 10. ἔσται V. 11. ἄρα] om. F.

δοθέντος ἄρα. 18. ἡ AZ]om.F b; add. m. 2 B. ποιῆσαι] δεῖ-
ξαι P. — 1b. ἑαυτῷ P, sed corr. 16. δοϑέντι σημεῖον q (non
F) Post γραμμήν del ἀγαγεῖν m. 1 b. 19. αὐτό V, et P,
sed corr. Post prius 4 ras. 1 litt. F. — 92. μετέωρόν τι ση-
μεῖον P. 28. κάθετος) comp. in ras. F. 24. τῇ BI') om. b.

g*

ῦ

10

15

20

25

36 ZTOIXEIQN ια΄.

Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ 441.
ΓΒ, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ 44 τῷ ὑπο-
κειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.

Τῷ ἄρα δοϑέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ dq-
μείου τοῦ 4 πρὸς ὀρϑὰς ἀνέσταται ἡ 41: ὅπερ ἔδει
ποιῆσαι. '

ιγ΄.

"zó τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρϑὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α
τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐϑεῖαι αἱ 4B, 4Γ πρὸς
ὀρϑὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχϑω τὸ
διὰ τῶν ΒΑ, 4Γ ἐπίπεδον" τομὴν δὴ ποιήσει διὰ
τοῦ 4 ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω
τὴν 44Ε' αἱ ἄρα AB, AT, 4AE εὐϑεῖαι ἐν ἕνί
εἰσιν ἐπιπέδῳ καὶ ἐπεὶ ἡ D'4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς
ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας. ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ
44AE οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ἄρα ὑπὸ
ΓΔΕ γωνία ὀρϑή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ
BAE ὀρϑή ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ L'AE τῇ ὑπὸ BAE.
καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ

1. εἰσιν αἴ] om. g (non F). 3. ἐστι ΕΥ̓͂, comp. b.
4: ἐστι BV, comp. Fb. — 6. ἀπό — 1. ποιῆσαι] καὶ τὰ ἑξῆς V.
b. αὐτό b. 6Ὑ. τοῦ — ἀνέσταται] euan. . 7. ποιῆσαι]
δεῖξαι P. 9. ἀπό --- ἐπιπέδῳ] PBFV, b mg. m. 1 (yo);
in textu b: τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου,
et idem in mg. habuit F, sed uestigia sola restant. 10. d»a-

ELEMENTORUM LIBER XI. 91

iam quoniam duae rectae parallelae sunt 44,
ΓΒ. ei altera earum BI' ad planum subiacens per-
pendieularis est, etiam reliqua 4271 ad planum sub-
iacens perpendicularis est [prop. VIII].

Ergo ad datum planum a puncto in eo dato 4
perpendicularis erecta est 427; quod oportebat fieri.

XIII.

Àb eodem puncto ad idem planum duae rectae
perpendiculares ad easdem partes erigi non possunt.

Nam si fieri potest, ab eodem puncto 4 ad planum
subiacens duae rectae 4B, ΑΓ perpendiculares eri-
gantur ad easdem partes, et ducatur per B.4, AT
planum. sectionem igitur in plano subiacenti rectam
efficiet per 44 punctum [prop. III]. efficiat Z/.4 E. ita-
que 4B, AI, 4. reciae in eodem plano positae

B r sunt. et quoniam I'4 ad planum
| subiacens perpendicularis est, etiam
4 ad omnes rectas eam tangentes et in

M }} plano subiacenti positas rectos angu-

/ los efficiet [def. 3]. tangit autem

E eam Z4E in plano subiacenti po-
Sita. itaque / I'/4 E rectus est. eadem de causa etiam
L B.AE xecius est. quare I4 E — B.4 E; et in eodem
plano positi sunt; quod fieri non potest.

Ergo ab eodem puncto ad idem planum perpen-
σταϑήσονται b. 18. oí] ins. m. 1 F. 15. B4] B e corr.
V. 16. εὐθεῖαν) om. V. ποιείτω] -ro supra add. m. 2 B.
17. Supra τήν add. εὖθ. V. — A4AE] corr. ex 44 m. 92 V.
Z4A4E]corr.ex ZE m. 1b. 19. ἐστε BV, comp. Fb. 28. DA E] seq.
ras. !/ lin. V. ἐστι PV, comp. Fb. 26. ἑνί] P, τῷ ἐν BFV;

τῷ αὐτῷ b, mg. yg. ἐν ἑνὶ imín.; αὐτῷ mg. F., in quo τῷ in
ras. est. 26. τῶν αὐτῶν gy (non F).

38 ZTOIXEISN ια΄.

δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρϑὰς ἀνασταϑήσονται ἐπὶ và αὐτὰ
μέρη" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ιδ΄.
Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρϑή ἐστιν,

ὅ παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.

Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ AB πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ,
ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι παράλληλά
ἔστι τὰ ἐπίπεδα.

Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται. συμ-

10 πιπτέτωδαν᾽ ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐϑεῖαν.

ποιείτωσαν τὴν HO, καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς HO τυ-
χὸν σημεῖον τὸ K, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν α AK, ΒΚ.
καὶ ἐπεὶ ἣ AB ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ
πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐϑεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβλη-

15 ϑέντι ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ AB: ἡ ἄρα ὑπὸ ABK

20

γωνία ὀρϑή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ BAK
ὀρϑή ἐστιν. τριγώνου δὴ τοῦ ABK αἴ δύο γωνίαι
αἱ ὑπὸ ABK, ΒΑΚ δυσὶν ὀρϑαῖς εἰσιν ἴσαι" ὅπερ
ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΖ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλ-
λόμενα συμπεσοῦνται" παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΖΔ.
ΕΖ ἐπίπεδα.

Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ. εὐθεῖα ὀρϑή ἐστιν,
παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1. ἀναστήσονται V. 4. ἐστι PBV, comp. Fb. ὅ. Fora]
P, ἐστι BFVb. ἐπίπεδα] αὐτὰ μέρη g. 6. D] in ras. V.

1. EZ] Z E b. 12. BK] corr. ex KB m. 2 V; KBB;
K" Β΄ Ὁ. 18. καί (alt.) supra scr. comp. m. 1 b. 16. ἐστι
BV, comp. Fb; item lin. 17. 17. ABK] corr. ex 4B F.
αἴ] om. V. 18. εἰσιν} supra m. 1 P. ἴσαι εἰσίν V. |
20. ἐστῇ comp. F.; εἰσέν in ras. m. 1 P. 22. Δ] om. 9
(non F) ἐστι B, et corr. in ἐστιν V, comp. Fb. — 923. £zt-
πεδα] v in ras. m. 1 P. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. V.

ELEMENTORUM LIBER XI. 39

diculares duae rectae ad easdem partes erigi non pos- .
sunt; quod erat demonstrandum.

XIV.

Ad quae plana eadem recta perpendicularis est,
ea parallela erunt.
Recta enim 4B ad utrumque planum ΓΖ, EZ per-
pendieularis sit. dico, plana parallela esse.
nam si minus, producta coneurrent. concurrant;
communem igitur sectionem rectam facient [prop. III].
faciant HO, el in HO punctum quodlibet sumatur Καὶ,
eb ducantur 4K, BK. et quoniam 4B perpendicu-
laris est ad. planum EZ, eliam ad rectam BK in
n AH;plano EZ producto
[5 4 ———— positam perpendicu-
2 K laris est 48. ergo
| Ζ L 4ΒΙΚ rectus est
/ g-7 E [def. 3]. eadem de
E causa eliam ( B.4K
recius est. trianguli igitur 4BK duo anguli 4BK
-- B.4 K duobus rectis aequales sunt; quod fieri non
potest [I, 17]. itaque plana ΓΖ, EZ non concurrent
producta. ergo plana ΓΖ. EZ parallela sunt [def. 8].
Ergo ad quae plana eadem recta perpendicularis
est, ea parallela sunt; quod erat demonstrandum.

σι

10

15

20

26

40 ZTOIXEIQ9N ια΄.

ιε΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ
δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τα δι᾽
αὐτῶν ἐπίπεδα.

Zio γὰρ εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων a( AB, ΒΓ
παρὰ δύο. εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς 4Ε, ΕΖ
ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι" λέγω, ὅτι ἐκ-
βαλλόμενα τὰ διὰ τῶν 48, BI, 4Ε. ΕΖ ἐπίπεδα
οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.

Ἤχϑω γὰρ ἀπὸ τοῦ B σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν
4E, ΕΖ ἐπίπεδον κάϑετος ἡ BH καὶ συμβαλλέτω
τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ
μὲν Ε4 παράλληλος ἤχϑω ἡ HO, τῇ δὲ ΕΖ ἡ HK.
καὶ ἐπεὶ ἡ BH ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν 4Ε, ΕΖ
ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς
εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν 4E, ΕΖ ἐπιπέδῳ
ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα
τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν AE, ΕΖ ἐπιπέδῳ"
ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, BHK γω-
νιῶν. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ͂ τῇ HO, al
ἄρα ὑπὸ ΗΒ4, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ BHO: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒ 4’
ἡ ΗΒ ἄρα τῇ B4 πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ $ HB καὶ τῇ ΒΓ ἐστι προς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν
εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐϑείαις ταῖς ΒΑ͂, ΒΓ τεμνού-

8. Ante ὦσι τα8. B litt, V; ὦσιν ΒΞ 4. ἐστιν P. 6. Β ΓῚ corr.

ex l'B V; ΓΒΒ. 10. συμ- inras. V. συμπεσοῦνται b, corr.
m.1. 11. Β]7 6 cor.m. 1b. 18. τοῦ H] vov H σημείου b,

σημείου add. m. 2 F. 16. ἐστιν PV, comp. F. 16. αὐτῆ]

om. p. 17. διὰ τῶν] om. P. 19. τῶν ΗΘ — 30. ἑκατέρα
mg. m. 1 V. 20. ἐστώ}] om. V. | BHO] Θ in ras. V.

ELEMENTORUM LIBER XI. 41
XV.

Si duae rectae inter se tangentes duabus rectis
inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem
plano positae, plana earum inter se parallela sunt.

Nam duae rectae inter se tangentes 4B, BI' duabus
reclis inter se tangentibus 4, EZ parallelae sint
non in eodem plano positae. dico, plana rectarum
48. ΒΓ et 4 E, EZ producta inter se non concurrere.

ducatur enim & B puncto ad planum rectarum
4 E, EZ perpendicularis BH [prop. XI] et cum plano
in H puncto concurrat, et per H rectae E71 parallela
-ducatur H6, rectae autem EZ
parallela H K. et quoniam BH
ad planum rectarum ΖΕ, EZ
perpendicularis est, etiam ad
omnes rectas eam tangentes et
in plano rectarum ΖΕ. EZ po-
sitas rectos angulos efficiet (def.
3]. uerum utraque HO, H K eam
langit in plano rectarum ΖΕ,
EZ posita. itaque uterque angu-
lus BHO, BHK rectus est. et quoniam B 4 rectae H9
parallela est [prop. IX], anguli ΗΒ. - BHO duobus
rectis aequales sunt [I, 29]. uerum /| BHO rectus
est; itaque eliam ( HB.4 rectus. HB igitur ad B A4
perpendicularis est. eadem de causa HB etiam ad
BI' perpendicularis est. iam quoniam recta HB ad
duas rectas inter se secantes B4, BI perpendicularis

22. HB] H ins. V. 28. ἡ] (&1t.) supra ser δ Ἢ 925. H B]
in ras. V, BH Bb. καί in ras. V. HB] P, BH
BF Vb. εὐθείαις] ὀρθαῖς B, supra scr. ed elis m. 3.

σι

10

1ὅ

20

42 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

σαις ἀλλήλας πρὸς ὀρϑὰς ἐφέστηκεν, ἡ HB ἄρα καὶ
τῷ διὰ τῶν B4, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.
[διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΒΗ καὶ τῷ διὰ τῶν Η͂Θ, ΗΚ
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν HO, HK
ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν 4Ε, EZ: ἡ BH ἄρα τῷ
διὰ τῶν 4Ε, ΕΖ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρϑάς. ἐδείχϑη
δὲ ἡ ΗΒ καὶ τῷ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρϑάς]. πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρϑή
ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα" παράλληλον ἄρα ἐστὶ
τὸ διὰ τῶν 48, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν AE, EZ.

᾽Εὰν ἄρα δύο εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο
εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι-
πέδῳ, παράλληλά ἔστι τὰ δι᾽ αὐτῶν ἐπίπεδα᾽ ὕπερ
ἔδει δεῖξαι.

,

5.

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου
τινὸς τέμνηται, αἴ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλ-
ληλοί εὐδσιν.

Zio γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ 48, Γ4 ὑπὸ ἐπι-
πέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσϑω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ
ἔστωσαν αἱ EZ, HO" λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ
ΕΖ τῇ ΗΘ.

Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ EZ, HO ἥτοι ἐπὶ

9. ἐστι ΒΥ͂φ, comp. b. 8. διὰ τά --- 8. ὀρθας] mg. m.
2 B, punctis del. m. 2 V. 4. ἐστι BV, comp. Fb. ὅ. pm
P. PostEZ del ἐπέ m. 1P. 1. BP] ΑΓ BV. — Ad lin. 8
—8 mg. b m. 1: yo. ἔστι δὲ καὶ τῷ διὰ τῶν 4E, EZ ἐπιπέδῳ
ὀρϑή᾽ ἡ BH ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν διὰ τῶν ABI, 4 EZ ἐπι-
πέδων ὀρθή ἐστι; idem in textu BV (τῷ corr. ex vo, I'in ras.
V; ἐστιν B), mg. m. 1 F. 9. ἐστι BV, comp. Fb. ᾿ 12. ὦσιν
B. ἐπιπέδῳ οὖσαι B. 18. ἐστι rd] τά seq. lac. φ. ὅπερ
ἔδει δεῖξαι) om. V. 17. παράλληλοι) ἔστωσαν qp. 18. εἰσι

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 43

erecta est, HB etiam ad planum rectarum B 4, ΒΓ
perpendicularis est [prop. IV].") ad quae autem plana
eadem recta perpendicularis est, ea parallela sunt
[prop. XIV]. itaque planum rectarum 4B, BI' paral-
lelum est plano rectiarum ΖΕ, EZ.

Ergo 81 duae rectae inter se tangentes duabus
rectis inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem
plano positae, plana earum parallela sunt; quod erat
demonstrandum.

XVI.

Si duo plana parallela plano aliquo secantur, com-
munes eorum sectiones parallelae sunt.

Nam duoplana
parallela 4B, ΓΖ
plano ΕΖΗΘ se-
centur, commu-
nes autem eorum
sectiones sint EZ,
ΗΘ. dico, EZ
rectae ΗΘ paral-
lelam esse.
nam si minus, EZ, HO productae concurrent aut

I

1) Uerba διὰ τά lin. 8 — ρϑάς lin. 8 ab Euclide pro-
fecta esse nequeunt, quippe quae per ambages demonstrent,
BH ad planum rectarum 4E, EZ perpendicularem esse, id
quod e praeparatione patet (p. 40, 11), ad quam Euclides
lacite respicit contra morem suum. inde factum est, ut uerba
illa interpolarentur et id quidem iam ante Theonem. scriptura
codicis B per se bona sine dubio e coniectura satis recenti
oria est.

Vb, comp. F. 19. l4", 48’ F. 20. τετμήσθω b, corr.
m. 1. 28. αἴ] συμπεσοῦνται αἴ V.

Qx

10

15

20

25

44 ZTOIXEION ια΄.

τὰ Z, O μέρη ἢ ἐπὶ và E, H συμπεσοῦνται. éxfe-
βλήσϑωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Z, Θ μέρη xal συμπιπτέτωσαν
πρότερον κατὰ τὸ K. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ AB
ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς EZK ση-
μεῖα ἐν τῷ AB ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἕν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς
EZK εὐϑείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ' τὸ Καὶ ἄρα ἐν τῷ
AB ἐστιν ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ K καὶ ἐν
τῷ ΓΖ ἐστιν ἐπιπέδῳ" τὰ 48, ΓΖ ἄρα ἐπίπεδα ἐκ-
βαλλόμενα συμπεσοῦνται. οὐ συμπίπτουσι ὃὲ διὰ τὸ
παράλληλα ὑποκεῖσθαι" οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐϑεῖαι
ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ χὰ Z, Θ μέρη συμπεσοῦνται. ὁμοίως
δὴ δείξομεν, ὅτι α ΕΖ, ΗΘ εὐϑεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ E,
Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. αἵ δὲ ἐπὶ μηὸδ-
ἕτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν. παρ-
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ EZ τῇ ΗΘ.

Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου
τινὸς τέμνηται, oí κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοι
εἰσιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

.

Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπε-
δων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμη-
ϑήσονται.

Zo γὰρ εὐθεῖαι αἱ 48, ΓΖ ὑπὸ παραλλήλων
ἐπιπέδων τῶν HO, K 4, MN τεμνέσϑωσαν κατὰ τὰ
4, E, B, Γ, Ζ, 4 σημεῖα" λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ AE
εὐθεῖα πρὸς τὴν ἘΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Z4.

1. τα] (alt.) supra ser. m. 2 B. συμπεσοῦνται) om. V.
ἐκβεβλήσθω in ras. 2. ὡς] P, F m. 1; πρότερον ὡς BV b,
m. 9. 8. πρότερο» om. BFV. Post καί spatium 6 litt.
τες, φ. τῷ 48] éví b, mg. yo. ἐν τῷ 4B ἐστιν. 4. ἐπιπέδω

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ, 45

ad Z, Θ partes aut ad E, H. producantur ad Z, 9
partes et prius concurrant in K. et quoniam EZK
in plano 4B posita est, eliam omnia rectae EZK
puncta in plano 4B posita sunt [prop. I]. ex punctis
autem rectae EZK unum est K. itaque K in plano
A B positum est. eadem de causa K etiam in plano
I'4 positum est. quare plana 48, ΓΖ producta con-
current. uerum non concurrunt, quia parallela esse
supponuntur. itaque rectae EZ, ΗΘ productae ad
Z, O partes non concurrent. iam similiter demon-
strabimus, rectas EZ, HO ne ad E, H quidem partes
productas concurrere. quae autem ad neutras partes
concurrunt, parallelae sunt. itaque EZ rectae HO
parallela est.

Ergo 81 duo plana parallela plano aliquo secantur,
communes eorum secliones parallelae sunt; quod erat
demonstrandum.

XVII.

Si duae rectae planis parallelis secantur, secundum
eandem rationem secabuntur.

Nam duae rectae 4B, I'41 planis parallelis H6,
ΚΑ, MN in punctis 4, E, B et I', Z, 44 secentur.
dico, esse 4E: EB — ΓΖ: Ζ4Ζ.

ἐστίν F. καί — ὅ. ἐπιπέδῳ] mg. F (euan.). 5. ἐπιπέδῳ
ἐστίν BV, F?; ἐπιπέδῳ εἰσίν b. τῶν] τῷ B, et V, sed corr.
m. rec. 6. σημείῳ By, et V (corr. m. rec); σημεῖον b
12. af] καὶ αὖ BV. οὐδ᾽ P. 18. μέρη] supra scr. m. 1 F.
ἐκβαλλόμεναι οὐ b. ἐπί] ἐπὶ τάνῳ. 14. τα] om. BV.
εἰσι Vb, comp. F. 116. ἡ] post ins. V. τῇ] om. b.
16. παράλληλα — 18. δεῖξαι]: co V. 11. τέτμηται B.— 21. τέ-
ὠνονται P, corr. m. 1. 84. τεμνέτωσαν b. 25. 4] insert.
postea V. B]in ras V. 4,ZB. 246. 247 ὁ corr. V,
in ras. m. 1 P; ZZ B.

10

15

46 - ETOIXEION ια΄.

᾿Ἐπεζξζεύχϑωσαν γὰρ αἱ ADI, Β4, 44, xol δυμ-
βαλλέτω y 44 τῷ ΚΑ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ X σημεῖον,
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ES, EZ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα
παράλληλα τὰ ΚΑ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΖΞ
τέμνεται. αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΠ, Β4 παράλ-
ληλοί εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παρ-
ἄλληλα và HO, ΚΑ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ANEZI τέ-
μνεται, αἷ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ AT, ΞΖ παράλληλοί
εἶσιν. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ 484 παρὰ μίαν τῶν
πλευρῶν τὴν B. εὐθεῖα ἤκται ἡ EH, ἀνάλογον ἄρα
ἐστὶν ὡς ἡ AE πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ 413 πρὸς A4.
πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ 44Γ παρὰ μίαν τῶν πλευ-
ρῶν τὴν 4Γ εὐθεῖα ἧκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς
ἡ ΑΞ πρὸς EZ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Z2. ἐδείχϑη
δὲ καὶ ὡς ἡ AA πρὸς E, οὕτως ἡ 4E πρὸς EB:
καὶ ὡς ἄρα ἡ 4 πρὸς EB, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Z4.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐϑεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων
τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηϑήσονται" ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

2. τῷ τόφ. 8. EZ] X" Z' Ὁ. ἐπέπεδοιφ. 4. παρ-
ἀλληλα] — οἱ g. ἘΒ4ΞῚ Ain ras. V, corr. ex Z m. 1 F.
6. ES, B4] in ras. V, & eras. B; EZ, Bab. 6. εἶσι
Vb, comp. F. διά — 9. εἰσιν} mg. v. 7. ἐπιπέδου τοῦ]
corr. ex ἐπιπέδου P. m. 2. 4512] Καὶ Ἔ in ras. V. 8. ἐπ Ζ)
corr. ex Z m. 2 B. — 9. εἰσι Ὁ, com ue g. 10. τήν
τῇ b. εὐθεῖαν B, sed eorr. i drus] om τὴν EB
19.44" I'b. 18. τήν rà» Φ (non P) εὐθείαν B, sed corr.
ἐστιν] ἄρα F V. 14. τὴν R4BF. — DZ]Zin ras. m. rec. V.
τὴν Z4 BFVb. ἐδεέχϑη —15. EB] mg. m. 2 B. — 15. τὴν
5&4 FVb. τὴν EB V. 16. καὶ ὡς ρα] ἔστιν ἄρα καὶ
dg b, & in spatio plur. litt. g. AE] 4 in ras. m. 2
τὴν EB BFb. τὴν Z4 B. 17. ὑπό — 19. δεῖξαι} xal τὰ
ἑξῆς Υ. 18. τέμνωνται, εἰς} στερεῶν seq. lac. φ. τμή-
σονται B, corr. m. 9.

ELEMENTORUM LIBER XI. 41

ducantur enim AT', B, 421, et 4.2] cum plano
K.A concurrat in puncto A, et ducantur EX, XZ. et
quoniam duo plana parallela K 44, MN plano EB
secantur, communes eorum sectiones ΕΗ, B1 paral-
lelae sunt [prop. XVI] eadem de causa, quoniam

duo plana parallela ΗΘ, K 4 plano 4,32Γ secantur,
communes eorum sectiones 4Γ, ΑΖ parallelae sunt.
et quoniam in triangulo 4B 4 uni laterum B 7 paral-
lela ducta est recta EX, ert 4E: EB — 45: R4
[VI, 2]. rursus quoniam in iriangulo 44 /I' uni late-
rum ΑΓ parallela ducta est recta ,$Z, erit. 4,8: Κὶ Δ
— ΓΖ: Ζ4,.. sed demonstratum est, esse etiam 4X : X zl
-- ΔΕ: ΕΒ. quare eliam 4E: EB -- ΓΖ: Ζ4.

Ergo si duae rectae planis parallelis secantur, se-
cundum eandem rationem secabuntur; quod erat de-
monsirandum.

1

1

2

2

cQ

0

6

0

σι

48 ZTOIXEIQSN ια΄.

u) .

Ἐὰν εὐϑεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρϑὰς ἧἦ, καὶ
πάντα τὰ δι᾽ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ AB τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ἔστω" λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς
AB ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν.

Ἐχβεβλήσϑω γὰρ διὰ τῆς AB ἐπίπεδον τὸ AE,
καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ 4 E ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑπο-
κειμένου ἡ ΓΕ. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν ση-
μεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω
ἐν τῷ 4Ε ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ 4B πρὸς τὸ
ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρϑή ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα
τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑπο-
κειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν ἡ 418 ὥστε καὶ πρὸς
τὴν ΓΕ ὀρϑή ἐστιν ἡ ἄρα ὑπὸ ABZ γωνία ὀρϑή
ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ HZB ὀρϑή᾽ παράλληλος
ἄρα ἐστὴν q AB τῇ ΖΗ. ἡ δὲ AB τῷ ὑποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν᾽ καὶ ἡ ZH ἄρα τῷ ὑπο-
κειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. ΄ καὶ ἐπίπεδον
πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστιν, ὅταν αἵ τῇ κοινῇ τομῇ
τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ
τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ὦσιν.
καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν
ἐπιπέδων τῷ 4E πρὸς ὀρϑὰς ἀχϑεῖσα ἡ ZH ἐδείχϑη

4. ἔσται} corr. ex ἐστιν V. 6. εὐθεῖα --- 1. ἐστιν} mg.
m. 1 V. 6. τῆς] om. φ (non F). 18. ἐστι PBF V, comp.
b. 14. οὖσα P. 16. ἐστ V. γωνίαν qg. 11. HZB] in
ras. V. 18. ἐστίν) om. V. τῷ] τῷ αὐτῷ F. 19. ἐστι B.

καὶ ἡ — 20. ἐστιν} om. b, mg. V. 19. ΗΖΡ. 20. ἐστι
PBV, comp. F. καί] καὶ ἐπεί BV. 21. πρὸς ἐπίπεδον]
Bupra m. 2 V. 238. ἐπιπέδῳ] τῶν ἐπιπέδων V. ὦσι V b.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 49

XVIII.

Si recta ad planum aliquod perpendicularis est,
eliam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad idem
planum perpendicularia erunt.

Nam recta 4B ad planum subiacens perpendicu-
laris sit. dico, etiam omnia plana, quae per 4B du-
cantur, ad planum subiacens perpendicularia esse.

ducatur enim per 4B planum ΖΕ, et communis
sectio plani ΖΕ et subiacentis sit ΓΕ, et in ΓΕ
sumatur punctum aliquod Z, et ab Z ad ΓΕ perpen-

4 H A dicularis in plano ZE ducatur Z H.
et quoniam 418 ad planum sub-
iacens perpendicularis est, etiam ad
omnes reclas eam tangentes et in
plano subiacenti positas perpendicu-
laris est 4B [def. 3]. quare etiam
ad ΓΕ perpendicularis est. itaque ( 4 BZ rectus est.
uerum etiam ( HZ B rectus est. itaque 4B rectae
ZH parallela est [I, 28]. 4B autem ad planum sub-
jacens perpendicularis est. itaque etiam HZ ad pla-
num subiacens perpendicularis est [prop. VIII] οἱ
planum ad planum perpendiculare est, si rectae in
altero plano ad communem: planorum sectionem per-
pendieulares ductae ad reliquum planum perpendicu-
lares sunt [def. 4]. et demonstratum est, ZH in altero
plano Z1 E ad communem planorum sectionem ΓΕ per-
pendicularem ductam ad planum subiacens perpen-

XVIII. Eutocius in Apollon. p. 28.

24. τῶν ἐπιπέδων τομῇ b. τομῇ) τομῇ ἄρα g. τῇ]
-ῇ e corr. V
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 4

LL a — LOB aoa. OL

10

15

20

50 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ i«'.

τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς" τὸ ἄρα ΖΕ ἐπί-
πεδον ὀρϑόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον. ὁμοίως δὴ
δειχϑήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς AB ἐπίπεδα ὀρϑὰ
τυγχανοντὰ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.

᾿ΕἘὰν ἄρα εὐϑεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς f, καὶ
πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

9΄.

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ
τινὶ πρὸς ὀρθὰς q, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται.

Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ AB, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπι-
πέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ
Bat λέγω, ὅτι ἡ Β4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρϑάς ἐστιν.

Μὴ γάρ, καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἐν μὲν
τῷ AB ἐπιπέδῳ τῇ 44 εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ AE,
ἐν δὲ τῷ ΒΙΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΩ͂ πρὸς ὀρϑὰς ἡ 4Z.
καὶ ἐπεὶ τὸ 41 ἐπίπεδον ὀρϑόν ἐστι πρὸς τὸ ὑπο-
κείμενον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ 44 πρὸς Óg-
ϑὰς ἐν τῷ AB ἐπιπέδῳ ἧκται ἡ AE, ἡ AE ἄρα
ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ὁμοίως δὴ

2. ἐστιν P. Post ὑποκείμενον add. ἐπίπεδον b et mg.
m. rec. V. 6. καί — 71, δεῖξαι): c V. 6. τὰ δι᾽ αὐτῆς
ἐπι- euan. F. 9. τέμνοντα] στερξοντα q (non F) ἐπιπέδῳ
τινί] om. F, sed uidetur fuisse in mg. 10. τομῇ] in ras. m.
1 P. 12, τῷ] bis P; corr. m. 1. 16. ἐστι BV, comp. Εἰ.
16. ἀπό] ὑπὸ P. 17. τῇ] e corr. b. πρός] om.

g.
4E) 4 e corr. V. 18. δὲ] om. P. ΓΖ) 4Γ b. 42]2.

in ras. V. 19. ἐστι] om. q (non F). 20. xat] ἐπίπεδον,
καί b. A4] A in ras. F V.

πα w— m cm --Ο-----ς-ςς- --ς--------- -

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 51

dieularemg) esse. ergo ΖΕ planum ad subiacens per-
pendiculare est. iam similiter demonstrabimus, etiam
omnia plana, quae per 418 ducantur, ad planum sub-
jacens perpendicularia esse.

Ergo si recta ad planum aliquod perpendicularis
est, eliam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad
idem planum perpendicularia erunt; quod erat demon-
strandum.

XIX.

Si duo plana inter se secantia ad planum aliquod
perpendicularia sunt, eliam communis eorum sectio
ad idem planum perpendicularis erit.

Nam duo plana 48, BI' ad planum subiacens per-
pendieularia sint, et commu-
nis eorum sectio sibü B4.
dico, Β4 ad planum subia-
cens perpendicularem esse.

Ne sit enim, et a ZZ
puncto in plano 4B ad rec-
tam 4471 perpendicularis du-
catur Zl E, in BI' autem plano
ad ΓΖ perpendicularis Ζ Ζ.1)
ei quoniam 4 B planum ad subiacens perpendiculare est,
et ad communem eorum sectionem 421 in plano 4B
perpendicularis ducta est ΖΕ, 4 E ad planum subiacens
perpendicularis est [def. 4]. similiter demonstrabimus,

1) Nam 81 communis planorum sectio ad planum subiacens
perpendicularis non est, ad rectas 44, 4TI'rectos angulos non
efficiet. ergo et in plano 4B et in BI'locus est perpendicu.
lari ad 44 et ad Ζ4Γ' ἴῃ 4 erectae.

4*

Ct

10

59 ZTOIXEIQ9N ια΄.

δείξομεν, ὅτι xol ἡ 42Ζ ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκεί-
μενον ἐπίπεδον. ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ
4 τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐϑεῖαι πρὸς ὀρϑὰς
ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη" ὅπερ ἐστὶν ἀδύ-
νατον. οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ 4
σημείου ἀνασταϑήσεται πρὸς ὀρϑὰς πλὴν τῆς 4B
κοινῆς τομῆς τῶν 4B, ΒΓ ἐπιπέδων.

Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ
τινὶ πρὸς ὀρϑὰς d, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἔσται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

,

κ΄.

"àv στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι-
πέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς
μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

Στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α' ὑπὸ τριῶν γω-
νιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ BAI, DA44, 448 περι-
ἐχέσϑω᾽ λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, Γ4Α24, 4248 γω-
νιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ

μεταλαμβανόμεναι.

20

Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ BAD, ΓΑ4. 4.48 γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς
λοιπῆς μείξονές εἰσιν. εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείξων ἡ ὑπὸ
ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ 48 εὐθείᾳ καὶ τῷ

πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α' τῇ ὑπὸ 4.48 γωνίᾳ ἐν τῷ

1. ὅτι καὶ 7j] om. φ (non F). 42] A"Z' b. 4. ἐστίν
om. V. 6. τῆς] e corr. m. 1 b. 8. ἐπίπεδα — 10. δεῖξαι

: eo V. 9. ἦ, καί] euan. F. 14. μείξους Vg. πάντη
seq. ras. 1 litt. P. 15. τῶι corr. in τὸ m. 1 b. 16. περι-
ἐχέσθω — 11. γωνιῶν] mg. m. 2 V, in text. eras. γωνιῶν.

16. ΓΙΑ b. 90. ΓΑΔ 4 e cor. V. — 21. ἴσαι] εἰσι ἴσαι

—— ott 0 WM 0 0 9) —— ——— Mt m ΜΙ M

ELEMENTORUM LIBER XI. 53

eliam 4] Z perpendicularem esse ad planum subiacens.
itaque ab eodem puncto zf ad planum subiacens duae
rectae ad easdem partes perpendiculares erectae sunt;
quod fieri non potest [prop. XIII] itaque a 4 puncto
nulla recta ad planum subiacens perpendicularis eri-
geiur praeter 7/B, quae communis est sectio plano-
rum 4B, BI.

Ergo si duo plana inter se secantia ad planum
aliquod perpendieularia sunt, etiam communis eorum
sectio ad idem planum perpendicularis erit; quod erat
demonstrandum.

XX.

Si angulus solidus tribus angulis planis continetur,
duo quilibet reliquo maiores erunt quoquo modo con-
iuncti.

Nam angulus solidus, qui ad 44 positus est, tribus
angulis planis B.4TI,
I'AA, 44 B continea-
tur. dico, duos quos-
libet angulorum B AT,
I'44, 44AB reliquo
maiores esse quoquo
modo coniunctos.

iam si anguli ΒΓ, I4 2, 44 B inter se aequales
sunt, adparet, duos quoslibet reliquo maiores esse. si
minus, maior?) sit |, BAI, et ad rectam 4 B et punctum
eius 44 in plano rectarum ΒΑ, A4I' angulo 448

1) Sc. angulo 44B. neque enim necesse est, omnium
eum maximum esse.

V. εἰσίν} om. V. 22. εἰσι V, cotnp. F. 24. 4AB]
AAT, P. év] om. B, supra scr. V

54 ZTOIXEION ια΄.

διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ BAE, καὶ κείσϑω
τῇ 44 ἴση ἡ AE, καὶ διὰ τοῦ E σημείου διαχϑεῖσα
ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς AB, 4Γ εὐϑείας κατὰ τὰ Β, Γ
σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 48. ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση
ὅ ἐστὴν ἡ 44 τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ AB, δύο δυσὶν
ἴσαι" καὶ γωνία ἡ ὑπὸ 44B γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BAE loq:
βάσις ἄρα ἡ 4B βάσει τῇ BE ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ
δύο αἱ B, 4Γ τῆς ΒΓ μείξονές εἰσιν, ὧν ἡ 4B τῇ
BE ἐδείχϑη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ 4Γ λοιπῆς τῆς ΕΓ
10 μείξων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 4.4 τῇ AE,
κοινὴ δὲ ἡ AD, καὶ βάσις ἡ 4Γ βάσεως τῆς ED
μείξων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 4 4T' γωνίας τῆς ὑπὸ
EAI μείξων ἐστίν. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ 448 τῇ
ὑπὸ BAE ἴση" αἱ ἄρα ὑπὸ 448, 44D τῆς ὑπὸ
15 BAT' usitovég εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ
λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν.
Ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι-
πέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές
εἶσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

20 κα΄.
“Ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσ-
σάρων ὀρϑῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται.
Ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ
ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑ4, 4.48. λέγω,
25 ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, Γ424, 248 τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσ-
σονές εἰσιν.

1. ἐπιπέδῳ] in ras. m. 1 P. | supra scr. V, ut lin. 2.
κείσϑω τῇ] διὰ τοῦ E σὴ φ (non F) Hinc plerasque ineptias
manus g omisi, maxime ubi aut certa uestigia ueri super-
erant, aut certe nulla erat causa de scriptura cod. F dubitandi.

ELEMENTORUM LIBER XI. 55

aequalis construatur /, B4 E, et ponatur 4 E — 4 4,
ei BEI' per punctum E ducia rectas 4B, AT' secet
in B, I' punctis, οὐ ducantur 4B, ZI: et quoniam
414 — AE, eà 4B communis est, duo latera duobus
aequalia sunt; et / 4144 B — B.AAE. itaque 4B — BE
[I, 4]. et quoniam B -ἰ A4I' ΒΓ [I, 20], et de-
monstratum est, esse 28 — BE, erit Z1I' EI. et
quoniam 214 — 4E, et 41 communis est, et ZI' ^ ET,
eri& [./224I' EAT [I, 25]. et demonstratum est,
esse etiam ( 724B — BAE. itaque 4AB --A4AT
» BAI: eodem modo demonsirabimus, etiam reliquos
angulos duo simul coniunctos reliquo maiores esse.

Ergo si angulus solidus tribus angulis planis con-
tinetur, duo quilibet reliquo maiores sunt quoquo modo
coniuncti; quod erat demonstrandum.

XXI].

Omnis angulus solidus planis angulis minoribus,
quam sunt quattuor anguli recti, continentur.

Sit angulus solidus, qui ad' .4 positus est, compre-
hensus planis angulis B.4I, Γ424, 44 B. dico, esse
ΒΑΓ -rDAA4--2424B minores quattuor rectis.

8. ΓΊ corr. ex E m. 1 b. 4. 4B] BA F. 6. Post
ἴσαι ras. 4 litt. hab. V. 7. ἐστιν ἴσῃ] ἴση seq. spatio uacuo
81i V. 8. B4] B4 DU 48 BV. τῇ V? 10. ἐστίν
(prius) ἐστέ PBV, comp. Fb AE]inras. V. 11. 4 Γ] corr.
ex JE B. 12. ἐστί P V, comp. F. Dein add. x«/V. — 44T']
ABI g. 14. τῆς bis P, corr, m. 1; τοῖς F. 11. ᾧπό —
19. δεῖξαι) καὶ τὰ ἑξῆς V. 91. ὁπό]. corr. ex ἀπό P.

ἢ] om. P. 22. ἐπιπέδων ὀρθῶν γωνιῶν V. — 98. τῷ] corr.
in τό m. 1 b. — 24. ὑπό — 25. αἴ mg. m. 2 B. 24. l'A4d] -
AAT ῳ et in ras. V. 25. ὑπό) eras. B; m. 2 V. ΓΑ“

F m. 1, 4ΑΓ F m. 2 et V in ras. 96, εἰσι V.

Q

10

15

20

56 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

Εἰλήφϑω γὰρ ἐφ᾽ ἑκάστης τῶν AB, ADI, 44 vv-
χόντα σημεῖα và B, D, 4. καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BI,
ΓΖ, 48. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ B on
τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ,
ABA, L'BA, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν αἴ
ἄρα ὑπὸ D'BA, ABA τῆς ὑπὸ ΓΒ μείξονές εἰσιν.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΩ͂, AI'A τῆς
ὑπὸ BI4 μείζονές εἰσιν, ol δὲ ὑπὸ ΓΖ 4, 4418 τῆς
ὑπὸ I'4B μείζονές εἰσιν αἴ ξξ ἄρα γωνίαι al ὑπὸ
ΓΒΑ, ABA, ΒΓΑ, AUA, U4 A, 44B τριῶν τῶν
ὑπὸ L'BZ, B4, U4B μείξονές εἰσιν. ἀλλὰ a£ τρεῖς
αἱ ὑπὸ ΓΒΖΩ͂, Β4Γ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν"
αἱ ξξ ἄρα αἱ υπὸ ΓΒΑ͂, 48Β4, ΒΓ4, 4Γ24, ΓΖ44,
448 δύο ὀρϑῶν μείξονές εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἑκάστου
τῶν ABI, AI'4, 448 vgwoOvov oí τρεῖς γωνέαι
δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων
ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ͂, AUB, Β4Γ, AT'A,
ΓΖ4, ΓΑ424, 448, 4BA, Β44 ἕξ ὀρϑαῖς ἴσαι
εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ABI, ΒΓΑ, AULA, Γ44. 448,
4B 4 ἕξ γωνίαι δύο ὀρϑῶν εἰσι μείξονες" λοιπαὶ ἄρα
αἱ ὑπὸ Β4Γ, Γ44, 44B τρεῖς [γωνίαι] περιέχουσαι
τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονές εἰσιν.

2. ΓῚ supra scr. m. 1 V. 3. dB] AB g. 4. Ante τριῶν
ins. γάρ m. 2 V. ὅ. l'B4d]inras. m. 1 P. 6. ὑπό] (alt.) om.
F. εἰσι BV, comp. Fb. 71. BI'A4] supra A scr. zc m. 1 b.

8. BU 4) l'BZ F, eorr. m. 2 (sed euan.)). εἶσι BVb, comp. F.
αἵ $e καὶ ἔτι aL BF Vb. — 10. 4847 ΒΩ͂ in ras. B, item litt. seq.
DL44j]inras.V. 11.Β 4) ΓΩ͂ ἴῃ τϑβ. Υ. I'4B]inras.V.
ἀλλ᾽ Ὁ. 12. BI'4] B eb zin ras. V. εἰσί V, comp. F.

18. 4B] m. rec. V. D'44]in ras. V; 44 Γ' e corr. m. 2 B.
14.070] 484 δύο. εἰσι BVb,comp. F. 15. of τρεῖς τριε-

yovov F, corr. m. 1. τριγώνου P, et b, sed corr. m. 1.

11. ΓΒΑ ΓΒΔ F, BAecorr. V. APB|] ABD P. 18. ΓΔΑ

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 51

sumatur enim in singulis rectis 4B, AI, 44

quaelibet puncta B, I, 4, et ducantur BI, I4, 4B.

Pw el quoniam angulus solidus,
qui ad B positus est, tribus
angulis planis continetur I'B A4,

4 ABA,T'BA, duo quilibet re-
liquo maiores sunt [prop. XX].
B llaque ID'BA4 -ἰ 4BA4 ΓΒΖ.
eadem de causa erunt etiam BI'A4 -ἰ AI'4 — BI'A,
ΓΖ4-Ὁ 448)» ΓΖ8.

itaque ΓΒΑ - ABzZ-- ΒΓ4 Π AUA --D44

Ἔ 448)»ΓΒΖ ΈΒΓΙΓΠ- Γ48Β. uerum

ΓΒΖ4- Β4Γ- BIA .

duobus rectis aequales sunt [I, 32]. itaque sex anguli
I'BA--4BZ-F-BIA4-F- ADUA-d-DI44-4-424B

duobus rectis maiores sunt. et quoniam singulorum
triangulorum 4BI', AI'Z, 448 tres anguli duobus
rectis aequales sunt, nouem anguli trium triangulorum
DBA -L- ADB 4- BAT 4- AUA - Γ44 4- DAZH
Ἢ 44B -- 4BA-- BA4 sex rectis equales sunt,
quorum

ABI'-- BUA-- AUA -D44d- 428- ABA
duobus rectis maiores sunt. itaque reliqui

Β4Γ- Γ44- 448,

qui angulum solidum continent, quattuor rectis mi-
nores sunt.

id ras. V; 44AT' B. DAZ] Ad inras V; ΓΙΑ B. BA44]
BA4A P. 20. μείξονές εἰσι(ν) BV. 21. γωνίαι] om. P.
22. εἶσι V, comp. F. Seq. in V πάντη, sed del

Q

10

15

20

58 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ :«'.

“Ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσ-
σάρων ὀρϑῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται" ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

κβ΄.

Ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνέαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο
τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανό-
μεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐϑεῖαι, δυνα-
τόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιξευγνυουσῶν τὰς ἴσας sU-
ϑείας τρίγωνον συστήσασϑαι.

Ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπέπεδοι αἱ ὑπὸ 48Γ,4Ε2Ζ,
ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ
μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ABI, AEZ τῆς ὑπὸ
ΗΘΚ, αἱ δὲ ὑπὸ 4ΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ABI, καὶ
ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, 48Γ τῆς ὑπὸ A4EZ, καὶ ἔστωσαν
ἴσαι α 4B, ΒΓ, 4E, EZ, ΗΘ. OK εὐϑεῖαι, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4Γ, 4Z, HK: λέγω, ὅτι δυνατόν
ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AD, 4Ζ, ΗΚ τρίγωνον συ-
στύσασϑαι, τουτέστιν ὅτι τῶν 4Γ, 4Z, HK δύο
ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσιν.

Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ABD, AEZ, ΗΘΚ γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, AZ,
ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς
ADI, 42, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι. εἰ δὲ oU,

1. ἄρα] ϑαρτα sor. m. 1 P. — $xó — 8. δεῖξαι): c» V.

1. 7] postea add. m. 1 P. 7. περιέχωσιν P, περιέχουσι F.
8. Supra ἴσας add. γωνέας m. 9 B, del. m. rec.
εὐθείας] γωνίας εὐθειῶν V. 11. εἰσι] ἔστωσαν BF V et b
(sc- in ras.). 15. εὐθεῖαι] m. rec. V. 17. συνστήσασϑαι
P, corr. m. 2. 18. ὅτι] corr. ex τό m. 2 F. 19. μείζους
V. εἶσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι Theon (BF Vb). 21. εἶσι
ἴσαι V. εἰσίν] εἰσί PBb, comp. F.; om. V. 22. γιγνομένων

F, γενομένων b.

ELEMENTORUM LIBER XI. 59

Ergo omnis!) angulus solidus planis angulis mi-
noribus, quam sunt quattuor recti, continetur; quod
erat. demonstrandum.

XXII.
Si ires anguli plani sunt, quorum duo reliquo
maiores sunt quoquo modo coniuncti, et eos aequales

e
B | E

4 ID 4 Z
H K

continent rectae, fieri potest, ut ex rectis aequales
rectas coniungentibus triangulus construatur.

Sint tres anguli plani ΑΒΓ, 4 EZ, ΗΘΚ, quo-
rum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti,
ABI'- 4EZ ΗΘΚ, AEZ -]-HOK — ABT,
HO K -- 4ΒΓ» AEZ,
ei sib. 4B — ΒΓ — AE — EZ — H0 — 0K, et du-
cantur 4I, 42, HK. dico, fieri posse, ut ex rectis
aequalibus rectis 4T, 4Z, HK triangulus construatur,
hoc est, rectarum ΑΓ, 4Z, HK duas quaslibet re-

liqua maiores esse.

iam si anguli 44 BI, 4 EZ, HO K inter se aequales
sunt, manifestum est, cum etiam AI*, 44Z, HK aequales
sint [I, 4], fieri posse, αὖ ex rectis aequalibus rectis
ΑΓ, 42, ΗΚ iriangulus construatur. sin minus, in-

1) Nam in angulis solidis, qui plus quam tribus planis
angulis continentur, similiter ratiocinandum est.

10

15

20

60 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄,

ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ OK εὐϑείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ABD γωνίᾳ
ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘ.’ καὶ κείσϑω μιᾷ τῶν 48, ΒΓ, AE,
EZ, H0, ΘΚ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ KA,
HA. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς KO, 0 A4
ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ B γωνίᾳ τῇ ὑπὸ
ΚΘ. ἴση, βάσις ἄρα ἡ 4Γ βάσει τῇ Καὶ 4 ἴση. καὶ
ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ABI, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ A4EZ μείξονές
εἶσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ABI τῇ ὑπὸ KO, ἡ ἄρα ὑπὸ
ΗΘ. τῆς ὑπὸ AEZ usítov ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο ol
ΗΘ, 6.4 δύο ταῖς 4Ε, EZ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ
ὑπὸ ΗΘ. γωνίας τῆς ὑπὸ A4EZ μείξων, βάσις ἄρα
y» HA βάσεως τῆς 4Z μείξων ἐστίν. ἀλλὰ αἱ ΗΚ,
ΚΑ τῆς HA μείξονές εἰσιν. πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ, Κα
τῆς 4Z μείξονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ ΚΑ τῇ AI" αἵ
AI, HK ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ZZ us(tovég εἰσιν.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ μὲν 4Γ, 4Z τῆς HK
μιξίξονές εἰσιν, καὶ ἔτι α 4Ζ, ΗΚ τῆς 4Γ μείξονές
εἰσιν. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI,
4Z, ΗΚ τρίγωνον συστήσασϑαι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

κγ΄.
Ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς
λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι,

1. Post ἄνισοι add. καὶ ἔστω μείξων ἡ πρὸς τῷ E mg. m.
rec, V. 2. αὐτήν b. 8. AB] AT φ. 4. ἴση ἡ 6 A] supra
scr. m. 2 V; 4inras. B. ἐπεζεύχϑωσαν — 5. καί] postea ins.
m. 1P. 5b. 4B]inras. m. 1 P. 6. εἰσί BVb, comp. F.
τῷ] mutat. in τό b. 7. KA F. ἐἩστιν ἴση BF. 8. of] om.
F; uidetur supra scr. fuisse, sed euan. | Zz EZ) in ras. V.
10. "9-H"AF. ἐστί PBV, comp. F. 11. δυσί Ρ. εἰσί Vb,

ELEMENTORUM LIBER XI. 61

aequales sint, et ad rectam 6 K et punctum eius 9
angulo 4 BI' aequalis construatur /, KO 4, et ponatur
64 cuilibet rectarum 4B, ΒΓ, 4Ε, EZ, HO, ΘΚ
aequalis, et dueantur Κα, H4. οὗ quoniam duae
AB, BI' duabus ΚΘ, 9.1 aequales sunt, et angulus
ad B positus angulo K6.4
aequalis est, erit etiam 4T'
4 —K.A [I, 4]. et quoniam
ΑΒΓ HOK AEZ, et
H Y ABD — KO A, erit [ HO 4
— Z4EZ. eti quoniam duae
HO, 604 duabus ZE, EZ aequales sunt, et { ΗΘ.
» ΔΕΖ, erit HA ZZ (I, 24]. uerum HK -- K A
HA [, 20] itaque multo magis erunt
HK --KA4-ZAZ.

sed Κα — AI. itaque AI']- HK 4Z. iam simi-
liter demonstrabimus, esse etiam 4Γ -- 22)» HK,
A4Z-- HK. AI. itaque fieri potest, ut ex rectis
aequalibus rectis 4T, 44Z, H Καὶ iriangulus construatur;
quod erat demonstrandum.

e

XXIII.

Ex tribus angulis planis, quorum duo reliquo ma-
iores sunt quoquo modo coniuncti, angulum solidum

comp. F. 12. ὑπὸ 4EZ] πρὸς τῷ E V, et fort. F in mg.
sed euan. 13. ἐστί V, comp. F. 14. εἰσι PV, comp. F.
16. Post εἶσιν una linea eras. in V. 17. ὅτι καί] καὶ
ὅτι V. 18. εἶσι P, comp. F. καὶ ἔτι αἴ] P; αἵ δέ Theon
(ΒΡΥ Ὁ); sed cfr. p. 64, 4(. AZ"HK' b, HK, AZ BFV.
μείξονές εἰσιν} om. BF V. 19. εἰσι b. 20. ὅπερ ἔδει δεῖξαι
om. V. Seq. demonstr. alt.; u. app. 99. of] of F.

ex

10

15

20

62 ZTOIXEISNN ια΄.

στερεὰν γωνίαν συστήσασϑαι᾽ δεῖ δὴ τὰς τρεῖς
τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονας εἶναι.

Ἔστωσαν αἱ δοϑεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ
ABI, 4EZ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονες
ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς
τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονες" δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων
ταῖς ὑπὸ ABI, 4ΕΖ., ΗΘΚ στερεὰν γωνέαν συστή-
σασθαι.

᾿Δπειλήφϑωδαν ἴσαι αἱ 4B, BI, 4Ε, EZ, H0,
ΘΚ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AD, 4Z, HK: δυνατὸν
ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI, 4Z, ΗΚ τρίγωνον
συστήσασϑαι. συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι
τὴν μὲν AT τῇ AM, τὴν δὲ AZ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτει
τὴν HK τῇ NA, καὶ περιγεγράφϑω περὶ τὸ AMN
τρίγωνον κύκλος ὁ 4MN, καὶ εἰλήφϑω αὐτοῦ τὸ κέν-
τρον καὶ ἔστω τὸ E, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν oí ΔΕ, MA,
ΝΞ λέγω, ὅτι ἡ 4B μείξων ἐστὶ τῆς AR. εἰ γὰρ μή,
ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 413 ἢ ἐλάττων. ἔστω πρότερον
ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ 4,33, ἀλλὰ ἡ μὲν AB
τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ Ξ4 τῇ EM, δύο δὴ αἱ AB,
ΒΓ δύο ταῖς AX, AM ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ" καὶ

1. στερεὰ γωνία F, sed corr. συστήσασϑαι γωνίαν V. συν-
στήσασϑαι P, corr. m. 2. — 2. ἐλάττονας P. osb εἶναι add.
διὰ τὸ καὶ πᾶσαν στερεὰν γωνέαν ὑπὸ τριῶν (q) ἢ τεσσάρων
ὀρθῶν γωνιῶν περιέχεσθαι E, 4. ὧν af] γωνίαι F, ὧν αἴ
add. m. 92. 6. ἐλάττονες P, ἐλάσσους FV. Dein add. ἔστω-
σαν F. 7. συνστήσασϑαι P, corr. m. 92. 9. BI'| BT, A
b. 4E] corr. ex l'E m. 1 b. 11. ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων
ταῖς] δὴ ἐκ τριῶν τῶν b; mg. yo. ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων.

19. συνστήσασθαι P, corr. m. 3. 183. 4M] AB φ. 14. τῇ]
supra scr. V. NA] AN BFV. 15. Post κέντρον add.
ἔσται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΛΜΝ τριγώνου ἢ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευ-
ρῶν αὐτοῦ ἢ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐντός ΒΥ. 17. ἐστί] ἐστίν

τ -- Ὁ... Al

ELEMENTORUM LIBER XI. 63

construere; oportet igitur 1), tres angulos illos quattuor
rectis minores esse [prop. XXI].

Sint dati tres anguli plani 4BI, 4EZ, ΗΘΚ,
quorum duo reliquo maiores sint quoquo modo con-
iuncti, et praeterea ires illi quattuor rectis minores.
oportet igitur ex angulis aequalibus angulis ΑΒΓ,
4 EZ, ΗΘΚ angulum solidum construere.

abscindantur inter se aequales 4B, BI 4E, EZ,
ΗΘ, OK, et ducantur AI, 4Z, HK. feri igitur

B E e
ÁN ΖΝ /N
4 r 4 H K

potest, ut ex rectis aequalibus rectis 4I, 4Z, HK
iriangulus construatur [prop. XXII]. construatur 4MN,
iia ut sit 4I'-- 4M, 4Z — MN, HK — N A, et
circum iriangudlum A4MXN circulus describatur ΜΜΝ
[IV, 5], et sumatur centrum eius et sit ΚΦ, et ducantur
AX, MAE, NA. dico, esse 4B 7 4/5; nam si minus,
erii aub 4B — 45 aut 4B « 4A. sit prius 4B
— /A. eli quoniam 4B — 43, et 4B — BI, ὶ

— £M, duo latera 4B, BI' duobus lateribus A45,
AM alterun alteri aequalia sunt; et supposuimus,

1) Nam δή cum omnibus codicibus retinendum est. idem
I, 92 p. 52, 17 pro δέ cum codicibus restituendum est. nam
etiam apud Eutocium in Apollonium p. 10 in codd. δή scribi
pro δέ, nunc cognoui.

P. πτῆς] corr. ex τῆι B. 18. ἴση] supra scr..m. 1 V.
19. ἀλλ BF. 20. S4] 4X Bb. 421. δύο] δυσί b.

σι

10

2

15

e

64 ZTOIXEISN ια΄.

βάσις ἡ 4Γ βάσει τῇ AM ὑπόκειται ἴση" γωνία ἄρα
4 ὑπὸ ABI γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ARM ἐστιν ἴση. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ 4EZ τῇ ὑπὸ MEN ἐστιν
ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ NE: al ἄρα τρεῖς
a( ὑπὸ 4BI, A4EZ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ
ARM, MEN, NEA εἰσιν ἴσαι. ἀλλὰ al τρεῖς αἵ
oxi ΕΜ, MEN, ΝΕ A τέτταρσιν ὀρϑαῖς εἰσυν ἴσαι"

καὶ αἵ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ABI, A4EZ, ΗΘΚ τέτταρσιν

ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρ-
ϑῶν ἐλάσσονες" ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ AB τῇ 435
ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν 5 AB
τῆς 413. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω᾽ καὶ κείσϑω τῇ μὲν
AB ἴση ἡ &O, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ RII, καὶ ἐπεξεύχϑω
ἡ OIL καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 48 τῇ BI, ἴση ἐστὶ
καὶ ἡ ΞΟ τῇ AIL ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ 40 τῇ ΠΜ
ἐστιν ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AM τῇ ΟΠ, καὶ
ἰσογώνιον τὸ 4ME τῷ ΟΠ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ X4
πρὸς 4M, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ' ἐναλλὰξ ὡς ἡ 45
πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΜΜ πρὸς ΟΠ. usitov δὲ ἡ 45
τῆς ΞΟ μείξων ἄρα καὶ ἢ 4M τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ

"AM κεῖται τῇ 4Γ ἴση" καὶ 4$ 4Γ ἄρα τῆς ΟΠ μεί.-

—

2. A&M)] supra ras. m. 2 B. 8. MEN] 5
m.1PV. 6 τρισί] ἴσαι εἰσὶ τριίγῦ. — 6. MEN) corr. ex
MNE V, MN 5A b. NXA — 1. MEN) mg. m. 2 B.

6. εἰσιν ἴσαι] om. V g, ἴσαι εἰσίν Bb. ἀλλ᾽ b. et p!
supra m. 2 7. τέτρασιν BFVb. ἴσαι εἰσίν BV. 8. κα
αἴ — 9. εἰσίν] mg. m. 2 V, euan. in F. 8. ἄρα αἴ of ἄρα
P. τέσσαρσιν V, τέτρασι BFb. 9. εἰσιν ἴσαι Bb. 11. ἐστιν
(oy V. 18. 1) (prius) supra scr. V. 14, ἐστί] ἐστίν PB, δέ
euan. V. A B. λοιπῇ τῇ Theon (B vo. IIM]
in ras. V, MI fA 16. ἐστιν} in ras. V. ἐστίν} om.
V. AM) A in ras. m. 1 B. 17. Post 4M X add. τρίγω-
70v» comp. EA] 458 F, corr. m. 9. 18. τὴν AM, M

ELEMENTORUM LIBER XI. 65

esse 4I'— 4M. itaque erit ( ABI' — AAM [I, 8].
eadem de causa etiam
LAEZ-— MEN, L HOK;,— NÀ
ergo
LABI 4- AEZ - HOK —L AEM -- MEN
T NAA.

sed [48 M -]- MXN - ΝΞ quattuor rectis aequales
sunt. quare etiam | 4BI'J- 4EZ -]- HG K quattuor

rectis aequales sunt. uerum supposuimus, eos quattuor
rectis minores esse; quod absurdum est. itaque non
erii 4B — ΑΞ. iam dieo, ne minorem quidem esse
4B quam 4X. nam si fleri potest, sit minor. et
ponatur A4O — 4B, XII -— BI, et ducatur ΟΠ. οἱ
quoniam 4.8 — BI, erii etiam ,3O — AIL. quare
eliam 4O — IIM. ergo 4M rectae OII parallela
est [VI, 2], et 4M triangulo ΟΠ aequiangulus
est [I, 29]. itaque erit 54: 4M — EO : OII(VI, 4].
permutando 45:540 — 4M:0II [V, 16]. uerum
AR AO. itaque etiam 4M — OII [V, 14]. sed
posuimus 4M — 4I. itaque etiam 4Γ» ΟΠ. quo-

1) Hoc nusquam demonstratum est, sed facillime ex I, 18
concluditur; cfr. ad I, 15 coroll.

in ras. V. τὴν OII V. eg] ἄρα ὡς V (F?).
m. 2 V. 290. xe/] om. V. 4]ins.m.9 F. ἀλλ᾽
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 5

ἢ] ins.
BF.

10

15

20

25

66 ZTOIXEION ια΄.

fov ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ 4B, ΒΓ δυσὶ ταῖς OA,
SII ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις 7) 4Γ βάσεως τῆς ΟΠ μεί-
tov ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 48ΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ
OXII μείζων ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ
μὲν ὑπὸ 4ΕΖ2Ζ2 τῆς ὑπὸ MAN μείξων ἐστίν, ἡ δὲ
ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ NEA. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι ot
ὑπὸ ABI, AEZ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ AKM, MEN,
ΝΗ͂Α μείξονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ABI, AEZ,
ΗΘΚ τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται" πολλῷ
ἄρα αἱ ὑπὸ AESM, ΜΕΝ, ΝΕ 4 τεσσάρων ὀρϑῶν
ἐλάσσονές εἰσιν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι" ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
οὐκ ἄρα ἡ 48 ἐλάσσων ἐστὶ τῆς AR. ἐδείχϑη δέ,
ὅτι οὐδὲ ἴση" μείξων ἄρα ἡ 4B τῆς 45. ἀνεστάτω
δὴ ἀπὸ τοῦ M σημείου τῷ τοῦ AMN κύκλου ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρθὰς ἡ EP, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 48Β
τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς 413, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ
ἀπὸ τῆς EP, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ P4, PM, PN.
καὶ ἐπεὶ ἡ PE ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΜΜΝ κύκλου
ἐπίπεδον. καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν AER, MA, ΝΞ
ὀρϑή ἐστιν ἡ PA. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὸν ἡ 4.3 τῇ & M,
κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἡ EP, βάσις ἄρα ἡ ΡΑ͂
βάσει τῇ PM ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ΡΝ
ἑκατέρᾳ τῶν PA, PM ἐστιν ἴση" αἵ τρεῖς ἄρα a£ PA,
PM, PN ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖξόν
ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ, ἐκείνῳ ἴσον
ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς EP, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον

1. Post δύο add. εὐθεῖαι FV, B supra scr. m. 2. δυσί]
δύο b(F?) 2. sío( Vb, comp. F. 8. ἐστί BV b, comp. F.

δ. MEN] 5 in ras. m. 1 P. 6. ὑπό] (prius) om. V,
supra scr. m. 2 B. 7. AB, BI', dE, EZ, HO, ΘΚ P.
τριῶν — 9. HOK] mg. m. 2 V. 8. ἀλλ᾽ FVb. 9. ἐλάττονες

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 61

niam igitur duo latera 4B, BI' duobus ΟΣ, ΞΠ

aequalia sunt, eb 4ΓῚ ΟΠ, erit ( 4BI' — O&XII [I,

25]. similiter demonstrabimus, esse etiam / 41EZ

ΜΞΝ, LHOK » N34. aque ABI'-- AEZ

CF HOeK 48M 4 - MEN j- ΝΕ... uerum suppo-

suimus, esse '
4ΒΓ- ΕΖΗΘΚ

quattuor rectis minores. multo igitur magis 45M
-CF MAN - NX4 quattuor rectis minores sunt. sed
lidem quattuor rectis aequales sunt; quod absurdum
est. itaque 4B recta 4,5 minor non est. et demon-
stratum est, eam ne aequalem quidem esse. ergo
AB 433. erigatur igitur in puncto ,5 ad planum
αἰτοῦ “ΜΙΝ perpendicularis EP [prop. XII]. et sit
SP*-— 4B? — AAR?*, et ducantur PA, PM, PN. et
quoniam P5 ad planum circuli 4 MN perpendicularis
est, P/3 ad singulas rectas 43, M, N A4 perpendicu-
laris est. et quoniam ΖΞ -— αὶ Μ, et EP communis
est et perpendicularis, erit
PA — PM [I, 4].

eadem de causa erii etiam ΡΝ — ΡΖ — PM. itaque
P4, PM, PN inter se aequales sunt. et quoniam
suppositum est, esse XP? -—— 4B*-—- 45?, erii 485
— 4H*-L EP. uerum

P. 10. MEN] EN in ras. m. 1 F. 11. εἶσιν ἐλάσσονες

P. ἐστίν om. V. 12. ἐστίν P. 18. ἄρα] ἐστὶν ἄρα F.
ἀνεστάτω] bis b; liti. » in ras. m. 1 P. 14. κύκλου]

om. g. 15. ἐστιν P. 16. τό] corr. ex τῷ m. 2 F.

17. PN] supra scr. V. 18. PE] EP B. ἐστιν P.

ἐπίπεδον κύκλον F. 20. M] MAE corr. ex NX m. 1 Ὁ.
29. PN] N e cor. V. 28. ἴση ἐστίν V. 94. εἰσί b,

corr. ex εἰσέν V, comp. F. 26. τό] (prius) corr. ex τῷ F.

5*.

et

10

15

68 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ARE,
ἘΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4P* ὀρϑὴ γὰρ ἡ ὑπὸ AESFP:
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς PA: ἴση
ἄρα ἡ 48 τῇ PA. ἀλλὰ τῇ μὲν AB ἴση ἐστὶν ἑκάστη
τῶν BI, 4E, EZ, HO, OK, τῇ δὲ PA ἴδη ἑκατέρα
τῶν PM, PN: ἑκάστη ἄρα τῶν 4B, ΒΓ, 4E, EZ,
HO, OK ἑκάστῃ τῶν PA, PM, PN ἴση ἐστίν. καὶ
ἐπεὶ δύο α AP, PM δυσὶ ταῖς 4B, ΒΓ ἴσαι εἰσέν,
καὶ βάσις ἣ ΜΜ βάσει τῇ AT ὑπόκειται ἴση, γωνία
ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ABI' ἐστιν ἴση. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ AEZ ἐστιν
ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ APN τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.

Ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ἱπὸ ΡΜ,
MPN, APN, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοϑείσαις ταῖς
ὑπὸ ABI, AEZ, HOK, στερεὰ γωνία συνέσταται
ἡ πρὸς τῷ P περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ,
APN γωνιῶν᾽ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Am uuo.
Ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς AB τοῦ
ἀπὸ τῆς AE, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς AP,

δείξομεν οὕτως. ἐκκείσϑωσαν αἱ AB, A5 εὐϑεῖαι,

1. τοῖς δέ — 2. AP] mg. m. 1 F. 8. ΡΜ] e corr. V.

4. PA] corr. ex AP V. 6. Θ ΑἹ] corr. ex HK m. 1B.

Ante ΡΜ del. 4 m. 1 PF. 6. Post PN ras. 8 litt. V.

1. ἐστίν] om. V. 8 AP] PA F. εἰσί Vb, comp. F.

9. Ante γωνέα ins. καί m. 9 V. 10. γωνέᾳ) om. B; post

ins. F. 11. MN P F. ἴση ἐστίν F V. 14. τρισίν B.
15. συνέσταται F' Vb. 16. ἡ] om. g. τῷ mut. in

τό b, τό g. à. τῶν ὑπό b. 17. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι} om.

V. ποιῆσαι] δεῖξαι Pb, yo. ποιῆσαι mg. b. Seq. duo casus

singulares cum demonstrationibus, u. app. Hoc lemma in

b et in textu (b) et in mg. ἃ m. 1 (f) reperitur, add. yg.

|

ELEMENTORUM LIBER XI. 69

AP? — AR? -- S P? (I, 47];
nam [ 4XP rectus est. quare 4B? — P.fj. itaque
AB — PA. sed
AB -—BI-—A4E-—EZ-—HO0--0kK et
PA — PM — PN.
itaque
AB — BI'— 4E — EZ — HO —0K — PA-—PM
— PN.
el quoniam duae rectae 4P, PM duabus rectis 4B,
BI'aequales sunt, et suppositum est, esse 4M — AT,
erit etiam / 4PM — ΑΒΓ [I, 8. eadem de causa
erii etiam ἰ MPN — ΕΖ, APN — ΗΘΚ.

Ergo ex tribus angulis planis 4 PM, MPN, APN,
qui tribus datis angulis ΑΒΓ, 4EZ, HO K aequales
sunt, solidus angulus constructus est, qui ad P positus
est angulis 4PM, MPN, APN comprehensus; quod
oportebat fieri.")

Corollarium.
Quomodo autem fieri possit, ut sumatur Καὶ P? — 4. B?

52

-—- 4.35, sic demonstrabimus.
. exponantur rectae 48, //X, et maior sit 4B, et

1) Quae in codd. sequuntur demonstrationes casuum sin-
gularium, 80 Euclide profectae esse non possunt. nam prae-
paratio p. 62, 14 (u. adn. crit. omnino necessaria, si tres casus
separantur, manitesto interpolata est, neque post clausulam
legitimam p. 68, 18—17 plura addi possunt. praeterea demon-
strationes ipsae uerbosiores sunt neque apud Campanum in-
ueniuntur, neque consuetudo fert Euclidis, ut ad omnes casus
respiciatur.

οὕτως. 18. rw om. codd. 220. τό] om. Εἰ; add. m. 2,
8cd euan. 21. δείξωμεν P.

σι

10

15

20

τ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ια΄.

καὶ ἔστω μείξων ἡ 48, καὶ γεγράφϑω ἐπ᾽ αὐτῆς ἡμι-
κύκλιον τὸ ABI, καὶ εἰς τὸ ABI ἡμικύκλιον ἐνηρ-
μόσϑω τῇ AE εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς 48 δια-
μέτρου ἴση ἡ AI, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν
ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ 4ΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ oxi AI B, ὀρϑὴ
ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 ἴσον
ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν AI, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς 4B
τοῦ ἀπὸ τῆς 4Γ μεῖξόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση
δὲ ἡ AD τῇ A5. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς
AA μεῖξόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ
ἴσην τὴν EP ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ
ἀπὸ τῆς 4Ξ μεῖξον τῷ ἀπὸ τῆς AP ὕπερ προέχειτο
ποιῆσαι. |
κδ΄.

Ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων
περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα
τε καὶ παραλληλόγραμμα ἐστιν.

Στερεὸν γὰρ τὸ ΓΩΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέ-
δῶν περιεχέσϑω τῶν 4Γ, HZ, 40, AZ, BZ, AE
λέγω. ὅτι và ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε xol
παραλληλόγραμμα ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ
ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ 4Γ τέμνεται. αἱ κοιναὶ αὐτῶν το-

Ι
2. ΑΓΒ b. εἰς — ἡμικύκλιον) om. b. ABI
AB P. ἡμικύκλιον] Φ B. ἡρμόσϑω P: 8. μὴ μεέξονι
— διαμέτρου] om. Bb. — 4B| m. 2 P. 5. τῷ] corr. ex τό m.

1F. τῷ ADB γωνία] om. b. — AT'B] B ins. m. 1 P, B in
ras. F. ὑπό] om. b. ὀρϑή — 6. 4 ΓΒ] γωνία ὀρϑή ἐστιν
b. 7. τῶν] τῆς b. I'B] supra scr. m. rec. P. ὥστε]
om. b. — 4B] 4B ἄρα b. . 8. μεῖξόν ἐστι] ὑπερέχει P.

9. τῇ ] postea ins. V. τὸ ἄρα] ὥστε τό P; τό b. AB] AB
ἄφα b, 4B μεῖξόν ἔστι P. 10. μεῖξόν ἐστι] om. P. τῆς]
m. 2 F. ἐάν — 18. ποιῆσαι) om. b. 10. Β Γ] corr. ex

ELEMENTORUM LIBER XI. 71

in ea semicireulus describatur ABI, et in semicirculo

A BI' reciaà ΑΓ aptetur (IV, 1] rectae 4/4 aequalis,

quae maior non est diametro 4B, et ducatur I'B.
iam quoniam in semicirculo 4 B I positus est |, 4I'B,

rectus erit / .4I'B [HI, 31]. itaque
ΧΟ AB! — AI? - ΓΒ5“ |I, 47]. quare
erit 483 -:- AI? — ΓΒ", uerum AT

4 B .—. ΑΞ. itaque DB! — 4B* -— AR,
ergo si sumpserimus 4 P-— BI, erit X P? — 4 B! -— 458?;
quod oportebat fieri.

XXIV.

Si solidum planis parallelis comprehenditur, plana
elus inter se opposita aequalia sunt et parallelo-
gramma.!)

Nam solidum 1'Z9H planis parallelis comprehen-
datur AI, HZ, 40, 42, ΒΖ, AE. dico, plana
eius inter se opposita aequalia esse et parallelogramma.

nam quoniam duo plana parallela B H, ΓΕ plano
AI' secantur, communes eorum sectiones inter se

1) Haec propositio parum diligenter exposita est; intelli-
gitur enim solidum sex planis parallelis comprehensum neque
pluribus, et plana, quamquam omnia parallelogramma sunt,
non omnia aequalia sunt, sed opposita sola inter se aequalia.

DB V,DT'BBFf. 11. τό] τῷ B. 448 μεῖξον P. 19. μεῖ-
fov] om. P. PE P. ὕπερ — 18. ποιῆσαι) om. V.

14. κδ΄ corr. ex κη΄ F. 17. παραλληλόγραμμα] παράλληλα
b, mg. m. 1 ye. παραλληλόγραμμα (comp). -γραμμά ἐστι φ,
m. 2 add. V. ἐστι Bb. 18. I'46 H] corr. ex ΓΩῊΘ

V, l'4H8 b. 19. ZB BF. 21. παράλληλά b et seq.
ras. F. -γραμμά ἐστιν supra m. 2 V. 22. Post ἐπίπεδα
ins. ὅμοια m. 9 Ε΄. παράλληλα] supra ras. m. 2 V.

23. τέμνονται V.

6

10

15

20

25

79 ZTOIXEION ια΄. .

μαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 48
τῇ 4Γ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ,
AE ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ 4Γ' τέμνεται, al κοιναὶ αὐτῶν
τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΙ͂'
τῇ 44. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ AB τῇ 4Γ παραλληλος"
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ AI. ὁμοίως δὴ δεί-
ἕξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν 4Z, ZH, ΗΒ, BZ, AE
παραλληλόγραμμόν ἐστιν.

᾿Ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 40, 4Z. καὶ ἐπεὶ παράλληλός
ἐστιν ἡ μὲν AB τῇ 4Γ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ
αἱ 4B, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐϑείας
τὰς 4I, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν" ἴση ἄρα
ἡ ὑπὸ ABO γωνία τῇ ὑπὸ 4ΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἴ
AB, BO δυσὶ ταῖς 4Γ, ΓΖ ἴδαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ
ὑπὸ ABO γωνίᾳ τῇ ὑπὸ 4Γ2Ζ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα
ἡ 46 βάδει τῇ 42 ἐστιν i69, καὶ τὸ ABO τρίγωνον
τῷ 4ΓΖ τριγώνῳ ἴδον ἐστίν. καί ἐστι τοῦ μὲν ABO
διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ 4ΓΖ
διπλάσιον τὸ I'E παραλληλόγραμμον᾽ ἴσον ἄρα τὸ BH
παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ. ὁμοίως
δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον,
τὸ δὲ 4Ε τῷ ΒΖ.

Ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περι-
ἔχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ
παραλληλόγφαμμά ἐστιν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1, εἰσί Vb, comp. F. 2. l'4 B. παραλληλα] om. V.
ΒΖ] supra scr. I' b; corr. ex ΒΓ V. 8. τέμνεται) corr. ex
τέμνονται b. — 4. εἰσι Vb, comp. F. ΒΓ] corr. ex AI b; B
in ras. B. 9. ἐστι παράλληλος Vb. 10. ΖΓ] corr. ex P4 V,
D4b. 18. περιέχουσιν BF (in F corr. m. 2). 15. εἰσί Vb,

--.......-- ..

ELEMENTORUM LIBER XI. 13

parallelae sunt [prop. XVI]. itaque 4B rectae ΖΓ
parallela est. rursus quoniam duo plana parallela BZ,
AE plano A4I' secantur, communes eorum secliones
B parallelae sunt. itaque
BI'rectae 471 parallela
est. sed demonstratum est,
A esse eliam .4B rectae
Z AI paralelam. itaque
AI' parallelogranmum
est. similiter demonsira-
4 E bimus, etiam singula 412,
ZH, HB, BZ, AE parallelogramma esse.
ducantur 440, 472. οὐ quoniam 4B rectae ΖΓ,
ΒΘ rectae ΓΖ parallelae sunt, duae rectae 4B, ΒΘ
inter se tangentes duabus rectis ΖΓ, ΓΖ inter se
iangentibus parallelae sunt non in eodem plano po-
sitae. aequales igitur comprehendent angulos [prop. XV].
itaque /, 4 BO — 4ΓΖ. ei quoniam duae rectae 4 B,
ΒΘ duabus ΖΓ, ΓΖ aequales sunt [I, 34], et /, 4BO
— IZ, erit etiam 40 — 4Ζ, et Δ ABO — 4“1ΓΖ
[I, 4]. et BH—24B0, ΓΕ --. 24Γ2Ζ [1], 84]. ita-
que BH — ΓΕ. similiter demonstrabimus, esse etiam
AI'— HZ, AE — ΒΖ.
Ergo si solidum planis parallelis comprehenditur,
plana eius inter se opposita aequalia sunt et paral-
lelogramma; quod erat demonstrandum.

comp. F. 17. ἴση ἐστί BV b. 18. ἴσον ἐστίν᾽ καί ἐστι)
om. F, hab. φ. ἐστίν] ἐστί PBV, comp. b. 20. BH] 9
seq. lac. 4 litt. 21. τῷ ΓῈ παραλληλογράμμῳ] om. F.

29. HZ] mut. in H X b. 24. ἐπιπέδων — 36. δεῖξαι) καὶ
τα ἑξῆς Υ. 26. παραλληλόγραμμα] παράλληλα b, corr. mg.
m. 1.

ὅ

10

15

20

14 ZTOIXEION ια΄.

,

X6.

Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ
τμηϑῇ παραλλήλῳ ἴντι τοῖς ἀπεναντίον ézi-
πέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, ov-
τῶς τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.

Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ 4ΒΓ 4 ἐπι-
πέδῳ τῷ ZH τετμήσϑω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναν-
víov ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ͂, 46: λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ
ΔΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ
ABZT στερεὸν πρὸς τὸ EHI'4 στερεόν.

Ἐκβεβλήσϑω γὰρ ἡ 46 ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ
κείσϑωσαν τῇ μὲν AE ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ AK,
KA, τῇ δὲ EO ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἴ ΘΜ, MN, καὶ
συμπεπληρώσϑω τὰ 40, ΚΦ, ΘΧ, MZ παραλληλό-
γραμμα καὶ và 4Π, KP, 4M, MT στερεά. καὶ ἐπεὶ
ἴσαι εἰσὶν αἱ AK, ΚΑ, AE εὐϑεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα
ἐστὶ καὶ τὰ μὲν 40, ΚΦ, AZ παραλληλόγραμμα
ἀλλήλοις, τὰ δὲ KA, KB, AH ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ
AT, ΚΠ, AP ἀλλήλοις" ἀπεναντίον γάρ. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, OX, ΜΣ παραλληλόγραμμα
ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ OH, OI, IN ἴσα εἰσὶν ἀλ-
λήλοις, καὶ ἔτι τὰ 210, ΜΩ, NT" τρία ἄρα ἐπίπεδα
τῶν AI], KP, AT στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν
ἴσα. ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα"

1. κε κϑ' F. 2. παράλληλον ἐπίπεδον Fb.
4. οὕτω Β. 6. παράλληλον ἐπίπεδον YF Ὁ. τῷ b.
10. ABZ T] Zin ras. m. 1 B. 14. ΜΟ] in ras. P; corr. ex
ΑΘ m. 1 b. 15. AII] 4 cor.ex b. . 4M] M'"4'
b | MT)JNTP,MI'b 19. 4Ρ] 4e corr. b. 21. τὰ
δέ — ἀλλήλοις] mg. m. 2 euan. F. 6 I] ΘΡ e corr. b.
IN] 'I"N, I corr. ex P b. 28. ἐστίν] εἰσίν P. 24. τρι-
σίν P. ἐστίν] mut. in εἰσίν b, εἰσίν F.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 15

XXV.

Si solidum parallelepipedum?) plano secatur planis
inter se oppositis parallelo, erit ut basis ad basim,
ita solidum ad solidum.

Nam solidum parallelepipedum .4BI'4f secetur
plano ΖΗ planis PA, 4/9 parallelo. dico, esse

AEZO:EGTZ — ABZT: EHI A.
producatur enim A46 in utramque partem, et po-
nantur quotlibet rectae 4 K, K 4 rectae 4E aequales,

T 4 d T

u

|

rectae autem EG aequales quotlibet ΘΜ, MN, et
expleantur parallelogramma 40, ΚΦ, 6X, MZ et
solida 4Π, KP, 4M, MT. et quoniam 4K — ΚΑ
-- AE, erit 40 — ΚΦ — 42, KE — KB — AH?)
et praeterea 447 — ΚΠ τ .4P; nam inter se oppo-
sita sunt [prop XXIV]. eadem de causa erit etiam
ED-—0X—MEZ, 0H—O01—IN, 408—M92
-— NT. itaque solidorum 4Π, KP, A47 tria plana
tribus planis aequalia sunt. uerum tria illa plana tribus,

1) Bieut in primo libro (prop. 34) post propositionem prae-
cedenti correspondentem sine definitione infertur uocabulum
παραλληλόγραμμον, ita. hio παραλληλεπίπεδον usurpatur, nomen
per se perspicuum etiam nulla praemissa definitione.

2) Nam et angulos et latera aequalia habent. ergo etiam
similia sunt. :

σι

10

15

20

26

16 XZTOIXEISNN ια΄.

τὰ ἄρα τρία στερεὰ và AII, KP, AT ἴσα ἀλλήλοις
ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ EA,
4M, MT ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν
ἢ AZ βάσις τῆς 42 βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι.
καὶ τὸ ΑΥ̓͂ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ZO βάσεως.
τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΎ στερεὸν τοῦ OTT στε-
ρεοῦ. καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ AZ βάσις τῇ, ΝΖ βάσει,
ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ AT στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ. καὶ s
ὑπερέχει ἡ AZ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως. ὑπερέχει καὶ
τὸ ΑΥ̓ στερεὸν τοῦ IN T στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλ-
λείπει. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βά-
osov τῶν 42, ZO, δύο δὲ στερεῶν τῶν AT, TO,
εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν 42 βάσεως καὶ
τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἤ τε AZ, βάσις καὶ τὸ ΑΥ στερεόν,
τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ OT στερεοῦ ἥ τε ΝΖ
βάσις καὶ τὸ ΝΥ͂ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑὕπερ-
ἔχει ἡ 42 βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ
ΑΥ στερεὸν τοῦ NT [στερεοῦ], καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ
εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AZ βάσις πρὸς
τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ 4T στερεὸν πρὸς τὸ TO
στερεόν" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
XS.

Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ
σημείῳ τῇ δοϑείσῃ στερεῷ γωνίᾳ ἴδην στερεὰν
γωνίαν συστήσασϑαι.

1, ἄρα] «€ supra m. rec. P; post ras. 2 litt. F. c] e
eorr. V. AII] KH F; supra A4 scr. 4 m. 1b. — 2. ἐστέ BV,
comp. b, εἰσί τὰ] (alt.) ins. m. ἃ F. 8. ἐστίν] mut.
in εἰσίν m. 1 P. 4. AZ] 42 supra scr. 4B m. 1 b.
τοσαυταπλασίων b et e corr. F. 7. ἐστι] supra m. , P.

ELEMENTORUM LIBER XI. "ἢ

quae lis opposita sunt, aequalia sunt [prop. XXIV].

ergo 41] — KP-— AT.') eadem de causa erit EZ

— 24M -—MT. itaque quoties multiplex est 4Z
basis basis 42, toties multiplex erit etiam solidum
AT solidi 4T. eadem de causa quoties multiplex est
basis NZ basis ZO, toties multiplex erit etiam soli-
dum NT solidi 9T. et & A4Z-— ΝΖ, erit etiam
AT — ΝΎ, sin 4Z NZ, erit etiam 4T — ΝΎ, sin
autem 44Z « ΝΖ, erit 4T « NT. itaque datis quat-
tuor magnitudinibus, duabus basibus 42, ΖΘ et duo-
bus solidis 4T, TO sumpta sunt aeque multiplicia
basis 42. οὐ solidi 47 basis 42 et solidum 47,
basis autem ΘΖ et solidi 9T basis ΝΖ etffsolidum
NT, et demonstratum est, si 4Z — ΖΝ, esse eliam
ATNT, sin AZ-—ZN, esse 4T — NT, sin
aulem 4Z « ZN, esse AT «NT. erit igitur 4Z
: Z0 — AT: TO [V def. 5); quod erat demonstrandum.

XXVI.
Ad datam rectam et punctum eius angulum soli-
dum construere dato angulo solido aequalem.

1) Ex def. 10, quia plana ea comprehendentia etiam si-
milia sunt bina simul coniuncta. de trinis u. pag. 75 not. 2.
de ceteris ex prop. 94 sequitur, nec opus erat, ut ibi propria
demonstratione ostenderetur, quia p. 72, 17 demonstratum est,
iriangulos congruentes esse (u. I, 4), h. e. σα τε καὶ ὅμοια.

8. AZ] bis P, corr. m. 1. 9. ἐστί] supra scr. comp. m. 2 F.
AT] supra A scr. 4 m. 1 b. 10. NZ] Z in ras. V.

18. τῶν} supra scr. m. 2 B. δέ] corr. ex δή m. 2 V, δή b.
τῶν] supra scr. m. 2 B. 15. AZ] corr. ex 4Z m. 1 et

m.2b. 16. OT] EZ, E in ras. P. 18. ZN] ΝΖ BV.
19. στερεοῦ) om. BFYV b. ἴση) ἴσον PF'V et in ras. b.
20. 7] supra scr. m. 1 P. 25. -σὴν e corr. m. rec. V.

18 ZTOIXEIQON ια΄.

Ἔστω ἡ uiv δοϑεῖσα εὐθεῖα ἢ 4B, τὸ δὲ πρὸς
αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ 4, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γω-
νία ἡ πρὸς τῷ 4 περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ EALI,
EAZ, 24Γ γωνιῶν ἐπιπέδων" δεῖ δὴ πρὸς τῇ AB

6 εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ
4 στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασϑαι.

Εἰλήφϑω γὰρ ἐπὶ τῆς 4Z τυχὸν σημεῖον τὸ Z,
καὶ ἤχϑω 'ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΖ. AT ΄ ἐπί-
πεδον κάϑετος ἡ ΖΗ͂, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ

10 κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεξζεύχϑω ἡ 4Η, καὶ συνεστάτω πρὸς
τῇ 418 εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ A τῇ
μὲν ὑπὸ EAT γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ BAA, τῇ δὲ ὑπὸ
EAH ἴδη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσϑω τῇ 4H ἴση ἡ
AK, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ K σημείου τῷ διὰ τῶν

15 BA44 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἡ KO, καὶ κείσϑω ἴση
τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ Ot λέγω, ὅτι ἢ
πρὸς τῷ .4 στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν B.A 4,
Β4Θ, 644 γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ 4 στερεᾷ
γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν EAT, EAZ, 24Γ

90 γωνιῶν.

᾿4πειλήφϑωσαν γὰρ ἴσαι al AB, AE, καὶ ἐπεξεύχ-
ϑωσαν αἴ ΘΒ, KB, ΖΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρϑή
ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας
ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ

25 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς ποιήσει γωνίας" ὀρϑὴ ἄρα

Qx

8. τῷ] mut. in τό m. 1 b. 4. EZZ] Z non liquet in F.
ὅ. τῷ 4] τῇ 4P. 9.v0]O0m.P. τῷ ἐπιπέδῳ] supra scr. m. 1 F.
19. δέ) om. F. 14. ΑΚ] K e corr. m. 1 F. 16. ἡ] (tert.)
supra m. 2 P. 18. éerív B, corr. m. 2. — Post 4 ras. 1 lit. B.
19. τῇ͵] om. Vbg. ZALTD'|supra scr. m. 2B. 21. af ἴσαι
B, corr. m. 2. 32. KB, ΖΕ, HE] ΖΕ" HE" KB' Vb (in
H E tertia lineola add. in b); ΖΕ, HE F uel potius y, in ΖΕ
uestig. 2 lineolarum.

ELEMENTORUM LIBER XI. 9

Sit data recta 4B et datum eius punctum 4, datus
autem angulus solidus is, qui ad 4f positus est angu-
lis planis EZI', EZ4Z, ZAT' comprehensus. oportet
igitur ad rectam 4B et punctum eius 44 angulum
solidum construere solido angulo, qui ad 4) positus
est, aequalem.

sumatur enim in 42 punctum aliquod Z, et ἃ Z
ad planum rectarum Ei, 2 Γ' perpendicularis ducatur
ZH [prop. XI], οὐ cum plano concurrat in H, et du-

catur ΖΗ, et ad rectam 4B et punctum eius 4 con-
siruatur ( BJ44 — EAT, LBAK — EAH [I, 23],
ei ponatur 4K — 4H, οὐ in puncto K ad planum
rectarum B4, 4.4 perpendicularis erigatur ΚΘ [prop.
XII], et ponatur ΚΘ — HZ, et ducatur 6.4. dico,
angulum solidum, qui ad 44 positus sit angulis B.4 4,
B 469, 0 4.4 comprehensus, aequalem esse angulo so-
lido, qui ad Z/ positus sit angulis EZATI', EA4Z, ZAT'
comprehensus.

abscindantur enim 4B, 71 E inter se aequales, et
ducantur ΘΒ, KB, ΖΕ, HE. et quoniam ZH ad pla-
num subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes
rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas

80 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ LH4,ZHE γωνιῶν. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ͂, ΘΚΒ γωνιῶν
ὀρϑή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, AB δύο ταῖς H A,
ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρα, καὶ γωνίας ἴσας περι-
5 ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ KB βάσει τῇ HE ἴση ἐστίν.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ low καὶ γωνίας ὀρϑὰς
περιέχουσιν" [og ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ
δύο αἴ 4K, KO δυσὶ ταῖς 4H, HZ ἴσαι εἰσίν, καὶ
γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ 40 βάσει τῇ
10 Z4 ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ AB τῇ AE ἴση" δύο
δὴ αἱ 0.4, 48 δύο ταῖς 4Z, 4Ε ἴσαι εἰσίν. καὶ
βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ low γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ
B.40 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAZ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑ 4 τῇ ὑπὸ Ζ4Γ ἐστιν ἴση [ἐπειδήπερ
15 ἐὰν ἀπολάβωμεν ἴσας τὰς 441, AT καὶ ἐπιξεύξωμεν
τὰς ΚΑ, 694, HI', 2Γ, ἐπεὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑ. ὅλῃ
τῇ ὑπὸ EAD ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ
EAH ὑπόκειται ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑ 4 λοιπῇ
τῇ ὑπὸ HAI' ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, 44
80 δυσὶ ταῖς H4, 4Γ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περι-
ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΑ βάσει τῇ HI ἐστιν ἴση.
ἔστι δὲ καὶ ἢ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση" δύο δὴ αἱ AK, ΚΘ
δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΖ εἰσιν ἴσαι" καὶ γωνίας ὀρϑὰς
περιέχουσιν" βάσις ἄρα ἡ 9.4 βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.
95 καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ͂, 44 δυσὶ ταῖς Z4, 4Γ εἰσιν
ἴσαι, καὶ βάσις ἡ ΘΑ͂ βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση, γωνία
ἄρα ἡ ὑπὸ 6.44 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΖΓ ἐστιν ia]
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑ. τῷ ὑπὸ EAT ἴση.
Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθεία τῇ 4B καὶ τῷ πρὸς

8. ἐστι V, comp. F b. δύο] (alt.) δνσί Vb. 4. περι-
ἔχουσι PVb. | 6. BKB. | HE] E'H"F. éotív] om. Vb.

ELEMENTORUM LIBER XI. 81

reclos angulos efficiet [def. 3]. itaque uterque angulus
ZH4,ZHE rectus est. eadem de causa etiam uter-
que angulus €9K 4, GKB rectus est. et quoniam
duae rectae ΚΑ, 4B duabus HZ, 4E singulae sin-
gulis aequales surit, et angulos aequales comprehen-.
dunt, erit ΚΒ — HE ΤΊ, 4]. uerum etiam ΚΘ — HZ;
ei angulos rectos comprehendunt. itaque ΘΒ —ZE
(id.]. rursus quoniam duae rectae 4K, ΚΘ duabus
4H, H Z aequales sunt, et angulos rectos comprehen-
dunt, erit 40 — Z4 [id]. uerum etiam 4B - 2 E.
itaque duae rectae 6.4, 4B duabus ZZ, 4E aequales
suni; et ΘΒ — ΖΕ. itaque [| Β4Θ — EZ [I, 8].
eadem de causa!) erit etiam /, 644 — ZI: uerum
erab etiam ( BAA44 — EAT.

Ergo?) ad datam rectam 4B et punctum eius 4

1) Haec uerba (lin. 18 s&eq.) satis ostendunt, ea quae sequuntur
lin. 14 —27 genuina esse non posse; huc adcedit, quod totus
ille locus perplexiore sententiarum nexu laborat, quam quo
utitur Euclides.

2) Simsonus iure uituperauit, quod nusquam demonstratum
est, angulos solidos, qui aequalibus angulis planis eodem ordine
contineantur, aequales esse. nam hoc quasi axiomate nititur
demonstratio Euclidis. saltim ad similitudinem def. 10 definiri
debuerunt aequales anguli solidi.

6. ἔστιν PB, comp. b. 7. zsgiégovot Vbg. ἴση) βάσις
Vb et g (non F). καί] om. V et g (non F). ΖΕ) ΖΕ
ἴση ἐστέ Vb; yo. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ZE mg. m. 1 b.
8. εἰσί Vb, comp. F. 9. περιέχουσι Vb et o (non F).
10. Zd] E4 F, 42 Βα fou» B. 11. 4Z, AE] "AZ' ΖΕ,
supra alt. Z scr. 4 m. 1 b; litt. 4Z, Z eras. V; Z4, AE B.
εἰσί V, comp. Fb. 14, 644] 644, corr. m. 1 b. ZAIT
427 F. 15. 4T] AT, sed corr, Ὁ. 16. KA] AK F.
64] corr. ex ΘΑ Fb. — 20. δυσίν B. εἰσίν] comp. F, εἰσί
PVb. περιέχουσιν) BF, περιέχουσι PVbqg. 22. ἔστιν ΕΒ.
ΚΘῚ ΘΚ F. AK) e corr. b. 94. περιέχουσι V b.
26. ἴσαι εἰσίν B. 236. ZU] ΓΖ F. γωνία] καὶ γωνέα BFV b.
27. 644] corr. ex €9BA m. 1 b.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 6

10

1

cx

20

28

89 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ια΄.

αὐτῇ σημείῳ τῷ Α' τῇ δοϑείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς
τῷ 4' i65 συνέσταται' ὅπερ ἔδει ποιῆδαι.

x£'.

“πὸ τῆς δοϑείσης εὐθείας τῷ δοϑέντι στε-
ρεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως
κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀνα-
γράψαι.

Ἔστω ἡ μὲν δοϑεῖσα εὐθεῖα ἡ 48, τὸ δὲ δοϑὲν
στερεον παραλληλεπίπεδον τὸ Γ4' δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς
δοθείσης εὐθείας τῆς 418 τῷ δοϑέντι στερεῷ παραλ-
ληλεπιπέδῳ τῷ I'4 ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον
στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.

Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ 418 εὐϑείᾳ καὶ τῷ πρὸς
αὐτῇ σημείῳ τῷ .4 τῇ πρὸς τῷ Γ στερεῷ γωνίᾳ ἴδη
q περιεχομένη ὑπὸ τῶν BA4O, OAK, ΚΑΒ, ὥστε
ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ Β4Θ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ,
τὴν δὲ ὑπὸ BAK τῇ υπὸ EI'H, τὴν δὲ ὑπὸ K AG
τῇ ὑπὸ HI'Z: καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν
ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν 4Κ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς
τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν A40. καὶ δι᾿ ἴσου
ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς
τὴν 46. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλό-
γραμμον καὶ τὸ 44 στερεόν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἡ
ΒΑ πρὸς τὴν AK, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ
ΕΓΗ, ΒΑΚ ai πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα
ἐστὶ τὸ HE παραλληλόγραμμον τῷ KB παραλληλο-

2. συνέσταται, ( in ras. V; συνεστάτω q. ποιῆσαι] ") δεῖξαι,
mg. ye. ποιῆσαι, m. 1 Vb. 9. κξ΄] m. rec. F. 5. παραῖ-
ληλωξπιπ. COrr. in παραλληλοεπιπ. b, qui hane formam lin. 6

ELEMENTORUM LIBER XI. 83

dato angulo solido, qui ad 47 positus est, aequalis
angulus constructus est; quod oportebat fieri.

XXVII.

In data recta solidum parallelepipedum construere
dato solido parallelepipedo simile et similiter positum.

Sit data recta 4B et datum solidum parallelepi-
pedum ΓΖ. oportet igitur in data recta 4B solidum
parallelepipedum construere dato solido parallelepipedo
I4 simile et similiter positum.

eonstruatur enim ad rectam 4B et punctum eius
4 solido angulo, qui ad Γ᾽ positus est, aequalis angulus
angulis 840, 94K, K AB comprehensus, ita αὖ sit
L BAO — ΕΓΖ, BAK — EDPH, K A0 — HI'Z [prop.
XXVI]. et fiat

ΕΓ: ΓΉΞΞ B4: AK, HI':I'Z— KA: 40.
quare etiam ex aequo erit ΕΓ: ΓΖ — B.4: 40 [V,
22]. et expleantur parallelogrammum ΘΒ et solidum 414.

et quoniam οδὺ EI':I'H — Ba4:44K, et latera
aequales angulos EI'H, ΒΑΚ comprehendentia pro-
portionalia sunt!), erit HE -- K B. eadem de causa

1) H. e. οὐ quoniam aequales sunt anguli, quos latera
haec proportionalia comprehendunt". de eo, quod inde con-
cluditur, esse ΗΕ c» KB, cfr. uol. II p. 158 not. 2.

praebet. 8. εὐθεῖα) postea add. m. 1 P. 14. γωνίᾳ
στερεᾷ V b. 15. vov] τῶν ὑπό Vb. 17. τὴν δὲ] καὶ
ἔτι τήν Theon (ΒΕ Wb). 18. ΗΓΖ] litt. Η Τ' e corr. b.
τήν] om. F'V b. 19. HI] DH Vb. 21. DE P.
ZI P. 22. G B] Pb et corr. ex ΘΓ m. 1 V; B6 B et
ut uidetur F (HE). 28. 4.1] in ras. V, 44b. —— 24. ἡ]
(prius) supra m. 1 8. τὴν ΓΗ] mg. m. 1 V, I' litt. e corr.
b. 26. af] καί comp. b, καί corr. in af V. — Ante ἄρα eras.
y m. 1 P. 21. ἐστίν P. KB] litt. B e corr. b. παρ-
αλληλογράμῳ P.

6

84 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

γράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλό-
γραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ
ἔτι τὸ ΖΕ τῷ 0B: τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ
ΓΖ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ 4.4 στε-
ὅ ρεοῦ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναν-
τίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς
ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια ὅλον ἄρα τὸ I'4
στερεὸν ὅλῳ τῷ 4144 στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.
"imo τῆς δοθείσης ἄρα εὐϑείας τῆς 41Β τῷ δο-
10 ϑέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΩ͂ ὅμοιόν τε καὶ
ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ 4... ὅπερ ἔδει
ποιῆσαι.
κη΄. |
"àv στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ
15 τμηϑῇ κατὰ τὰς διαγωνίέους τῶν ἀπεναντίον
ἐπιπέδων. δίχα τμηϑήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ
ἐπιπέδου. ᾿
Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ AB ἐπιπέδῳ
τῷ ΓΖΕΖ τετμήσϑω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεν-
20 ἀντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, 4 Ε᾿ λέγω, ὅτι δίχα τμηϑή-
ὄεται τὸ 48 στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΖ EZ ἐπιπέδου.
᾿Επεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ
ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ AA4E τῷ 4Ε6Θ, ἔστι δὲ καὶ τὸ
μὲν I'A παραλληλόγραμμον τῷ EB (cov: ἀπεναντίον
οὔ γάρ᾽ τὸ δὲ HE τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περι-

1, μέν] mg. m. 1 V. 8. τοῦ] mg. m. 1 V; ante hoc uocab.
rep. lin. 2. ὅμοιόν — 8. vov, sed delet. m. 1 Y. 4. τρισίν B.
6. τε] om. P. τὰ δέ — 7. ὅμοια] punctis del. b, del. m.
2B,om.FV. 6.-vqwo(v P. 9. ἄρα δοθεέσις Theon (BF Vb).
12. ποιῆσαι] δεῖξαι PF Vb; yo. ποιῆσαι mg. m. 1b. 18. A8'
F. 16. -μη- in ras. m. 1 P. 21. ὑπὸ τοῦ ΓΖ in rae. m. 1
28. DZ'B' Vb. ἔστιν P. καί] καὶ ὡς P. 24. BE F.

ELEMENTORUM LIBER XI. 85

erit etiam K9 — HZ et ΖΕ. ΘΒ. itaque tria par-
allelogramma solidi l4 iribus parallelogSrammis solidi
A A similia sunt. ue-

rum in utroque so-

Z 4 lido iria parallelo-
e gramma iribus,

quae iis opposita

H sunt,aequalia!)sunt

1 4 B et similia. itaque

ΓΖ. 44 [def.9].

Ergo in data recta 4 B dato solido parallelepipedo

I'4 simile et similiter positum constructum est 4 4;
quod oportebat fieri.

XXVIII.

Si solidum parallelepipedum secundum diagonales
planorum inter se oppositorum plano secatur, solidum
plano in duas partes aequales secabitur.

p 7 Nam solidum parallelepipedum
A4 B plano ΓΖ EZ secundum dia-
e gonales planorum ΓΖ, 4 E inter
Ἢ 86 oppositorum secetur. dico, so-
^ lidum 4B plano ΓΖ EZ in duas

4 4 partes aequales secari.

Quoniam enm ΓΗΖ -- ΓΖΒ οὐ 44E-—— AEG
[I, 34], οὐ praeterea I'4 — ΒΕ (nam inter se oppo-
sita sunt) οὐ ΗΕ — ΓΘ [prop. XXIV], prisma duobus

1) Ex prop. XXIV. cur eadem similia sint, supra dictum
est p. 77 not. hoc solo utitur; nam ut adhibeatur def 9,
satis est demonstrare, duo solida omnibus planis similibus
contineri.

86 ZTOIXEION ια΄.

ἐχόμενον ὑπὸ δύο uiv τριγώνων τῶν l'HZ, 44Ε,
τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν HE, AI', ΓΕ ἴσον
ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τρι-
γώνων τῶν ΓΖΒ,. 4 ΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων

ὅ τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ" ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχον-
ται τῷ τε πλήϑει καὶ τῷ μεγέϑει. ὥστε ὅλον τὸ AB
στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΖ ΕΖ ἐπιπέδου" ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

κϑ'.

10 Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν at
ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα
ἀλλήλοις ἐστίν.

Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς 4B στερεὰ πὰρ-

15 αλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἵ
ἐφεστῶσαι αἱ AH, AZ, AM, AN, ΓΖ, ΓΕ, ΒΘ,
BK ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ, 4 Κ᾿
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ I'M στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.

Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν

80 ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἢ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν 40, EK:
ὥστε καὶ ἡ 4Θ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση. κοινὴ ἀφῃρήσϑω
ἢ ΕΘ' λοιπὴ ἄρα ἡ 4Ε λοιπῇ τῇ OK ἐστιν ἴση.
ὥστε καὶ τὸ μὲν ΦΙΓΕ τρίγωνον τῷ OBK τριγώνῳ
ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ AH παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ

25 παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 4Z H τρί-
yovov τῷ MAN τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ

1. τέμνεται BF. 9. Ay' F. 15. ὑπό] 9- e corr. m.
2 Ὁ. 16. AH] e corr. b, AZ BFV. — AZ] AH BF et
ecor. V. 90. DB] BF. 23. OBK] 8B"K" F, GKB

ELEMENTORUM LIBER XI. 81

triangulis ΓΗ͂Ζ, 44Ε et tribus parallelogrammis
HE, 4Γ, l'Ecomprehensum prismati duobus triangulis
IZB, 4 EO ei iribus parallelogrammis ΓΘ, BE, ΓΕ
eomprehenso aequale est; nam planis et numero et
magnitudine aequalibus comprehenduntur (def. 10].*) .
quare totum solidum 4B plano ΓΖ EZ in duas par-
les aequales sectum est; quod erat demonstrandum.

XXIX.

Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et
eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes
in iisdem rectis sint, inter se aequalia sunt.

In eadem basi 4B solida parallelepipeda I'M, ΓΝ
collocata sint eandem alti-
tudinem habentia, quorum
Z y rectae eminentes ΑΗ, 42,
AM, AN, ΓΖ, I E, ΒΘ,
BK in iisdem sint rectis
ΖΝ, 4K. dico, esse I'M
—IN.

Nam quoniam utrumque ΓΘ, ΓΚ parallelogram-
mum est, erit ΓΒ utrique 760, EK aequalis (I, 34].
quare etiam 2/60 — EK. auferatur, quae communis
est, EO. itaque 4 — ΘΚ. quare etiam

ATE —0BK [I, 4] et 4H — ΘΝ [I, 36].
eadem de causa erit etiam 4ZH — MAN. uerum

4 E e

A

1) Cum hic nihil ad rem pertineat, quod parallelogramma,
quae solida comprehendunt, et ipsa solida eadem similia sunt,
parte sola definitionis 10 usus est Euclides.

e corr. V. 24. ἐστί PB, comp. Fb. ἐστίν, τό] ἐστι τό,
corr. ex ἐστινοῦ. 25. AZH] AHZ BF.

τϑ8 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

10

15

20

2b

τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ BM παραλληλο-
γράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ' ἀπεναντίον yaQ:
καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τρι-
γώνων τῶν AZH, 4ΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογραάμ-
μῶν τῶν 44d, 4H, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ
περιεχομένῳ ὑπὸ δύο. μὲν τριγώνων τῶν MAN,
6BK, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν BM, ON,
ΒΝ. κοινὸν προσκείσϑω τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μὲν
τὸ 4B παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ HEGM*
ὕλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ
ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.

Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι
ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν"
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

λ΄.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παρ-
αλληλεπέπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν al ἐφ-
ἑστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν. ἴσα
ἀλλήλοις ἐστέν.

Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς 4B στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἵ
ἐφεστῶσαι αἴ 42. AH, AM, AN, I4, ΓΕ, BO,
BK μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν" λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ I'M στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.

᾿Εκβεβλήσϑωσαν γὰρ αἱ NK, 40 καὶ συμπιπτέ-

2. có] corr. ex τῷ m. 1 F. 8. μὲν ὑπὸ δύο Vb.
4. ATE| 4ΕΤ' B. 5. ΓΗ] HI' V, et sapra Scr. m.
corr. in ΓΗ m. 9 b. 6. MAN] N e corr. 7. zs]

sustulit macula in V, supra est à add. » m. 2. ΘΝ] Ne
BF et ecor. V. 9. τὸ HEO M] mg. (addito yq.) b; in textu

ELEMENTORUM LIBER XI. 89

eliam ΓΖ — ΒΜ, ΓΗ — BN [prop. XXIV]; nam inter
se opposita sunt. itaque etiam prisma duobus irian-
guls 4ZH, ΖΓΕ οὐ tribus parallelogrammis 4 Zl,
ΖΗ, ΓΗ comprehensum prismati duobus triangulis
MAN, €BK et iribus parallelogrammis BM, ΘΝ,
BN comprehenso aequale esi. commune adiiciatur
solidum, cuius basis est 4B paralleloprammum, ei
aulem oppositum H EOM. itaque I'M —I'N.

Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collo-
cata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae
eminentes in lisdem rectis sint, inter se aequalia suni;
quod erat demonstrandum.

XXX.

Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et
eandem altitudinem haben-
tia, quorum rectae emi-
nentes in iisdem rectis non
sint, inter se aequalia sunt.

In eadem basi 4B so-
lida sint parallelepipeda
I'M,I'N eandem altitudi-
nem habentia, quorum rec-
iae eminentes 42, 44H,
AM, AN, ΓΖ, ΓΕ, ΒΘ,
BK in iisdem rectis non sint. dico, esse ΓΜ — ΓΝ.

produeantur enim ΝΑ, 41Θ et inter se concurrant

ras. est. 10. στερε- in ras. m. 1 B. 11. PN] N e corr. F.
ἐστί V, comp. Fb. 16. 17 oin. p. . 21. ἔστωσαν BF V.
παράλληλα ἐπίπεδα F. 22. af] supra scr. m. rec. P.

26. NK] N e corr. m. 2 b.

1

90 ZTOIXEISN ια΄.

τωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ P, xol ἔτι ἐκβεβλήσϑωσαν
αἱ ΖΜ, HE ἐπὶ τὰ Ο, II, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AB,
40, ΓΠ, ΒΡ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, ov βάσις
μὲν τὸ ΑΓΒ. παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ
5 ΖΩΘΜ, τῷ ΓΟ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΑ
παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ἢ ΠΡΟ᾽ ἐπί τε
γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς 4ΓΒ 4 καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ
ὕψος, ὧν αἵ ἐφεστῶσαι αἱ 4Z, AE, AM, 40, ΓΖ,
IH, ΒΘ, BP ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ZO,
10 ΖΡ, ἀλλὰ τὲ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ
ΑΓΒ 4 παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ SIIPO,
ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ 4ΓΒΑ͂
παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ' ἐπί τε
γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς 4ΓΒ. καὶ
15 ὑπὸ τὸ αὐτο ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ AH, AR,
ΓΕ, ΓΠ, AN, 40, BK, BP ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν
εὐθειῶν τῶν HII, ΝΡ. ὥστε καὶ τὸ I'M στερεὸν
ἴσον ἐστὶ τῷ I'N στερεῶ.
Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλ-
40 ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ
εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐϑειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν"
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

8. ἐστιν P. 6. Z46 M] 4 e corr. b, Z4M8 F5, sed
MO euan.; corr. in mg. Pro τὸ Z9 M in B est τὸ ΠΡΟ,
sed del. τὸ Z460 M — 6. SIIPO] mg. m. rec. B. 5. AB
B. 6.«e] eras. V. — 7. ἐστι comp. V. ΑΓΒ.) 4 e corr.,
supra scr. 4 m. 1 b. καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος] August; om.
Pg; καί BV b. 8. óv] om. 9; αὐτῶν B et corr. ex αὐτῶν
ὧν m. 2 V; αὐτῶν ὧν b. AZ] corr. ex A/S m. 2 V.

9. ΓΠῚ TII, sed T e corr. m. ἃ b; ΓΕ P, sed corr. m. 9 euan.
10. μέν] om. B, supra add. postea m. 1F. ἐστι] om. F' V b.
11. AI'BA] Din ras. m. 2 B. SII"OP' V, EIIP' O' b.
12. μέν] om. P. μὲν τὸ AI'BA] om. g. 18. ἐπί] corr.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 91

in P, et praeterea producantur ZM, HE ad O, Π,
et ducantur 4X, 40, ΓΠ, BP. itaque solidum I'M,
eulus basis est parallelogrammum ΑΓΒΛ, ei autem
oppositum Z 4/0 M, aequale est solido I'O, cuius basis
est parallelogrammum AI'BA, ei autem oppositum
AIIPO; nam in eadem basi sunt A4I'B.4 et sub eadem
altitudine, οὐ rectae eorum eminentes 4Z, 45, 4M,
40, ΓΖ, ΓΙ, ΒΘ, BP in iisdem rectis sunt ZO,
4 P [prop. XXIX]. sed solidum ΓΟ, cuius basis est
parallelogrammum ΑΓΒ A, ei autem oppositum αἰ ΠΡΟ,
aequale est solido I'N, cuius basis est parallelogram-
mum 4ΓΒ A4, ei autem oppositum H EK N; nam rursus
in eadem basi sunt 4I'B.4 et sub eadem altitudine,
et rectae eorum eminentes 4H, ΑΞ, ΓΕ, I'II, AN,
440, BK, BP in iisdem rectis sunt HII, N P [id].
quare erit I'M — I'N.

Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collocata
οὐ eandem altitudinem habentia, quorum rectae emi-
nentes in iisdem rectis non sint, inter se aequalia
sunt; quod erat demonstrandum.

ex éxe( V. 14. πάλιν] om. ΒΕ, καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος] August;
om. PF; καί BVb. 16. ὧν] αὐτῶν B et corr. ex αὐτῶν ὧν
V; αὐτὸ ὧν b. 16. ΓΠΊ e corr. m, 2V, Γ΄ Π’ b. AN] N
e corr. m, 2 V. 19. τῆς αὐτῆς βάσεως στερεα] P; τ. a. f. ὄντα
στερεά in ras. V, τῆς αὐτῆς βάσεως b; ἴσων βάσεων στερεά BF
οὗ mg. Vb m. 1. 20. αἴ] καί P, supra scr. of m. 2.

921. αὐτῶν] om. F. — £aevív] εἰσίν BF.

σι

10

15

92 ZTOIXEISN ια΄.
λα΄.

Τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλ-
ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις
ἐστίν.

Ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν 48. ΓΖ στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα và AE, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος. λέγω,
ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ AE στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.

Ἔστωσαν δὴ πρότερον αἴ ἐφεστηκυῖαι αἴ ΘΚ, BE,
AH, AM, OIl, AZ, ΓΗ͂, ΡΣ πρὸς ὀρϑὰς ταῖς AB,
I'4 βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἐπ’ εὐθείας τῇ IP
εὐθεῖα ἡ PT, καὶ συνεστάτω πρὸς vij PT εὐθείᾳ καὶ
τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ 4.48 γωνίᾳ ἴση
ἡ ὑπὸ TPT, καὶ κείσϑω τῇ μὲν 4A ἴση ἡ PT, τῇ
δὲ AB ἴση ἡ PT, καὶ συμπεπληρώσϑω ἥ τε PX βά-
σις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ TP, PT
δυσὶ ταῖς 4.4, AB ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περι-
ἔχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ PX παραλληλόγραμ-
μὸν τῷ ΘΑ͂ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση

»ν ἡ 44 τῇ PT, ἡ δὲ AM τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας

ϑὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ

ραλληλόγραμμον τῷ 44 Μ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ
τὰ δὴ καὶ τὸ 4Ε τῷ ΣῪ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον"

'm ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ 4E στερεοῦ τρισὶ

ραλληλογράμμοις τοῦ "PT στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ

ow. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα

1.ia']om.g. ὅ, 48] Α ecom.b. . 7. AE] E e corr. b.
9. PZ] Zecom. B. zaü]ecor.m 2B. 48] 4e
r.b. 10. βάσεσι Vb — Dein add. B: ἡ δὲ ὑπὸ 4418 τῇ
)ΓΡΩ ἄνισος. τῇ] τῆς Fb. 13. 44B] A e corr. m. 2 Ὁ.
18. 44] corr. ex H4 et m. 1 e& m. 2 b. 14. BA F.
A44] ut lin 18 b. εἰσί BVb, comp. F. 18.604] 0e
T. b; 40 F, et V, corr. ex 84. 19. μὲν ἡ] ἡ μέν B.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 93

XXXI.!)

Solida parallelepipeda in aequalibus basibus collo-
cata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia
sunt.

Solida parallelepipeda 4 E, ΓΖ in aequalibus ba-
sibus 4B, I'Z collocata eandem altitudinem habeant.
dico, esse 4E — ΓΖ.

lam prius rectae eminentes OK, BE, AH, AM,
ΟΠ, 4Z, ΓΞ, ΡΣ ad bases 4B, I4! perpendiculares
sint, et recta I'P in directum producatur, ut fiat PT,
el ad rectam PT et punctum eius P angulo 44B
aequalis construatur [, TP T [I, 23], et ponatur PT
— 44, PT — AB, et expleantur basis PX et solidum
ΨΥ. et quoniam duae rectae TP, PT duabus 4 4,
A4 B aequales sunt, et angulos aequales comprehendunt,
parallelogrammum PX parallelogrammo 6 4 et aequale
et simile est [VI, 14]. et rursus quoniam 4 4 — PT,
AM — PZ, et rectos angulos comprehendfnt, paral-
lelogrammum PI parallelogrammo 44M aequale et
simile est [id.] eadem de causa etiam ^E parallelo-
grammo ΣῪ et aequale et simile est. itaque iria
parallelogramma solidi 4E iribus parallelogrammis
solidi ΨΥ et aequalia et similia sunt. uerum in utro-

1) Prior gura huius propositionis ita prorsus descripta
est, αὐ in cod. P inuenitur, in quo in mg. add. m. 1: ye. ἐν
ἄλλοις ,Ὑ (id quod ad litt. siue compendium ὅ referendum est),

nisi quod solidum 4E ibi non satis adcurate descriptum hic
emendatum est.

44] 4 e cor. b. 21. AM] A e corr. b. 22. Z T] T' in rae.
B. 923. τὰ veía F. 24. ἔστιν P. . 92b. μὲν] supra scr. F et
m. 9 B. ὑπεναντίον F. — Ante ἴσα in b τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς
ὑπεναντίον (v corr. in « m. 1) del. m. 9.

10

94 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον"
ὅλον ἄρα τὸ 41 στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ
JT στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν. διήχϑωσαν
αἱ 4Ρ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ 2.
καὶ διὰ τοῦ T τῇ 4 παράλληλος ἤχϑω ἡ α TOS, καὶ
ἐκβεβλήσϑω ἡ Oz κατὰ τὸ κα, καὶ συμπεπληρώσϑω
τὰ ΩΨ, PI στερεά. ἴσον δή ἐστι τὸ "UO, στερεόν,
οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεν-
αντίον δὲ τὸ 9q, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ
ΡΨ) παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Tdv ἐπέ
τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς PU καὶ ὑπὸ τὸ
αὐτὸ ὕψος, ὧν al ἐφεστῶσαι αἱ P, PT, Τῷ. TX,
Ee, 20, "iq, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν
$,X, c. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ AE ἐστιν ἴσον"

1. τὰ δὲ τρία — ἀπεναντίον] om. BFVb. 2. στερεόν]
bis P, alterum del. m. 1, sed renou. z. 8. ἐστί PBV, comp.
Fb. 4. AP] e corr. V. 6. 49] 4 ecorr. V. ,« T3]
EA post ras. 1 litt. FV, τ P eras. 9), Je b , τῷ s E

9. 6: ,«] corr. ex i m. 2b. 9. oq B, eras. q; ὥς
corr. m. 2. 10. Υ 4] ὁ eorr. m. 2 b. 11. εἰσι} comp. in
ras. V, corr. ex ἐστι b; εἶσιν B. 19. ὧν] PF Vb, xol αὐτῶν
B; yo. καὶ αὐτῶν καί (comp.) mg. b m. 1. aí] ἌΝ om. B.

T9] Ὁ in ras. ΕΝ, e corr. m. 2b. TX] in ras. V, ras.
4 litt. b. 18, Zs] in ras. V, o£ F. ΣΟ] co P; og F, gupra
ΒΟΥ. σῃ m. 1; oy in ras. V et corr. ex ἐγ B; oy "b (y e corr.).

To 3 e corr. b, 14. τῷ] post ras. 1 litt. b; corr. ex
10 m. 1

ELEMENTORUM LIBER XI. 95

que solido tria parallelogramma tribus, quae iis oppo-
sila sunt, et aequalia et similia sunt [p. 77 not. 1].
ilaque totum solidum parallelepipedum AE toli so-
lido parallelepipedo *J/T aequale est [def. 10]. edu-

cantur Z4P, X7 ei inter se concurrant in “ὦ, et per
T' rectae “33 parallela ducatur ,« TON, et producatur
ΟΖ ad κα, et expleantur solida $237, PI. itaque solidum
"U^52, cuius basis est P I^ parallelogrammum, ei autem
oppositum δ. solido ΨΥ, cuius basis est P^ par-
allelogrammum, ei autem oppositum Ὁ᾽ ὦ, aequale est;
nam ei in eadem basi sunt P et sub eadem altitudine,
et rectae eorum eminentes P9, PT, TOS, TX, Σς, Z0,
ψι, "7d in iisdem rectis sunt $2 X, ς [prop. XXIX].

96 ZTOIXEI9SN ια΄.

καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ 4E στερεῷ ἐστιν ἴσον.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ PTXT παραλληλόγραμμον τῷ
£T παραλληλογράμμῳ᾽ ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς
εἰσι τῆς PTT καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς PT,
5 9X: ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ
τῷ AB, καὶ τὸ ΦΤ' ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΖ
ἐστιν ἴσον. ἄλλο δὲ τὸ AT" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ
βάσις πρὸς τὴν 4 T, οὕτως ἡ ΦΤ' πρὸς τὴν 4T. καὶ
ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ
10 τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις,
ἔστιν ὡς ἡ L4 βάσις πρὸς τὴν 4T βάσιν, οὕτως
τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν. διὰ τὰ αὐτὰ
δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ 421 ἐπιπέδῳ
τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπι-
15 πέδοις, ἔστιν ὡς ἡ Φ1Τ βάσις πρὸς τὴν T4 βάσιν,
οὕτως τὸ Φ. ΔΨ στερεὸν πρὸς τὸ PI. ἀλλ᾽’ ὡς ἡ ΓΖ,
βάσις πρὸς τὴν 4 T, οὕτως ἡ £2 T πρὸς τὴν Z4 T* καὶ
ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως
τὸ 2. Ψ' στερεὸν πρὸς τὸ PI. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ,
20 $27 στερεῶν πρὸς τὸ PI τὲν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴδον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ 9, στερεῷ. ἀλλὰ τὸ
Q3 τῷ AE ἐδείχϑη ἴσον" καὶ τὸ AE ἄρα τῷ ΓΖ
ἐστιν ἴσον.
Μὴ ἔστωσαν δὴ ai ἐφεστηκυῖαι αἴ 4Η, ΘΚ, BE,
95 4M, ΓΝ, ΟΠ, 4Z, ΡΣ προς ὀρϑὰς ταῖς AB, I4
βάσεσιν. λέγω πάλιν, ὅτε ἴσον τὸ AE στερεὸν τῷ

2. ΡΥΧΤΊῚ T e corr. b. 4. εἰσιν B. PT] (prius) PI^ B.

6. ἴσον ἐστίν BF. 6. 4B] 4ecorr. m. 1b. 7] Τ 6
corr m. 2 P. ἄρα] supra scr. m. rec. B. 7. 4] 4Γ F;
"A'D Vb. 11. οὕτω PB. 12. τό] (alt) e corr. F. 18. Q1]
I add. m. 2 b. 15. T4] T e corr. m. 2P. 16. οὕτω B.
ἀλλ᾽ ὡς — 19. PI] om. F. | 17. 9T βάσις P. — AT] in ras. V;

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 9"

uerum /T — AE. ilaque etiam 37, — 4E. et quo-
niam ΡΥΧΤ — £T (nam et in eadem basi sunt PT
et in iisdem parallelis PT, X [I, 35]), sed PPXT
--- ΓΖ, quoniam PT"X T — 48, erit etiam 9T — ΓΖ.
aliud autem quoduis est Z1 T. itaque ΓΖ: 4T — 9T
: ΔΤ [V, T]. et quoniam solidum parallelepipedum
I'I secum est plano ΡΖ parallelo planis oppositis,
ert D4:4T-IZ:PI [prop XXV]. iam eadem
de causa, quoniam solidum parallelepipedum (1 sectum
est plano P I^ parallelo planis oppositis, erit $2 T' : T4
z 0p: PI[id]. sed I: 4 T—£€, T: 4T. quare etiam
I'Z: PI —2:PI. itaque utrumque solidum IZ, (937
ad PI eandem rationem habet. quare ΓΖ -- € S (V,9].
uerum demonstratum est, esse (ὦ I7 — 4 E. quare etiam
AE — ΓΖ.
iam rectae eminentes 4H, ΘΚ, BE, AM, ΓΝ,

I P

Oll, 4Z, ΡΣ ad bases 4B, ΓΩ͂ perpendiculares ne
sint. rursus dico, esse 4E — ΓΖ. ducantur enim ἃ

TAB;"T'4b. 19.PI] Ieuan. V. Dein add. στερεόν Theon
(BFVb). 20. στερεόν B, corr. m. rec. λόγον ἔχει B

21. ἐστίν P. τὸ] (alt.) mut. in τῷ b; τῷ BV. 22. 9 V]
£ ecorr b. τῷ] mut. in τό Ὁ, τό BV; οὕτως ἐν ἄλλῳ mg.
m.*1 Vb. 23. ἴσον ἐστόν Vb. ^ Dein add. ὅπερ ἔδει δεῖξαι
PF V b. 25. ΓΝῚ N in ras. V. 26. βάσεσι b et supra
scr. m. 2 V. ἴσον ἐστί Theon (ΒΕ Ὁ).

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. (i

10

15

20

2b

08 ZTOIXEIQS9N ,α΄.

ΓΖ στερεῷ. ἤχϑωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν K, E, H, M,
Il, Z, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον
κάϑετοι αἱ KE, ET, HT, Μῷ, ΠΧ, ZW, NO,
Zl, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατα và A, T,
T, 0, X, Ψ, 9, I σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ
ET, ET, TO, Τῷ, χψΨ, XQ, QI, IU. ἴσον δή
ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ III στερεῷ" ἐπί τε γὰρ ἴσων

βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος,

ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρϑάς εἰσι ταῖς βάσεσιν. ἀλλὰ
τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ AE στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ
III τῷ DZ ἐπί ve γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ
ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ
τῶν αὐτῶν εὐθειῶν. καὶ τὸ AE ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ
στερεῷ ἐστιν ἴδον.

Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλ-
ἐπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν"
ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

λβ΄.

Τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλ-
ληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς al βάδεις.

Ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα
τα AB, IZ: λέγω, ὅτι τὰ AB, ΓΖ στερεα παραλληλ-
ἐπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν
ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ AE βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως
τὸ AB στερεὸν προς vo ΓΖ στερεόν.

2. ΠῚ e corr. b. NN] in ras. V. 3. K SN] KZ F; S in
ras. V. II X] II in ras. m. 1 P. ΝΑῚ] N 1n ras.

4. ΣΎ P. συμβαλέτωσαν V. A] in ras. V. T, T V.
5. σημείωι B, ὦ inras. 6. ET] X inras. V. X*4T]|&E
ras V; TO F. TO] TF. IV]|QUWb 7.K4]ecorr.
V. 8. ΠΣῚ corr. ex ITE m. 1 b. ὑπό] ἐπί b; corr. mg. m.
1. 9. εἰσιν B. 11. εἰσιν P. 19. ὑπό .

ELEMENTORUM LIBER XI. 09

punctis K, E, H, M, II, Z, N, Σ ad planum subia-
cens perpendieulares K 3, ET, HT, MO, ΠΧ, Z V,
N&, ZI, οὐ cum plano in punctis κα, T, T, 6, X,
q^, £2), I concurrant, et ducantur 5 T, 57, T6, T6,
X'D, XO, QI, I*V. iam erit KD — III; nam in
aequalibus basibus sunt K M, ΠΣ et .sub eadem alti-
ludine, et rectae eorum eminentes ad bases perpen-
diculares sunt [per priorem partem huius prop.]. uerum
KO — AE, III — ΓΖ: nam οὖ in eadem basi sunt
et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes in
iisdem rectis non sunt [prop. XXX] itaque etiam
A E — ΓΖ.

Ergo solida parallelepipeda in aequalibus basibus
collocata et eandem altitudinem habentia inter se
aequalia suni; quod erat demonstrandum.

XXXII.
Solida parallelepipeda, quae eandem habent alti
tudinem, inter se eandem rationem habent quam bases.

B 4 K
A T e

Solida parallelepipeda 4B, I'71 eandem altitudinem
habeant. dico, solida parallelepipeda 4B, ΓΖ ean-
dem inter se rationem habere quam bases, hoc est,
esse AE: ΓΖ-- 438: ΓΖ.

m. 1. 18. στερεὸν ἄρα Ὁ. 14. ἴσον ἐστίν b. 18. 1β
om. g. 19. παραλληλοεπίπεδα, eras. o, V; item lin. 22.
21. παδαλληλοεπίπεδα V, ut p. 100, 8, 6. 28. ἐστίν] om. g.
βάσις] om. FV. 26, στερεόν] (prius) om. V.
ΝΞΟ j*

10

15

20

2

σι

100 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

Παραβεβλήσϑω γὰρ παρὰ την ZH τῷ AE ἴσον
τὸ ΖΘ, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ZO, ὕψους δὲ τοῦ
αὐτοῦ τῷ Γ4 στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπλη-
ρώσϑω το ΗΚ. ἴσον δή ἐστι τὸ AB στερεον τῷ HK
στερεῷ" ἐπί τε yao ἴσων βάσεών εἰσι vóv AE, ZO
καὶ ὑπὸ τὸ αὐτο ὕψος. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλ-
ἐπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ 4H τέτμηται παραλλήλῳ
ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις. ἔστιν ἄρα og ἡ ΓΖ
βάσις πρὸς την ZO βάσιν, οὕτως vro ΓΩ͂ στερεὸν
πρὸς τὸ 40 στερεόν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ
AE βάσει, τὸ δὲ HK στερεὸν τῷ AB στερεῷ" ἔστεν
ἄρα καὶ ὡς ἡ 4Ε βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως
τὸ 41 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΖ στερεόν.

Τὰ ἄρα ὑπο τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλ-
ἐπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἵ βάσεις" ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

λγ΄.

Τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλ-
ληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων
πλευρῶν.

Ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ AB, ΓΖ,
ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ AE τῇ DZ λέγω. ὅτι vo AB
στερεὸν πρὸς τὸ ΓΙ 4 στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει,
ἥπερ ἡ 4E πρὸς τὴν ΓΖ.

᾿Εκβεβλήσϑωσαν γὰρ ἐπ᾽ εὐθείας ταῖς 4E, HE,
OE αἱ EK, EA, EM, καὶ κείσϑω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ
EK, τῇ δὲ ΖΝ lon ἡ EA, καὶ ἔτι τῇ ZP ἴση ἡ EM,
καὶ συμπεπληρώσϑω ro Καὶ 4 παραλληλόγραμμον καὶ
το ΚΟ στερεόν.

8. τῷ] τό post ins, euan. F; supra scr. V. xdi cvyus.
b. 4 ἐστιν P. ὄὅ. τε] om. b. εἰσι] ἐστε B, om. F V.

*--
LÀ

ELEMENTORUM LIBER XI. 101

nam rectae ZH parallelogrammo 4E aequale ad-
plicetur ΖΘ [I, 45], et in ZO basi, altitudine autem
eadem, qua Γ΄ Ζ,, solidum parallelepipedum expleatur
HK. erit igitur 4B — HK; nam et in aequalibus
basibus sunt 4 E, ΖΘ et sub eadem altitudine [prop.
XXXI]. et quoniam solidum parallelepipedum ΓΚ
sectum est plano ΖΗ parallelo planis oppositis, erit

I'Z: Z0 --Ξ ΓΖ: 4Θ [prop. XXV].
uerum ΖΘ — 4E et HK — AB. erit igitur
AE:DIZ-—2A4B:IA.

Ergo solida parallelepipeda, quae eandem habent
altitudinem, inter se eandem rationem habent quam
bases; quod erat demonstrandum.

XXXIII.
Similia solida parallelepipeda triplicatam inter se
rationem habent quam latera correspondentia.
Similia sint solida parallelepipeda 4B, ΓΖ, et
A E lateri ΓΖ correspondens. dico, esse
48: ΓΖ4-- 4Ε5: ΓΖ5.
producantur enim in directum AE,
p HE, OE, ut fianüi EK, EA, EM, et
ponatur
4 EK —IZ, EA—ZN, EM — ZP,
et expleantur parallelogrammum Καὶ 4 et solidum KO.

8. ἄρα] om. ΕΥ̓͂, — l'Z] P; "'Z b; GZ BFV. 9.26] Pb;
DZB; ΖΙ etinras V. οὕτω B. ΓΖ] P, "DA" b; Θά
BFV. 10.40]P,'40 b; JTBFV. 12. IZ) Z in ras. F.

14. παραλληλοεπίπεδα V. 15. ἐστιν] εἰσιν F 17. 1γ
om. g. 18. παραλληλοεπέπεδα V, ut lin. 91. 19. εἰσίν B.
22. AE| corr. ex AE m. 2 P. 25. ταῖς] τῆς b. 26. af]
supra m. 2 B; εὐϑεῖαι of TV. EM) M corr. ex N m. 1 F.
21. ἔτι] om. g. 29. KO] in ras. B; O in ras. m. 1 P.

10

16

20

102 ZTOIXEIQN ια΄.

Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ KE, EA δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ
ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ KEA γωνίᾳ τῇ
ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ AEH τῇ
ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν AB, LA
στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ [καὶ ὅμοιον] τὸ K 4 παραλλὴλό-
γραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ τὸ μὲν KM παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ
ὅμοιον τῷ ΓΡ [παραλληλογράμμῳ] καὶ ἔτι τὸ ΕΟ
τῷ 4Ζ᾽ τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ
τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΩ͂ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ
καὶ ὅμοια. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον
ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον
ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια" ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ
ΓΖ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον. συμπεπληρώσϑω
τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν
HK, KA παραλληλογράμμων, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ
τῷ 48 στερεὰ συμπεπληρώσϑω τὰ ES, AIL καὶ
ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν AB, I4 στερεῶν ἐστιν
ὡς ἡ 4E πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ,
καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΖ τῇ ΕΚ,
ἡ δὲ ΖΝ τῇ EA, ἡ δὲ ZP τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ
AE πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ HE πρὸς τὴν EA καὶ
1 ΘΕ πρὸς τὴν EM. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ AE πρὸς τὴν EK,
οὕτως τὸ ΑΗ [παραλληλόγραμμον] πρὸς τὸ HK παρ-

1. KE] EK BFV. 4. 'ZN]ZN in ras. B. ἐστιν Mi
supra m. 2 V. κατὰ κορυφὴν γάρ mg. m. 1 b. 5. καὶ ὅμοιον
postea add. mg. m. 1 P. 1. παραλληλόγραμμον! om. F.

8. παραλληλογράμμῳ] om. P. EO] O 1n ras. 9. Z4
BFV στερεοῦ) so eras. B. 10. ἴσα — 11. ἀπεναντίον]
mg. m. 2 B. 10. ἐστί] εἰσίν P. 12. ἐστί] εἰσίν P; «d ἐστι
FV. τρία] λοιπὰ τρία V et bis F. 18. ἴσα] ἴσα ve b; τὸ
add. m. 2 B. ἐστί] ve FV. In V lin. 12 τὰ δέ — 18. ὅμοια
punctis del. 18. KO] O in ras. V. 15. ἀπό] ἐπί b.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 103

et quoniam duo latera K E, ΕΖ duobus Il'Z, ZN
aequalia sunt, uerum etiam | KEA—FI'ZN (quia
L AEH — ΓΖΝ propter similitudinem solidorum 4B,
D24)), ert K4-—IN. eadem de causa etiam
KM parallelogrammum parallelogrammo ΓΡ aequale
est ei simile ei praeterea EO parallelogrammo 7/Z.
itaque tria parallelogramma solidi KO tribus paralle-
| logrammis solidi ΓΖ
aequalia sunt et si-
milia. uerum in utro-
que solido tria par-
allelogramma tribus,
quae 118 opposita
sunt, aequalia sunt
et similia [prop.
XXIV]. itaque totum
solidum K O toti so-
: | lido ΓΖ aequale est

et simile [def. 10]. expleatur parallelogrammum H K,
ei in basibus parallelogrammis HK, K 4, altitudine
autem eadem, qua 4B, solida expleantur E, Ζ4Π.
et quoniam propter similitudinem solidorum 4B, ΓΖ
est AE: I'Z — EH:ZN — ΕΘ:2Ρ [def.9; VI def. 1],
ei I'Z — EK, ZN—EA,ZP-— ΕΜ, οὐἱῦ AE: EK

1) Def. 9; VI def. 1. et [ AEH — KE 4A [I, 15].
2) VI, 14. eadem similia esse ut per se intellegitur, 18
&ddi debuit. sed cfr. p. 75 not. 29.

17. τῷ) corr. ex τοῦ m. 1 V. 20. ΕΘ] 6 e corr. m. 1 b.
ΓΖ] Zr V. 299. AE] EA b. ἡ HE — 34. οὕτως] om.
b. 24. παραλληλόγραμμον] om. P. τό] corr. ex τήν V.

10

15

20

tO
σι

104 ZTOIXEIQSN εα΄.

αλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ HE πρὸς τὴν EA, οὕτως
τὸ ΗΚ πρὸς τὸ K A, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς EM, οὕτως
τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ' καὶ ὡς ἄρα τὸ AH παραλλη-
λόγραμμον προς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΑ
καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ΔΗ πρὸς
τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν,
ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΑ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν
πρὸς τὸ Π4 στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ,
οὕτως τὸ Π. στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν" καὶ ὡς
ἄρα τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ EX πρὸς
τὸ Π4 καὶ τὸ Π4ἅ πρὸς τὸ ΚΟ. ἐὰν δὲ τέσσαρα με-
γέϑη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον f, τὸ πρῶτον πρὸς
τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύ-
vsgov: τὸ 48 ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα
λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 48 πρὸς τὸ ΕΠ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ
AB πρὸς τὸ EE, οὕτως τὸ 4 παραλληλόγραμμον
πρὸς τὸ HK καὶ ἡ AE εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΕΚ᾽ ὥστε
καὶ τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ KO τριχλασίονα λόγον
ἔχει ἥπερ 9] 4Ε πρὸς τὴν EK. ἴσον δὲ τὸ [μὲν] KO
στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ, ἡ δὲ EK εὐϑεῖα τῇ ΓΖ᾽ καὶ
τὸ 4B ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ I'Z1 στερεὸν τριπλασίονα
λόγον ἔχει ἥπερ 7] ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ AE πρὸς
τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.

Τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλα-
σίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν" ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐϑεῖαι

ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην,

1. HE] corr. ex NE m. 1 b. 2. τὴν EM BV.
8. Post ΠΕ add. παραλληλόγραμμον V et m. rec. F. b. τὸ

ELEMENTORUM LIBER XI. 105

— HE:EA-—O0E:EM. sed 4E: EK — AH: HK,
HE: EA4-— ΗΚ: ΚΑ, ΘΕ: EM — II E: K M [VI,1].
ilaque 4H: HK — HK:KA4-IIE: KM. uerum

AH:HK-— AB: ES, HK: K A— ΞΕ: ΠΩ,

IIE : K M — II A: KO [prop. XXXII].

quare 4B: EX — EAR:IIA4—I14: KO. sin quat-
tuor magnitudines deinceps proportionales sunt, prima
ad quartam iriplicatam rationem habere dicitur quam
ad securidam [V def. 10]. itaque 4B: KO — 4B*: EA*.
es& aulem 4B: EX — AH: HK — AE: EK. quare
AB: KO — AE! i EK. sed KO— I'4, EK — ΓΖ.
quare etiam 4B: ΓΖΩ͂ — AE? : Z*.

Ergo similia solida parallelepipeda triplicatam ra-
lionem habent quam latera correspondentia; quod erat
demonstrandum.

Corollarium.!)

Hine manifestum est, si quattuor rectae inter se
proportionales sint, esse, ut prima ad quartam, ita

1) Num hoc corollarium genuinum sit, iure ambigi potest. -

KM] ΚἈΜΈ. 7.«0 KA] KA b. 11. KO] O non liquet,
supra scr. O m. 1 b. 18. ἤπερ] τὸ πρῶτον g. 14. ΚΟ] O
in ras. B. τριπλασί- inras. m. AP. 16. τὸ AH] τό τε AH F?
(F hoc loco difficilis est lectu). AH] corr. ex 4B m. 1 b,
H e corr. B m. rec. 18. KO] O in ras. B; supra scr. 6 m.
1 b. 19. μέν] om. P. KO] O in ras. B. 20. στερεῷ]
om. b. 21. στερεὸν ἄρα B. 23. αὐτοῦ πλευράν b.

24. παραλληλοεπ. V. 95. ἐστίν B. 28 sq. Ex porismate
nullum uestigium est in F; in b totum in mg. est m. 1, add.
οὕτως iv ἄλλῳ. 29. Ànte ἀνάλογον ras. 1 litt. P.

106 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα-
γραφόμενον, ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ πρὸς τὴν δευτέραν.

ὅ | λδ΄.

Τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντι-
πεπόνϑασιν al βάσεις τοῖς ὕψεσιν" καὶ Qv στε-
φεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν ol
βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.

i0 Ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ AB, Du
λέγω. ὅτι τῶν AB, I'4 στερεῶν παραλληλεπιπέδων
ἀντιπεπόνϑασιν αἴ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς
ἡ EO βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΩ͂
στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ ὕψος.

i5 Ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἵ ἐφεστηκυῖαι αἴ AH,
EZ, 4B, OK, ΓΜ, NX, OA, II P πρὸς ὀρϑὰς ταῖς
βάσεσιν αὐτῶν" λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ EO βάσις πρὸς
την ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν AH.

Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ EO βάσις τῇ NII βάσει,

90 ἔστι δὲ καὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ ΓΩ͂ στερεῷ ἴσον, ἔσται
καὶ ἡ ΓΜ τῇ AH ἴση. τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βά-

1. οὕτως FVb. παραλληλοεπ. V. 8. ἐπειδήπερ. .B V. |
b. 1 seq. ras. 1 litt. F. 7. ὕψεσι Vb et seq. ras. 8 litt. g. |

12. ὕψεσι F'V b. 16. 4B] 4 e corr. B. Θ K] corr. ex |
OH m. 1b. I'M]supra scr. NN m. 1 b. 17. βάσεσι b.
αὐτῶν] om. b. 18. 4H | inter 4 οὐ H 1 litt. eras. P.
20. ἔστιν B. ἔσται) ἔστε Vbg 21. τὰ γάρ --- 32. βάσεις]
om. BV; hab. Pb et fuerunt in F, sed nihil relictum est niei
TO υψος στερε, quibus add. y: -ov τοῖς ὕψεσι omissis uerbis εἰ
γάρ --- οὐσῶν p. 108, 1.

ELEMENTORUM LIBER XI. 107

solidum parallelepipedum in prima descriptum ad so-
lidum in secunda simile et similiter descriptum, quo-
niam etiam prima ad quartam iriplicatam habet ratio-
nem quam ad secundam.

XXXIV.

Aequalium solidorum parallelepipedorum bases in
contraria ratione suni atque altitudines; et quorum
. solidorum parallelepipedorum. bases in coniraria ra-
lione sunt atque altitudines, ea aequalia sunt.

Sint 4B, I'Zl aequalia solida parallelepipeda. dico,
solidorum parallelepipedorum 418, ΓΖ bases in con-
iraria ralione esse atque altitudines, et esse, ut EO
ad NII, iia altitudinem solidi I'Z ad altitudinem so-
lidi 4B.

Prius enim rectae eminentes 4H, EZ, 48, OK,
ΓΜ, NX, ΟΖ, ΠΡ ad bases suas perpendiculares
sint. dico, esse ΕΘ: ΝΗ — ΓΜ: AH.

iam si ΕΘ — ΝΗ, et 4B — ΓΖ, erit etiam ΓΜ
— ΔΗ; nam solida parallelepipeda, quae eandem ha-

108 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

σεις [εἰ γὰρ τῶν EG, NII βάσεων ἴσων οὐσῶν μὴ
εἴη τὰ ΑΗ, ΓΜ ὕψη ἴσα, οὐδ᾽ ἄρα τὸ 48 στερεὸν
ἴσον ἔσται τῷ ΓΖ. ὑπόκειται δὲ ἴσον" οὐκ ἄρα ἄνισόν
ἐστι τὸ ΓΜ ὕψος τῷ AH ὕψει" ἴσον ἄρα]. καὶ ἔσταε

ὅ ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς
τὴν AH, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν 48, ΓΖ στερεῶν παρ-
αλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
Μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ NII βάσει, ἀλλ᾽

ἔστω μείξων ἡ ΕΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ
10 ΓΖ στερεῷ ἴσον᾽ μείξων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς AH
[εἰ γὰρ μή, οὐδ᾽ ἄρα πάλιν τὰ 48, Γ4 στερεὰ ἴσα
ἔσται" ὑπόκειται δὲ ἴσα]. κείσϑω οὖν τῇ AH ἴση ἣ
ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσϑω ἀπὸ βάδεως μὲν τῆς N II,
ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ,, στερεὸν παραλληλεπέπεδον τὸ (DI.
15 καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ,
ἔξωϑεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν
ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ 4B στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ
στερεόν, οὕτως τὸ Γ4 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.
ἀλλ ὡς μὲν τὸ 48 στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν,
90 οὕτως 71 ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν’ ἰσοὐψῆ γὰρ
τὰ 48, ΓΦ στερεά" ὡς δὲ τὸ ΓΖΩ͂ στερεὸν πρὸς τὸ
ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν TII βάσιν
καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν l'T- καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις
πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ. ἴση
οὅ δὲ ἡ ΓΤ τῇ 4H καὶ ὡς ἄρα ἡ EO βάσις πρὸς τὴν

2. ein] ἔστω φ. 8. ἔσται] ἐστί Ὁ. I4 στερεῷ F'V.
5. NII βασιν b. 7. ὕψεσι Vbg. 10. ἐστί7 om. V.
11. πάλιν] supra m. rec. V. 19. ἔσονται P. ὑπόκεινται
BV. AH] H in ras. m. 1 P. 14. I'T] I'in ras. B.
παραλληλοεπ. V. | dI']lI'inras B. 16. ἔξωθεν δε] ἄλλο
δὲ τί ἐστι b, ἄλλο δέ τι V, ἄλλο τι supra scr. δέ m. 2 D.
ΦΓ ΒΡ, et F, sed corr. Dein add. στερεόν F V. In F uerba

ELEMENTORUM LIBER XI. 109

bent altitudinem, inter se eandem rationem habent
quam bases [prop. XXXII].!) et erit
ΕΘ: ΝΗ — I'M: AH,

et adparet, solidorum 4B, I'4 parallelepipedorum
bases in coniraria ratione esse atque altitudines.

iam ne sit EO — N II, sed ΕΘ» ΝΠ. uerum
eliam 4B — ΓΖ. itaque etiam ΓΜ» AH.?)

ponatur igitur ΓΤ — AH, et in basi NII, alti-
tudine autem I'T expleatur solidum parallelepipedum
QI. et quoniam 4B — I4, exirinsecus autem ad-
sumptum est ΓΦ, et aequalia ad idem eandem ratio-
nem habent [V, 7], erit 4B: ΓΦ — ΓΖ4: ΓΦ. uerum
AB:I'O-—EO:NII(prop. XXXII]; nam solida 4B,
ΓΦ eandem habent altitudinem. et I: I' — MIT
: TII [prop. XXV] — M: I'T [VI, 1]. quare etiam
ΕΘ: NII — MI:I'T. sed ΓΤ — AH. itaque etiam

1) Ita concludi uoluit Euclides: adparet, solida aequalia
eandem rationem habere quam bases et ipsas aequales, nec hoc
fieri potest, nisi altitudines et ipsae aequales erunt. et hanc
eoncludendi rationem recte, sed paullo breuius indicauit citata
prop. 32. hoc interpreti alicui satis antiquo ansam dedit uerbis
εἶ γάρ — ἴσον ἄρα lin. 1—4 interpolatis mentem Enclidis
uerbose explicandi. quo facto in codd. deterioribus uerba illa ge-
nuina τὰ γάρ — βάσεις p. 106, 21—22 deleta sunt, cum intel-
legeretur, duplicem causae indicationem per γάρ illatam ferri
non posse. illo loco damnato sequitur, uerba simillima &í γάρ
— ἴσα p. 108, 11—12 et ipsa esse interpolata. et per se suspectis-
sima sunt, quippe quae causam idoneam eius rei, quam con-
firmare debeant, minime contineant.

2) Hoc uia indirecta ex prop. 81 demonstrari potest, cum
adpareat, solida augeri et basibus et altitudinibus auctis.

ἄλλο δέ ἐστι τὸ D I' στερεόν mg. m. 1, ut uidetur. 17. στε-
esóv] om. V. 18. οὕτω B V, comp. F. 29. στερεόν] ins.
m.2F. TII] mut. in IIT V, IITBb. 23. MP BFV.

24. βάσιν] supra m. 2 F. ΜΜΓῚ ΝΓ B.

110 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν AH. τῶν AB,
ΓΖ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν
αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσιν.
Πάλιν δὴ τῶν 48, ΓΖ στερεῶν παραλληλεπιπέδων
b ἀντιπεπονθέτωσαν al βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς
ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ I'4
στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 48 στερεοῖ ὕψος' λέγω,
ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ.
Ἔστωσαν [γὰρ] πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρϑὰς
10 ταῖς βάσεσιν. καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὴν ἡ EO βάσις τῇ
NII βάσει, καί ἐστιν ὡς ἣ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ
βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ Γ4 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὲ vot
AB στερεοῖ ὕψος, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΩ͂ στε-
ρεοῦ ὕψος τῷ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψει. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων
16 βάσεων στερεὰ παραλληλεπέπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ
I4 στερεῴ.
Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ [βάδει] ἴση, ἀλλ᾽
ἔστω μείξων ἡ EO* μεῖξον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΖ στερεοῦ
20 ὕψος τοῦ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν 9 ΓΜ
τῆς 4Η. κείσϑω τῇ AH ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμ-
πεπληρώσϑω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν. ἐπεί ἐστιν ὡς
ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάδιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς
τὴν AH, ἴση δὲ ἡ AH τῇ I'T, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ
26 βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν
ΓΤ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ EO [βάσις] πρὸς τὴν NII βάσιν,
οὕτως τὸ 4B στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν" ἰσοὐψῆ
γάρ ἐστι τὰ AB, ΓΦ στερεά" ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν

1. ΓΜ. AB, Τ᾽ Δὴ om. F V. 2. ἄρα] δὲ F. ,
8. ὕψεσι Vb. 4. I'd ἄρα b. παραλληλεπιπέδων] om. V.

ELEMENTORUM LIBER XI. 111

E06: NII — ΜΓ: AH. ergo solidorum parallelepipe- .
dorum 418, I'41 bases in coniraria ratione sunt atque
altitudines. |

Rursus solidorum parallelepipedorum 4B, ΓΖ
bases in coniraria ratione sint atque altitudines, et
sit ut ΕΘ ad NII, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitu-
dinem solidi 4B. dico, esse 4B — ΓΖ.

rursus rectae eminentes ad bases perpendiculares
sint. et si EO — ΝΗ, ei est ut basis ΕΘ ad basim
NI, ita Altitudo solidi ΓΖ ad altitudinem solidi 4B,
erit altitudo solidi If altitudini solidi 4B aequalis.
uerum solida parallelepipeda in aequalibus basibus
collocata et eandem altitudinem habentia inter se
aequalia sunt [prop. XXXI]. ergo 4B — ΓΖ.

iam ne sib EO — NII, sed ΕΘ» ΝΠ. itaque
eliam altitudo solidi ΓΖ maior est altitudine solidi
A B [p. 109 not. 2], hoc est I'M — 4 H. ponatur rursus
I'T-—.AH, et similiter expleatur solidum I'd. quo-
niam EO: NII — ΜΓ: AH, et est AH —I'T, erit
E0:NII —- l'M:I'T. verum ΕΘ: NII -- AB:I'Ó
[prop. XXXII]; nam solida 4B, ΓΦ eandem altitudi-

b. ἀντιπεπόνϑασι b. ὕψεσι Vb. 6. βάσιν] om. V.
IZ4]in ras. V. 7. AB] in ras. V. λέγω — 8. ἐστί] mg. φ.
9. γάρ] om. P. 10. βάσεσι Vbg. ἐστί») om. V g.

ἡ Ee βάσις] mg. g. — 12. τό] (prius) mg. m. 2 P. 18. ἴσον
ἄρα — 14. ὕψει] om. g. 18. ἐστέ] om. V. καί] om. b.

14. δέ) δ᾽ b. 15. βάσεων ὄντα Theon (BFVb). παρ-
αλληλοεπ. V. 16. ἐστέ] ἐστίν P. 18. βάσει) om. BF Vb.
19. μεῖξον] usífo» F. ἐστί om. V. 21. τῆς] τῇ b.
22. Ánte ἐπεί add. καί m. 2 V. 283. I'M b.
26. ΓΜ PB, V m. ?; ΜΓ Ὁ, V m. 1, F in mg. m. 2.
πρός — 26. βάσιν] om. F; in mg. quaedam euan. 26. βάσις]
om. P. 27. οὕτως — πρός] 9.

.119 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

AIT, οὕτως ἤ τε MII βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ

10

15

20

25

τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν. καὶ ὡς ἄρα
τὸ AB στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΖ
στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν᾽ ἑκάτερον ἄρα τῶν AB,
ΓΖ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα
ἐστὶ τὸ 4B στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ [ὕπερ ἔδει δεῖξαι].
Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἴ ΖΕ, BA, HA,
ΘΚ, ἘΝ, 40, MI, PII πρὸς ὀρϑὰς ταῖς βάσεσιν
αὐτῶν, καὶ ἤχϑωδσαν ἀπὸ τῶν Ζ, H, B, K, X, M,
4, P σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν EO, ΝῚ ἐπίπεδα κάϑετοι
καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Z, T, T,
Φῷ, X, Ψ, $2, c, καὶ συμπεπληρώσϑω τὰ ΖΦ, 5
στερεά" λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν AB, ΓΩ͂
στερεῶν ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καί
ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ
τοῦ ΓΖ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος.
Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ,
ἀλλὰ τὸ μὲν AB τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον" ἐπί τε γὰρ τῆς
αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
[ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐϑειῶν]"
τὸ δὲ D'4 στερεὸν τῷ 4 Ψ᾿ ἐστιν ἴσον' ἐπί τε γὰρ
πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς PA καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ
ὕψος [ὧν αἵ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐ-
ϑειῶν}]" καὶ τὸ BT ἄρα στερεὸν τῷ “1 If στερεῷ ἴσον
ἐστέν [τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων, ὧν
τὰ ὕψη πρὸς ὀρϑάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντι-

2. στερεόν] (alt. om. B. 6. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) del.
August. 7. μὴ] e corr. m. 2V. ef] (prius) om. ΕΥ͂. B.A4]
supra Scr. 2 m. 1 b. 8. OK] supra scr. 4? m. 1 b.

9. K] corr. ex I' V. 10. ἐπεί F, et V, sed corr. διά] om.
B. NII βάσεων B. 11. συμβαλέτωσαν PV. — Z] postea ins.
B; ras. 1 htt. b. 12. s] renou. m. 2 B. Post s in fine lin.

(

ELEMENTORUM LIBER XI. 113

nem habent. et ΓΜ: ΓΤ — ΜΠ: IIT [VI, 1] — IZ
: ΓΦ [prop. XXV]. quare etiam 4B: ΓΦ — ΓΖ: ΓΦ.
ilaque utrumque 4B, ΓΖ ad ΓΦ eandem rationem
habet. ergo 4B — ΓΖ [V, 9].

Iam rectae eminentes ΖΗ, ΒΑ, H 4, OK, EN,
40, MT, PII ad bases suas perpendiculares ne sint,
el ducantur ἃ punctis Z, H, B, K, &, M, 4, P ad
plana per EO, NII ducta perpendiculares, et cum
planis in punctis Z, T, T, ὦ, X, Ψ, 9, c concur-
rant, eb expleantur solida Z , 52. dico, sic quoque,
8i 4B — I'4, bases in coniraria ratione esse aique
altitudines, et esse ut. ΕΘ ad ΝΠ, sta altitudinem
solidi ΓΖ, ad altitudinem solidi 4 B.

quoniam 4B — ΓΩ͂, et 4B — BT (prop. XXIX
—XXX] (nam in eadem basi sunt Z K et eandem ha-
bent altitudinem)), et ΓΖ — 21*P [id.] (nam rursus
in eadem basi sunt ΡΞ et eandem habent altitudinem),
erit eliam B T — 41. erit igitur?) ut ZK basis ad

1) Rectissime obseruauit Simsonus p. 402: » inepte exclu-
ditur alter casus". quare cum eo uerba ὧν αἵ — εὐθειῶν
lin. 20,'28 — 24, p. 116, 7—8 pro interpolatione imperita ha-
benda 'sunt.

2) Quae sequuntur uerba τῶν δέ ---ὕψεσιν Ρ.112, 2 — p. 114,1
et p. 116, 2—4 inepta sunt, quia altitudines semper ad bases
perpendiculares sint necesse est, quae est iusta eiusdem Sim-
soni obiectio. sed τὰ ὕψη cum "Augusto in αὖ ἐφεστῶσαι mu-
tare temerarium est; quare uerba illa delenda sunt.

καί, dein mg. m. 2 add. σημεῖα F; s σημεῖα V. A9] 9 in
ras. V. 18. ὅτι] δή V. 14. ὕψεσι Vb. 16. NII] ΠΝ in
ras. V. 11. Post ἐπεί add. γάρ BF b, et supra scr. m. 1, sed
deletum V. τό] corr. ex τῷ m. 1 V. 18. BT] T in ras. V.
19. εἰσιν P. ὑπό) ἐπί V. — 992. εἰσι] ἐστι comp. b.
PE] EP Bb. ὑπό) ἐπί V. 24. Post τό del τοῦ F. BT]
B e corr. V. ἐστιν ἴσον V. — 95. τῶν} corr. ex ὧν m. 2 Εἰ;
àv V. ὧν] om. V. 296. ἐστι] eio: b

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 8

414 ZTOIXEION ια΄.

πεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν]. ἔστιν ἄρα ὡς ἢ
ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΒΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ “1
στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BT στερεοῦ ὕψος. ἴση δὲ
ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ
5 ΝΠ βάσει" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ EG βάσις πρὸς τὴν NII
βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ 4] Ψ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ
BT στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν Z4 TP,
BT στερεῶν καὶ τῶν 4I, B4 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ
βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΖΓ στερεοῦ
10 ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος. τῶν AB, ΓΩ͂
ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἵ
βάδεις τοῖς ὕψεσιν.
Πάλιν δὴ τῶν AB, ΓΖ στερεῶν παραλληλεπιπέδων
ἀντιπεπονθέτωσαν ai βάδεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς
16 ἡ EO βάσις πρὸς τὴν NII βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΩ͂
στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 4B στερεοῦ ὕψος" λέγω,
ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ AB στερεὸν τῷ Γ4 στερεῷ.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκχευασϑέντων. ἐπεί ἐστιν ὡς
ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ I'4
20 στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ ὕψος. ἴση δὲ
ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ NII τῇ ΞΡ,
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν EP βάσιν, οὕτως
τὸ τοῦ ΓΖ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ 418 στερεοῦ
ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν AB, I'4 στερεῶν
25 καὶ τῶν ΒΤ, ΦΔΙΨ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς
τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ 4] Ψ' στερεοῦ ὕψος πρὸς
τὸ τοῦ BT στερεοῦ ὕψος. τῶν BT, 4*9? ἄρα στε-

2. τὴν XP] corr. ex τη NAXP V. 8. BT] T e corr. V.
4. ΕΘ] e corr. V. b. βάσει ἐστὶν ἴση V. τῇ ΝΠ
βάσει Ὁ. 7. στερεοῦ] om. D. 10. Γ᾿ 47 in ras. P.
11. στερεῶν ἄρα B. 19. ὕψεσι Vbg. 14. ὕψεσι F Vb.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 115'

basim EP, ita altitudo solidi 4] 9I, ad altitudinem so-
lidi B T (p.110, 1sq.]. uerum ΖΚ — ΕΘ, EP —NII.

erii igitur αὖ EO ba-

sis ad basim ΝΙ͂, ita
Z altitudo solidi 7/4 ad
e altitudinem solidi B T.
sed solidorum Z4 P, BT
οὐ 4Γ, B.4 eadem est
altitudo. quare erit ut
basis ΕΘ ad basim N 11,
ita altitudo solidi ΖΓ
ad altitudinem solidi
" AB. ergo solidorum
AB, I4 parallelepipe-
dorum bases in con-
traria ratione sunt atque altitudines.

Iam rursus solidorum parallelepipedorum 4B, ΓΖ
bases in coniraria ratione sint atque altitudines, et
sil ut E€ basis ad basim NI, ita altitudo solidi ΓΖ
ad altitudinem solidi 4B. dico, esse 4B — ΓΖ.

iisdem enim comparatis, quoniam est αὖ basis EG
ad NII basim, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitudinem
solidi 4B, οὐ E0 — ZK, ΝΠ — AP, erit ut basis
ΖΚ ad ,5P basim, ita altitudo solidi ΓΖ ad altitudi-
nem solidi 4B. sed solidorum 4B, ΓΖ et B T, Z5
eadem est altitudo. erit igitur ut ΖΚ basis ad basim
AP, iia altitudo solidi 21 3 ad altitudinem solidi B T.
iiaque solidorum parallelepipedorum B T, 4 Δ bases

K B

17. ἴσον] om. Vg. ἔσον τῷ V9. 19. I'4] bis g.
23. AB] BA FV. 27. BT] (alt) T in ras. V.
8}

ex

10

15

20

2b

116 . ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ρεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν ei βάσεις τοῖς
ὕψεσιν [ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων τὰ ὕψη
πρὸς ὀρϑάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντιπεπόνϑασι
δὲ oí βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα)" ἴσον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ 241" στερεῷ. ἀλλὰ τὸ μὲν
BT τῷ Β.4 ἴδον ἐστίν" ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάδεως
[εἰσι] τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [Ov αἵ ἐφεστῶ-
σαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν]. τὸ δὲ τ:
στερεὸν τῷ ΖΓ’ στερεῷ ἴσον ἐστίν [ἐπί τε γὰρ πάλιν
τῆς αὐτῆς βάσεώς εἶσι τῆς ΞΡ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
καὶ οὐχ ἐν ταῖς αὐταῖς εὐθείαις]. καὶ τὸ 4B ἄρα στε-
gcóv τῷ l'4 στερεῷ ἐστιν ἴσον ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

λε΄.

Ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ
τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐϑεῖαι ἐπι-
σταϑῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν
ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρα, ἐπὶ δὲ
τῶν μετεώρων ληφϑῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπ᾽
αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρ-
χῆς γωνίαι, κάϑετοι ἀχϑῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γε-
νομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ
ἀρχῆς γωνίας ἐπιξευχϑῶσιν εὐϑεῖαι, ἴσας γω-
νίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων.

Ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἵ ὑπὸ
BAL, EAZ, ἀπὸ δὲ τῶν 4, 4 σημείων μετέωροι
εὐϑεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ AH, 4M ἴσας γωνίας περι-

. / M ^ 3 "“ 4 ^ δ , e ,
ἔχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρα,

2. τὰ ὕψη) αἵ ἐφεστηκυῖαν August. 8. ἐστι) 9, comp.
b, ἔστιν P, εἰσι BV. ἀντιπεπόνϑασιν PV. 4. δέ] supra

ELEMENTORUM LIBER XI. 117

in contraria ratione sunt aique altitudines. quare
BT -.47T [p. 112, 5 sq.]. sed BT — ΒΑ [prop.
XXIX—XXX]; nam in eadem basi sunt Z K et ean-
dem habent altitudinem; et 27] Ψ — Z[I'[id.." ergo
4 B — ΓΖ: quod erat demonstrandum.

XXXV.

Si datis duobus angulis planis aequalibus in uer-
ticibus eorum rectae sublimes eriguntur angulos singu-
los singulis aequales cum iis, quae ἃ principio erant,
comprehendentes, et in erectis puncta quaeuis sumun-
tur, et ab iis ad plana, in quibus sunt anguli ill,
perpendiculares ducuntur, et a punctis, quae in planis
oriuntur, ad angulos?) a principio datos rectae du-
euntur, hae cum erectis aequales angulos com-
prehendent.

Duo anguli rectilinei sint B.AI', EZ4Z, et ἃ punctis
4, 4 rectae 4H, 4M sublimes erigantur angulos
singulos singulis aequales cum iis, quae a principio

1) Uerba ἐπί τε — εὐθείαις lin. 9—11 subditiua existimo.
2) H. e. ad uertices eorum.

scr. m. 2 V. 6. BA] AB P. 7. εἰσι) om. P. 9. τῷ
ΖΓ — 10. βάσεως] F, praecedentibus iisdem uerbis ἃ manu g.
9. I'd b. τῆς αὐτῆς πάλιν V et q (non F). 10. ἐστι
comp. b. PA b. 11. ἄρα] om. V, ins. m. 2 F.
19. A4T' B. 13. 167] non liquet 1n F. 14. ὦσιν PB.
Post ἐπί del πέδῳ m. 1 P. 17. ἑκατέραν] -αν in ras. B.
19. ἐπὶ τά] om. P. εἰσι b. 21. ἐν] ὑπὸ τῶν καϑέτων
ἐν Theon (BFVb). 28. μετεωροτέρων Vg. 26. AH] H
in ras. D. AH, AM F.

σι

10

15

20

25

118 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

τὴν μὲν ὑπὸ MAE τῇ ὑπὸ HAB, τὴν δὲ ὑπὸ MAZ
τῇ ὑπὸ Η4Γ, καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῶν AH, 4M τυ-
χόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ
σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν BAT, Ε41 ἐπίπεδα κάϑετοι
αἱ H4, MN, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ
τὰ Ν, 4, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 44, ΝΖ" λέγω, ὅτι
ἴση dove ἡ ὑπὸ HAA γωνία τῇ ὑπὸ ΜΩ͂Ν γωνίᾳ.

Κείσϑω τῇ 4M ἴση ἡ 40, καὶ ἤχϑω διὰ τοῦ Θ
σημείου τῇ H.A παράλληλος ἡ ΘΚ. ἡ δὲ Η4 κάϑετός
ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν BAT ἐπίπεδον᾽ καὶ ἡ ΘΚ ἄρα
κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν Β4Γ ἐπίπεδον. ἤχϑοω-
cav ἀπὸ τῶν K, Ν σημείων ἐπὶ τὰς 4B, 4Γ, AZ,
ΔῈ εὐϑείας κάθετοι αἱ ΚΓ, ΝΖ, KB, NE, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΘΙ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. ἐπεὶ το ἀπὸ
τῆς ΘΑ͂ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, τῷ δὲ ἀπὸ
τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ͂, καὶ τὸ ἀπὸ
τῆς 0.4 ἄρα ἴδον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν OK, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς OI*
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ͂ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ.
ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ OI'4 γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ἡ ὑπὸ 4ZM γωνία ὀρϑή ἐστιν. ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ 4ΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ AZM. ἔστι δὲ καὶ 4
ὑπὸ ΘΑ4Γ τῇ ὑπὸ ΜΩ͂Ζ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι
τὰ MZ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μέαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην
τὴν ὑποτείνουδαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν
ΘΑ͂ τῇ Mt: καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς

2.4H] HAV. Δ. σημείων] om. V. | BAT'| Binras. B.
5. συμβαλέτωσαν V et supra scr. 4m. 1P. 6, N, 4] supra A4
uaedam euan. F m. 2, ras. V. καί σημεῖα καί. 7. ἴση
στίν] ins. m. 1 F, om. V. γωνία τῇ ὑπὸ MAN] in mg. trans-

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 119

erant, comprehendentes, |, MAE τ HAB, L MAZ
-— H AI, et in 4H, 4M puncta quaeuis sumantur
H, M, ei ἃ punctis H, M ad
plana per ΒΩΓ, EzZZ ducta
perpendiculares ducantur H 4,
MN, et cum planis in N, 4
concurrant, et ducantur 4 4,
"a NA. dico, esse
LHAA-—MAN.
ponatur 460 — 21M, et per Θ᾽ punctum rectae ΗΠ 4
parallela ducatur ΘΚ. ΗΖ auiem ad planum per
BAI'ductum perpendicularis est; itaque etiam ΘΚ
ad planum per B.A4I' ductum perpendicularis est
[prop. VIII]. a punctis Κα, N ad 4B, 4Γ, AZ,
4 E rectas perpendiculares ducantur ΚΓ, ΝΖ, KB,
NE, οὐ ducantur ΘΙ᾽, ΓΒ, MZ, ΖΕ. quoniam Θ 43
— 0 K*-L- KA4* et K 4? — KI*-- I4? (I, 41], erit
eliam 9 4? — 0 K? -- KI? -]- I4. uerum ΘΓ" — 9. K?
Ἔ KI? [id]. quare 04? —O0I?--TD'4?. itaque
LOI'4 rectus est [I, 48]. eadem de causa etiam
L 44 Z M rectus est. itaque ( 4I'O — 4ZM. sed etiam
LOAI'—M.ZAZ. ilaque duo trianguli sunt. MZZ,
€ 4I' duos angulos duobus angulis singulos singulis
aequales habentes et unum latus uni lateri aequale,
quae sub altero angulorum aequalium subtendunt,
94 -- ΜΖ. iaque etiam reliqua latera reliquis late-

eunt F. γωνία ἴση iow V. MAN] 4ecor. V. γωνίᾳ]
om. V. 8. «ol κεέσϑω B, κείσϑω γάρ FV. 12. 4 ΓῚ A e corr.
V. 18. NE) E in ras. m. 1P. 14. καὶ ἐπεί Bb. — 15. ΚΑ]
K corr. ex 4 m. 1 b. 16. zov] τῆς b. 20. OI 4| IA in ras.
B. 21. 42M] ΖΜ in ras. B. 322. ἔστιν PB. — 23. δή] supra
m. 1 V. 924. δυσὶ γωνίαι) om. P. 27. 4 M B.

Q

10

15

20

25

:120 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. ἴδη ἄρα ἐστὶν
ἡ ADI τῇ 4Z. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτε καὶ ἡ AB
τῇ 4Ε ἐστιν ἴση [οὕτως ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΘΩ͂,
ΜΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4Θ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν AK, ΚΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς 4Κ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ
τῶν 48, ΒΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν 4B, BK, ΚΘ ἴσα
ἐστὶ τῷ ἀπὸ 40. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν BK, KO ἴσον
ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς BO: ὀρϑὴ γὰρ ἡ ὑπὸ OKB γωνία
διὰ τὸ καὶ τὴν ΘΚ κάϑετον εἶναι ἐπὶ τὸ ὑποχείμενον
ἐπίπεδον᾽ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 40) ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν
AB, BG: ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ A4BO γωνία. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔῈΜ γωνία ὀρϑή ἐστιν.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BAO γωνία τῇ ὑπὸ EAM ἴδη"
ὑπόκεινται γάρ' καὶ ἔστιν ἡ 4Θ τῇ 4Μ ἴση" ἴση
ἄρα ἐστὶ καὶ ἣ AB τῇ 4E] ἐπεὶ ovv ἴση ἐστὶν ἡ
μὲν AD τῇ 4Ζ. ἡ δὲ AB τῇ AE, δύο δὴ αἵ IA,
AB δυσὶ ταῖς Z4, 4Ε ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ yovíe
ἡ ὑπὸ ΓΑ͂Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ζ4Ε ἐστιν ἴση" βάσις
ἄρα ἡ BI' βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον
τῷ τριγώνῳ καὶ ei λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις"
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ALB γωνία τῇ ὑπὸ A4ZE. ἔστι δὲ
καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ 412Ν ἴση" καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ BI'K λοιπῇ τῇ ὑπὸ EZN- ἐστιν
ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ
ἐστιν ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ BDK, ΕΖΝ
[τὰς] δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν
ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς
ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ EZ' καὶ τὰς λοιπὰς

1. ἴση] ἴσην P, corr. m. 1. 8. ἴση] om. B. ἀἍ. τοῖς] τό
P. 1.τῆς 40 V. 8. γάρ] in ras. m..1 P. — 9. εἶναι] om.

. ELEMENTORUM LIBER XI. 121

ribus aequalia habebunt singula singulis [I, 26]. ita-
que 4Γ -ῷ 22. iam eodem modo demonstrabimus,
esse 4 B — 4 E.) ian quoniam AI'— 4Z, 4B — AE,
duae rectae I4, 4B duabus Z Z, 4 E aequales sunt.
sed etiam ( I'4B — ZAZE. quare etiam ΒΓ -- EZ,
el triangulus triangulo aequalis et reliqui anguli reli-
quis angulis (I, 4]. itaque ( 4I'B — AZE. uerum
eliam ( 4I'K — Z4ZN, quia recti sunt. ergo etiam
LBI'K-— EZN. eadem de causa etiam /| Il'BK
— ZEN. quare duo trianguli sunt BI'K, EZN
duos angulos duobus angulis singulos singulis aequales
habentes et unum latus uni aequale, quod ad angulos
aequales positum est, BI'— EZ. ilaque etiam reliqua

1) Sequentia p. 120, 8— 15, quae post ὁμοίως lin. 9 pror-
sus inutilia sunt et inusitata, rectissime interpolatori tribue-
runt Simsonus et August; om. Campanus.

tp. 10. τῆς] corr. ex τῶν m. 1 b. 11. AB] B corr. ex 8
V. Post ΒΘ ras. 1 litt. b. ἐστίν} corr. ex ἐστί m. 1 P.
18. ἔστιν B. Ε4Μ]ῈΊΖ E supra scr, post zf ras. 1 litt. V.
14. γὰρ ἴσαι F V. 16. ἐστί] om. P. 17. δυσί) δύο P.
4Z BVbg. ἀλλὰ] ἑκατέρα ἑκατέρᾳ Vg. 18. Ζ4Ε}
Z et E in ras, V, Z" Ζ' E b. ἐστιν] om. V g. 19. ἐστίν
P. καὶ τὸ τρέγωνον τῷ τριγώνῳ] mg. V. 21. ἴση] ἴῃ b.
42 ΕἸ corr. ex EZA m. 1 b. ἔστιν B. 29. 4dZN]
N in ras. m. 1 B; pro N in b est E, supra scr. M m. 1.
καί] om. V g. 28. EZ iN] ante N ras. 1 litt. V; N corr. ex
H b. ἴση ἐστίν P. 25. ENZ V. 26. τας] deleo.
γωνίαις] γωνίας P. ἔχοντας ῬΥ͂φ: in P c del. m. 2.
28. ἔσαις] supra scr. m. 2 B.

10

165

20

2

σι

199 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν. ἴση
ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ 4Γ τῇ 42
leq δύο δὴ αἱ ADI, ΓΚ δυσὶ ταῖς 42, ΖΝ ἴσαι
εἰσίν: καὶ ὀρϑὰς γωνίας περιέχουσιν. βάσις ἄρα ἡ
AK βάσει τῇ ΩΝ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ
4Θ τῇ 4M, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4Θ τῷ ἀπὸ
τῆς 4M. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς AO ἴσα ἐστὶ τὰ
ἀπὸ τῶν AK, KO ὀρϑὴ γὰρ ἡ ὑπὸ 4ΚΘ' τῷ δὲ
ἀπὸ τῆς 4M ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΝ, ΝΜ' ὀρϑὴ γὰρ
ἡ ὑπὸ Ω͂ΝΜ' τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν AK, ΚΘ ἴσα ἐστὶ
τοῖς ἀπὸ τῶν ΩΝ, ΝΜ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς AK ἴσον
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς 4 Ν' λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ' ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ.
καὶ ἐπεὶ δύο αἴ ΘΑ͂, AK δυσὶ ταῖς Mz, 4Ν ἴδαι
εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ
ἐδείχϑη ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ OAK γωνίᾳ τῇ ὑπὸ
MAN ἐδτιν i6.

᾿Εὰν ἄρα ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ
ἑξῆς τῆς προτάσεως [ὕπερ ἔδει δεῖξαι].

Πόρισμα.

Ἐκχ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι
ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπισταϑῶσι δὲ ἐπ’ αὐτῶν μετέωροι
εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ
ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἀπ᾿ αὐτῶν κάϑετοι
ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἵ ἐξ ἀρχῆς
γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1. ἕξουσι V; dein 1 linea eras. 2. ΖΝ] corr. ex ΖΙ͂ B.

ἔστιν B. 8. εἰσιν ἴσαι V. 4. εἰσί P, comp. Fb. περι-
ἔχουσι Vb. ὄ. ἐστί V, comp. Fb. 7. ἴσα] post εἐ del. α m.

2P. 8.4K0] ΚΘ ecor. V. 9. 4 ΝῚ Ν corr. ex M Bb.
10. 4M" N' Ὁ. 11. ΖΜ B, sed corr.; item lin. 14. 12. τῷ

ELEMENTORUM LIBER XI. 123

latera reliquis aequalia habebunt [I, 26]. ergo ΓΚ
— ZN. sed etiam 4I'— 4Z. ergo duae rectae
AT, ΓΚ duabus ZZ, ZNN aequales sunt; et rectos
angulos comprehendunt. itaque 4 K — 44 N. et quo-
niam 4 — 4M, erit eliam 40? — 41 M?. uerum
A6? — AK? -- K0*: nam ( 4KO rectus est [I, 41];
eb 44M? — 4N* - NM*; nam LZNM rectus est
[id.]. itaque A4K* -Ἐ KG — 4 N* -- NM*; quorum
AK? — 4N?. itaque ΚΘ — NM? et K0 — NM.
el quoniam duo latera 90.4, 4K duobus ΜΖ, ΩΝ
singula singulis aequalia sunt, et basim 9 K basi ΜΝ
aequalem esse demonsitrauimus, erit ( 9.4 K — ΜΩ͂Ν
[1, 8].

Ergo si datis duobus angulis planis aequalibus,
cetera, ut in propositione.

Corollarium.

Hine manifestum est, si datis duobus angulis pla-
nis aequalibus in iis aequales rectae sublimes eri-
guntur angulos singulos singulis aequales cum rectis
& principio datis comprehendentes, rectae ab iis ad ea
plana perpendiculares ductae, in quibus sunt anguli
ab initio dati, inter se aequales sunt.') — quod erat
demonstrandum.

1) Nam demonstratum est (lin. 18), esse K & — N M.
ἀπό — 18. ἐστί) mg. m. 2B. 12. τῆς] (prius) om. P.
18. τῷ] corr. ex vov V. ΘΚ] e corr. V. 14. δύο o] αἱ δύο
b. 17. MAN ἐστιν} in ras. m. 1 P. 18. ὦσιν
ἴσαι ἐπίπεδοι P. 19. τῆς προτάσεως] P; om. BFVb.
20. πόρισμα] mg. m. 2 ΕὟ. 22. ἴσαι] εὐθύγραμμοι ἴσαι
Theon (B F b). ἐπισταϑῶσιν PBF. αὐτάς P. 28. ἴσαι
om. b. 26. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] P; om. Theon (BFVb).

Cx

10

15

20

194 ZTOIXEISN ια΄.

λς΄.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ἐκτῶν
τριῶν GvEQéC v παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ
ἀπὸ τῆς μέδης στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσο-
πλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.

Ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ 4, B, Γ, ὡς
ἡ 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν I" λέγω, ὅτι
τὸ ἐκ τῶν 4, B, Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς B
στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.

ἘἘχκείσϑω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ E περιεχομένη
ὑπὸ τῶν ὑπὸ 4EH, HEZ, ΖΕΩ͂, καὶ κείσϑω τῇ
μὲν B ἴση ἑκάστη τῶν 4E, HE, EZ, καὶ συμπεπλη-
ρώσϑω τὸ EK στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τῇ δὲ 4
ἴση ἡ ΑΜ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΜ εὐϑείᾳ καὶ
τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ 4 τῇ πρὸς τῷ E στερεᾷ
γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν NAA,
EAM, MAN, καὶ κείσϑω τῇ uiv B log ἡ Δ, τῇ
0à Γ ἴδη ἢ AN. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 4 πρὸς τὴν
B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν D, ἴση δὲ ἡ μὲν 4 vij AM,
ἡ δὲ B ἑκατέρᾳ τῶν AE, EZ, ἡ δὲ Γ τῇ AN, ἔστιν

1. Δ5 non liquet in F. Hinc usque ad finem libri XII
b tanto opere discrepat, ut scriptura eius integra in appen-
dicem reiicienda fuerit, 2. ὦσι V. 8. στερεῶν F'; -ον in
ras. V. ἐστίν V, sed corr. 4. στερεῷ] om. V. 8. τό] postea
ins. m. 1 P. ix] ἀπό B, ὑπό F V. Post I' supra add.
περιεχόμενον F. στερεῦν] -óv in ras. V. 10. τῷ] corr. ex
τό V. 11. Post prius ὑπό add. τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων m.
rec, FV; ὑπὸ τριῶν y. ἐ. mg. m. 2 B; in textu ὑπό del. m. 2.

ὑπό] (alt. om. BFV. 12. HE] EH P. EZ] corr. ex
LEV. 14. lom κείσϑυ B. 16. στερεὰ γωνία] P; om. Theon
(BFV) 17. MAN] Me corr. V. 18: Post AN add. καὶ συμ-
πεπληρώσθω τὸ 46 στερεόν ΕΥ̓͂, in V punctis del; 6 e corr.
V. 90. ἑκατέρᾳ] P; ἑκάστῃ Theon (BF V). E] ΑΞ, EZ,
EH Theon(BFV), Ez]correx EH V. Ante D'ras. 1 litt. B.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 195

ΧΧΧΥ͂Ι.

Si tres rectae proportionales sunt, solidum paral-
lelepipedum ex tribus illis constructum aequale est
solido parallelepipedo ex media constructo, quod aequi-
laterum est et priori aequiangulum.

Tres rectae proportionales sint 4, B, Γ᾽, ita ut
sil 4: B— B:I. dico, solidum ex 4, B, I' con-
structum aequale esse solido ex B constructo, quod
aequilaterum est et priori aequiangulum.

ponatur angulus solidus ad E angulis 4ZEH, H EZ,
Z E 4 comprehensus, et ponatur 2 E — H E — EZ — B,
ei expleatur solidum parallelepipedum EK, ponatur!)

autem 4M — 4, et ad rectam 4M et punctum eius
Δ angulo solido, qui ad E positus est, aequalis angu-
lus solidus construatur angulis N 4,5, 84M, MAN
comprehensus [prop. XXIII, cfr. prop. XXI], et po-
natur 4X — B, AN — I. et quoniam est 4:B
-- Β.:Γ et4-—4M, B—48R8-—EZ?, '— AN,

1) Intellegitur κείσθω ex lin. 11; sed fortasse uerba καί
— παραλληλεπίπεδον lin. 12—18 interpolata sunt. cfr. lin. 18.
2) Propter sequentia exspectaueris B — EZ — 4E.

ex

10

15

20

26

126 ZTOIXEIOS9N ια΄.

ἄρα ὡς 7 ΔΜ πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ 4E πρὸς τὴν
AN. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ NAM, 4Ε2Ζ
αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνϑασιν" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ
παραλληλόγραμμον τῷ 412 παραλληλογφάμμῳ. καὶ
ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπέπεδοι εὐθύγραμμοι ἴδαι εἰσὶν αἵ
ὑπὸ 4ΕΖ, NAM, καὶ ἐπ’ αὐτῶν μετέωροι εὐϑεῖαι
ἐφεστᾶσιν αἱ AS, EH ἴσαι τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γω-
νέας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν
ἑκατέρᾳ, αἴ ἄρα ἀπὸ τῶν H, Τὶ σημείων κάϑετοι ἀγό-
μεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν NAM, A4EZ ἐπίπεδα ἴδαι
ἀλλήλαις εἰσίν" ὥστε τὰ 4Θ, ΕΚ στερεὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ
ὕψος ἐστίν. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλ-
ἐπίπεδα καὶ υπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν"
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ. στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ. καί
ἐστι τὸ μὲν 4Θ τὸ ἐκ τῶν 4, B, Γ στερεόν, τὸ δὲ
ΕΚ τὸ ἀπὸ τῆς B στερεόν τὸ ἄρα ἐκ τῶν 4, B, Γ
στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β
στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰδογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ"
ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

AE.

T2 ^ 3 3 , 3,3

Eov τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, x«l
1 3 3 3 ^v A e [4
τὰ ἀπ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπέπεδα Ououc
τε καὶ ὁμοέως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ἔσται"
καὶ ἐὰν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα
ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον
3 9 9 - 3 ,
ῇῃ, καὶ αὐταὶ αἵ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.

2. AN] NAP. 6. καὶ αἴ B. εὐϑεῖαι] om. FV. 8. éxa-
τέραν] supra F. 10. ἴσα V, sed corr. 11. AO P. 12. ἐστέ
PBV, comp. F. 18. ὑπό] corr. ex ἐπί m. 2 Βα éocív: ἴσον
ἄρα] om. p. 14. ἐστί] ἐστίν P. |OAP. — 16. AO P.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 121

erit 4M: EZ τῷ A4E:4N. el latera aequales angulos
NAM, Z4EZ comprehendeniia in contraria ratione
sunt.!) itaque MN — ZZ [VI, 14]. et quoniam duo
anguli plani rectilinei aequales sunt 2/4 EZ, NAM, et
in iis sublimes erectae sunt rectae Δ, EH, quae et
inter se aequales sunt et angulos singulos singulis
aequales cum rectis a principio datis comprehendunt,
rectae ἃ punctis H, X ad plana per NAM, Z4EZ
ducta perpendiculares ductae inter se aequales sunt
[prop. XXXV coroll]; quare solida 440, EK eandem
altitudinem habent. solida autem parallelepipeda, quae
in aequalibus basibus sunt posita et eandem altitudi-
nem habent, inter se aequalia sunt [prop. XXXI]. ita-
que 94 — EK. eti 40 solidum est ex A4, B, Γ con-
siructum, E K autem solidum ex B constructum. ergo
solidum parallelepipedum ex 4, B, Γ΄ constructum
aequale est solido ex B constructo, quod aequilaterum
est οὖ priori aequiangulum; quod erat demonstrandum.

XXXVII.

Si quattuor rectae proportionales sunt, etiam solida
parallelepipeda in iis similia et similiter constructa
proportionalia erunt; et si solida parallelepipeda in
rectis similia et similiter constructa proportionalia
sunt, eliam rectae ipsae proportionales erunt.

1) Cfr. p. 88 not. 1.

στερεόν] om. V. 17. παραλληλ᾽ ἐπίπεδον, ut semper fere, P;
hic ' in o mut. m. 2; item lin. 24. 20. λζ΄ ] non liquet in F.
21. ὦσι V. 922. παράλληλα ἐπίπεδα F. 238. ἔσται) miro comp.

F (corr. ex /.?). 24. παράλληλα ἐπίπεδα E.

198 ΣΤΟΙΧΕΙΩΧ ια΄.

"Εστωσαν τέσσαρες εὐϑεῖαι ἀνάλογον αἱ AB, ΓΩ͂,

EZ, ΗΘ. ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν Γά. οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς
τὴν ΗΘ, καὶ ἀνὰγεγράφϑωσαν ἀπὸ τῶν AB, ΓΩ͂,
EZ, ΗΘ ὅμοιά v& καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλ-

5 ληλεπίπεδα τὰ ΚΑ. 4Γ, ME, NH: λέγω, ὅτι ἐστὶν
ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ 4Γ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ NH.
Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλ-
ἐπίπεδον τῷ 4Γ, τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ 4Γ τριπλα-
σίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΩ͂. διὰ τὰ
10 αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν HO. καί ἐστιν ὡς ἡ AB
πρὸς τὴν ΓΖΩ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ ὡς
ἄρα τὸ 4 K πρὸς τὸ 4I, οὕτως τὸ ME πρὸς τὸ NH.
᾿Αλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ AT

15 στερεόν, οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ͂' λέγω,

Or, ἐστὶν ὡς ἡ AB εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΓΖ. οὕτως ἡ

ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
Ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ Κὶ4 πρὸς τὸ 4Γ τριπλασίονα
λόγον ἔχει ἥπερ ἡ AB πρὸς τὴν I4, ἔχει δὲ καὶ τὸ
20 ME πρὸς τὸ NH τριπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ EZ πρὸς
τὴν HO, καί ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ AI, οὕτως
τὸ ME πρὸς τὸ NH, καὶ ὡς ἄρα ἡ 48 πρὸς τὴν
ΓΖ. οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐϑεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ
25 ἑξῆς τῆς προτάσεως" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

4. Ante ve m. 1 del. στερεά Ε. 5. 4Γ] AT, AM F.
1. ὅμοιο» om. Theon (ΒΕ). ἐστινΒ. 8. ΜΓ ὅμοιον Theon
(ΒΕ ). 12. ἡ EZ] EZ F. καί om. B. 18. NH] H non
liquet inF. 14, ΜΓ] AV. 15. στερεόν] om. V. EM V.
στερεόν] om. V. ΗΝ V. 18. ΚΑ 4 eras. P. 19. ἔχει]
(alt.) ἐδεέχϑη V. 20. NH] ME F. λόγον ἔχον V.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 129

Sint quattuor rectae proportionales 4B, I1, EZ,
ΗΘ ita ut sit 4B: ΓΖ — EZ: HO, et in 48, ΓΖ,
EZWHO similia et similiter posita construantur so-

K A
A B 2 y

e O—O0
E Z H Θ

lida parallelepipeda K.4, 4I; ME, NH. dico, esse
KA: A4I'— ME:NH.

Nam quoniam K4-- AI, erit Κα: AI'— AB?
ZI'/? (prop. XXXIII]. eadem de causa erit etiam
ME:NH-EZ5::H0. et AB:I'4- ΕΖ:ΗΘ.
quare etiam 44K : 4AI'— ME: NH.

Ai uero sit 4K: 4I'— ME: ΝΗ. dico, esse

48: ΓΖ -Ξ-Ξ- ΕΖ: ΗΘ.

nam quoniam rursus K 4: 4Γ — 4.88: ΓΖ" [prop.
XXXIII],et& ME: NH — EZ?: ΗΘὅ, εἰ K 4: AI'-—- ME
: NH, erit eliam 4B: Γά — EZ: ΗΘ.

Ergo si quattuor rectae proportionales sunt, et
quae sequuntur in propositione; quod erai demon-
sirandum.

91. AD] 4 e corr. m. 1 F. 944. ὦσι καὶ τά] ὦσιν F. ὦσιν
B. De propositione, quae uulgo est 88, u. app.

Euolides, edd. Heiberg et Menge. IV. 9

10

1

Q

20

130 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

/

Ay.

Ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἴ
πλευραὶ δίχα τμηϑώσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπέ-
πεδα ἐκβληϑῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων
καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν
ἀλλήλας.

Κύβου γὰρ τοῦ AZ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων
τῶν ΓΖ, 4Θ αἵ πλευραὶ δίχα τετμήσϑωσαν κατὰ τὰ
K, 4, M, N, A, Il, O, P σημεῖα, διὰ δὲ τῶν το-
μῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσϑω và ΚΝ, EP, κοινὴ δὲ vou?
τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ TZ, τοῦ δὲ AZ κύβου διαγώ-
νιος ἡ ΔΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν TT τῇ TX,
ἡ δὲ 4Τ τῇ TH.

᾿ΕἘπεξεύχϑωσαν γὰρ αἱ 4T, TE, BE, ZH. καὶ
ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ 45 τῇ OE, αἱ ἐναλλὰξ γω-
vía, αἱ ὑπὸ ΔΞΥ, TOE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν 45H τῇ OE, ἡ δὲ XT τῇ TO,
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἢ ΖΎ τῇ
TE ἐστιν ἴση, καὶ τὸ A4AT τρίγωνον τῷ OTE τρι-
γώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς
γωνίαις ἴσαι ἴση ἄρα T ὑπὲ ΞΥΖ γωνία τῇ ὑπὸ
OTE γωνίᾳ. διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΊΎΕ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΖΣΗ͂ εὐθεῖα ἐστιν, καὶ ἴση 4

1. .λϑ' codd. 83. κύβου] στερεοῦ παραλληλεπιπέδου Theon
BFV). ἀπεναντίον») corr. ex ἀπεναντίων m. 1 P. 8. τμη-
ϑῶσι FV. 4. ἐκβληθῇ ἡ) ἐκβληϑείη F. ὅ. κύβου] στερεοῦ
παραλληλεπιπέδου Theon (BFV). 7. κύβου γάρ] στερεοῦ γὰρ
παραλληλεπιπέδου Theon (BFV). 10. KN] ras. 2 litt. V.
AP] A e corr. P, eras. V. τῶν ἐπιπέδων τομή BFV.

11. κύβου στερεοῦ. παραλληλεπιπέδου Theon (BFV). 12. ἡ]
ἔστω Ε ὅτι] om. F; ὅτι αἵ ü VF) TZ, 4Ε δίχα
τέμνουσιν ἀλλήλας, τουτέστιν ὅτι BV et mg. m. rec. F. lon
ἐστίν] om. BF V. ΤΣ ἴση ἐστίν BF'V. 18. AT] T4 P.

ELEMENTORUM LIBER ΧΙ. 131

XXXVIII.

Si in cubo!) latera planorum inter se oppositorum
in duas partes aequales secantur, et per puncta sectio-
num plana ducuntur, communis planorum. sectio et
cubi diameirus inter se in duas partes aequales se-
cabunt.

Nam in cubo AZ latera planorum inter se oppo-
sitorun ΓΖ, 40 in duas partes aequales secentur
in punctis K, 4, M, N, 5, II, O, P, et per puncta
sectionum pláàna ducantur Καὶ Ν, &P, οὐ communis pla-
norum seclio sit TZ, diametrus autem cubi 4Z sit
ΖΗ. dico, esse TT — TZ, AT — TH.

ducantur enim ΔΎ, TE, BZ, ZH. et quoniam
41A rectae OE parallela est, anguli alterni 4AT,
TOE inler se aequales sunt [I, 29]. et quoniam Z5
— OE, AT — TO, et aequales angulos comprehen-
dunt, erii 4/T— TE et 45T -— OTE, et reliqui
anguli reliquis aequales [I, 4]. itaque /, T4 — OT E.
quare recta est /7/TE [I, 14]. eadem de causa etiam

1) In hae scriptura tuenda consentiunt Campanus, Bono-
niensis, Vaticanus P, quamquam in hoc legitur mg. m. 1: yg.
ἐὰν στερεοῦ παραλληλεπιπέδου. sane eadem demonstratio de
quouis parallelepipedo ualet, sed cum propositio de cubo solo
demonstrata propositioni 17 libri XIII, cui soli inseruit haec
nosira propositio, satisfaceret, Euclides hoc casu speciali con-
tentus fuit. ?

14. γάρ] om. F. — BZ] corr. ex BE m. 2 F. 15. of] .
supra m. 1 F. 16. αἴ om. F. εἰσί V, comp. F. 11. OE]
ΘΕ F.. 18. περιέχουσι V. τῇ] βάσει τῇ F V. 19. ἴση ἐστί
V. TOEB; OT"E F; OET, supra ET ras, V. 20. ἴσον
ἐστίν B. 21. ἴσαι] om. BF; ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ V.

22. OTE] TOE B; supra T E add. .. et .- m. 2 F.

923. ἐστι PV, comp. F. ἴσῃ] supra scr. m. 2 B.
9

10

15

132 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ια΄.

ΒΣ τῇ EH. καὶ ἐπεὶ ἡ DA τῇ 4B ἴση ἐστὶ καὶ
παράλληλος, ἀλλὰ ἡ D4 καὶ τῇ EH ἴση τέ ἐστι καὶ
παράλληλος, καὶ ἡ 4B ἄρα τῇ EH ἴδη τέ ἐστι καὶ
παράλληλος. καὶ ἐπιξευγνύουσιν αὐτὰς εὐϑεῖαι αἵ
4E, BH: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 4Ε τῇ BH. ἴδη
ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ EAT γωνία τῇ ὑπὸ BH T: ἐναλλὰξ
y&g: ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ HTZ. δύο δὴ τρίγωνά
ἐστι τὰ ΤΥ, HTX τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γω-
νίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην
τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν
4T τῇ ΗΣ' ἡμίδειαι γάρ εἰσι vOv 4Ε, BH: καὶ τὰς
λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει. ἴδη
ἄρα ἡ uiv AT τῇ TH, ἡ δὲ TT τῇ TZ.

᾿Εὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων al πλευραὶ
δίχα τμηϑῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληϑῇ,

1. EH] in ras. V. ἡ7 corr. ex af Υ͂. ἐστίν B; item

. lin. 2, 8. 2. xol τῇ τῇ ΕΥ. 8. ἄφα] om. V. EH]H

e corr. F; EH ἄρα 5. Post alt. BH add. Theon: καὶ
εἴληπται ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ d, T (4, ET
F), H, Σ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4 H, TZ. ἐν ἕνὶ ἄρα εἰσὶν
ἐπιπέδῳ αἴ 4 H, TZ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἔστιν ἡ 4E τῇ BH
(BFV). Dein in F V seq. καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ
ΖΗ. 6. μέν] om. B. 1. ἡ δέ] ἔστιν δὲ ἡ Β. ΗΤΣῚ
TZ ἴῃ ras. m. 1 P; HTZ ἴση B. 8. ἐστιν B. 9. πλευράν]
om. V. 11. sow B. 18. 4T] 4 e corr. V. '* 14. κύβου]
στερεοῦ παραλληλεπιπέδου Theon (BF V); item p. 134 lin. 1.
15. τμηϑῶσι V.

ἢ

ELEMENTORUM LIBER XI. 133

B ZEZH recia est, οὐ ΒΣ — ZH. et quoniam I'4
rectae ΖΒ et aequalis est et parallela, et I'4 etiam
rectae EH οὐ aequalis et parallela est, etiam 28
rectae EH ei aequalis est et parallela [prop. IX].

ei eas coniungunt rectae ΖΕ, BH. itaque 4 E rectae
BH parallela est [I, 33]. itaque [ EAT — BHT
(nam alterni sunt) [I, 29], et ὁ ΤΥ — HTZ [I, 15].
quare duo irianguli sunt Δ ΤΥ, HTZ duos angulos
duobus angulis aequales habentes et unum latus uni
lateri aequale, quod sub altero angulorum aequalium
subtendit, ΔΎ — HX (nam dimidiae sunt rectarum
ΖΕ, BH), et reliqua latera reliquis lateribus aequalia
habebunt [I, 26]. ergo ZT— TH, TT — ΤΣ.
Ergo si in cubo latera planorum inter se opposi-
lorum in duas partes aequales secantur, et per puncta
sectionum plana ducuntur, communis planorum sectio

1) Nam 4E, 4H, BH in eodem plano sunt (prop. VIL).

134 ZTOIXEIQN ια΄.

ἢ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διά-
μεξτρος δίχα «τέμνουσιν ἀλλήλας" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

49.
Ἐὰν ἡ δύο πρίσματα ἰσοὐψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ
5 βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, δι-
πλάσιον δὲ ἡ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τρι-
γώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα.
Ἔστω δύο πρίσματα ἰσουύψῆὴ τὰ ABIAEZ,
HOKAMN, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ AZ παραλ-
10 ληλόγραμμον, τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ
ἔστω τὸ 42 παραλληλόγραμμον τοῦ HO K τριγώνου"
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ 4 ΒΓΖ4 ΕΖ πρίσμα τῷ HOKAMN
πρίσματι.
Συμπεπληρώσϑω γὰρ τὰ A4, ΗΟ στερεά. ἐπεὶ
15 διπλάσιόν ἐστι τὸ 42 παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ
τριγώνου, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον
διπλάσιον τοῦ HO K τριγώνου, ἴδον ἄρα ἐστὶ τὸ 4Z
παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ. τὰ δὲ
ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ
20 ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ AA στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ. καί ἐστι τοῦ μὲν
AE στερεοῦ ἥμισυ τὸ ABIAEZ πρίσμα, τοῦ δὲ
ΗΟ στερεοῦ ἥμισν τὸ HOKAMN πρίσμα: ἴσον

8. μ΄ codd. (in F seq. ras. 1 litt). 10. δέ] δὲ λοιπόν F.

τό] o e corr. m. 2 B. διπλάσιον — 11. τριγώνου] om. F.

14. HO] in ras. m. 2 V; H e corr. m. rec. P. Ante ἐπεί
add. καί m. 1—929 V. 16. ἔστιν B. ἔστι — 11. τριγώνου] mg.
m. 9 V. 18. δέ] δ᾽ F. 20. ἴσα] om. F. στίν] ἐστὶν
ἴσον F, ἐστὶν ἴσα m. 2. " 21. ΗΟ] O non liquet FV. ἐστιν
B. 929. ABI'AZE F, corr. m. 3. 283. H6? F.

ELEMENTORUM LIBER XI. 135

ei cubi diametrus inter se in duas partes aequales se-
cabunt; quod erat demonstrandum.

XXXIX.

Si duorum prismatum eandem altitudinem habentium
alterum basim parallelogrammum, alterum triangulum
habet, et parallelogrammum duplo maius est triangulo,
prismata aequalia sunt.

Duo prismata sint 4BI'4 EZ, HOK AMN eandem
altitudinem habentia, et alterum basim habeat 4Z
parallelogrammum, alterum triangudlum ΗΘΚ, et sit
4Z-—2HO0K. dico, esse 4BI'Z4ZEZ — HOKAMN.

expleantur enim solida 4,3, HO. quoniam 4Z
-- 2ΗΘΚ, οἱ ΘΚ -—2HO0K [I, 34], erit 4Z — OK.

B 4 Μ 0

Η Κ

solida autem parallelepipeda, quae in aequalibus sunt
basibus et eandem altitudinem habent, aequalia sunt
[prop. XXXI]. itaque ΑΞ — HO. et ABIAEZ
— 445, HOKAMN -— : HO [prop. XXVIII]. ita- .
que 4BI'A4EZ — HOKAMN.

186 ZTOIXEION ια.

ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΖΕΖ πρίσμα τῷ HOKAMN
πρίσματι.
Ἐὰν ἄρα ἡ δύο πρίσματα ἰσοὐψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ
βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον
5 δὲ ἦ τὸ παραλληλόγφαμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ
πρίσματα" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

1. πρέσμα] om. BF. 8. ἔχει φ et P (corr. m. 2).
Εὐκλείδου στοιχείων ix PF; Εὐκλείδου στερεῶν ic B.

ELEMENTORUM LIBER XI. 13"

Ergo si duorum prismatum eandem altitudinem
habentium alterum basim parallelogrammum, alterum
irangulum habet, et parallelogrammum duplo maius
est triangulo, prismata aequalia sunt; quod erat de-
monstrandum.!)

mE 4 NH M 0
1) In PB figura haec est: £ | grad
^y — PY

Deinde haec sequitur addito σαφὴς (σαφεστέρα B) καταγραφή
M 0

A
4
AE | | e
B € N
T Ζ

H K
In B in fig. alt. pro E est B, et B in 44 mutatum est.

10

1ὅ

ιβ΄.
,

€.

Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς
ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τε-
τράγωνα.

Ἔστωσαν κύκλοι οὗ ABI, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖς
ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ABI'AE, ZHOK A, διά-
μέτρον δὲ τῶν κύχλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, HN* λέγω,
ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ABIAE πολύ-
yovov πρὸς τὸ ΖΗΘΚΑ πολύγωνον.

᾿Επεξεύχϑωσαν γὰρ αἵ BE, 4M, HA, ZN. καὶ
ἐπεὶ ὅμοιον τὸ 4ΒΓΖΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΑ
πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ
HZA, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν AE, οὕτως ἡ
ΗΖ πρὸς τὴν Ζ4. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι và Β4Ε,
HZA μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ
BAE τῇ ὑπὸ ΗΖΑ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς
πλευρὰς ἀνάλογον" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABE τρί-

Εὐκλείδου στοιχείων ιβ P; Εὐκλείδου στοιχείων τῆς Θέω-
vog ἐκδόσεως L( Ἐ; Εὐκλείδου στερεῶν β στοιχείων ιβ BV; Eo-
κλείδου ιβᾳ. 1.«'] om. V. 2. πολυγώνια Β. ὅ. Ante κύ-
κλοι eras. ἴσοι V. ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΑ Theon (BFVqQ).

6. πολυγώνια B. — 7. λέγω] ὦ e corr. V. 8. BM] B supra

scr. V. 9. πολυγώνιον B, item lin. 10.ὡ 12. ἔστι τὸ BVq.
18. ἐστὶ xat] ἐστίν q; ἐστὶν καί B. ὑπό] (41.) bis F. 14. HZ]

Liber XII.

I.

Similia polygona in circulis inscripta eam inter se
ralionem habent quam quadrata diametrorum.

Sint circuli 4BI', ΖΗΘ, et in iis inscripta sint
polygona 4BI'4E, ZHOK A, diamelri autem circu-
lorum sint ΒΜ, ΗΝ. dico, esse

ΒΜ: HN* — ABIAE:ZHOK A.
ducantur enim BE, 4M, H4, ΖΝ. et quoniam
ABIAE-ZHOKA, ert ( ΒΑΕ ᾿Ξ HZA et BA
:4 E — HZ:ZA [VI def. 1]. itaque duo trianguli

4 Ζ

δ
7 9 K

sunt B .4 E, HZ 4 unum angulum uni angulo aequalem

habentes, / B4 E — HZ A, et latera aequales angulos

comprehendentia proportionalia. itaque triangulus 4 B E

in ras. m. 1 P; HZ in raàs. m. 2B. τήν] τῇ F. 16. HZ 4]
H"Z AF (puncta post add.); ZH.AA V, HAZ Βα. τήν] τίν V.

10

15

20

25 0

140 ZTOIXEISN ιβ΄.

yovov τῷ ZHA τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ AEB
γωνία τῇ ὑπὸ ZAH. ἀλλ᾽ ἡ μὲν ὑπὸ AEB τῇ vx
ΑΜΒ ἐστιν ἴση" ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βε-
βήκασιν᾽ ἡ δὲ ὑπὸ ZAH τῇ ὑπὸ ΖΝΗ͂' καὶ ἡ ὑπὸ
ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ZNH ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὀρϑὴ
ἡ ὑπὸ BAM ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ HZN loq: καὶ ἡ λοιπὴ
ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ 4BM
τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς
ἡ ΒΜ πρὸς τὴν HN, οὕτως ἣ BA πρὸς τὴν ΗΖ.
ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων
ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ
διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ 4ΒΓΖ4Ε πολυγώνου πρὸς τὸ
ZHOK.A πολύγωνον καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ
τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως
τὸ 48ΒΓ2ΖῈ πολύγωνον πρὸς τὸ ZHO K 4 πολύγωνον.

Τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς
ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα"
ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

β΄.
Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ
τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
Ἔστωσαν κύχλοι οὗ 4ΒΓΖ, ΕΖΗΘ, διάμετροι
ὃὲ αὐτῶν [ἔστωσαν] αἱ Β4,, ZO* λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς
48ΒΓ4 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ

1. ZH 4] corr. ex ZAH V, ZAH B, HZA g. 2. ΖΛΗ]
ΖΗ 4 Ἐ.-. 8. Supra περιφερείας m. rec. add. τῆς BA P.
4. δέ] δ᾽ P. 6. ὑπό] bis V. ἔστιν B. 6. ἡ] ἡ γωνέα
ἡ F ΑΒΜΈῈ. lon] om. B. ἡ] om. q. 7. AMB B.
9. HZ] H in ras. m. 1 P. 10. MB V. 12. δέ δὲ
ἀπό F, et 46]. ἀπό. — 24. ἔστωσαν» mg. postea add. m. 1

770073

ELEMENTORUM LIBER XII. 141

triangulo ZH. aequiangulus est [VI, 6|. quare
L AEB —ZAH. sed |, AEB — AMB (nam in eodem
arcu positi sunt) [III, 27], οὐ | Z4H — ZNNH. quare
eliam / 4MB — ZNH. uerum etiam

L BAM — HZN; nam uterque rectus est [III, 31].

ilaque etiam reliquus reliquo aequalis est. triangulus
igitur 4BM triangulo ΖΗ͂Ν aequiangulus est. quare
BM:HN —BA4:HZ [VI, 4Jj uerum BM?: HN?
ratio duplicata est quam BM: HN, et
ΑΒΓΔΕ: ZHOK A — BA? : HZ? [VI, 20].
illaque etiam
ΒΜ: HN? — ABI'AE:ZHO9K A.

Ergo similia polygona in circulis inscripta eam
inter se rationem habent quam quadrata diametrorum;
quod erat demonstrandum.

II.

Circuli eam inter se rationem habent quam qua-
drata diametrorum.
Sint circuli. 4BI*1, ΕΖΗΘ et eorum diametri
B4, Z0. dico, esse
ABDIA: ΕΖΗΘ — BZ4:ze.

II. Simplicius in phys. fol. 15. Psellus p. 66.

4B F. λέγω — p. 142, 5. ὡς τὸ ἀπό] λέγω, ὅ ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς B4 τετράγωνον (comp. add. m. 2 V) πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ
τετράγωνον (om. V) οὕτως ὁ ABI'A κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗ Θ
κύκλον. εἰ γὰρ μή ἐστιν (hic seq. in q: ὁ 4B ΓΖ4 κύκλος πρὸς
τὸν ΕΖΗΘῚ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Bd τετράγωνον (om. V) πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς ZO (τετράγωνον add. Vq), οὕτως ὁ ABI'A κύκλος
πρὸς τὸν ΕΖΗ Θ κύκλον (οὕτως — κύκλον om. 4), ἔσται ὡς
τὸ ἀπό (πρὸς τόν --- «ἀπό om. F) BFVq et P mg. m. 2 (yo.
καὶ οὕτως ei in fine ἢ δῆτα γραφὴ xal κρείττων ἐστίν).

149 ZTOIXEISN ιβ΄.

ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZO τετρά-
yomov.
Ei yàg μή ἐστιν ὡς ὃ ABI κύκλος πρὸς τὸν
ΕΖΗΘ. οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ
5 ἀπὸ τῆς ΖΘ, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β4 πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ZO, οὕτως ὃ ABI κύκλος ἥτοι πρὸς ἔλασσόν
τε τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖξον. ἔστω
πρότερον πρὸς ἔλασσον. τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς
τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ' τὸ δὴ
10 ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ
τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν E, Ζ,
H, Θ σημείων ἐφαπτομένας [εὐθείας] τοῦ κύκλου
ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετρα-
γώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περι-
16 γραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὃ κύκλος" ὥστε
τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖξόν ἐστι τοῦ
ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσϑωσαν δίχα al
EZ, ΖΗ, HO, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ K, 4, M,
Ν σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EK, KZ, Ζ4, AH,
30 ΗΜ, MO, ON, NE καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν EKZ,
ZAH, HM0, ONE τριγώνων μεῖξόν ἐστιν ἢ τὲ
ἥμισυ τοῦ καϑ' ξαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ
ἐὰν διὰ τῶν K, 4, M, Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ
κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν
φ EZ, ΖΗ, ΗΘ. ΘΕ εὐϑειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον

8. ὁ] supra m. 1 P. 5. τῆς ΒΖ — 6. κύκλος] om. F.
6. Β4 τετράγωνον V. 7. τι] om. V; supra ἔλασσον ras. est.
den supra scr. m. 1 V. 9. EZHO| (alt.) E supra m. 1 V.
δὴ) δέ F V. 19. εὐθείας] om. BF Vq. 18, διάγωμεν
Bq, διαγάγωμεν B m. 9 et F (δι- euan.). 15. ἐλάσσων g.
17. ἡμίσεος BVq. 18. ΘΕ] supra m. ? B. 20. EKZ)
Z e corr. m. 1 V. 21. HMO| H e corr. x; OH MO, del.

ELEMENTORUM LIBER XII. 143

Nam si non est 4BIZ:EZHO -εΒ 45:25, erit
ut B2f:20?, ita ABI aut ad minus aliquod cir-
culo ΕΖΗΘ spatium aut ad maius. sil prius ad mi-
nus, Σ. et in circulo ΕΖΗΘ inscribatur quadratum
EZHO [IV, 6]. quadratum igitur inscriptum maius
est quam dimidium circuli ΕΖΗΘ, quoniam, si per
puncta E, Z, H, € rectas circulum contingentes duxe-
rimus, quadratum EZHO dimidium!) est quadrati
eireum circulum cireumseripti, et circulus minor est
quadrato eirceumseripto; quare quadratum inscriptum
ΕΖΗΘ maius esí quam dimidium circuii EZHe6.

EM. Ν

9 T
B 4

Á

iam arcus EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ in punctis K, 4, M,
N in binas partes aequales secentur, et ducantur EK,
KZ, Z4, AH, HM, MO, ON, NE. itaque etiam
singuli trianguli EKZ, ΖΛΗ, HMO, GN E maiores
sunt quam dimidia segmentorum circuli ad eos perti-
nentium, quoniam si per puncta K, 4, M, NN rectas
eireulum contingentes duxerimus et parallelogramma
in reclis EZ, ZH, ΗΘ, OE posita expleuerimus,
1) Hoc facile ex I, 47 demonstratur, coll. VI, 20 coroll.
pr. Θ ei supra scr. bis M F. 0 N E] supra add. Ν᾽ m. 2 F.

22. ἑαυτό] corr. ex ἑαυτόν m. 2 B. 25. Post ἕκαστον
add. ἄρα m. 2 F.

10

1ὅ

20

26

144 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

τῶν EKZ, ZA4H, HMO, GNE τριγώνων ἥμισυ
ἔσται τοῦ καϑ'᾿ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ co
xc ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου"
ὥστε ἕκαστον τῶν EKZ, ΖΔ4Η, HMO, ONE τρι-
γώνων μεῖξόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ xa9' ἑαυτὸ τμή-
ματος τοῦ κύκλου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας
περιφερείας δίχα καὶ ἐπιξευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο
ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου,
ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ἢ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ
κύκλος τοῦ 2j χωρίου. ἐδείχϑη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ
ϑεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν
ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεϑῇ
μεῖξον ἢ τὸ ἔμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου usifov ἢ
τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφϑήσεταί τι μέ-
γεϑος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐχκειμένου ἐλάσσονος
μεγέϑους. λελείφϑω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν EK,
KZ, Z4, AH, HM, MO, ON, ΝΕ τμήματα τοῦ
ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ἡ ὑπερέχει
ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου. λοιπὸν ἄρα τὸ
EKZAHMON πολύγωνον μεῖξόν ἐστι τοῦ 2i χωρίου.
ἐγγεγράφϑυ καὶ εἰς τὸν 4ΒΓΖ κύκλον τῷ EKZAHMON
πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ A4SBODIIAP" ἔστιν
ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ASBOL'ILAP πολύγωνον
πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡς
τὸ ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ,
οὕτως ὁ ΑΒΓΖΩ͂ κύκλος πρὸς τὸ ΣῚ χωρίον" καὶ ὡς
ἄρα ὃ ABI κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον, οὕτως τὸ

1. EKZ] KZ in ras. m. 1P; EZK q. . Post ΘΝῈ ras.

2litt.B. τριγώνων] ε in ras. m. 2 B. ἥμισυ — 4. τριγώνων
bis B. — 2. ξαυτό] corr. ex ἑαυτόν m. ἃ B (priore tantum loco).

ELEMENTORUM LIBER XII. 145

singuli trianguli EKZ, ZA4H, HMO, ONE dimidia
sunt parallelogrammorum ad eos pertinentium, et
segmenta ad eos pertinentia minora sunt parallelo-
grammis; quare singuli trianguli EK Z, ΖΛΗ, H M6,
6 N E maiores sunt quam dimidia segmentorum ad eos
pertinentium. itaque relictos arcus secantes et rectas
ducentes et hoc semper facientes segmenta quaedam
cireuli relinquemus, quae minora;erunt excessu, quo
cireulus ΕΖΗΘ spatium Z excedil; nam in primo
theoremate decimi libri demonstratum est, si datis
duabus magnitudinibus inaequalibus a maiore plus
quam dimidium subtrahatur et a relicta plus quam
dimidium et hoc semper fiat, magnitudinem relictum
in, quae minor sit data magnitudine minore. relin-
quatur igitur, οὗ segmenta circuli EZHO in rectis
EK, KZ, ZA, AH, HM, MO, ON, ΝΕ posita mi-
nora sini excessu, quo circulus EZHO spatium Z
excedit. itaque EKZAHMON Z2. inscribatur
eliam in circulo 4BI'7! polygonum 4ESBOLD'IIAP
polygono EKZ AH MON simile. erit igitur Bzf? : Z6*
-- AEBODLILAP: EKZAHMON (prop. I]. uerum
etiam ΒΖ: Z0? — ABI: Z. quare etiam 4BI:ZX

8. αὑτό P. ἔλασσον B (utroque loco), Vq; comp. F.
4. ὥστε xat V. 5. ἡμίσεος BF Vq. 8. αἰεί F, ἀεί q.
τμήματα B. 9. ἐλάττονα BF Vq. 10. Z2] corr. ex E B.
19. éx- corr. ex ἐγ- in scr. F. 13. καί — 14. ἥμισυ] om. P.
14. ληφϑήσεται q. — 16. ἔσται] ἐστιν ΕΥ͂. 16. λελήφϑω
F et V (sed corr); ελήφϑω q. 17. HM] mg. m. 1 P.
τμήματα — 18. κύκλου) mg. m. 1 V. 18. EZHO0] EZ V,
EZ q. ἐλάσσονα B. 19. EZHO] pro E c in ras. g.
90. ÉEZKAHMON P. πολυγώνιον ᾳ(ὄὩΌ. 92. ὕμοιον] in ras.
m. 9 V. Oin ras. m. 1 B; Γ mg. V. 24. οὕτως — 30.
Z0] bis V, corr. m. 1.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 10

σι

10

15

20

25

146 EZTOIXEIQSN ιβ΄.

ARBOTILAP πολύγωνον πρὸς v EKZAHMON
zoÀvyovov: ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ABI κύκλος πρὸς
τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον. οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸ
ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. μείξων δὲ ὁ ABI κύ-
κλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνον᾽ μεῖξον ἄρα καὶ τὸ Σ
χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ καὶ
ἔλαττον ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ
ἀπὸ τῆς ΒΩ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως
ὁ ABI κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου
χωρίον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτε οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὲ ΖΘ
πρὸς τὸ ἀπὸ Β4, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασ-
σόν τι τοῦ 4ΒΓ4 κύκλου χωρίον.

Aíyo δή, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Bf πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ABI κύκλος πρὸς μεῖξόν τι
τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖξον τὸ X. ἀνά-
παλιν ἄρα [ἐστὶν] ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4B, οὕτως τὸ Z2 χωρίον πρὸς τὸν
ABI'A κύκλον. ἀλλ᾽ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν 4ΒΓΩ͂
κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ
ΑΒΓΖ κύκλου χωρίον καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B4, οὕτως ó ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς
ἔλασσόν τι τοῦ 4 BU κύκλου χωρίον' ὅπερ ἀδύνατον
ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς BA τετρά-
γῶνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ABI κύκλος
πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ἐδείχϑη
δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
B 4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZO, οὕτως ὁ 4BI 4
κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.

8. ἐν αὐτῷ] A&BOTIIAP V. «Α. μείξων) corr. ex uei-
fov m. 1 BV. 5. καί] supra m. 2 B. 7. ἐστίν] om. V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 141

ARBODIIIAP: EKZAHMON. itaque permu-
tando [V, 16]

ΑΒΓΔ: ASBOIIL AP — Z: ΕΚΖΛΗΜΘΝ.
sed 4BI^4 7 A5SBOLIILAP. quare etiam

Σ» EKZAHMON.'

uerum eliam Z-« EKZAHMON; quod fieri non
potest. itaque non est ut Bf? ad ΖΘ", ita circulus
ABI ad spatium aliquod minus circulo EZ HO.
iam similiier demonstrabimus, ne cireulum EZ HO
quidem ad spatium aliquod minus circulo 4BI*71 eam
ralionem habere quam Z6? : B 41,

lam dico, ne ad maius quidem spatium aliquod
eireulo EZHO circulum 4BI'4 eam rationem habere
quam B4?*:Z909?,

nam si fieri potest, habeat ad Σ᾽ maius circulo
EZHO. e conirario igitur [V, 7 coroll] ΖΘ: B4?
το Σ: ΑΒΓΖ. uerum ut X spatium ad circulum
48 ΓΖ, iia cireulus EZ HO ad spatium minus circulo
ABI'4 [u. lemma]. quare etiam ut Z0? : B Z?, ita
eirculus ΕΖΗΘ ad spaiium aliquod minus circulo
ABI; quod fieri non posse demonstratum est. ita-
que non est, ut ΒΖ: ZO?, ita circulus 4BI ad
Spatium aliquod maius circulo ΕΖΗΘ. —. demonstra-

. uimus autem, ne ad minus quidem eum illam habere

rationem. est igitur B1? : ZO? — ABI'4: ΕΖΗΘ.

ἐστίν — ἄρα] supra m. 2 B. 8. is] om. Bq. ἀπὸ τῆς]
om. V. Z6 τετράγωνον ΒΕ. α. ἔλαττον B. 10. τῆς
Ze v. 11. τῆς B4 V. 18. à] δὲ ΕΥ. οὐδ᾽ F.
11, ἐστίν} om. P. 18. 48] Β4 τετράγωνον Υ͂. 19. ἀλλ᾽
ὡς — 20. κύκλον] om. q. 20. κύκλον] om. V; mg. m. 1:
ὡς εὐϑὺς ἐρεῖ P. ἔλασσον ΒΥα. 24. B4] AB P.

27. πρός] om. V. 98. B4] AB P. ΖΘ τετράγωνον BV.
103

148 ZTOIXEISN ιβ΄.

Οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν
διαμέτρων τετράγωνα᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

“ἥμμα.
Aíyo δή, ὅτι τοῦ Σὶ χωρίου μείξονος ὄντος τοῦ
5 ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Z χωρίον πρὸς τὸν 4ΒΓΖΩ͂
κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ
ABI κύκλου χωρίον.
Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ EZ χωρίον πρὸς τὸν ABI'4
κύχλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ T χωρίον.
10 λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ T χωρίον τοῦ ABI A4 κύ-
κλου. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Zi χωρίον πρὸς τὸν 48Β ΓΩ͂
κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ T χωρίον,
ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ £Z χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύ-
κλον, οὕτως ὁ ABIZ4 κύκλος πρὸς τὸ T χωρίον.
15 μεῖξον δὲ τὸ E χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου" μείζων
ἄρα καὶ ὃ ABI. κύκλος τοῦ T χωρίου. ὥστε ἐστὶν
ὡς τὸ ΣΙ χωρίον πρὸς τὸν 4ΒΓ4 κύκλον, οὕτως ὃ
ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττέν τι τοῦ ABI κύκλου
χωρίον" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

,

20 y.
Πᾶσα πυραμὶς τρέγωνον ἔχουσα βάσιν διαι-
ρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας
ἀλλήλαις καὶ [ὁμοίας] τῇ ὅλῃ τριγώνους ἐχού-
cag βάδεις καὶ εἰς δύο πρίσματα ica" καὶ τὰ
236 δύο πρίδσματα μείξονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς
ὅλης πυραμέδος.

—————

8. λῆμμα] om. codd. 6. ἔλασσον ΒΥ α. 7. κύκλου]
om. V. 9. τό] corr. ex τόν m. 1 P. 10. ἔλασσον B, comp.
F. 12. κύκλος] om. V. 13. 2] E F. 15. μεῖξον] -0*

ELEMENTORUM LIBER XII. 149

Ergo circuli eam inter se rationem habent quam
quadrata diametrorum; quod erat demonstrandum.

. Corollarium.!)

Dieo, si ΕΖΗΘ. Zj, esse ut Σ᾽ spatium ad cir-
eulum 4BI', ita cireulus ΕΖΗΘ ad spatium ali-
quod minus circulo 4BI'Z.

fia& enim Z2: 4BI4 — ΕΖΗΘ: T. dico, esse
T — ABI'A. nam quoniam est Z2: ABI'A4 — EZHO: T,
permutando erii [V, 16] Z2: ΕΖΗΘ — ABI'A: T.
sed Z EZHO. quare etiam ABI 7 T [V, 14].
est igitur, αὖ spatium Σ' ad A4BI'4 circulum, ita cir-
eulus ΕΖΗΘ ad spatium minus cireulo 4 BI; quod
eral. demonstrandum.

III.

Omnis pyramis iriangulam basim habens in duas
pyramidas inter se et aequales et similes totique. similes
irangulas bases habentes et in duo prismata aequalia
diuiditur; et duo prismata maiora sunt dimidio totius
pyramidis.

1) Hoc lemma an genuinum non sit, dubitare licet; etiam
loci quidam in ipsa demonstratione suspecti sunt. sed de hoc
toto genere, scilicet interpolationibus ante Theonem ortis, post
modo uidebimus.

ecor. V. Z]EF. 18. ἔλασσον BFVq. κύκλου] om.
V. 20. γῆ om. q; non liquet F. — 21. Post τρέγωνον 4 litt.
eras. P. 22. Post εἰς ins. ze m. 2 F. τὸ καὶ ὁμοίας]
supra m. 2 B, om. FVq. 28. ἀλλήλας P, -ας e corr. — Dein
seq. in BF Vq: τριγώνους (ov e corr. V) ἐχούσας (corr. ex
ἔχουσα m. 2 F) βάσειρ. ὁμοία] om.P. τριγώνου P, corr.
m. 1. τριγώνους ἐχούσας βάσεις] om. BFVq. — 24. ἴσα] om.
F, in ras. V. καὶ τὰ δύο πρίσματα] om. F

δι

10

15

150 ZTOIXEISN ιβ΄.

Ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ABI' τρί-
yovov, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον᾽ λέγω, ὅτε ἡ ABI .
πυραμὶς διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις
τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ" εἰς
δύο πρίσματα ἴσα" καὶ τὰ δύο πρίσματα μείξονά ἐστιν
ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὕλης πυραμίδος.

Τετμήσθϑωσαν γὰρ αἱ AB, ΒΓ, I4, 44, AB,
ΖΓ δίχα κατὰ τὰ E, Z, H, Θ, K, A σημεῖα, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἴ ΘΕ, EH, HO, ΘΚ, ΚΑ, 40, KZ,
ZH. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἢ μὲν 4Ε τῇ EB, ἡ δὲ A0 τῇ
40, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ 4B. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ 48 παράλληλός ἐστιν. παρ-
αλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ O EB Κ' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
OK τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση" καὶ ἡ
AE ἄρα τῇ OK ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ A40 τῇ
ΘΖ ἴση" δύο δὴ αἱ ΕΑ͂, 40 δυσὶ ταῖς ΚΘ, 64
ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ" καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Ε4Θ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΩ͂ ἴση" βάσις ἄρα ἡ EO βάσει τῇ
KZ ἐστιν ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α ΕΘ

20 τρίγωνον τῷ OK. τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ

2ὅ

A0H τρίγωνον τῷ 644 τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ
ὅμοιον. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων al
ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐϑείαρς ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς
KA, 444 εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας
γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γω-
νία τῇ ὑπὸ ΚΩΑ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἵ
ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖς K 4, 44 ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκα-

1. τό] corr. ex ἡ m. 2 ΕΒ. ΑΒΓΔ F, et B, eras. 4.
τρίγωνον: 4 F. 7. 4B] 4E F. 8. 4I'] D e corr. m.
1 F. 9. EH] HE FV. 6 K] supra scr. m. 2 B.
τι 48] in ras. V, 64B, Ed F. . AB] EF. 12. ἐστι

ELEMENTORUM LIBER XII. 151

Sit pyramis, cuius basis sit 4 BI' triangulus, uertex
autem punctum 4. dico, pyramidem A4BI' in duas
pyramides diuidi inter se aequales triangulas bases
habentes et toti similes et in duo prismata aequalia,
el duo prismata maiora esse dimidio totius pyramidis.

secentur enim 4B, BI, I4, 44, 4B, 4Γ in
duas partes aequales in punctis E, Z, H, 0, K, 4,
et ducantur GE, EH, HO, OK, ΚΑ, 40, KZ, ZH.
iam quoniam 4E — EB, 4 — 40, erit EG rectae
4B parallela (VI, 2]. eadem de causa etiam ΘΚ
rectae 4B parallela est. itaque parallelogrammum
est GEBK. ilaque 9K — EB [I, 34]. uerum etiam
EB -— E4. quare etiam EA4-— ΘΚ. uerum etiam
46 - ΘΖ. itaque duae rectae E 4, 40 duabus ΚΘ,
ΘΖ aequales sunt singulae singulis; et /, E40 — K0
[I, 29]. itaque ΕΘ — K 4 [I, 4]. quare triangulus
AEG6 iriangulo 9 K 44 et aequalis est οὖ similis [I, 4].
eadem de causa etiam triangulus 49H triangulo ΘΖ
el aequalis est et similis. et quoniam duae recíae
inter se tangentes EO, 6H duabus rectis inter se
tangentibus ΚΖ, 71,4 parallelae 'sunt in eodem plano
. non positae, aequales angulos comprehendent [ΧΙ], 10].
ilaque / ΕΘΗ -- K14. οὗ quoniam duae rectae
ΕΘ, ΘΗ duabus rectis K 4, 41 4 aequales sunt singulae

14. EA] in ras. V, AE BF. 16. AE] EA P. ἔστι
bu P. 40] 64 P. 16. 64] 40 B. Ε 4] ΕΖ q,
AE BV. 17. EA, 460 PB. 18. ΚΘ, 04 PBF.
19. ἴση ἐστί α. 4Ὲ 94 F. 20. τρέγωνον] comp. F.
K84 FV. 21. 4BH φ. OK4 VF. Post τριγώνῳ rep.
in F: διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 40H τρέγωνον τῷ 6 A4 τρι-
Ἰώνῳ. ve] om. P. 8838. ἁπτόμεναι α. 25. ἔσται q.
Ee eH PBF. 26. Kd, 44 PF, et B, alt. 4 eras.

152 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

τέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ EOH γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΩ4
ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ EH βάσει τῇ KA [ἐστιν] ἴση"
ἴσον ἄφα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ͂ τρίγωνον τῷ ΚΩ͂Ι4
τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ
5 GKA τριγώνῳ ἴσον vs καὶ ὅμοιόν ἐστιν. ἡ ἄρα πυρα-
μίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4 ΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ
δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚ. τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4
σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ 4418 παρὰ μίαν
10 τῶν πλευρῶν τὴν AB ἧκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι
τὸ 448 τρίγωνον τῷ 40K τριγώνῳ, καὶ τὰς πλευ-
ρὰς ἀνάλογον ἔχουσιν" ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ 4 44 B τρί-
yovov τῷ 40K τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ
μὲν 4ΒΓ τρίγωνον τῷ 41Κ4 τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν,
16 τὸ δὲ 4Ζ4Γ τῷ 24.440. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἅπτό-
μεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ͂, 4Γ παρὰ δύο εὐϑείας ἅπτο-
μένας ἀλλήλων τὰς KO, 0.4 εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ. ἴσας γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ K60.. καί ἐστιν ὡς ἡ BA
πρὸς τὴν AI, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν 0.4: ὅμοιον
ἄρα ἐστὶ τὸ 4ΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΑ͂ τριγώνῳ. καὶ
πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4ΒΓ τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι. ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ OK 4 τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4
σημεῖον. ἀλλὰ πυραμίς, ἧς βάσις μέν [ἐστι] τὸ ΘΚΑ
τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 2, σημεῖον, ὁμοία ἐδείχϑη

2

e

2

cQ

1. ΕΘ, OH PF, et B, eras. alt. 0. KZ, 44 PBF.

2. EH] HE F, ὑπὸ EH B. ἐστιν] om. P. 83. KAAdF V.

4. EAH FV. ὅ. τέ ἐστιν καὶ ὅμοιον P. 71. ἐστί] ἐστὶ
τῇ F Vq. 8. OK] O in ras. B. 11. 484 P. τοῦ
40K τριγώνου F. 4ΘΧ)] ΘΙ ΚΎ, 4K0 B. 12. 448]
corr. ex 4ΒΩ V, ABA F. 14. ἐστι PBVq, comp. F.

ELEMENTORUM LIBER XII. 153

singulis!), eb ὁ EO9 H — K 44, erit EH — K 4. quare
iriangulus EG H iriangulo K21.4 et aequalis est et
similis [I, 4]. eadem de causa etiam triangulus 4EH
iriangulo 9 K 4 et aequalis est et similis. itaque py-
ramis, culus basis est triangulus 4 EH, uerliex autem
punctum Θ, aequalis est et similis pyramidi, cuius
basis est € K 4 triangulus, uertex autem punctum Z4
[XI def. 10]. et quoniam in triangulo 4 71 B uni lateri
AB parallela ducta est 9 K, triangulus 44 z1 B iriangulo
49K aequiangulus est [I, 29], et latera proportio-
nalia habent. itaque triangulus 421B iriangulo 4/0 Καὶ
similis est [VI def. 1]. eadem de causa etiam triangulus
A4 BI'irangulo 42K. similis est et. 47/ Γ triangulo
4140. ei quoniam duae rectae inter se tangentes
BA, AI' duabus rectis inter se iangentibus ΚΘ,
€. parallelae sunt non in eodem plano, aequales
angulos comprehendent [XI, 10]. itaque ( BAI'— K6 4,
el B4: AI'— ΚΘ: ΘΑ. itaque triangulus A4BI'
iriangulo 6 K 4 similis est [VI, 6]. quare etiam py-
ramis, cuius basis est triangulus .4BI', uertex autem
41 punctum, similis est pyramidi, cuius basis est
iriangulus ΘΚ 4, uertex autem 71 punctum [XI def. 9].
sed pyramis, cuius basis est triangulus ΘΙ 4, uertex
autem 4, punctum, similis est pyramidi, cuius basis
1) Nam E — K4 eti ^ 40H οὐ 0 4 A.

2) Nam 4B: ΘΚ — 44: O4, quia A 484 co 6K 4; et
Ad :04— AD:64, quia A AI'Zd co 4604. ium u, V, 16.

15. ΑΒΓ F. 440 τριγώνῳ Theon (BEN 16. Post
ἀλλήλων del m. 1: oí BA, AT' P. KFV. 19. yo-
vía] om. V. ὡς] BUpraà m. 1 V. Ἧς corr. ex Α͂ V.

22. ἄρα] om. FV. 28. ἐστίν B. — 26. ἧς βάσις] mg. m. 1 P.
ἐστι om. PF. ἐστι τό --- p. 164, 1 μέν ἐστι) mg. m. 2 B.

10

15

20

2

σι

154. —— ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ιβ΄.

πυραμέδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4 ΕΗ͂ τρίγωνον, xo-
ρυφὴ δὲ τὸ O σημεῖον [ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις
μὲν τὸ 4ΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ ὃὲ τὸ 4 σημεῖον,
ὁμοία. ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ AEH τρίγω-
vov, κορυφὴ δὲ τὸ € σημεῖον] δκατέρα ἄρα τῶν
AEHO, OKA424 πυραμίδων ὁμοία iow τῇ ὅλῃ τῇ
ΑΒΓ4 πυραμίδι. --- Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ
ZI, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον
τοῦ ΗΖΓ τριγώνου. καὶ ἐκεί, ἐὰν ἢ δύο πρίσματα
ἰσοὐψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ
δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ἦ τὸ παραλληλόγραμμον
τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ. δύο μὲν τριγώνων
τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ͂, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν
ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ
ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΑ, τριῶν δὲ
παραλληλογράμμων “τῶν ΚΖΓΩ, 4ΓΗΘ, ΘΚΖΗ.
καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσις
τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ
εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον
δὲ τὸ € K τρίγωνον, μεῖξόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυρα-
μίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ AEH, OK τρίγωνα. xo-
ρυφαὶ δὲ τὰ Θ, 4 σημεῖα, ἐπειδήπερ [καί] ἐὰν ἐπι-
ξεύξωμεν τὰς EZ, ΕΚ εὐϑείας, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ
βάσις τὸ EBZH παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ
ἡ ΘΚ εὐϑεῖα, μεῖξόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις
τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Καὶ σημεῖον. ἀλλ᾽

1. ἐστι] om. Ε'ᾳ. τό] οὗ in textu et mg. m. 2 B.
2. ὥστε — b. σημεῖον] om. 8. μέν ἐστι V. — 4. ἐστί) om.
F. μέν ἐστι V. στρίγωνον] 4N F. 7. πυραμίδι] in gyll.
πυρὰ des. F; reliquam partem ἃ ᾧ suppletam hic neglexi.
10. ἔχῃ] corr. ex ἔχει m. 29 P. 11. ῃ] εἴη V. 14. KZB V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 155

est 4 EH iriangulus, uerlex autem 6 punctum, ut
demonstrauimus. itaque utraque pyramis A4EHO,
ΘΚ“, similis est toti pyramidi 4.8 ΓΖ.
Et quoniam ΒΖ — 2 Γ, erit ΕΒΖΗ — 2 HZI [1,41].
ei quoniam, si datis duobus prismatis eandem alüitudi-
4 nem habentibus alterum ba-
sim habet parallelogrammum,
allerum triangulum, et par-
allelogrammum duplo maius
est triangulo, prismata aequa-
lia sunt, prisma comprehen-
sum duobus triangulis B K Z,
EH ^et tribus parallelo-
grammis EBZH, ΕΒΚΘ,
A4 E P OGKZH aequale est -pris-
mali comprehenso duobus triangulis ΗΖΓ, 06K. et
iribus parallelogrammis KZI'4, 4Il'HO, GKZH
[XI, 39]. et adparet, utrumque prisma, et cuius basis
sit EBZ H parallelogrammum, ei autem opposita recta
6 K, ei cuius basis sit triangulus HZI', ei autem oppo-
sibus triangulus 60 K 4, maius esse utraque pyramide,
quarum bases sint trianguli 4EH, 6K., uertices
autem puncta O, 7|, quoniam, si duxerimus rectas
EZ, EK, prisma, cuius basis est parallelogrammum
ΕΒΖΗ, ei autem opposita recta 9 K, maius esi pyra-
mide, cuius basis est triangulus EBZ, uertex autem

17. Post τῶν del. Z m. 1 V. KZIA, ΛΓΗΘ, GKZH]
mg. m. 2 B, in textu eras. EB, ZH, K6. 18. ὅτι καί V.
19. EBZH] B in ras. B. 29. βάσις PVq, et B, sed
corr. ΕΗ] im ras. V. κορυφήα. — 28. καί] om. BVaq.
26. μεῖζον] supra scr. o m. rec. P. τῆς] om. V
21. τρίγωνόν ἔστι V.

σι

1

e

1

cQ

2

e

26

156 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ
τὸ K σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΕΗ
τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ O σημεῖον ὑπὸ γὰρ ἴσων
καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται. ὥστε καὶ τὸ πρέσμα,
οὗ βάσις μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναν-
τίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖξόν ἐστι πυραμίδος, ἧς βάσις
μὲν τὸ AEH τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ἴσον
δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλό-
γραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ OK εὐθεῖα, τῷ πρίσματι,
οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ
ΘΚΑ τρίγωνον" ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ 4 ΕΗ τρί-
yovov, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι,
ἧς βάσις τὸ € K 4 τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4) σημεῖον.
τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείξονά ἐστι τῶν εἰρη-
μένων δύο πυραμέδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ 4EH, ΘΚΑ
τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Z4 σημεῖα.

H ἄρα ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ABT τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ zi σημεῖον, διήρηται εἴς τε δύο πυρα-
μίδας ἴσας ἀλλήλαις [καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ] καὶ εἰς δύο
πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ
τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

δ΄.

Ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
τριγώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἕκα-
τέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμέδας ἴσας ἀλλή-
λαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς ὁ δύο πρίσματα

2. τό] (alt.) τά q. 4. τό] om. V. 15. δύο] 8 V (in
mg. iransit). πυραμίδων) in ras. m. 1 B. βάσεις] βάσις
Β (corr. m. 2), 4, comp. V. 6KA4jOKinras V. 318.ce]| om.

V. 19. ἴσας τε καὶ ὁμοίας edd. καὶ ὁμοίας τῇ 015] om.

ELEMENTORUM LIBER XII. ^ 151

punctum K; pyramis autem, cuius basis est triangulus
EBZ, uertex autem punctum K, aequalis est pyra-
midi, cuius basis est 4 EH iriangulus, uertex autem
punctum 6; nam planis aequalibus et similibus com-
prehenduntur; quare eliam prisma, cuius basis est
ΕΒΖΗ parallelogrammum, ei autem opposita recta
OK, maius est pyramide, cuius basis est triangulus
AEH, uertex autem punctum Θ. prisma autem, cuius
basis est parallelogrammum EBZH, ei autem oppo-
sita recta O K, aequale est prismalti, cuius basis est
irangulus ΗΖ Γ, ei autem oppositus triangulus ΘΚ 4;
pyramis autem, cuius basis est triangulus 44 E H, uertex
autem € punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis
est triangulus € K 4, uertex autem 71 punctum. ita-
que duo illa prismata, quae nominauimus, maiora sunt
duabus pyramidibus, quas nominauimus, quarum bases
sunt trianguli 4 E H,0 K 4, uertices autem puncta 6, 7f.

Ergo tota pyramis, cuius basis est 44 BI'iriangulus,
uerlex autem punctum Ζ΄, in duas pyramides inter se
aequales diuisa est et in duo prismata aequalia, et
duo prismata maiora sunt dimidio totius pyramidis;
quod erat demonstrandum.

IV.

Datis duabus pyramidibus sub eadem altitudine et
bases triangulas habentibus si utraque in duas pyra-
mides inter se aequales totique similes et duo pris-
mata aequalia diuiditur, erit ut basis alterius pyra-

20. μεέξονα] £ corr. ex f .V. 23. ἐάν] -«v postea add. m.
1 P. ὦσιν B.

10

15

20

158 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς
τὴν τῆς ἑτέρας πυραμέδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν
τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ
ἑτέρᾳ πυραμέδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ.

Ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώ-
νους ἔχουσαι βάσεις τὰξ 4ΒΓ, AEZ, κορυφὰς ὃὲ
τὰ H, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς
τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ
καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα" λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ABI
βάσις πρὸς τὴν A4EZ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ
πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ 4 EZO πυρα-
μίέδι πρίσματα ἰσοπληϑή.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν BE τῇ AD, ἡ δὲ 44
τῇ AI, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΞ τῇ AB καὶ
ὅμοιον τὸ 4ΒΓ τρίγωνον τῷ AXI' τριγώνῳ. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ τὸ A4EZ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ
ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ
τῆς ΓΗ͂, ἡ δὲ EZ τῆς ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς
τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ZO. καὶ ἀναγέγραπται
ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΙ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα
εὐθύγραμμα τὰ ABI, AXI, ἀπὸ δὲ τῶν EZ, ΖΦ
ὑμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα [εὐθύγραμμα] τὰ 42,

1. Post ἔσα add. Theon: καὶ τῶν γενομένων (γεναμ. B)
πυραμίδων ἑκατέρα τὸν (e corr. V) αὐτὸν τρόπον, καὶ τοῦτο
ἀεὶ γένηται (γίνεται q) (ΒΥ͂ 4). ἔσται — τῆς] supra scr. m.
2 B (ἔστιν). 2. ἑτέρας] post o del. s m. 1 P. οὕτω BV.

9. πρίσματα — 4. πυραμέδι] mg. m. 2 B. 4. πάντα)
om. V. 8. ὁμοίως V. 9. Post ἴσα add. xol τῶν γενο-
μένων πυραμίδων ξκατέρα τὸν αὐτὸν τρόπον νενοήσϑω διῃ-
ρημένη καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω Bq, V mg. m. 92. 10. φύσι»)
om. V. οὕτω Bq. 13. ΒΖ q. 14. ἐστίν} om. V.

16. ὅμοιόν ἐστι τῷ ῬΦΖ τριγωνῳ BVq (Pd in ras. V).

18. ΓΞ] corr. ex SI' V. ost δέ ras. 1 litt. P. Z4]
corr. ex GZ V. 22. εὐθύγραμμα] om. P.

ELEMENTORUM LIBER XII. 159

midis ad basim alterius, ità omnia prismata alterius
pyramidis ad omnia prismata numero aequalia!) alte-
rius pyramidis.

Sint duae pyramides sub eadem altitudine trian-
gulas bases habentes 4BI', 4EZ, uertices autem H,

6 puncta, et utraque in duas pyramides inter se aequales
lotique similes et duo prismata aequalia diuidatur
[prop. III]. dieo, esse ut 4BI': Z4EZ, ita omnia
prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad prismata numero
aequalia pyramidis EZ.

Nam quoniam B3 -— XI, 44 — 4Γ [prop. IIIJ,
erit 4,53 rectae 4B parallela et 4 BI'-» 4 I' [p. 152,9].
eadem de causa erit etiam 44 EZ -— ΡΦΖ. eti quoniam
BI -—2I5, ΕΖ -- 22Φ, erit ΒΓ ΓΞ -- EZ:Z9.
et in ΒΓ, ΓΙΞ construetae sunt figurae rectilineae
similes et similiter positae 4BI', 4I, in EZ, ΖΦ

1) πάντα et ἐσοπληϑῆ addidit Euclides ad finem propo-
aitionis p. 160, 26 respiciens, ubi eam quasi quodam corol-
lario dilatauit.

160 ΣΤΟΙΧΕΙΩ͂Ν ιβ΄.

ΡΦΖ: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ 48ΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ AST
τρίγωνον, οὕτως τὸ 4 ΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΖ
τρίγωνον᾽ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ABI' τρίγωνον
πρὸς τὸ 4 ΕΖ [τρίγωνον], οὕτως τὸ ΑΞ Γ [τρίγωνον]
5 πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον. ἀλλ᾽ ὡς τὸ AXT' τρίγωνον
πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις
μέν [ἐστι] τὸ 4 SI τρίγωνον, ἀπεναντίον 0$ v0 ΟΜΝ,
πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον,
ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ" xal ὡς ἄρα τὸ 48ΒΓ τρίγο-
10 vov πρὸς τὸ ZEZ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ
βάσις μὲν τὸ ΑΞ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲτὸ ΟΜΝ,
πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον,
ἀπεναντίον δὲ τὸ E TT. ὡς δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα
πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ
15 KB'EA παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ
εὐθεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ
παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον 0$ ἡ ZT εὐθεῖα. καὶ
τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΑ
παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ OM, καὶ οὗ
20 βάσις μὲν τὸ ARI, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς
τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον
δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγω-
νον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ETT. καὶ ὡς ἄρα ἡ ABI
βάσις πρὸς τὴν A4EZ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα δύο
26 πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα.
Καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεϑῶσιν αἱ OMNH, ΣΤΥΘ
πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας,
1. ΡΦΖ) Pe corr. V EDZ q. 2. τρίγωνον] (prius) om.
V. 4. vo/yovov] (prius) om. P. τρίγωνον] (81) om. P. .
6. οὕτω B. 71. écrxi] om. P. ΟΜΝ τρίγωνον. ΖΒ. μέν

ἐστι V. 11. μέν ἐστι V. 12. τρέγωνον] supra comp. B.
18. ὡς δέ — p. 162, 14] mutauit Theon; u. app.

ELEMENTORUM LIBER XII. 161

autem similes ei similiter positae Z4EZ, POZ. erit
igitur [VI, 22]
ABT: ARI'— 2Ε2Ζ: ΡΦΖ.

itaque permutando 4BI': 4AEZ — AXI: ΡΦΖ [V,16].
sed ut 4ET': ΡΦΖ, ita prisma, cuius basis est AAET'
iriangulus, ei autem oppositus OM N, ad prisma, cuius
basis est; ΡΦΖ triangulus, ei autem oppositus ETT
[u. lemma]. quare etiam ut 4BI': 4 ΕΖ, ita prisma,
cuius basis est A4,5I'triangulus, ei autem oppositus
ΟΜΝ, ad prisma, cuius basis est ΡΦΖ triangulus,
ei autem oppositus Z TT! uerum quam rationem ha-
bent duo prismata, quae diximus, eam habet prisma,
euius .basis est parallelogrammum KBAX.4, ei autem
opposita recta OM, ad prisma, cuius basis est par-
allelogrammum ΠῚ ΦΡ, ei autem opposita recta Z T
EXI, 39; cfr. prop. III]. quare etiam duo prismata,
el cuius basis est parallelogrammum K B,3.4, ei autem
opposita O M, et cuius basis est ΜΞ Γ,, ei autem oppo-
situs OM N, ad duo prismata, et cuius basis est ΠΕΦΡ,
ei autem opposita Z/ T' recta, et cuius basis esti ΡΦΖ
irangulus, ei autem oppositus Z TT, ilam habent
rationem (V, 12]. quare etiam ut 4BI': A4EZ, ita
duo prismata, quae diximus, ad duo prismata, quae
diximus. :

Et similiter, si pyramides OMNH, ZT'T in duo
prismata duasque pyramides diuiduntur, erunt ut

1) Bint prismata p p, P P,. demonstrauimus 4BI': 4 EZ
—9:5:1D:p, —P:P,—p-F-P:p, -- EF, ergo
ABD: 4EZ — p-- P:p, 4- F,.

14. διὰ τὰ αὐτά mg. m. 1 P, qui ad lin. 8 adscr. hab. m. 1:
ὡς εὐθὺς dosi. 18, KB&B, sed XB in ras. e corr. P
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 11

δι

10

1ὅ

20

2ὅ

162 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως
τὰ ἐν τῇ OMNH πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν
τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΟΜΝ
βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως 9$ ABI' βάσις
πρὸς τὴν 4ΕΖ2 βάσιν" ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ,
ZTT τριγώνων ἕκατέρῳ τῶν AXI, ΡΦΖ. καὶ ὡς
ἄρα ἡ 48ΒΓ βάσις πρὸς τὴν A4EZ βάσιν, οὕτως τὰ
τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα. ὁμοίως
δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς vs
δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς ἢ
ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν 4Ε2Ζ2 βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ
ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ
ΖΕΖ2ΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ᾽ ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

᾿ A47 upa.

Ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ AXI τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ
τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ 4Ξ Γ τρί-
yovov, ἀπεναντίον δὲ τὸ OMN, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ
βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ [τρίγωνον], ἀχεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ,
οὕτω δεικτέον.

Ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσϑωσαν ἀπὸ
τῶν H, Θ κάϑετοι ἐπὶ τὰ ABI, AEZ ἐπίπεδα, ἴσαι
δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοὐψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς
πυραμίδας. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι dj τε ΗΓ xol ἡ ἀπὸ
τοῦ H κάϑετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ABI,
OMN τέμνονται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηϑήσονται.
καὶ τέτμηται ἡ HI' δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου
κατὰ τὸ Ν' καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάϑετος ἐπὶ τὸ

15. λῆμμα] om. BV. 16. ΜΕ ΓῚ Γ' e corr. m. 2 V.
ZPo P. 17.0)$:9 B. 19. τρέγωνον om. P. — TZT τρέ-

ELEMENTORUM LIBER XII. 163

OMN:ZTT, iia duo prismata pyramidis OMNH
ad duo prismata pyramidis ZTTO. sed ΟΜΝ: ΣΤΥ
— ABI: A4EZ; nam uterque triangulus OMN, ΣΤΥ
utrique triangulo 4,3 I', ΡΦΖ aequalis est. quare etiam
ut 4BI':4EZ,ita quattuor prismata ad quattuor pris-
maia [V, 12]. et similiter si etiam reliquas pyramides in
duas pyramides duoque prismata diuiserimus, erunt ut
ΑΒΓ: 4EZ, iia omnia prismata pyramidis ΑΒΓΗ
ad omnia prismata pyramidis ΖΕ ΖΘ numero aequalia;
quod erat demonstrandum.

Lemma.

uerum esse, ub A4XI': ΡΦΖ, ita prisma, cuius
basis sit iriangulus A4XI', ei autem oppositus OM N,
ad prisma, cuius basis sit ΡΦΖ, ei autem oppositus
ZTT, iia demonstrandum est.

In eadem enim figura fingantur perpendiculares a
punctis H, Θ ad triangulos 4BI', 4 EZ duclae, quae
scilicet aequales sunt, quia supposuimus, pyramides
aequales altitudines habere. et quoniam duae rectae
HI' ei perpendicularis ab H ducta planis parallelis
ABI, ΟΜΝ secantur, secundum eandem rationem
secabuntur [XI, 17]. et HI'plano OMN in duas
partes aequales secta esí in Ν᾽ quare eliam perpen-

yovov V. 20. δείξομεν οὕτως V. οὕτω] -ς del. m. 1 P.
21. af ἀπό BVqQ. 22. τῶν] τῆς B. τὰ] τὰ τῶν V.
4EZ] 4EZ τρίγωνα Bq; 4EZ τριγώνων V. 28. (coviysisg]
-&&- 6 corr. V. 24. ἡ] in ras. V

11*

164 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ τοῦ OMN ἐπι-
πέδου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ O κάϑετος
ἐπὶ τὸ 4 ΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ τοῦ ETT
ἐπιπέδου. καί εἰσιν ἴσαι αἴ ἀπὸ τῶν H, Θ κάϑετοι

6 ἐπὶ τὰ ABI, AEZ ἐπίπεδα" ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ
τῶν OMN, ZTT τριγώνων ἐπὶ τὰ ABI, A4EZ
κάϑετοι. ἰσοὐψῆ ἄρα [ἐστὶ] τὰ πρίσματα, ὧν βάδεις
μέν εἰσι τὰ ARI, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ
ΟΜΝ, ΣΤΎ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα

10 τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα
ἰσοὐψῆ καὶ πρὸς ἄλληλά [εἰσιν] ὡς αἷ βάσεις" καὶ τὰ
ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ AAT βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ
βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα"
ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

L4

15 &€.

Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ
τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν
ὡς αἱ βάσεις.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις

40 μὲν τὰ ABI, A4EZ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ H, Θ
σημεῖχ᾽ λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ 48ΒΓ βάσις πρὸς τὴν
4ΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν
ΖΕΖ2Θ πυραμίδα.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ABI βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ

25 βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν 4 EZO
πυραμέδα, ἔσται ὡς ἡ ABI' βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ
βάσιν, οὕτως ἡ ABI'H πυραμὶς ἥτοι πρὸς ἔλασσόν

, 1: ἐπέτεδον ἀγομένη. ἜΒβ. ἐπίπεδον ἀγομένη V.

6. ἄρα εἰσί V. αἴ] om. Ρα. 7. κάθετοι] in ras. V, seq.
ras. dimid. lin. (Log .... ἀπὸ τῶν op») ἐστί] om. P.

MEN MN MERC enm

ELEMENTORUM LIBER XII. 165

dicularis ab H ad planum A4BI' ducta plano OMN
in duas partes aequales secabitur. eadem de causa
eliam perpendicularis à Θ᾽ ad planum ZEZ ducta in
duas partes aequales secabitur plano Σ᾿ T'T. et perpen-
diculares ab H, Θ ad plana ABI', 4EZ duciae
aequales sunt. itaque eliam perpendiculares a irian-
gulis OMN, ΣΤΥ ad ABI', A4EZ ductae aequales
sunt. quare prismata, quorum bases sunt irianguli

AI, PZ,isautem oppositi OMN, Σ᾿ TT, aequales
altitudines habent. itaque solida parallelepipeda a
prismatis, quae diximus, constructa eandem habent alti-
tudinem et eam inter se rationem habent quam bases
[XI, 32]. itaque etiam prismata, quae diximus, ut
quae dimidia sint parallelepipedorum [XI, 28], eam
rationem habent, quam A4XI': ΡΦΖ: quod erai de-
monstrandum.!)

V.

Pyramides sub eadem altitudine et bases triangu-
las habentes eam inter se rationem habent quam bases.

Sint pyramides sub eadem altitudine, quarum bases
sint trianguli ABI, ΔΕΖ, uerlices autem H, Θ
puncta. dico esse

ABD: AEZ — ΑΒΓΗ: AEZO.

Nam si non est 4BDI:4EZ — 4ΒΓΗ: AEZO,
erit u& 4BI': J4EZ, iia pyramis 4BI'H aul ad so-

1) Hoc quoque lemma et per se et propter orationis genus
suspectum est.

βάσις Βα, sed corr. 11. καί] (prius) τυγχάνοντα Theon (BVq).
εἰσιν] om. P. 12. ἐστίν] ἔσται BV αᾳ. 18. οὕτω Βα. 11. αλ-

ληλα P, corr. m. 2. 24. 4Ε2 --- 3ὅ. τὴν) mg. τὰ. 2 B. 26. 4ΕΖΘ

πυραμίδα] et in textu et mg. m. 2 B. — 27. ἤτοι] 7j V.

b

166 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

τι τῆς 4 ΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖξον.
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ X, καὶ διῃρήσθω ἡ
A4EZO πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις
καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα" τὰ δὴ
δύο πρίσματα μείξονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης
πυραμίδος. καὶ πάλιν ab ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι
πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσϑωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέ-
σϑω, ἕως ov λειφϑῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς 4 ΕΖΘ
πυραμίδος, ot εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς. ἡ ὑπερ-

10 ἔχει ἡ 4 EZO πυραμὶς τοῦ X στερεοῦ. λελείφρϑωσαν

1

ex

20

25

καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ 4IIP EZ, Z TTO λοιπὰ
ἄρα τὰ ἐν τῇ 4EZO πυραμίδι πρίσματα μείξονά ἐστι
τοῦ X στερεοῦ. διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς
ὁμοίως καὶ ἰσοπληϑῶς τῇ 4 ΕΖΘ πυραμίδι" ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ABI' βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ
ἐν τῇ 4Β ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ 4EZO
πυραμίδι πρίσματα. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς
τὴν 4ΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ
X στερεόν" καὶ ὡς ἄρα ἡ 4BI'H πυραμὶς πρὸς τὸ X
στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ A4BI'H πυραμίδι πρίσματα
πρὸς τὰ ἐν τῇ 4EZO πυραμίδι πρίσματα ἐναλλὰξ
ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα,
οὕτως τὸ X στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ 4EZO πυραμίδι
πρίσματα. μείξων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ
πρισμάτων᾽ μεῖξον ἄρα καὶ τὸ X στερεὸν τῶν ἐν τῇ
A4EZO πυραμίδι πρισμάτων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον" ὅπερ

6. γενόμεναι q. 1. γιγνέσθω ΒΥ͂. 8. λειφϑῶσι] -εἰ-
corr. ex ἡ V, mut. in ἡ m. 1 Bq; λειφϑῶσιν ΡΒ. ἀπό. .-- 9. πυ-
ραμέδος] mg. m. 2 BV, om. α. 9. ἐλάσσους BVq. 10. λε-
λείφϑωσαν] -εἰ- corr. ex y V, mut. in ἢ ἃ. 11. ETT B,

corr. m. 92. 19. ἐστιν P. 17. ἡ] post ins. V. 19. «x«l
ὡς — 920. στερεόν] om. q; suo loco m. 1, sed alio atramento

|

ELEMENTORUM LIBER XII, 101

lidum minus pyramide ZEZO aut ad maius. sit prius
ad minus X, et pyramis Z/EZO in duas pyramides
inter se aequales totique similes et duo prismata
aequalia diuidatur. itaque duo prismata maiora sunt
quam dimidia totius pyramidis [prop. III]. et rursus
pyramides ex diuisione ortae similiter diuidantur, et
hoe semper fiat, donec e pyramide ΖΕ ΖΘ relinquantur
pyramides quaedam minores excessu, quo pyramis
4EZO0 excedit spatium X [X, 1]. relinquantur et
sint uerbi causa ΔΠΡΣ, ZT' TO. reliqua igitur pris-
maia pyramidis Z/ EZ maiora sunt spatio X. iam
eliam pyramis .4BI'H similiter et toties diuidatur,

H quoties ZEZO py-

ramis. erunt igitur

ui 4BI:A4EZ, ita

0 prismata pyramidis
ΛΔ A BI'H ad prismata

pyramidis Z4EZ90

[prop. IV]. uerum

ABI:AEZ-—ABDIUH

:X. quare etiam ut

ABLDIH: X, itia pris-
mata pyramidis
ABI'H ad prismata
pyramidis ZEZO.
permutando igitur [V, 16] ut pyramis A4BI'H ad sua
prismata, ita X solidum ad prismata pyramidis 4 EZO.
sed pyramis 4BI'H maior est prismatis. itaque etiam
X solidum maius est prismatis pyramidis ZEZO [V, 14].

B. 19. ἄρα ἡ] corr. ex ἡ ἄρα m. 1 V, ἄρα ὡς ἡ P.
28. οὕτω B.

168 | ZTOIXEI9N ιβ΄.

ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ABI βάσις πρὸς
τὴν AEZ βάσιν, οὕτως ἡ ABI'H πυραμὶς πρὸς ἔλασ-
σόν τι τῆς. ΖΕ2Θ πυραμίδος στερεόν. ὁμοέως δὴ δειχ-
ϑήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ A4EZ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ

5 βάσιν, οὕτως ἡ 4EZO πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς

ABLI'H πυραμίδος στερεόν.

Aéym δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ABI βάσις
πρὸς τὴν 4 ΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓῊΗ πυραμὶς πρὸς
μεῖξόν τι τῆς 4 ΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.

10 — Eí γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖξον τὸ Χ' ἀνάπαλιν
ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ 4ΕΖ βάσις πρὸς τὴν ABI. βάσιν,
οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν 4ΒΓΗ πυραμίδα. ὡς
ὃὲ τὸ X στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως
ἡ 4EZO0 πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς 4 ΒΓΗ͂ πυρα-

16 μέδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχϑη" καὶ ὡς ἄρα ἡ 4ΕΖ
βάσις πρὸς τὴν 4ΒΓ βάσιν, οὕτως 4EZO πυραμὶς
πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος" ὕπερ ἄτοπον
ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς 9 48ΒΓ βάσις πρὸς τὴν
ΖΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖξόν τι

20 τῆς 4EZO0 πυραμίδος στερεόν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ

πρὸς ἔλασσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ABI βάσις πρὸς τὴν ἡ

ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓῊ πυραμὶς πρὸς τὴν
4EZO πυραμίδα᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

,

e.

26 Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ

πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν
ὡς αἱ βάσεις.

2. ἔλαττον. 8. 4Ε2ΖΘ] Θ eras. P; 4 EZHÓ α.
δείξομεν V. 6. ἔλασσον B. 11. ἡ βάσις ἡ 4EZ γα.

ELEMENTORUM LIBER XIL 169

uerum eliam minus est; quod fieri non potest. ergo
non esí ub 4ΒΓ: Z4EZ, iia pyramis 4BI'H ad mi-
nus aliquod pyramide Z/ EZO solidum. similiter de-

monstrabimus, ne Z/EZ6 quidem

pyramidem ad minus aliquod pyra-

mide 4BI'H solidum eam rationem

. habere quam ZEZ : ABI.

Iam dico, ne ad maius quidem aliquod pyramide
4 EZO solidum pyramidem ΒΓΗ͂ eam rationem ha-
bere quam A4BI': 4ΕΖ2Ζ.
Nam si fieri potest, habeat ad maius aliquod X.
e eontrano igitur [V, 5 eoroll.]
Z4EZ: ABI — X: ABI H.
uerum ut X: 4BI'H, iià 4EZO pyramis ad minus
aliquid pyramide ΑΒΓΗ, ut supra demonstratum est
[prop. II lemma]. quare etiam ut ZzEZ: ABI ita
pyramis 4 ΕΖΘ ad minus aliquid pyramide ABI'H;
quod absurdum esse demonstrauimus. itaque ne ad
maius quidem aliquod pyramide ZEZ6O solidum py-
ramis 4BI'H eam rationem habet quam A4BI': 4EZ.
demonsirauimus autem, eam ne ad minus quidem
hanc habere rationem. erit igitur
ΑΒΓ: AEZ— ABI'H: AEZO;

quod erat demonstrandum.

VI.

Pyramides sub eadem altitudine et polygonas bases
habentes eam inter se rationem habent quam bases.
11. πυραμίδος στερεόν q; στερεόν add. m. 2 V. 21. kb

supra scr. m. 1 P. 26. πυραμίδες οὖσαι B. οὔσαι
om, V

10

15

20

170 ZTOIXEISN ιβ΄.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν [αἴ] B«-
σεις μὲν τὰ ABI'AE, ZHOK.A πολύγωνα, κορυφαὶ
δὲ và M, Ν σημεῖα" λέγω. ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ 4ΒΓ4Ε
βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ ΚΑ βάσιν, οὕτως ἡ ABI'AEM
πυραμὶς πρὸς τὴν ZHOK AN πυραμίδα.

᾿Επεζξεύχϑωσαν γὰρ αἵ AI, 421, ZO, ZK. ἐπεὶ
οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ADAM τριγώ-
νους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, πρὸς ἀλλήλας
εἰσὶν ὡς αἵ βάσεις" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ABT βάσις πρὸς
τὴν 4Γ4 βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν
ΑΓΖΜ πυραμίδα. καὶ συνϑέντι ὡς ἡ ABI'A βάσις
πρὸς τὴν AI βάσιν, οὕτως ἡ ABIAM πυραμὶς
πρὸς τὴν ADAM πυραμίδα. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ 44
βάσις πρὸς τὴν 44} βάσιν, οὕτως ἡ AI'A4M πυρα-
μὶς πρὸς τὴν 44 EM πυραμίδα. δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ
Α44Β ΓΖ βάσις πρὸς τὴν 44 βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓΖΩ͂Μ
πυραμὶς πρὸς τὴν A44 EM πυραμίδα. καὶ συνϑέντι
πάλιν, ὡς ἡ ΑΒΓΖΕ βάσις πρὸς τὴν 44Ὲ βάσιν,
οὕτως ἡ 4ΒΓΖΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν 44 EM πυρα-
μέδα. ὁμοίως δὴ δειχϑήσεται, ὅτι καὶ ὧς ἡ ZHOKA
βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως καὶ ἡ ZHOKAN
πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. καὶ ἐπεὶ δύο
πυραμίδες εἰσὶν αἱ 44 EM, ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι

1. αἴ deleo. |. à» -- 2. κορυφαί] πολυ ὥνους ἔχουσαι βάσεις
τὰς ABI'AE, ΖΗΘ ΚΑ, κορυφάς Theon (BVq). 6. ἐπεξεύχϑ.
— 10. βάσιν] διῃρήσθω γὰρ ἡ μὲν 4ΒΓ4Ε βάσις εἰς τὰ ABT,
ΑΓΖ, 4Ε4 τρίγωνα, ἡ δὲ ΖΗΘΚΑ (N eras. V) εἰς τὰ ΖΗΘ,
ZOK, ZKA τρίγωνα, καὶ νενοήσθωσαν ἀφ᾽ ἑκάστου τριγώνου
πυραμίδες ἰσουψεῖς (-εἰς COrr. ex -o, m. rec. V) ταῖς ἐξ ἀρχῆς
συραμίέσι (πυραμίσιν B) καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ABT? τρέγωνον πρὸς
τὸ 4ΓΖ4 τρίγωνον Theon (BV q). 11. συνθέντα ἄρα ὡς V.

ἡ — 12. βάσιν] mg. yo. τραπέξιον et yo. τρίγωνον m. 1 P;
τὸ ABI'4 τραπέξιον πρὸς τὸ 4 ΓΖ τρίγωνον Theon (BV Q).

νακδαπ΄΄ᾳ΄΄α΄΄΄ ὁ Gam 0o 5 “ὦ

ELEMENTORUM LIBER XII. 171

Sint sub eadem altitudine pyramides, quarum bases
sint 4ΒΓ ΖΕ, ΖΗΘ K A polygona, uertices autem M,
N puncta. dico, esse

ABI'AE:ZHOKA-— ABIAEM: ZHOKAN.

ducantur enim AI, 421, ZO, ΖΚ. iam quoniam duae
pyramides sunt 4BI'M, AI'4M triangulas bases ha-
bentes et altitudinem aequalem, eam inter se rationem
habent quam bases [prop. V]. erit igitur 4BI': 4I'4
— 4ABI'M: AIAM. εὐ componendo (V, 18] ABI ZA
: AI — ABIUAM: AI'AM. uerum etiam [prop. V]
AUA4:A44E-— ALIAM: AAEM. iaque ex aequo
[V, 22] 4BIA:44E-— ABI'AM: AAEM. et rur-
sus componendo [V, 18] 4BI'AE: 44 E—4BIAEM
: 4Δ EM. similiter demonstrabimus, esse etiam

ZHOKA:ZH0 —ZHOKAN:ZHON.
M

E
e& quoniam duae pyramides sunt 444 EM, ΖΗΘΝ
iriangulas bases habentes et altitudinem aequalem,

13. 4 ΓΖ ΜῚ] supra 4 scr. Em. 2 B. ἡ -- 14. fi&ow] τὸ 4 ΓΖ
τρίγωνον πρὸς τὸ 448 τρίγωνον Theon (BVq). 15. ἄρα ἐστίν
Theon (B V q). 17. 44 EM] M supra scr. m. rec. P

18. βάσιν») om. Bq. . 19. ABI'AE add. M m. 2 V. 30, ὁμοίως
— bu] διὰ τὰ αὐτὰ δή Theon (BVq). 21. ZHO] P; ZKA
Theon (Βα et 4 e corr. m. 1 V). 29. ZKAN Theon (Bq et
NN in ras. V). 28. ZKAN Theon (BVq).

112 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 44 βάσις
πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἣ 44 EM πυραμὶς πρὸς
τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλ᾽ ὡς ἡ 448 βάσις πρὸς
τὴν 4ΒΓ4Ε βάσιν, οὕτως ἦν ἡ AAEM πυραμὶς
πρὸς τὴν 4ΒΓΖΕΜ πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡς
ἡ ΑΒΓΖΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ
ΑΒΓΖΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλὰ
μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΑ βάσιν,
οὕτως ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ZHOKAN
πυραμίδα. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ABIAE βάσις
πρὸς τὴν Z HO K A βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓΖ ΕΜ πυραμὶς
πρὸς τὴν ZHOK AN πυραμίδα' ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ξ΄.

Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαι-

15 ρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τρι-
γώνους βάσεις ἐχούσας.

Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ Α ΒΓ τρίγωνον,
ἀπεναντίον δὲ τὸ 4ΕΖ' λέγω, ὅτι τὸ ABI'AEZ
πρίσμα διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις
τριγώνους ἐχούσας βάδεις.

᾿Επεξεύχϑωσαν γὰρ αἵ ΒΖ, ΕΓ, Γ4. ἐπεὶ παραλ-
ληλόγραμμόν ἐστι τὸ A4BEZ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ
ἐστιν ἡ B4, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ABA τρίγωνον τῷ
EBA τριγώνῳ καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ
ABA τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ I' σημεῖον, ἴση ἐστὶ
πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4 ΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ
δὲ τὸ Γ σημεῖον. ἀλλὰ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι

σι

1

e

2

e

2

Qx

1. xal ὕψος ἴσον] καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος Theon (BVq).
2. 2ΖΚΜ4 Theon (B 7 3)» ut lin. 6,8. 3. ZKAN Theon (B V q),
ut lin. 7, 9. ἀλλ᾽ ὡς — D. πυραμίδα] ἐπεὶ οὖν ἐστιν (om.

ELEMENTORUM LIBER XII. 173

erit [prop. V] 44 E:ZH0 — AA4EM:ZHO9N. uerum
AAE: ABIAE — AA4EM: ABIAEM. quare etiam
ex aequo [V,22] ABI'4 E:ZHO— ABI'AEM:ZHO9N.
uerum etiam ZHO:ZHOK4-——ZHO0N:ZHOKAN.
quare etiam ex aequo [V, 22] 4BI'AE:ZHOKA
—4BIA4EM:ZHOK AN; quod erat demonstrandum.

VII.

Omne prisma itriangulam basim habens in tres
pyramides inter se aequales diuiditur triangulas bases
habentes.

Sit prisma, euius basis sit 44 B I' triangulus, ei autem
oppositus ZEZ. dico, prisma 4BI'AEZ in tires py-
ramides inter se aequales diuidi triangulas bases ha-
bentes.

ducantur enim Bl, EI, ΓΖ. quoniam parallelo-
grammum est 4B EA, diametrus autem eius B4,
eri 4B4-—EBZ [I, 34]. quare etiam pyramis,
cuius basis est triangulus 4B;/, ueriex autem I'
punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est trian-
gulus ZEB, uertex autem I" punctum [prop. V]. uerum

VII. Hero stereom. II, 39.

—Á P —Ó—À

Bq) ὡς ἡ ABI'AE βάσις πρὸς τὴν 44Ε βάσιν, οὕτως ἡ (ἦν
4) ABI'AE M πυραμὶς πρὸς τὴν 44 EM πυραμίδα Theon CLAN
dein add. ὡς δὲ ἡ A44 E βάσις πρὸς τὴν ZKA βάσιν, οὕτως ἡ
AAEM πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΚΑΝ πυραμίδα γᾳ et mg. m. 2 B.
b. καί) om. Theon (BV ῳ. 6. βάσιν om. B V 3.
οὕτως] om. qQ. 8.ZHOK A] KA add. B m 9. ἦν] om.
V. 10. ἄρα] πάλιν ἐστίν Bq; ἄρα ἐστίν v. ^. ZHOKAM
q. 17. βάσεις α. 20. βάσεις ἐχούσας V. 21, καὶ ἐπεί
Βα. 24, Ε48 B. "ty om. V. 26. ἐστίν PB, ἐστὶ τῇ
Υ. 26. ἐστιν B. 27. ἀλλά — p. 174, 1. σημεῖον] om.
27. ἀλλ B. ἢ] om.

1i

1

σι

0

δι

114 - ΣΤΟΙΧΕΙΩ͂Ν ιβ΄.

τὸ ZEB τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή
ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον" ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπι-
πέδων περιέχεται. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν
ἐστι τὸ ABA τρίγωνον, κορυφὴ ὃὲ τὸ Γ' σημεῖον,
ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγω-
vov, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον. πάλιν, ἐπεὶ παραλλη-
λόγραμμόν ἐστι τὸ ZI'BE, διάμετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ
ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τρι-
γώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ
τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4f σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυρα-
μίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ
δὲ τὸ 4 σημεῖον. ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι
τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, ἴση
ἐδείχϑη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4.Β4 τρίγω-
νον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον" καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4
astov, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν [ἐστι] τὸ
34 τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον" διήρηται
v τὸ ABI'AEZ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας
Ἰήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.
Καὶ ἐπεὶ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ABA τρί-
νον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ' σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυρα-
4, ἧς βάσις τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ
“εἴον᾽ ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται"
3b πυραμίς, ἧς βάσις τὸ 4.84 τρίγωνον, κορυφὴ

2. ἐστι] (eri) ἐστιν PB; ἐστι 4. καί] om. q;
ἡ Υ. 6. ἐστί] ἐστίν PB; ies τῇ V. 8. ἐστιν] om.
4ᾳ. αὐτοῦ ἐστίν Βᾳ. TV. 12 ΕΓΖ) ΓΖ in
V. M. BET V. Jj in ras 2B. ἴδ, ἐστι

P. 21. βάσεις ἐχούσαις, eras. 923. ἐστι τῇ

ELEMENTORUM LIBER XII. 1175

pyramis, euius basis est z/ EB triangulus, uertex autem
I' punctum, eadem est ac pyramis, cuius basis est ΕΒΓ
iriangulus, uerlex autem 7/ punctum; nam iisdem pla-
nis continentur. quare eliam pyramis, cuius basis est
Z A B 4 iriangulus, uerlex autem
I' punctum, aequalis est py-
E ( ramidi, cuius basis οδὺ ΕΒΓ
iriangulus, uertex autem 4
punctum. rursus quoniam par-
allelogrammum est ZI'B E, et
diameirus eius est ΓΕ, erit
IEZ-IBE [I, 34] quare
| 4 etiam pyramis, cuius basis est
BI'E iriangulus, uertex autem 7/ punctum, aequalis est
pyramidi, cuius basis est, E ΓΖ triangulus, uertex autem
4| punctum. demonstrauimus autem, pyramidem, cuius
basis sit BI'E triangulus, uertex autem 7f punctum,
aequalem esse pyramidi, cuius basis sib 4184] irian-
gulus, uerlex autem I' punctum. quare eliam pyramis,
culus basis est ΓΕΖ iriangulus, uertex autem Ζ
punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est 482
irangulus, uertex autem lI' punctum. ergo prisma
ABI'A4EZ in tres pyramides aequales diuisum est
iriangulas bases habentes.
et quoniam pyramis, cuius basis est 44 B triangulus,
uertex autem I' punctum, eadem est ac pyramis, cuius
basis est 14B triangulus, uertex autem 4f punctum
(nam iisdem planis continentur), pyramidem autem,

94. τό (prius) μὲν τό q; μέν ἐστι v0 V. ΓΑΒ] e corr. V.
26. τό] ἐστὶ «o V.

δι

10

15

20

116 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄,

δὲ τὸ D σημεῖον, τρίτον ἐδείχϑη τοῦ πρίσματος, ov
βάσις τὸ 48ΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ A4EZ,
καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ 48Γ ΄ τρίγωνον, xo-
ρυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος
τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ABI' τρίγωνον,
ἀπεναντίον δὲ τὸ 4 ΕΖ.

Πόρισμα.

Ἔκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον
μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος
αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον [ἐπειδήπερ κἂν ἕτερόν τι σχῆμα
εὐθύγραμμον ἔχῃ ἡ βάσις τοῦ πρίσματος, τοιοῦτο καὶ
τὸ ἀπεναντίον, καὶ διαιρεῖται εἰς πρίσματα τρίγωνα
ἔχοντα τὰς βάσεις καὶ τὰ ἀπεναντίον, καὶ ὡς ἡ ὅλη
βάσις πρὸς ἕκαστον)" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

| "-

Al ὅμοιαι πυραμίδες xal τριγώνους ἔχουσαι
βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολό-
γῶν πλευρῶν. |

"Ἔστωσαν ὅμοιαι xal ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες,
ὧν βάσεις μέν εἰσι và 4ΒΓ, 4Ε2Ζ τρίγωνα, κορυφαὶ
δὲ τὰ H, Θ σημεῖα" λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς
πρὸς τὴν 4EZO πυραμέδα τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

βάσις 11. ἡ --- πρίσματος] βάσιν τὸ πρίσμα ᾳ. τοιοῦτο)
om. BVq 19. ró] τὸ αὐτό Bq et corr. ex αὐτὸ τό

καί] om. BVq. τριγώνους, -οὐς e corr. m. 2 V. 18. τάς
om. q. καί] om.q. τα] τάς q. καὶ ὡς — 14. δεῖξαι

om. 'Theon (B V q). 17. εἰσίν B. 20. βάσις B, corr. m. 9.
κορυφή B, corr. m. 1. 21. δέ] δὲ αὐτῶν ἔστω V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 174

cuius basis est 4 B4 triangulus, uertex autem I'punctum,
tertiam partem esse demonstrauimus prismatis, cuius
basis sib. 4BI' triangulus, ei autem oppositus 4ΕΖ,
eliam pyramis, cuius basis est 4 BI' triangulus, uertex
autem 7/7 punctum, teriia pars est prismatis eandem
basim habentis triangulum BI, ei autem opposi-
ium Ζ EZ.

Corollarium.

Hinc manifestum est, omnem pyramidem tertiam
partem esse prismatis, quod eandem basim habeat et

altitudinem aequalem.") — quod erat demonstrandum.
VIIT.

Similes pyramides triangulas bases habentes tri-

EA O plicatam inter se ratio-

K 4, nem habent quam latera
A correspondentia.
Sint pyramides simi-
4186 P les et similiter positae,
B EE. Ζ

quarum bases sint 418 Γ,
ΔΕΖ trianguli, uertices autem H, € puncta. dico, esse
ABDIH:4EZ0 — BI*: EZ*.

1) Quae sequuntur uerba lin. 10—14 sine dubio subditiua
sunt, scripturam codicis P in fine lacunam habere, recte signi-
ficauit August; nam uerba καὶ ὡς ἡ ὅλη βάσις πρὸς ἕκαστον
principium est amplioris demonstrationis. cetera in P satis
emendate leguntur, cum in codd. Theoninis omni sensu ca&-
reant. sed etiamsi sana essent omnia, haec uerba tamen su-
epecta essent, quia, ut saepius monui, demonstrationem corol-
larii adferre nihil adtinet.

Euclides, edd Heiberg et Menge. IV. 19

10

15

20

25

178 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

Συμπεπληρώσϑω γὰρ τὰ BHM 4, ΕΘΠΟ στερεᾶα
παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ὁμοία dowv ἡ ΑΒΓΗ
πυραμὶς τῇ 4 EZO πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν 7 μὲν
ὑπὸ 48ΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ 4 ΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ
τῇ ὑπὸ OEZ, ἡ δὲ ὑπὸ ABH τῇ ὑπὸ 4EO, καί
ἐστιν ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν 4E, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν
EZ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ
AB πρὸς τὴν 4E, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ
περὶ ἴσας γωνίας αἴ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ἘΠ παραλ-
ληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ
EP ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ BK τῷ EX τὰ τρία ἄρα τὰ
MB, BK, ΒΝ τρισὶ τοῖς ΕΠ, ES, EP ὅμοιά ἐστιν.
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ MB, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναν-
τίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, EA,
EP τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα vs καὶ ὅμοιά ἐστιν. τὰ
ΒΗΜΖ. ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων
ἴσων τὸ πλῆϑος περιέχεται. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΩ
στερεὸν τῷ EOIIO στερεῷ. τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων
πλευρῶν. τὸ BHM A4 ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ
στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ὁμόλογος
πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ.
ὡς δὲ τὸ BHM A στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν,
οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν 4EZO πυραμίδα,
ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶς ἔκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ
διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὃν τοῦ στερεοῦ παραλ-
ληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆς πυραμίδος. καὶ ἡ

2. ἡ] bis P, corr. m. 1. 5. EZ] e corr. V. 9. ἐστιν
q. 10. παραλληλόγραμμον] (prius) om. V. 13. ἐστι V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 179

Expleantur enim solida parallelepipeda BH M A,
ΕΘΠΟ. et quoniam similis est 4BI'H pyramis py-
ramidi ZEZ6, erit |, ABI'— 4EZ, [ΗΒΓ --Θ ΕΖ,
L ABH — AZ4EO0, et esi 4B: 4E — ΒΓ: EZ-— BH
: EG [XI def. 9]. et quoniam est 4B: 4 E— BI': EZ,
et latera angulos aequales comprehendentia proportio-
nalia sunt, erit BM . ΕΠ [p. 83 not. 1]. eadem
de causa erii eliam BN —— EP, ΒΚ ΕΞ. aque
ira MB, BK, BN iribus ΕΠ, EX, EP similia sunt.
uerum tria MB, BK, ΒΝ tribus oppositis aequalia
sunt et similia, tria autem ΕΠ, EX, EP tribus oppo-
sitis aequalia sunt et similia [XI, 24]. itaque solida
BHMA, ΕΘΠΟ planis similibus numero aequalibus
continentur. ergo BH ΜΖ. E9 IIO [XI def. 9]. similia
autem solida parallelepipeda triplicatam rationem ha-
bent quam latera correspondentia [XI, 33]. itaque
BHM A: E01IO — BI?: EZ*. sed BHM 4: EOIIO
— ABI'H:4EZO, quoniam pyramis sexta pars est
solidi, propterea quod prisma, quod dimidium est so-

15. ἴσα τε καί] om. V. ἐστι q, comp. V. τα (alt.) om. B.
16. rq.o£. — ἔστιν] ἴσα τε καὶ ὅμοια τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστέ
BV qQ. 16. ἐστι P. 17. στερεὰ παραλληλοεπίπεδα V.

19. στερεόν] om. V. 20. ἐστ B. 22. τὸν τριπλασίονα q.

26. ἕκτον 6 q.. 27. παραλληλοεπιπ. V.

12*

180 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιβ΄.
ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν 4 Ε2Θ πυραμίδα τρι-
πλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ: ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.
Πόρισμα.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἵ πολυγώνους

. ἔχουσαι βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν

10

1

e

20

2b

τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. διαι-
ρεϑεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας
τριγώνους βάδεις ἐχούσας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα
τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσϑαι καὶ ἴσα
τῷ πλήϑει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις ἔσται ὡς [ἡ] ἐν τῇ
ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸς τὴν
ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν,
οὕτως καὶ ἅπασαι «i ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδες
τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρα πυρα-
μίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούδας, τουτέστιν
αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν
πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα. ἡ δὲ τρίγωνον
βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάδιν ἔχουσαν
ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν" καὶ
ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν
ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ πλευρὰ πρὸς
τὴν πλευράν.
ὃ΄.

Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάδεις

ἐχουσῶν ἀντιπεπόνϑασιν aí βάσεις τοῖς ὕψεσιν'

2. ὅπερ] punctis del. V. 8. ἔδει δεῖξαι] om. V.
4. πόρισμα] om. q. πόρ. — 928. Qr ipveds] mg. m. 1 P.
5. , i] om. q. 7. εἰσέν PB. 8. £y] om. V. αὐτάς V,
αὐτοῖς q. 10. καί] καὶ εἰς V. 11. 7] om. P.
19. τριγώνους et βάσεις V, corr. m. 1. 13. μίαν πυραμέδα]

ELEMENTORUM LIBER ΧΗ]. 181

lidi parallelepipedi [XI, 28], triplo maius est pyra-
mide [prop. VII]. ergo etiam 4BI'H: 4EZ0 — BI?: EZ*:
quod erat demonstrandum.

Corollariu m.

Hine manifestum est, etiam pyramides similes, quae -
polygonas bases habeant, triplicatam rationem habere
quam latera correspondentia. nam si eas in pyramides
triangulas bases habentes diuiserimus, eo quod etiam
similia polygona basium in similes triangulos numero
aequales et totis correspondentes diuiduntur [VI, 20],
erunt, ut in altera una pyramis triangulam habens
basim ad unam pyramidem alterius triangulam basim
habentem, itia omnes pyramides alterius pyramidis
iriangulas bases habentes ad omnes pyramides alterius
pyramidis triangulas bases habentes [V, 12], h. e. ipsa
pyramis polygonam basim habens ad pyramidem poly-
gonam basim habentem. pyramis autem iriangulam
basim habens ad pyramidem iriangulam basim haben-
tem triplieatam rationem habet quam latera corre-
spondentia [prop. VIII] ergo etiam ea, quae poly-
gonam habet basim ad eam, quae similem basim habet,
iriplieatam habet rationem quam latus ad latus.

IX.

Pyra&midum aequalium et iriangulas bases haben-
tium bases in contraria ratione sunt atque altitudines;

VIII. coroll. Psellus p. 56.

πυραμέδι (t 6 corr.) μέαν V. poo ἔχουσαν BV. 14. ἐν]
ἐπί ᾳ. 15. βάσεις ἔχουσαι 20. ἐστέ] om. ἃ.

22. τριπλάσιον V. 26. ὕψεσι PVqQ.

. 182 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

od

10

μὰ
Qt

20

2b

καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν
ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι
εἰσὶν ἐκεῖναι.

Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις
ἔχουσαι τὰς ABI, 4ΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ H, Θ ση-
usta" λέγω, ὅτι τῶν ABI'H, 4Ε2Θ πυραμέδων ἀντι-
πεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ
ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν A4EZ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς

4 EZO πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ABI'H πυρα-

μίδος ὕψος.

Συμπεπληρώσϑω γὰρ τὰ BHM A, ΕΘΠΟ στερεὰ
παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυ-
ραμὶς τῇ ZEZO πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ
πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ BHM A στερεόν, τῆς δὲ
4EZO0 πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΙΠΟ στερεόν,
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ BHMA στερεὸν τῷ EOIIO στερεῷ.
τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόν-
ϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ
βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ
στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BHMA στερεοῦ ὕψος.
ἀλλ᾽ ὡς 9 ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ. οὕτως τὸ
ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4ΕΖ τρίγωνον. καὶ ὡς
ἄρα τὸ 48ΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 2 ΕΖ τρίγωνον, οὔ-
τῶς τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ BHMA
στερεοῦ ὕψος. ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ EGIIO στερεοῦ
ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς 4ΕΖΘ πυραμίδος ὕψει,
τὸ δὲ τοῦ ΒΗ͂ΜΑ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ
τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ

2. ἴσαι εἰσίν} mg. m. 1 postea add. P; ἔσα (corr. m. rec.)
ἐστίν V. 8. ἐκεῖνα V, corr. m. rec. — 4. ἴσαι) om. q.

ELEMENTORUM LIBER XII. 183

el quarum pyramidum iriangulas bases habentiun
bases in contraria ratione sunt atque altitudines, eae
aequales sunt.

Sint enim aequales pyramides bases triangulas ha-
bentes A4BI', 4 EZ, uerlices autem H, Θ᾽ puncta.
dico, pyramidum ΑΒΓΗ, 4EZO bases in contraria
ratione esse atque altitudines, et esse ut 4 BI': 4zEZ,
ita altitudinem pyramidis ΖΕ ΖΘ ad altitudinem py-
ramidis 4BI'H.

expleantur enim solida parallelepipeda ΒΗ͂ΜΑ,
ΕΘΠΟ. ei quoniam ΑΒΓΗ — AEZO0, et BHMA
— 64BDIH, ΕΘΠΟ — 64EZO0 [p. 178, 26], erit
BHM.A — ΕΘΠΟ. uerum aequalium solidorum par-
allelepipedorum bases in con-
iraria ratione sunt atque alti-
tudines [XI, 34]. erit igitur,
ut BM: ΕΠ, ita altitudo so-
lidi EGIIO ad alttudinem
solidi BH M A4. sed BM: EII
— 4ABD:4EZ[L34]. quare
eliam ut 4BI': JAEZ, ita
altitudo solidi E IIO ad alti-
iudinem solidi ΒΗ M A4. uerum altitudo solidi EG IIO
eadem est atque altitudo pyramidis 4EZO, altitudo
autem solidi BHM.4 eadem est atque altitudo pyra-
midis 4BI'H; itaque ut 4ΒΓ: ZEZ, ita altitudo

ἔχουσαι βάσεις B. 7. ὕψεσι V q. 15. πυραμίδος] om. V.
E601II V. 16. ἐστί) om. V. 19. ΕΘΠὼΘ q.

21. MB Vq. ΕἘΠ βάσιν Vq. 22. ΑΒΓ' τρίγωνον) ΕΘΠΟ

στερεοῦ ὕψος V, corr. mg. m. 3. v0] ins m. 1 q.

26. ἐστιν PB. — 27. ἐστιν B.

184 ZTOIXEI9N ιβ΄.

βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς A4EZO
πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς 4 ΒΙΓΗ͂ πυραμίδος ὕψος.
τῶν ABI'H, 4Ε2Θ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνϑασιν
a( βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

5 4Aaà δὴ τῶν 4ΒΓΗ, AEZO πυραμίδων ἀντι-
πεπονϑέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ
ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς
4 ΕἘΖ2Θ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυρα-
μέδος ὕψος" λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ 4ΒΓῊ πυραμὶς

10 τῇ 4 2Θ πυραμίδι.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασϑέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς

-ἥ ABI' βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ βάσιν. οὕτως τὸ τῆς
AZ4EZO πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς 4BI'H πυρα-
μΐδος ὕψος, ἀλλ᾽ ὡς ἡ 48ΒΓ βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ

15 βάσιν, οὕτως τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ
παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ BM παραλληλό-
γραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ
τῆς 4EZOÓ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς 4BI'H πυρα-
uíüog ὕψος. ἀλλὰ τὸ [μὲν] τῆς 4Ε2ΖΘ πυραμέδος

20 ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ EOIIO παραλληλεπιπέδου
ὕψει. τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό
ἐστι τῷ τοῦ BHMA παραλληλεπιπέδου ὕψει" ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ
τοῦ EOIIO παραλληλεπιπέδου ὕψος" πρὸς τὸ τοῦ

ο5 BHM A παραλληλεπιπέδου ὕψος. ὧν δὲ στερεῶν παρ-
αλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἵ βάσεις τοῖς ὕψεσιν,
ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ BHM A στερεὸν

παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ.

ex] om. V. -Θϑάασιν in ras. V. 6. ὕψεσι Vq.
18. 2j ΤΩΝ bis V. 17. παραλληλόγραμον P. 18. cnc]

ELEMENTORUM LIBER XII. 185

pyramidis Z4EZO ad altitudinem pyramidis 48Β ΓΗ.

ergo pyramidum ABI'H, 4EZO bases in contraria
ralione sunt atque altitudines.

lam uero pyramidum 4BI'H, 4EZO bases in
eontraria ratione sint atque altitudines, et sit ut
ΑΒΓ: 4EZ, ita altitudo pyramidis 4 ΕΖΘ ad alti-
tudinem pyramidis 4 BI'H. dico, esse

ΑΒΓΗ — AEZO.

nam iisdem comparatis quoniam est, ut ABI": ZEZ,
ita altitudo pyramidis Z/4EZO ad altitudinem pyra-
midis A4BI'H, et 4BI': A4EZ — BM:EII [I, 34],
erit etiam ut BM: ΕΠ, ita altitudo pyramidis z4Z EZO
ad altitudinem pyramidis 4BI'H. uerum altitudo
pyramidis Zz EZ eadem est atque altitudo parallel-
epipedi ΕΘΠΟ, altitudo autem pyramidis 4BI'H
eadem atque altitudo parallelepipedi ΒΗΜΖ. quare
ui BM: EII, ita altitudo parallelepipedi ΕΘΠΟ ad
altitudinem parallelepipedi BH M. quorum autem
solidorum parallelepipedorum bases in contraria ratione
sunt atque altitudines, ea aequalia sunt. itaque B.H M4

prius) ins. m. 1 V. 19. μέν] om. P. 22. ἐστιν B
ἐστι τ $) ἔστι ἔστω E 25. παραλληλεπιπέδου ὕψος] om. V.
27. ἐστί) om. V. —

10

186 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

καί ἐστε τοῦ μὲν BHM.A ἕκτον μέρος ἡ ABI'H πυ-
ραμέρ, τοῦ δὲ ΕΘΙΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος
ἡ 4EZO πυραμίρ' ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ
ΖΕΖ2Θ πυραμίδι.

Τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάδεις
ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν" καὶ
ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόν-
ϑασιν al βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι" ὅπερ
ἔδει δεῖξαι. |

,

L Φ
Πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ
NE ? 1 , »* 3 ^ [E ,
τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ xal ὕψος ἴσον.
Ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν
τὸν ABI'A κύκλον καὶ ὕψος ἴσον" λέγω, ὅτι 0 κῶνος

10 τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέρος, τουτέστιν ὅτι ὃ κύ-

20

λινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλα-
σίων, ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ
τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων. ἔστω πρότερον
μείξωγ ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν 4ΒΓ4
κύκλον τετράγωνον τὸ ABI: τὸ δὴ 4ΒΓ4 τετρά-
yovov μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ABI κύκλου.
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ABl τετραγώνου πρίσμα
ἐσοὐψὲς τῷ κυλίνδρῳ. τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖξέν

w

1. ἐστιν PB. 8. ἴση ἄρα ἡ] ἡ ἄρα BVq. 4. πυραμίδι
ἔση ἐστίν ΒΥ α. 6. ὕψεσι α. 7. -μίδων τρι- in ras. m.
rec. V. 8. ἴσα. ἐστὶν ἐκεῖνα P. 9. ἔδει δεῖξαι) in rae. m.
rec. V. 14. 4ΒΓΡ. 6ó]om.q. 15. μέρος ἐστέ.
ó] om. q. 16. τριπλάσιον P, corr. m. 3. ἔσται B.
17. e£. — 18. ἔσται) om. B, mg. add. m. 2: εἶ γάρ — μεέξων,
deletis uerbis ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου. 17. μη γάρ P.
19. ἐλάττων V. 20 γεγράφϑω α. 21. τὸ 48 Γ4) βαρτὰ
m. 9 B. 28. καί] om. ᾳ. 24. ἀνεσταμένον PBVq.

ELEMENTORUM LIBER XII. 181

— ΕΘΠΟ. eti 4ΒΓΗ — ',BHMA, A4EZ6 —/, ΕΘΠΟ
[p. 178, 26]. itaque ΒΓΗ͂ — A4EZO9.

Ergo aequalium pyramidum οὖ triangulas bases
habentium bases in contraria ratione sunt atque alti-
fudines; eb quarum pyramidum triangulas bases haben-
tium bases in contraria ratione sunt atque altitudines,
eae aequales sunt; quod erat demonstrandum.

X.

Omnis conus tertia est pars cylindri, qui basim
eandem habet et altitudinem aequalem.

Nam conus eandem basim habeat, quam cylindrus,
cireulum 4BI7, et altitudinem aequalem. dico, co-
num tertiam esse partem cylindri, h. e. cylindrum triplo
maiorem esse cono.

nam si cylindrus cono triplo maior non est, erit
cylindrus aut maior quam
triplo maior eono aut mi-
nor. prius sit maior, et
in cireulo ABI inscri-
batur quadratum 48 ΓΖ
[IV, 6]. itaque quadratum
ΔΒΓ Δ maius esti quam
dimidium circu. 48 ΓΖ
[p. 142, 9]. et in qua-
drato A4BI' construatur
prisma eandem altitudi-
nem habens quam cylindrus. itaque prisma con-
structum maius est quam dimidium cylindri, quoniam

X. Hero stereom. I, 14, 3. Psellus p. 56.

ὧι

10

20

2b

188 ZTOIXEISN ιβ΄.

ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ
τὸν AB ΓΖ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγε-
γραμμένον εἰς τὸν ABI κύκλον τετράγωνον ἥμισύ
ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου᾽ καί ἐστι τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ἀν-
ιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοὐψῆ᾽
τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα
πρὸς ἄλληλα ἐστιν ὡς αἷ βάσεις" καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ 48 ΓΖ
ἄρα τετραγώνου ἀνασταϑὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ
ἀνασταϑέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ABIA
κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου" καί ἐστιν ὁ κύλιν-

δρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταϑέντος ἀπὸ

τοῦ περὶ τὸν 4 B ΓΖΩ͂ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου"
τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταϑὲν ἀπὸ τοῦ ABD τετρα-
γώνου ἰσοὔψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖξόν ἐστι τοῦ ἡμέδεως
τοῦ κυλίνδρου. τετμήσϑωσαν αἱ 4B, ΒΓ, ΓΖΩ͂, 44
περιφέρειαι δίχα κατὰ và E, Z, H, Θ σημεῖα, καὶ
ἐπεξζξεύχϑωσαν α 4Ε, EB, ΒΖ, ZI', ΓΗ, HA, 46,
6 4: καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν 4ΕΒ., ΒΖΓ, H4, 4604
τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καϑ᾽ ἑαυτὸ
τμήματος τοῦ 4Β ΓΖΩ͂ κύκλου, ὡς ἔμπροσϑεν ἐδείκνυμεν.
ἀνεστάτω ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν AEB, ΒΖΓ, ΓΗΖΩ͂, 464
τριγώνων πρίσματα ἰσοὐψῆ τῷ κυλίνδρῳ᾽ καὶ ἕκαστον
ἄρα τῶν ἀνασταϑέντων πρισμάτων μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ
ἥμισυ μέρος τοῦ xa9' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κυλίνδρου,
ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν E, Z, H, Θ σημείων παραλ-
λήλους ταῖς 4B, BI', ΓΖ, 44 ἀγάγωμεν, καὶ συμ-
πληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν AB, ΒΓ, I4, 44 παραλ-

its

l. ἔστω q. 4. ἐστι] (prius) ἔσται q; ἐστιν B. — 5. ἰσουφῆ
στερεὰ Theon (BVq). πρίσματα] om. q. ἰἐσουψῇ] om. Theon
(B V q). 6. δέ — παραλληλεπίπεδα] ἄρα πρίσματα Theon

ELEMENTORUM LIBER XII. 189

81 cireum circulum 4BI'4 quadratum cireumseribimus
[IV, 7], quadratum in ceireulo 4.8 Γ4 inseriptum dimi-
dium est circumscripti [p. 143 not. 1]; et solida in iis
constructa parallelepipeda!) sunt prismata eandem alti-
tudinem habentia. solida autém parallelepipeda eandem
alütudinem habentia eam inter se rationem habent
quam bases [XI, 32]. quare etiam prisma in qua-
drato 4.8 ΓΖ consiructum dimidium est prismatis con-
sirueti in quadrato cireum 418 ΓΖ circulum circum-
scripto; οὖ cylindrus prismate in quadrato cireum ABI'A4
circulum circumseripto minor est; itaque prisma in qua-
drato 48 ΓΖ constructum eandem altitudinem habens,
quam cylindrus, maius est dimidio cylindri. secentur
arcus 48, BI, ΓΖ, 44 in punctis E, Z, H, 9 in
binas paries aequales, et ducantur 4E, EB, ΒΖ, ZT,
ΓΗ, ΗΖ, 40, 604. itaque etiam singuli trianguli
ΔΕΒ, BZI, I:HZ, 200. maiores sunt dimidio
segmentorum ad eos pertinentium circuli 4BI, ut
supra demonstrabamus [p. 142, 22]. iam in singulis
iriangulis 4EB, ΒΖΓ, l'H4, 404 prismata con-
struantur eandem altitudinem habentia quam cylindrus.
itaque eliam singula prismata constructa maiora sunt
quam dimidia segmentorum cylindri ad ea pertinen-
tium, quoniam si per puncta E, Z, H, € rectas rectis
AB, ΒΓ, ΓΖά, 44 parallelas ducimus, et parallelo-

1) παραλληλεπίπεδα hic ut semper fere adiectiuum est,
sed pertinet ad πρίσματα, non ad στερεά. exspectaueris «»-
ἐστάμενα πρίσματα στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσουψῆ (ἀνιστ.
πρίσματα ἰσουψῆ στερεὰ παραλλ. coniecit. Àugust).

(BVq) 71. εἰσιν Βα. ἐπί] ἀπό α. 14. ἡμίσεος BV α.
19. τρίγωνον q. 21. ἐφ᾽ ἀφ᾽ V. 488. -v ἢ] add. m. 2 P.

c

10

15

20

2b

190 ZTOIXEISN ιβ΄.

ληλόγραμμα, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεα
παραλληλεπίπεδα ἰσοὐψῇ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν
ἀνασταϑέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν
AEB, ΒΖΙ, ΓΗΖ, 4064 τριγώνων' καί ἐστι τὰ
τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταϑέντων
στερεῶν παραλληλεπιπέδων ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν AEB,
ΒΖΓ, ΓΗ 4, 40 A τριγώνων πρίσματα μείξονά ἐστιν
ἢ τὸ ἥμισυ τῶν xa9' ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ
ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾽ ἑχάστου
τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοὐψῇ τῷ κυλίνδρῳ καὶ
τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα
τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, T
ὑπερέχει ὃ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου.
λελείφϑω, καὶ ἔστω τὰ 4Ε, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, H4,
40, ΘΑ͂' λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ
AEBZIHAO πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυ-
λίνδρῳ, μεῖξόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου. ἀλλὰ
τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ 4ΕΒΖΓΗΖΘ zoAv-
yovov, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλένδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι
τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις. μέν ἐστι τὸ 4ΕΒΖΓΗΖΘ
πολύγωνον, “κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ᾽ καὶ ἡ πυ-
ραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν [ἔστι τὸ ΔΕΒΖΓΗΖ4Θ πο-
λύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείξων ἐστὶ
τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν 4ΒΓΖ κύκλον.
ἀλλὰ καὶ ἐλάττων" ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ᾽ αὐτοῦ" ὅπερ

8. ἡμίσεα BY. πρίσμα P, corr. m. rec. δ. ἀποτμή-

ματα ΒΥα. . ἢ] bis P. τῶν] τοῦ q. ἑαυτά] -τά
e corr. m. rec. P; ᾿ἑτὰ 4. 10. ἐφ᾽ ἀφ᾽ V. 18. ἃ] supra
scr. m. 9 B. ἐλάσσονα P. 14. xóvov q. 15. λε-

λήφϑωη. 11. ABEZC''H484 P, AEBZC'HAG4 V.
18. κόνου q. 21. ἐστι) om. V. AEBZTHG8A4 V.

» το

ELEMENTORUM LIBER XII. 191

gramma in rectis 4B, BI, I4, 44 explemus et in
iis solida parallelepipeda construimus eandem altitudi-

nem habentia, quam cylindrus, prismata in triangulis |. ὁ ὁ

AEB, BZI, l'H4, 404 constructa dimidia sunt
singulorum parallelepipedorum!); et segmenta cy-
lindri minora sunt solidis parallelepipedis, quae con-
struximus; quare prismata in triangulis 4EB, BZTI,
DH, 404 constructa maiora sunt quam dimidia
segmentorum cylindri ad ea' pertinentium. itaque si
areus relictos in duas parles aequales secuerimus et
rectas duxeriinus et in singulis triangulis prismata
eonsiruxerimus eandem altitudinem habentia, quam cy-
lindrus, et hoc semper fecerimus, frusta quaedam cy-
lindri relinquemus, quae minora sunt excessu, quo cy-
lindrus triplum coni excedit [X, 1]. relinquantur et
sint 4E, EB, ΒΖ, ZI, ΓΗ, H4, 40,04. aque
quod relinquitur prisma, cuius basis est polygonum
AEBZIHZAO, alütudo autem eadem ac cylindri,
maius esi quam triplo maius cono. uerum prisma,
cuius basis est polygonum AEBZI'HA49, altitudo

autem eadem ac cylindri, triplo maius est pyramide,

cuius basis est polygonum AEBZLI'H490, ueriex
autem idem 86 coni [prop. VII coroll] quare etiam
pyramis, cuius basis est polygonum AEBZLI'H49,
uerlex autem idem ac coni, maior est cono, qui basim
habet 4BI'f circulum. uerum etiam minor est (nam

1) Hoc ex XI, 28 colligitur ductis ab E, Z, H, Θ rectis
ad 4B, BI, ΓΖ, 44 perpendicularibus.

29. κόνῳ q. 28. ἐστι) om. P. 24. xóvo q. ἐστίν
P. 86. κόνου in ras. ᾳ. 26. ὑπ᾽ corr. ex ἀπ᾿ m. 2 B.

10

15

20

25

192 ZTOIXEI9N εβ΄.

ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κὐλινὄρος τοῦ κώ-
vov μείζων ἢ τριπλάσιος.

Adyo δή. ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ
κύλινδρος τοῦ κώνου.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὃ κύ-
λινδρος τοῦ κώνου" ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ xv-
λίνδρου μείξων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος. ἐγγεγράφϑω
δὴ εἰς τὸν ABI A κύκλον τετράγωνον τὸ ABI: «
ABI'4 ἄρα τετράγωνον μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ
ΑΒΓ4 κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ 4.Β ΓΖ τετρα-
γώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνφ᾽
ἡ ἄρα ἀνασταϑεῖσα πυραμὶς μείξων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ
μέρος τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡς ἔμπροσϑεν ἐδείκνυμεν,
ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγφράψωμεν,
ἔσται τὸ 4ΒΓΖ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύ-
κλον περιγεγραμμένου τετραγώνου" καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν
τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν
ἰσουψῇ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ
ἀνασταϑὲν ἀπὸ τοῦ 4ΒΓ4 τετραγώνου ἥμισυ τοῦ
ἀνασταϑέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος
τετραγώνου" πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς ai βάσεις. ὥστε
καὶ τὰ τρίτα᾽ καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις v0 4ΒΓΖΔ
τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀναστα-
ϑείσης ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετρα-
γώνου. καί ἐστι μείξων ἢ πυραμὶς ἡ ἀνασταϑεῖσα
ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου᾽
ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν. ἡ ἄρα πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ

1. ἐστίν} om. V. ἐστίν] ἔσται B V. xóvov q et sic
postea saepe. 8. ἐστίν) om. V. τριπλάσιός ἐστιν V.
8. τὸ ABI'4 — 9. τετράγωνον) mg. m. 1 P. 10. τετραγώ-
vov] in ras. q. 13. μέρος] om. V. 14. περιγράψωμεν

- “τὸ ποθ αὶ ἘΠ΄ o rca ἀνε !Ὥπ τ" ταν, m αὔραν ἡ συ τσ ποσ δον τ cum cage πὰ στ τ πππτπ ὝΝΙΝ €" —

τ τ -e-—— pe sa Pru ——— am -— — Ur

ELEMENTORUM LIBER XII. 193

ab eo comprehenditur); quod fieri non potest. itaque
cylindrus maior non est quam iriplo maior cono.
Iam dico, cylindrum ne minorem quidem esse quam

"iriplo maiorem cono.

Nam si fieri potest, sit cylindrus minor quam triplo
maior cono. e contrario igitur conus maior est tertia
parte cylindri. iam in circulo 48 ΓΖ quadratum in-
scribatur 4BI' [IV, 6]. itaque quadratum ABI
maius esb quam dimidium circuli 4BI' [p. 142, 11].
ei in quadrato 414 pyramis consiruatur eundem
uerticem habens, quem conus. itaque pyramis ita con-
structa maior est quam dimidium coni, quoniam, ut
supra demonstrabamus [p. 143 not. 1], si circum circu-
lum quadratum circumsceripserimus [IV, 7], quadratum
ABI'4 dimidium erit quadrati cireum circulum circum-
seripti; eb si in quadratis solida parallelepipeda ean-
dem altitudinem. habentia, quam conus, construxerimus,
quae eadem prismata uocantur, solidum in quadrato
ABI consiructum dimidium erit solidi constructi in
quadrato circum circulum cireumseripto (nam eam

. inter se rationem habent quam bases) [XI, 32]. quare

eliam partes tertiae. itaque etiam pyramis, cuius basis
est quadratum 4 Β ΓΩ͂, dimidium est pyramidis, quae
in quadrato circum eireulum cireumseripto construitur
[prop. VII coroll] et pyramis in quadrato circum
circulum eireumseripto constructa maior est cono (nam
eum comprehendit) itaque pyramis, cuius basis est

τετράγωνον BY q. 15. ἥμισυ] -μι- in ras. V. 16. περι-
γεγραμμένου) περιγραφαομένου V. τετραγώνου] om. V.

18. καλεὲ in fine lin. P. 19. vov] (alt.) corr. ex τό m. 1 P.
22. τρία q, corr. m. 1. 98. ἐστιν P. 25. περιέχει q.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 18

194 ZTOIXEISN ιβ΄.

ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ,
μείξων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσϑωσαν ai
AB, ΒΓ, I4, 44 πεῤιφέρειαι δέχα κατὰ τὰ E, Ζ,
H, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4E, EB, ΒΖ,
6 ZI, ΓΗ, ΗΖ, 40, ΘΑ’ καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν AEB,
ΒΖΙ, DH, 460.4 τριγώνων μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ
ἥμισυ μέρος τοῦ xa9' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ABI
κύκλου. καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφ᾽ ἕκάστου τῶν AEB,
ΒΖΓ, lD'HZA, 4604 τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν
10 κορυφὴν ἔχουσαν τῷ xovo' καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν
ἀνασταϑεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον
μείξων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ xa9' ἑαυτὴν τμή-
ματος τοῦ κώνου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας
περιφερείας δίχα καὶ ἐπιξευγνύντες εὐθείας καὶ &v-
16 ἐστάντες ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν
αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποι-
οὔντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ
ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, 1 ὑπερέχει ὃ κῶνος τοῦ
τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου. λελείφϑω, καὶ ἔστω
20 τὰ ἐπὶ τῶν AE, EB, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, H4, 40, 64:
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'HAG
᾿ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείξων ἐστὶν
ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου. ἀλλ᾽ ἡ πυραμίς, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'HAO πολύγωνον, κορυφὴ
26 δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος,
οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'HAO πολύγωνον, ὕψος
δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ᾽ τὸ ἄρα πρίσμα, ov βάσις

2. τό] om. P. — oí] bis P, sed corr. 8. τα] τό α.
6. ΘΑ] on. B. 8. ἐφ᾽ ἀφ’ BVq. 10. ἔχοντες V.
19. μεῖξον P, corr. m. rec. ἑἕαυτό PBVq; corr. ed. Baail.
17. τμήματα BV. 19. 4545990 α. 21. AEBZI'H 46] 6

ELEMENTORUM LIBER XII. 195

quadratum 48 ΓΖ, uerlex autem idem ac coni, maior
est quam dimidium coni, iam arcus 4B, ΒΓ, ΓΖ, 44
in punetis E, Z, H, Θ in duas parles aequales secentur,
οὐ ducantur 4E, EB, ΒΖ, ZI, ΓΗ, HA, 40, ΘΑ.
jtaque singuli trianguli 4EB, BZI, ΓΗΖΩ͂, 404
maiores sunt quam dimidium segmentorum circuli 4BI 4
ad eos pertinentium [p. 142, 22]. etin singulis triangulis
ΔΕΒ, BZI, l'HA, 4604 pyramides construantur
eundem uerticem habentes, quem conus. itaque etiam
singulae pyramides, quas construximus, eadem ratione!)
maiores sunt quam dimidium segmentorum coni ad
eas periinentium. si igitur arcus reliquos in duas
partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in
singulis iriangulis pyramides construxerimus eundem
uerticem habentes, quem conus, et hoc semper feceri-
mus, frusta quaedam coni relinquemus, quae minora
erunt excessu, quo conus tertiam partem cylindri ex-
cedit [X, 1]. relinquantur et sint ea, quae in AE,
EB, ΒΖ, 2, ΓΗ, H4, 40, 0.4 posita sunt. itaque
quae relinquitur pyramis, cuius basis est polygonum
AEBZIHZAO, uerlex autem idem ac coni, maior est
terlia parie cylindri. uerum pyramis, cuius basis est
polygonum 4 ΕΒΏΖΓΗ ΖΘ, uertex autem idem ac coni,
lerlia pars est prismatis, cuius basis est polygonum
AEBZIHA49O, altitudo autem eadem ac cylindri.

1) Sc. ac supra p. 199, 1298q. in pyramidibus, quae in
quadratis constructae erant.

corr. ex B uel Z q. 22. ἡ) om. q. 24. AEBUTHA40 V...

26. ἐστιν B. A4EBZIH.49] Z supra scr. m. 2 V. — 24. το]

oin ras. m. 2B. τὸ ἄρα — p. 196, 2. κυλίνδρῳ] om. q.
13*

10

15

20

196 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

μέν ἐστε τὸ AEBZI'HAO πολύγωνον, ὕψος 0$ vo
αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ
βάσις ἐστὶν ὁ 4ΒΓ4 κύκλος. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον" ἐμ-
περιέχεται γὰρ ὑπ᾽ αὐτοῦ" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ
ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλά-
σιος. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος" τρι-
πλάσιος ἄρα ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου ὥστε ὁ κῶνος
ἐρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ κυλίνδρου.

Πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ
τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον" ὅπερ
ἔδει. δεῖξαι.

ux.

Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ xv-
λινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς al βάδεις.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι,
ὧν βάσεις μὲν [εἰσιν] οἵ Α4ΒΓΖ4, ΕΖΗΘ κύκλοι,
ἄξονες δὲ οἵ K 4, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἵ
ADI, EH: λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς 0 ABI κύκλος πρὸς
τὴν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὃ 414 χῶνος πρὸς τὸν
ἘΝ κῶνον.

Ei γὰρ μή, ἔσται ὡς ὃ ABI κύκλος πρὸς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ 444 κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασ-
σόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς usifov. ἔστω
πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ M, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ

356 στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴδον ἔστω τὸ 'P

στερεόν. ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς E, ἍΨ στε-
φεοῖς. ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετρά-
yovov τὸ EZHO' τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖξόν ἐστιν

8. μέν ddvw Vq. ἐστὶν ó] mg. m. 1. ἐλάττων V q.
4. ἐστίν] om. V. — 8. μέρος ἐστί V. 9. ἄρα 6 V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 19"

prisma igitur, cuius basis est 4EBZIHzZ9O poly-
gonum, altitudo autem eadem ac cylindri, maius est
eylindro, cuius basis est circulus 44BI'7. uerum etiam
minus (nam ab eo comprehenditur); quod fieri non
potest. itaque cylindrus minor non est quam triplo
maior cono. demonstrauimus autem, eum ne maiorem
quidem esse. triplo igitur maior est cylindrus cono.
itaque conus terlia pars est cylindri.

Ergo omnis conus terlia pars est cylindri, qui
eandem basim habet et altitudinem aequalem; quod
erat demonstrandum.

XI.

Coni et eylindri, qui eandem habent altitudinem,
eam inter se rationem habent quam bases.

Eandem altitudinem habeant coni et cylindri, quo-
rum bases sunt circuli 4BI7/, EZHO, axes autem
ΚΑ, MN, diametri autem basium 4I, EH. dico,
esse 48ΒΓΖ4: ΕΖΗΘ — AA:EN.

Nam si minus, erit ut 4BI*: ΕΖΗΘ, ita conus
44 aut ad minus aliquod cono EN solidum aut ad
maius. prius sit ad minus A, οὐ sit W — EN ——- X.
itaque EN — A -- v'. iam in cireulo EZ HO inscri-
batur quadratum ΕΖΗΘ (IV, 6]. itaque quadratum
maius est dimidio circuli [p. 142, 11]. in quadrato

τοῦ τήν — 11. δεῖξαι] καὶ τὰ ἑξῆς V. 10. ἴσον] supra m.
2 B. 12. :«'] om. q. 15. καί] 7j B. 16. εἰσιν] om. P.

17. διάμετροι — 18. EH] om. q; mg. m. 2 B. 19. xó-
xiov] supra m. 9B. 44 B,sed corr. πρός — 22. κῶνορ] mg.
m. 2B. 20. κῶνον] om. BYq. 21. ἔστω Vq. 22. κύκλον] -
om. q. ἤτοι] om. q; 7j BV. ἤτοι — 38. 7j] et in textu et
in mg. m. 2 B (5j pro PAN 24. πρότερον] om. q. 28. ἐστι q.

10

15

20

198 B ZTOIXEISN ιβ΄.

ἢ vo ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ
τετραγώνου πυραμὶς ἰσοὐψὴς τῷ κώνῳ ἡ ἄρα ἀνα-
σταϑεῖσα πυραμὶς μείξων ἐστὶν ἢ τὸ ἤμισυ τοῦ xo-
vov, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράώψωμεν περὶ τὸν κύκλον
τετράγωνον, καὶ ἀπ᾽ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα
ἰσούψῆ τῷ κώνῳ. ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι
τῆς περιγραφείσης᾽ πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἵ
βάσεις" ἐλάττων δὲ ὃ κῶνος τῆς περιγραφείδης πυρα-
δος. τετμήσθωσαν αἱ EZ, ZH, ΗΘ, OE περι-
φέρειαι δίχα κατὰ và O, II, P, Z σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω-
σαν ol ΘΟ, OE, ΕΠ, HZ, ZP, PH, HZ, ΣΘ.
ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, EIIZ, ZPH, HZ60 τριγώ-
vov μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ xc9' ἑαυτὸ τμή-
ματος τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ,
EIIZ, ZPH, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοῦψὴς τῷ
κώνῳ" καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταϑεισῶν πυραμίδων
μδίξων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ xa9' ἑαυτὴν τμήματος
τοῦ κώνου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περι-
φερείας δίχα καὶ ἐπιξευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες
ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμέδας ἰσοὐψεϊῖς τῷ
κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα

6. ἐστιν Ρ. 7. ἄλληλα B, corr. m. 2. 8. ἐλάσσων Ρ.

Post πυραμέδος add. ἡ ἄρα πυραμές, ἧς βάσις τὸ ΕΖΗΘ
τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείξων ἐστὶν ἢ τὸ
ἥμισυ τοῦ κώνου Vq, mg. m. 3 Β. 10. ca] τό q. P,
corr. ex II, P m. rec. P. 11. OE] ΘῈ q. 12. ΗΕΘ q.

ν᾿ ὃ αὐτόν. 14, ἀφ᾽ Βα; uerba ἀφ᾽ ἑκάστου supra m.
V (uidetur fuisse ἐφ᾽ ἑκάστῳ). 16. καί] om. V.
f" μέρος τοῦ V. ἑαυτήν) corr. in ἑαυτό V; ἑαυτό corr. ex

ἑαυτοῦ P. 20. ἑκάστῳ V.

' ELEMENTORUM LIBER XII. 199

EZHO pyramis construatur, quae eandem altitudinem
habeat, quam conus. pyramis igitur constructa maior
est dimidio coni, quoniam si circum circulum quadratum
cireumscripserimus (IV, 7] et in eo pyramidem con-
struxerimus eandem altitudinem habentem, quam co-
nus, pyramis inscripia dimidia est circumscriptae; nam
eam inter se rationem habent, quam bases [prop. VI];
conus autem pyramide circumscripta minor est. se-
centur arcus EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ in punctis O, II, P,
Z in duas partes aequales, et ducantur ΘΟ, OE, ΕΠ,

4

B

IIZ, ZP, PH, HZ, Z0. singul igitur irianguli
ΘΟΕ, EIIZ, ZPH, ΗΣΘ maiores sunt dimidio
segmentorum circuli ad eos pertinentium [p. 142, 22].
iam in singulis triangulis G0 E, EIIZ, ZPH, H ZO
pyramis eonstruatur eandem altitudinem habens, quam
conus. itaque etiam singulae pyramides constructae
maiores sunt dimidio segmentorum coni ad eas perti-
nentium [p. 194, 10]. quare si arcus reliquos in duas
partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in
singulis triangulis pyramides construxerimus eandem
altitudinem habentes, quam conus, et hoc semper fece-

900 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιβ΄.

ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ "P
στερεοῦ. λελείφϑω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ,
EIIZ, ZPH, ΗΣΘ' λοιπὴ ἄρα ἡ zvoauíc, ἧς βάσις
τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ

5 κώνῳ, μείξων ἐστὶ τοῦ E στερεοῦ. ἐγγεγράφϑω καὶ
εἰς τὸν ABI κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυ-
γώνῳ ὅμοιόν vs καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ
ΖΦΤΊΑΥΒΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπ’ αὐτοῦ πυραμὶς
ἰσούψὴς τῷ 4.4 κώνῳ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ
10 τῆς 4 Γ' πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ 4 TATBOTUX
πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ
τὸ ἀπὸ τῆς 4Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ
ΑΒΓ4 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἄρα

ὁ 4ΒΓΖ4 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. οὕτως τὸ
15 ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ
πολύγωνον. ὡς δὲ ὁ 4ΒΓ4 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον, οὕτως ὃ 4.4 κῶνος πρὸς τὸ XM στερεόν, ὡς
ὃὲ vo “ΤΑΥΎΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ
πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ
20 ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον,
πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ
πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον. καὶ ὡς ἄρα Ó
AA κῶνος πρὸς τὸ E στερεόν, οὕτως 4| πυραμίς, ἧς
βάσις μὲν τὸ A4 TATBOIX πολύγωνον, κορυφὴ δὲ
25 τὸ .4 σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ
ΘΟΕΠΖΡΗΣ: πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον"
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὃ 44 κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ
πυραμίδα, οὕτως τὸ M στερεὸν πρὸς τὴν ἐν τῷ EN

1. ἔσται] ἐστιν Ῥ. 2. GOE] e corr. ᾳ. 8. λοιπόν P.

4. OGEIIZPHZ PB, OEIIZPH ZO V. 5. μεῖζον Vq,
et B, sed corr. ἐστίν P. 6. OG EIIZPH Z PBq et e corr.

ELEMENTORUM LIBER XII. 201

rimus, frusta quaedam coni-relinquemus minora solido
q' (X, 1] relinquantur et sint ea, quae in OG OE,
EIIZ, ZPH,H X9 posita sunt. itaque quae relinquitur
pyramis, cuius basis est. polygonum GO EIIZPHZ,
altitudo autem eadem ac coni, maior est solido X.
eliam in circulo 4BI'71 polygono ΘΟΕΠΖΡΗΣ
simile et similiter positum polygonum z/ TATBoI'X
inseribatur [cfr. VI, 18], et in eo pyramis construatur
eandem altitudinem habens, quam conus 444. iam
quoniam est

AI": EH* — ATATBODLX:G0EIZPHEZ [prop.I],
οὐ 41? : EH* — ABI'A: ΕΖΗΘ (prop. II], erit etiam
ABI'4: ΕΖΗΘ — ΖὡΤΑΥΒΦΓΧ: ΘΟΕΠΖΡΗΣ.
uerum 48Γ24: ΕΖΗΘ — 44: }Εἔ, οὐ ut

ΔΤΑΥΒΦΓΧ: ΘΟΕΠΖΡΗΣ,

ita pyramis, cuius basis est polygonum ΦΤΑΥΒΦΓΧ,
uertex autem punctum 4, ad pyramidem, cuius basis
est polygonum ΘΟ EIIZ PH X, uertex autem N punctum

' [prop. VI]. quare etiam ut 4444: Ε΄, ita pyramis, cuius

basis est polygonum ZTA4TB«OLIX, uertex autem
punctum .4, ad pyramidem, cuius basis est polygonum
ΘΟΕΠΖΡΗΣ, uerlex aulem punetum .N. permu-
tando igitur erit [V, 16], ut conus 44 ad pyramidem
in eo comprehensam, ita solidum ,5 ad pyramidem in
eono EN comprehensam. conus autem 44 maior est

V. 8. ATATBO TX] litt. I' postea add. V. ἀπ᾿ α.
αὐτῷ Β. 10. τό (α11.) — 12. οὕτως ὃ] mg. m. 1 V.

11. OG EIIPH Z B, et P, corr. m. 1. 12. οὕτως ὁ] etiam in
textu V. 16. ΟΘΕΠΡΗ͂Σ P, corr. m. 1. 18. dTATOTD'X
V. 90, ΘΟΕΠΖΡΗΣ B, iv ἑτέρῳ τὸ d TATBOLDX πολύ-
γῶνον mg. m. 2. 284, ATATBOLIX| I' postea add. V.

σι

10

15

20

95

202 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

κώνῳ πυραμέδα. μείξων δὲ ὁ 4.4 κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ
πυραμίδος" μεῖξον ἄρα καὶ τὸ A στερεὸν τῆς ἐν τῷ
EN κώνῳ πυραμίδος. ἀλλὰ καὶ ἔλασσον" ὅπερ ἄτοπον.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ 4BI' A κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον, οὕτως Ó 414 κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ EN
κώνου στερεόν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν
ὡς € ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ABI κύκλον, οὕτως
ὃ EN κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ 4.4. κώνου στερεόν.

Aéyo δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ABI κύκλος
πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὃ 4.4 κῶνος πρὸς
μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖξον τὸ Ξ᾿ ἀνάπαλιν
ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ABI κύ-
κλον, οὕτως τὸ XM στερεὸν πρὸς τὸν 4.4 κῶνον. ἀλλ᾽
ὡς τὸ JE στερεὸν πρὸς τὸν 44.4 κῶνον, οὕτως ὁ EN
κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ 4.4 κώνου στερεόν" καὶ
ὡς ἄρα ὃ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ABI κύκλον,
οὕτως ὃ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῖ 4.4 κώνου

στερεόν" ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς

ὁ ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὃ
4.4 κῶνος πρὸς μεῖξόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον" ἔστιν ἄρα ὡς ὁ
ΑΒΓΖ4 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ
AA κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον. |

"AAA ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος
πρὸς τὸν χύλινδρον᾽ τριπλασίων γὰρ ἑἕχάτερος ἕκα-
τέρου. καὶ ὡς ἄρα ὁ 48ΒΓΖ2 κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον, οὕτως οἱ ἐπ᾿ αὐτῶν ἰσοὐψεῖς [τοῖς κώνοιρ)
κύλινδροι.

1. ἑαυτῷ P. 4. ἐστίν) om. V. 6. οὐδέ ἐστιν ὡς] οὐδ᾽
ὃ V, οὐδ᾽ ὡς ὁ m. 2; οὐδὲ ὡς ἐστιν q. 18. κύκλον] om. B.

ELEMENTORUM LIBER XII. 208

pyramide in eo comprehensa. itaque etiam solidum
AM maius esti pyramide in cono EN comprehensa [V,
14] uerum idem minus est; quod absurdum est.
itaque non est ut 4BI': ΕΖΗΘ, iia conus 44 ad
solidum minus cono EN. iam similiter demonstrabi-
mus, ne EN quidem conum ad solidum minus cono
A44 eam ralionem habere quam EZHO : ABI.

Iam dico, ne ad maius quidem cono EN solidum
conum 4 eam rationem habÜre quam

ABDIA:EZHO.

Nam si fieri potest, habeat ad maius A. itaque e
contrario erib ΕΖΗΘ: ABI'A4 — &: 44 [V,'i coroll.].
uerum ut (τ: 424, ita conus EN ad solidum minus
cono 44 [prop. II lemma]. quare etiam ut ΕΖΗΘ
: ABI, iia conus EN ad solidum minus eono 2444
quod fieri non posse demonsirauimus. itaque non est
ut 4BIu: ΕΖΗΘ, iia conus 44 ad solidum maius
cono EN. demonsirauimus autem, eum ne ad minus
quidem ilam habere rationem. itaque

ΑΒΓΔ: ΕΖΗΘ — AA: EN.

sed ut conus ad conum, ita cylindrus ad cylindrum;
nam uterque uiroque triplo maior est [prop. X]. itaque
eliam ut 4BI7:EZHO, ita cylindr in iis con-
sirucii, qui eandem altitudinem habent.!)

1) Uerba τοῖς κώνοις lin. 28 uereor ne antiqua glossa sit;
neque enim hic de eo agitur, ut cylindri eandem altitudinem
habeant quam coni, sed ut demonstremus, cylindros ἰσουψεῖς
eam rationem habere quam bases.

i14. ἀλλ᾽ — 16. κῶνον] mg. m. 1 P. — 19. ἐστίν] om. V.
dg] om. q. 21. xj] om. ᾳἁ. κώνου) om. V. — 25. ἀλλά P.

904 ZTOIXEISN ιβ΄.

Οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύ-
λινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις" ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

ιβ.

ὅ Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλή-
λους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βά-
656. διαμέτρων.

Ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις
μὲν ol 4ΒΓΩ͂, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βά-

10 σεωῶν αἱ Β4, ZO, ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίν-
δρων οἵ K 4, ΜΝ' λέγω, ὅτι ὃ κῶνος, οὗ βάσις μέν
[ἐστιν)] ó 4BIA κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον,
πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν [ἐστιν] ὁ ΕΖΗΘ κύ-
xÀog, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον

16 ἔχει ἥπερ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΘ.

Εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ABI A κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗ͂ΘΝ
κῶνον τριπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ ΒΩ πρὸς τὴν ΖΘ,
ἕξει ὁ 4BI'A44A κῶνος ἢ πρὸς ἔλαδσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ
κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον 1) πρὸς μεῖξον. ἐχέτω

20 πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ E, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ EZHO* τὸ ἄρα ΕΖΗΘ
τετράγωνον μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗ͂Θ κύ-
κλου. καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυ-
ραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ᾽ ἡ ἄρα

26 ἀνασταϑεῖσα πυραμὶς μείξων éoviv ἢ τὸ ἥμισυ μέρος

2. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) Ἄν 6. καί) καὶ of q. 6ὅ. εἰσίν
PB. βάσεσιν P. βάσις q. 10. αἴ] of BV. δέ
om. ᾳ. καί] ἤ ΓΝ 12. ἐστιν om. BVq. 18. ἐστιν
om. BVq. zn P, ἔχοι 17. τριπλάσιον P,

sten corr, m. 1. Post λόγον ras. 3 litt. V. 20. πρὸς
λασσον πρότερον Βα. 22. κύκλου — 28. EZHO] mg. m.

ELEMENTORUM LIBEB XII. 205

Ergo coni et cylindri, qui eandem habent altitudi-
nem, eam inier se rationem habent quam bases; quod
erat, demonstrandum. |

XII.

Similes coni et cylindri inter se triplicatam ratio-
nem habent quam diametri basium.

Sint similes coni et cylindri, quorum bases sint
eireuli 4BIU, ΕΖΗΘ, diametri autem basium B4,
ZO, axes aulem conorum et cylndrorum K4, MN.
dico, conum, cuius basis sib circulus 44BI'Zf, uerlex

. autem ΖΔ punctum, ad conum, cuius basis sit circulus

EZHO, uertex autem Ν punctum, triplicatam ratio-
nem habere quam B:Z0.

nam si non est 4BI44: ΕΖΗΘΝ — B4*:Z09?,
eonus A4BI^4 aut ad solidum aliquod minus cono
ΕΖΗΘΝ iriplicatam rationem habebit aut ad maius.
prius habeat ad minus
A, οὐ in circulo EZHO
inscribatur quadratum
ΕΖΗΘ [IV, 6]. itaque
quadratum EZ HO ma-
ius est dimidio circuli
ΕΖΗΘ [p. 142, 11]. et
in quadrato EZ HO py-
ramis construatur eun-
dem uerticem habens,
quem conus. itaque pyramis constructa maior erit

XII. Psellus p. 65.

1 P. 28. ἐπί] ἀπό V. 24. τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα]
ἰσουψής Theon (B V 4).

206 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

τοῦ κώνου. τετμήσϑωσαν δὴ αἱ EZ, ZH, HO, ΘΕ
περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ O, II, P, Σ σημεῖα, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἴ EO, OZ, ZII, ΠΗ. HP, PO, ΘΣ,
ΣῈ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν EOZ, ZIIH, HPS6,

ὅ ΘΣΕ τριγώνων μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ

10

1ὅ

20

25

xc9' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ EZ HO κύκλου. xal ἀνεστάτω
ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν EOZ, ZIIH, HPO, ΘΣΕ τριγώνων
πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ᾽ καὶ
ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταϑεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν
ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καϑ᾽ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ
ἐπιξευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν ᾿
τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν χορυφὴν ἐχούσας
τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα
ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπερ-
οχῆς, ἧ ὑπερέχει o ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ & στερεοῦ.
Ζελείφρϑω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν EO, OZ, ZII, ΠΗ,
HP, PO, ΘΣ, ΣΕ: λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις
μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ
Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφϑω
καὶ εἰς τὸν ABI κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυ-
γώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ
ATBTIOAX, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ vov ATBTI'DAX
πολυγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ
κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ ATBTTI' AX πολύγωνον, κορυφὴ
ὃὲ τὸ 4 σημεῖον, ἕν τρίγωνον ἔστω τὸ ABT, τῶν
δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ

2. τά] τό V. 4. ἩΗΡΘῚ HE8 ᾳ(. 1. ἀφ᾽. EOZJO
in ras. m. 2 B, ΕΘΖ q. 8. ἔχουσα] χ in ras. B. 9. μεέ-

ELEMENTORUM LIBER XII. 201

dimidio coni [p. 192, 12]. iam arcus EZ, ZH, ΗΘ,
GE in punctis O, II], P, Σ in duas partes aequales
secentur, ei ducantur EO, OZ, ZII, ΠΗ͂, HP, P6,
62, ΣΕ. itaque etiam singuli trianguli EOZ,
ZIIH, HP9, GZiE maiores sunt dimidio segmentorum
cireuli EZ HO ad eos pertinentium (p. 142, 22]. et
in singulis iriangdis EOZ, ZIIH, HPO, 6 XE
pyramis construatur eundem uerticem habens, quem
conus. itaque etiam singulae pyramides constructae
maiores sunt dimidio segmentórum coni ad eas perti-
nentium [p. 194, 11]. iam si arcus reliquos in duas
partes aequales secuerimus ei rectas duxerimus et in
singulis triangulis pyramides construxerimus eundem
uerlicem habentes, quem conus, et hoc semper fece-
rimus, frusta quaedam coni relinquemus, quae minora
erunt excessu, quo conus EZ HO N solidum ,3 excedit.
relinquantur et sint ea, quae in EO, OZ, ZII, IIH,
HP, PO, ΘΣ, ΣῈ posita sunt. itaque quae relin-
quitur pyramis, cuius basis est EOZIIHPO Z poly-
gonum, uerilex autem punctum JN, maior est solido AX.
iam etiam in cireulum 4.8 ΓΩ͂ polygono ΕΟΖΠΗΡΘΣ
simile et similiter positum polygonum .4TBTI' Ox
inseribatur [VI, 18], et in polygono ATBTI'O64xX
pyramis construatur eundem uerticem habens, quem

conus, et ex triangulis comprehendentibus .pyramidem, .

euius basis est polygonum A4TBTI'DA4xX, uertex
autem 1 punctum, unus sit 4B T, ex iis autem, qui
pyramidem comprehendunt, cuius basis est polygonum

fo»] in ras. B. 10. μέρος] om. V. 17. εἰλήφϑω q..
18. 627] om. q. 20. peifov q. — 28. ἐπί — 24. πολυγώνου]
ἀπ᾿ αὐτοῦ Theon (BV q). 21. AT B P. 28. τήν] om. V.

———

10

15

20

908 ZTOIXEISN ιβ΄.

ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον,
ὃν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ K T,
MO. καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ 48ΒΓ44 κῶνος τῷ
ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Β4 πρὸς τὴν Z8,
οὕτως ( ΚΑ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα. ὡς δὲ ἡ
B4 πρὸς τὴν ZO, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ' καὶ
ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν
MN. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν KA, οὕτως
ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ
BKA, ZMN αἱἷ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν" ὅμοιον ἄρα
ἐστὶ τὸ BKA τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ. πάλιν,
ἐπεί ἐστιν ὡς ἣ ΒΚ πρὸς τὴν K T, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς
τὴν MO, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ,
ἐπειδήπερ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ BK T γωνία τῶν πρὸς
τῷ K κέντρῳ τεσσάρων ὀρϑῶν, τὸ αὐτὸ μέφος ἐστὶ
καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ M κέντρῳ τεσ-
σάρων ὀρϑῶν᾽ ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ
ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ BKT τρίγωνον
τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχϑη ὡς ἡ ΒΚ
πρὸς τὴν ΚΑ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν MN, ἴση δὲ
ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡς
ἢ TK πρὸς τὴν ΚΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΝ.
καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ TKA4, OMN: ὀρϑαὶ
γάρ" αἵ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν᾽ ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ

9ο5 AK T τρίγωνον τῷ NMO τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ διὰ

τὴν ὁμοιότητα τῶν ΚΒ, NMZ τριγώνων ἐστὶν ὡς
ἡ AB πρὸς τὴν BK, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ,
διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων

1. ΞΟΖΠΗΡΟΣ ᾳ. 2.NOZE. 8. ABIA B, οἱ
V, corr. m. 92. 4. ΕΖΗΘ B, et V, corr. m. 2 (ZH in raa).

ELEMENTORUM LIBER XII. . 909

ΕΟΖΠΗΡΘΣ, ueriex autem N punctum, unus sit
NZO, et ducantur KT, MO. et quoniam conus
A4BlI'44 cono ΕΖΗΘΝ similis est, ent. B1: ZO
— ΚΑ: MN [XI def. 24]. uerum ΒΖ: Ze — BK:ZM;
quare etiam BK:ZM-— ΚΑ: ΜΝ. et permutando
ΓΝ, 16] BK: KA—ZM:MN. οἱ cireum angulos
aequales B K 4, ZM N latera proportionalia sunt. itaque
BKA4--.ZMN [VI, 6]. rursus quoniam BK:KT
— ZM: MO, οὐ angulos aequales B K T, Z MO com-
prehendunt (quoniam quae pars est / BK T quattuor
rectorum ad centrum K positorum, eadem!) pars est
L ZMO quattuor rectorum ad centrum M positorum),
ert ΒΚΤ. ΖΜΟ. rursus quoniam demonstrauimus
BK: K4 — ZM: MN, et BK — KT, ZM —0M,
erit TK : K 4 — ΟΜ: ΜΝ. et latera aequales angulos
TK.A, ΟΜΝ (recti enim sunt) comprehendentia pro-
portionalia sunt. itaque “ΚΊ -“ΟΝΜΟ [VI, 6]. et
quoniam propter similitudinem triangulorum 44K B,
NMZ est AB: BK —- NZ:ZM, eti propter simili-
iudinem BK T, ΖΜΟ iriangulorum ΚΒ: BT — MZ

1) Nam polygona similia sunt et latera eorum numero
aequalia. Deletia uerbis ἐπειδήπερ liu. 14 — γωνέας lin. 17
molestam anacoluthiam euitabimus et solitam orationis formam
efficiemus; nec sane iis opus est.

7. τὴν ZM] ZM V. 9. ΜΝ] corr. ex NM m. 1 P.
11. ἐστί] om. V. ZMN)] Z corr. ex B m. rec. P.
12. τὴν KT] KT V. 18. MO] O in ras. m. 2 B. 15. τεσ-
σάρων]ὔ corr. ex δ mg. m. 1 P. 16. ZMO] O in ràs. m.
2 B. 17. ἐπεί — γωνίας] om. q; mg. m. 2 D. 18. ἐστί]
om. V. 20. τὴν K 4] ΚΑ B. 21. BK] K e corr. V.
KT] TK P. MOB. 22.17] (prius) om. P. — 24. εἰσιν]
om. V. ἐσεί] om. V. 927. τήν] om. ΒΥ, τήν] om. BVq.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 14

σι

1

e

15

2

e

26

210 . ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἐστὶν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ MZ πρὸς
τὴν ZO, δι᾽ ἴσου ἄρα ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BT, οὕτως
ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα
τῶν ATK, NOM τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ AT πρὸς
τὴν TK, οὕτως ἡ NO πρὶς τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν
ὁμοιότητα τῶν TKB, OMZ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ
ΚΤ πρὸς τὴν TB, οὕτως ἡ MO πρὸς τὴν OZ, δι᾽
ἴσου ἄρα ὡς ἡ AT πρὸς τὴν TB, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς
τὴν ΟΖ. ἐδείχϑη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΑ,
οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ. 0v ἴσου ἄρα ὡς 9) ΤΑ
πρὸς τὴν AB, οὕτως ἢ ON πρὸς τὴν ΝΖ. τῶν
ATB, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἴ πλευραί"
ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ATB, NOZ τρίγωνα" ὥστε καὶ
ὅμοια. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ BK T cot-
γῶνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμέδι,
ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν
σημεῖον" ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων
τὸ πλῆϑος. αἱ δὲ ὅμοιαί πυραμίδες καὶ τριγώνους
ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὃμο-
λόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα ΒΚΤΑ πυραμὶς πρὸς τὴν
ZMON πυραμέδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ
ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ. ὁμοίως δὴ ἐπιξευγνύντες ἀπὸ τῶν
A, X, 4. 0, D, T ἐπὶ τὸ K εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν
E, Σ, 0, P, H, II ἐπὶ τὸ M καὶ ἀνιστάντες dg
ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν
ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν
ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην Ouovoyr, πυραμίδα
τριπλασίονα λόγον ἔξει ἥπερ ἡ BK ὁμόλογος πλευρὰ

1. τήν] om. V. 3. τὴν ZO] ZO BVq. 8. ΜΖ Β, οἱ
V, sed corr. ἐπεί} om. P. 4. AT ΚΊ] T supra m. 1 V.

ELEMENTORUM LIBER XII. 911

:ZO [VI def. 1], ex aequo erit 4B: BT — NZ:ZO
(V, 22]. rursus quoniam propter similitudinem triangu-
lorum ZTK, NOM est. AT: TK — NO:OM, et
propter similitudinem TKB, OMZ triangulorum K T
: TB — MO:OZ, ex aequo erit 4T: TB — NO:OZ.
demonstrauimus autem, esse etiam TB: ΒΔ — OZ:ZN.
ex aequo igitur erit, T4: 4B — ON: ΝΖ. itaque
triangulorum ATB, NOZ latera proporlionalia sunt.

quare aequianguli sunt irangul 4TB, NOZ [VI, 5].

itaque iidem similes sunt [VI def. 1. ilaque etiam
pyramis, cuius basis est triangulus B K T, uertex autem
44 punctum, similis est pyramidi, cuius basis est
iriangulus Z MO, uertex autem Ν᾽ punctum; nam pla-
nis similibus comprehenduntur numero aequalibus [XI
def. 9]. similes autem pyramides, quae iriangulas
habent bases, in triplicata sunt ratione laterum ecor-
respondentium [prop. VIH]. itaque erit

BKTA: ZMON — BK?:ZM*

iam ductis rectis ab 4, X, 4, ὦ, I, T ad K et ab
E, Z, 0, P, H, II ad M et in singulis triangulis
erectis pyramidibus eosdem uertices habentibus, quos
coni, similiter demonstrabimus, etiam singulas pyra-
mides eiusdem ordinis ad singulas pyramides eiusdem
ordinis eam rationem habere quam B K?: Z M5, h. e.

6. OMZ] Z corr. ex N m. rec. P. 7. KT] K in ras. m.
2 B. 8. AT. in ras, Vy 4 cor ex 4m. 2 B. 9. τὴν B.4] BA
V. 10. τήν} om. Vq. 12. ATB] litt. 4 non liquet in

14. ἄρα] alt. « e corr. V. μέν ἐστι Βα. 19. βάσεις Hom
ᾳ εἰσίν PB. 238. 4] postea ins. m. 1 P. 24. ἑκά-
στου] ἐπί Theon (BY 4). 25. τὰς αὐτὰς «οὗν ὦ " Theon
(BVq) 88. ὁμόλογον πλευράν P, corr. m. 1

14*

δ

212 ΣΤΟΙΧΈΙΩΝ ιβ΄.

πρὸς τὴν ΖΜ ομόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ 1|
B4 πρὸς τὴν ZO. καὶ ὡς ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς
ὃν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς
ἅπαντα τὰ ἑπόμενα᾽ ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤ 4 πυ-
ραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα. οὕτως ἡ ὅλη πυ-
ραμές, ἧς βάσις τὸ ATBTT'O 4 X πολύγωνον, κορυφὴ
ὃὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧς βάσις
μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν
σημεῖον᾽ ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ATBTT AX,

10 κορυφὴ δὲ τὸ 4, πρὸς τὴν πυραμέδα, ἧς βάσις [μὲν]

1ὅ

20

2b

τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ N ση-
μεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β4 πρὸς τὴν
ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὃ κῶνος, οὗ βάσις [μὲν] ὁ
ABIA κύκλος. κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὸ Καὶ
στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἥπερ ἡ B4 πρὸς
τὴν ΖΘ' ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν
ὁ ABI κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ 4, πρὸς τὸ (αὶ στε-
Qsóv, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΕΩ͂Χ
[πολύγωνον], κορυφὴ δὲ τὸ 4, πρὸς τὴν πυραμίδα,
ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον. xo-
ρυφὴ δὲ τὲ Ν' ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ὃ κῶνος, ov βάσις
μὲν ὁ 4ΒΓΖ4 κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ 4, πρὸς τὴν ἐν
αὐτῷ πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΩ͂Χ πο-
λύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4, οὕτως τὸ A [στερεὸν] πρὸς
τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ
πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ N. μείζων δὲ ὁ εἰρημένος
κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν.
μεῖξον ἄρα καὶ τὸ & στερεὸν τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις

2. τήν] om. Βᾳ. καί] ἀλλ᾽ BVq. 4. ἄρα] δέ V.
8. μέν ἐστι Βα. 10. 4 σημεῖον V. τήν] om. V. μέν]

ELEMENTORUM LIBER XII. 213

BA*:205. οἱ ut unum praecedentium ad unum se-
queniium, ita omnia praecedentia ad omnia sequentia
ΓΝ, 12]. est igitur ut BK T4: ZMON, ita tota py-
ramis, cuius basis est polygonum A TBTI'Ó4Zx,
uerlex autem 7/4 punctum, ad totam pyramidem, cuius
basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem Ν
punctum. quare etiam pyramis, cuius basis est
ATBTI'Ó4X, uertex autem 4, ad pyramidem, cuius
basis est polygonum EOZIIH PO X, uertlex autem Ν
punctum, eam rationem habel quam ΒΖ: Z0?. sup-
posuimus autem, eiiam conum, cuius basis sit circulus
ABI'4, uerlex autem 4/4 punctum, ad 4 solidum eam
rationem habere quam ΒΖ: ΖΘὅ. itaque ut conus,
euius basis est 4 ΓΖ circulus, uertex autem 4, ad
& solidum, ita pyramis, cuius basis est 4T BT TI'04 x,
uerlex autem 4, ad pyramidem, cuius basis est
EOZIIHPO Z polygonum, uertlex autem N. permu-
tando igitur [V, 16], ut conus, cuius basis est 4BI'4
circulus, uertex autem ;4, ad pyramidem suam, cuius
basis est polygonum A4TBTI'4Z X, uertex autem 4,
iia Καὶ ad pyramidem, cuius basis est polygonum
EOZIIHPO X, uerlex autem N. uerum conus, quem
diximus, maior est pyramide sua; nam eam continet.

itaque eiiam ,X solidum maius est pyramide, cuius

om. P. 11. Litt. IIH e corr. V. σημεῖον — 21. τὸ N]
mg. m. 9 B. 13. ui] om. P. - enusiov] om. Ba.

15. ἔχων] ὦ in ras. P, ἔχον q. 6. ἐστιν] om. V.

17. Δ σημεῖον V. 19. πολύγωνον] om. P. 22. μέν ἐστιν
Bq. 44 σημεῖον V. 238. πυραμίδος V. 24, στερεόν m
rec. P. 28. 3] Z q?

214 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ
Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον" ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ABI κύκλος, κορυφὴ δὲ τὲ
A [σημεῖον]. πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, ov

b βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ IN σημεῖον,
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ZO.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτε οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς
ἔλαττόν τι τοῦ 4ΒΓΖ44 κώνου στερεὸν τριπλασίονα
λόγον ἔχει ἧπερ ἡ ZO πρὸς τὴν BA.

10 έγω δή, ὅτι οὐδὲ ὃ 4ΒΓΖ4. κῶνος πρὸς μεῖξόν
τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ B4 πρὸς τὴν ΖΘ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μεῖξον ro AB. ἀνά-
παλιν ἄρα τὸ M στερεὸν πρὸς τὸν 4ΒΓ4.4 κῶνον

15 τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ZO πρὸς τὴν BA.
ὡς δὲ τὸ AK στερεὸν πρὸς τὸν 4ΒΓΖ4.4 κῶνον, οὕτως

ὃ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ABIAA xo

νου στερεόν. καὶ ὃ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλατ-
τόν τι τοῦ 4ΒΓ4.4 κώνου στερεὸν τριπλασίονα λό-
20 γον ἔχει ἥπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΖ ὅπερ ἀδύνατον
ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα ὁ 4ΒΓ4.4 κῶνος πρὸς μεῖξόν τι
τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ ΒΩ πρὸς τὴν ZO. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς
ἔλαττον. ὁ ABI'AA ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ
25 κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΘ.
Ὡς δὲ ὃ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὃ κύλινδρος πρὸς

τὸν κύλινδρον᾽ τριπλάσιος γὰρ ὃ κύλινδρος τοῦ κώ-
νου ὃ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοὐψὴς

1. ἐστιν P. — Z]in 2. ἐλάττων B. ὅπε
ἄτοπον V. 8. βάσις μέν den» à Theon (BY. 4. σημεῖον»)

ELEMENTORUM LIBER XII. 215

basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, ueriex autem N.
uerum idem minus est; quod fieri non potest. itaque
conus, cuius basis est circulus 4BI71, uertex autem
4, ad solidum minus cono, cuius basis est circulus
EZHO, uerlex autem N punctum, eam rationem non
habet quam ΒΖ; ZO?. iam similiter demonstrabi-
mus, ne ΕΖΗΘΝ quidem conum ad solidum minus
cono 4BI' 74 eam rationem habere quam Z 9? : B.zf?,

iam dico, conum 4BI'714 ne ad maius quidem
cono EZHN solidum eam rationem habere quam
BA? : 2Θὅ.

nam si fieri potest, habeat ad maius ΚΦ. e con-
irario igitur [V, 7 coroll] 8: 4BIU4 — Z6: Bzf*.
uerum ut 4 solidum ad conum A4BI'4, ita conus
EZHON ad solidum minus cono 48 {4.4 (prop. II
lemma]. itaque etiam conus ΕΖΗΘΝ ad solidum
minus cono 4BI'4 eam rationem habet quam Z6?
: BZ1?; quod fieri non posse demonstrauimus. itaque
conus 4BI'714 ad solidum maius cono EZHON eam
rationem non habet quam B4f?: ZO0?. demonstraui-
mus autem, eum ne ad minus quidem hanc rationem
habere. ergo 4BI4: ΕΖΗΘΝ — BZ4*:Z60?.

sed ut conus ad conum, ita cylindrus ad cylindrum;
nam cylindrus, qui in eadem basi et sub eadem alti-
tudine est ac conus, triplo maior est cono (prop. X].

om. P. ἔλασσόν BV. ὅ. ἘΖΗΘῚ HO in ras. m. 2 B.

1. ὅτι οὐδέ] bis P, corr. m. 1. 8. ἔλασσόν ΒΥ ᾳ. 9. ἡ] ins. V.
10. δή] om. B. οὐδ᾽ V. 16. ABI'À q, et B, corr. m. 3.
οὕτως xaíqQ. οὕτως — 17. κῶνος] mg.m.2 B. 17. ἔλασσόν

BVq. ABI'4B. 18. καὶ ó — 19. στερεόν] mg. m. 92 V.

18. ἔλασσόν BVq. 19. 4BI'À q. τριπλάσιον V. — 22. στε-
e:óv] supra V. — 24. ἔλασσον BV. ὁ ἄρα ABI'4A V.

217. τριπλάσιος — 216, 1. αὐτῷ] om. q, mg. m. 2 B.

216 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιβ΄,

αὐτῷ. καὶ ὁ κύλινδρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τρι-
πλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ B. πρὸς τὴν ZO.

Οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους
ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέ-

6 voOv* ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
γι,

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ
ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς o
κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὃ ἄξων

10 πρὸς τὸν ἄξονα.

Κύλινδρος γὰρ ὁ 44 ἐπιπέδῳ τὰ ΗΘ τετμήσϑω
παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς 48.
D4, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ
τὸ K σημεῖον λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὃ ΒΗ κύλινδρος

15 πρὸς τὸν ΗΖ κύλινδρον, οὕτως ὃ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν
ΚΖ ἄξονα.

ἘἘχβεβλήσϑω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη
ἐπὶ τὰ 4, M σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ EK ἄξονι
ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν ol ΕΝ, N.A, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὅὃσοι-

20 δηποτοῦν oí ΖΗ, EM, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ AM
ἄξονος κύλινδρος ὁ OX, οὗ βάσεις οἵ ΟΠ, ΦΧ κύ-
κλοι. καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν N, Ηαὶ σημείων ἐπί-
πεδα παράλληλα τοῖς 48, Γ4 καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ
OX κυλίνδρου καὶ ποιδίτωσαν τοὺς ΡΣ, TT κύκλους

25 περὶ τὰ NN, XA κέντρα. καὶ ἐπεὶ οἱ 4Ν, ΝΕ, ΕΚ

1. Post αὐτῷ add. Theon: ἐδεέχϑη γὰρ (supra V) πᾶς (haee
iria uocab. et in textu et mg. m. 2 B) κῶνος πυλένδρου τρίτον
μέρος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν χοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον (B V q).

0] om 4. εἰσίν PB. βάσεσιν P. — 5. ὅπερ ἔδει δεῖξαι)
om. V. 6. y^] om. q. 13. συμβαλέτω P. τῷ) τῷ EZ

ΝΟ ΟΝ 0 —A— n ll f À f

ELEMENTORUM LIBER XII. 217

ilaque etiam cylindrns ad cylindrum eam rationem
habet quam Bz1?: ZO?.

Ergo similes coni et cylindri triplicatam inter se
rationem habent quam diametri basium; quod erat
demonstrandum.

XIII.

Si cylindrus plano planis oppositis parallelo se-
catur, erit ut cylindrus ad cylindrum, ita axis ad axem.

Nam cylindrus 471 plano HO planis oppositis
A4 B, I'4 parallelo secetur, οὖ planum H6 cum axe in
puncto Καὶ concurrat. dico, esse

BH: Hz — EK: KZ.

produeatur enim axis EZ ad utramque partem ad
puncta 4, M, et ponantur axi EK aequales quotlibet
reciae EN, NA, axi
autem ΖΚ aequales
quollibet rectae ZA,
AM, et. OX fingatur
cylindrus in axe 4 M,
cuius bases sunt circuli ΟΠ, ΦΧ. et per puncta
N, & plana planis 4B, ΓΖ et basibus cylindri OX
parallela ducantur et circulos ΡΣ, ΤΎ circum cenira
N, A efficiant. et quoniam axes 4N, N E, EK inter

Theon (BY q). τὸ ΗΘ ἐπίπεδον] om. Theon (BV q).

18. κείσθωσαν q. — 20. καί --- 21. κύκλοι] om. Theon (BVq).
22. ἐκβεβλήσθω] διήχϑω Theon (BV q). N,5] 4, N,

HB, M Theon (ΒΥ ῳ. 23. ταῖς βάσεσι — 925. κέντρα] νενοή-

σϑωσαν ἐν τοῖς διὰ τῶν A, NN, E, M ἐπιπέδοις περὶ κέντρα

τὰ 4, Ν, ES, M, κύκλοι of ΟΠ, PZ, TT, ΦΧ ἴσοι τοῖς AB, ΓΖ.

καὶ νενοήσθωσαν κύλινδροι ob ΠΡ, PB, 4T, TX Theon (BV q).
28. βάσεσιν P. — 25. οἵ AN] mg. m. 1 V.

218 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ιβ΄.

ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἵ ἄρα ΠΡ, PB, BH κύ.
λινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἴσαι δέ
εἰσιν αἵ βάσειφ᾽ ἴσοι ἄρα καὶ οἷ ΠΡ, PB, BH κύ-
λινδροι ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν ol AN, NE, ΕΚ ἄξονες
ὅ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ o( ΠΡ, PB, BH κύ-
λινδροι ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆϑος τῷ
πλήϑει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΑ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος,
τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὃ ΠΗ͂ κύλινδρος τοῦ ΗΒ
κυλίνδρου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὃ
10 ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ
ó ΧΗ κύλινδρος τοῦ Hz κυλίνδρου. καὶ εἰ μὲν ἴσος
ἐστὶν ὃ ΚΑ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἔσται καὶ ὃ
ΠΗ κύλινδρος τῷ HX κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείξων ὃ
ἄξων τοῦ ἄξονος, μείξων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυ-
15 λένδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ με-
γεϑῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν EK, ΚΖ, κυλίνδρων
δὲ τῶν BH, HA, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια, τοῦ
μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε AK
ἄξων καὶ ὃ ΠΗ͂ κύλινδρος, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ
40 τοῦ ΗΖ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ HX κύλιν-
δρος, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ Καὶ ἄξων τοῦ
KM ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ HX
κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος, ἴσος, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸὶς τὸν KZ ἄξονα, οὕτως
ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΖ κύλινδρον' ὕπερ ἔδει
δεῖξαι.

2

Q

i.
Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύ-
λινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

1. οἵ ἄρα] καὶ of P. 4. ἀλλήλοις] om. V. οὖν] οὖν
καί P. ὅ. εἰσίν] om. V. εἰσί] εἰσίν B. 6. πλῆθος τῶν

ELEMENTORUM LIBER XII. 219

se aequales sunt, cylindri ΠΡ, PB, BH eam inter se
ralionem habent quam bases [prop. XI]. uerum bases
inter se aequales sunt; quare etiam IJ7P — PB — BH.
iam quoniam axes ἽΝ, NE, EK inter se aequales
sunt, et etiam cylindri ΠΡ, PB, ΒΗ inter se aequales,
et multitudo multitudini aequalis est, quoties multiplex
est axis K,1 axis EK, toties erit etiam cylindrus
ΠΗ cylindri HB multiplex. eadem de causa quoties
axis MK multiplex est axis K Z, toties eliam cylindrus

XH mulüplex est cylindu HZ. οὐ si K4-— KM,

erib etiam ΠΗ͂ — H X, sin axis axe maior est, etiam
cylindrus cylindro maior est, sin minor est, minor.
iam dalis quattuor magnitudinibus, axibus EK, KZ
et cylindris BH, H 4, aeque multiplicia sumpta sunt,
axis EK et BH cylindri axis 4K et cylindrus ΠΗ͂,
axis autem KZ οἱ H4 cylindri axis Καὶ M et cylindrus
HX, et demonstrauimus, sii Κα» KM, esse etiam
HHHX,sin KA-—KM, esse ΠΗ — HX, 81
ΚΑ «ΚΜ, esse ΠΗ. HX. itaque EK: KZ — BH
: Hz [V def. 5]; quod erat demonstrandum.

XIV.

Coni et cylindri, qui aequales bases habent, eam
inter se rationem habent quam altitudines.

AN (4 e corr. m. 2 B), NE, EK τῷ πλήθει τῶν ΠΡ, PB,
BH Theon (BV q). 7. ἄρα ἐστίν Bq. KA] AK P.
EK] KEP. 8. ΗΒ] BH Vq. 9.£otív] ἐστὶ καί q.

10. ἔσται V. 19. ἔσται] ἐστί V. 14. KA ἄξων vov KM
ἄξονος Theon (BV q). ΠῊ κύλινδρος τοῦ HX κυλίνδρου
Theon (BY q). 15. Ante δή del. γάρ m. 1 P. ὄντων
μεγεϑῶν V. 11. πολλαπλάσιος V. 20. ὁ ΗΧ] ἡ X ᾳ.
91. AK P. 23. ἴσος ἐστίν, ἴσος P.

10

15

20

2b

220 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν 48, ΓΖ κύ-
κλων κύλινδροι οἵ ΕΒ, Ζ4)' λέγω, ὅτι ἐστὴν ὡς ὃ
ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν Z4 κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ
ἄξων πρὸς τὸν KA ἄξονα.

᾿Ἐχβεβλήσϑω γὰρ ὃ ΚΑ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον,
καὶ κείσϑω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ AN, καὶ περὶ ἄξονα
τὸν AN κύλινδρος νενοήσϑω ὃ ΓΜ. éxd οὖν οἵ
ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, πρὸς
ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις
ἀλλήλαις" ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι.
καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΖΩΐ
παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ZZ κύλινδρον, οὕτως
ὁ AN ἄξων πρὸς τὸν ΚΑ ἄξονα. ἴσος δέ ἐστιν ὃ
μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὃ δὲ ΑΝ ἄξων
τῷ ΗΘ ἄξονι" ἔστιν ἄρα ὡς ὁ EB κύλινδρος πρὸς
τὸν Z4 κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν KA
ἄξονα. ὡς δὲ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν Z4 κύλιν-
ὃρον, οὕτως ὁ ABH xàvog πρὸς τὸν ΓΖΚὶ κῶνον.
καὶ ὡς ἄρα ὃ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΑ ἄξονα, οὕτως
ὁ ABH κῶνος πρὸς τὸν ΓΩ͂Κ κῶνον καὶ ὁ EB κύ-
λινδρος πρὸς τὸν ZZ κύλινδρον" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ιε΄.

Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόν-
ϑασιν al βάσεις τοῖς ὕψεσιν" καὶ ὧν κώνων καὶ
κυλένδρων ἀντιπεπόνϑασιν αἴ βάσεις τοῖς ὕψε-
σιν. ἴδοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.

1. κύκλων] om. Theon (ΒΥ α). 2. Zd, EB BVq (Ζ in
V supra scr. m. 1) ὄ. ΚΑ] K ins. m. 1 V. ττό] corr. ex

ELEMENTORUM LIBER XII. 221

Nam oylindri EB, Zzf aequales bases habeant cir-
culos 4B, ΓΖ. dico, esse EB: Z4 — ΗΘ: ΚΑ.

axis enim ΚΑ ad N punctum producatur, et po-
ziatur ΑΝ — ΗΘ, et cireum axem AN fingatur cy-
lindrus I'M. iam quoniam cylindri EB, I'M eandem
altitudinem habent, eam inter se rationem habent

E r
A B

quam bases [prop. XI]. uerum bases inter se aequales
sunt. itaque etiam EB — I'M. et quoniam cylindrus
ΖΜ plano ΓΖ planis oppositis parallelo sectus est,
erit [prop. XIII] M:Z4 — ΑΝ: ΚΑ. sei ΓΜ-- ΕΒ,
AN — HO. itaque EB:Z4-— ΗΘ: ΚΑ. uerum
EB:Z4-— ABH:I4K [prop X] ergo erit
H0:KA4— ΑΒΗ: ΓΩ͂Κ — ΕΒ: 24;
quod erat demonstrandum.

Xv.

Aequalium conorum et cylindrorum bases in con-
traria ratione sunt atque altitudines; et quorum cono-
rum et cylindrorum bases in conítraria ratione sunt^
atque altitudines, ii aequales sunt.

τόν P. Τ. ἐννοήσθω P. 8. εἰσί codd. 10. εἰσίν PB.

EB)eras V. κύλινδροι ἀλλήλοις Bq. 11. ἐπιπέδῳ
τινί V. 19. Post κῶνον add. Theon: τριπλάσιοι γὰρ οἵ xv-
λινδροι τῶν κώνων (BVq). 425. ὕψεσι ᾳ.ἁ. καί -- 28. ὕψε-
ew] mg. m. 1 V.

σι

10

15

20

25

222 ZTOIXEISN ιβ΄.

Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις uiv
οὗ 4BDI'4, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἴ
AI, ΕΗ, ἄξονες δὲ οἵ KA, ΜΝ, οἵτινες καὶ ὕψη
εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσϑωσαν
oí 4,335, ΕΟ κύλινδροι. λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ xv-
λίνδρων ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί
ἐστ᾽ν ὡς ἡ ABI βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν,
οὕτως τὸ ΜΝ ὕψὸς πρὸς τὸ KA ὕψος.

Τὸ γὰρ AK ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν
ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστι δὲ καὶ ὁ AJ κύ-
λινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσος. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ
ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν
ὡς αἱ βάσεις ἴση ἄρα καὶ ἡ 4ΒΓΖ βάσις τῇ ΕΖΗΘ
βάσει. ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡς ἡ ABI βάσις
πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ
ΚΑ ὕψος. ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ AK ὕψος τῷ ΜΝ
ἴσον, ἀλλ᾽’ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσϑω ἀπὸ
τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΑ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π
σημείου τετμήσϑω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥ Σ
παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ, PO κύκλων ἐπιπέδοις,
καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύχλου, ὕψους δὲ
τοῦ ΝΙ κύλινδρος νενοήσϑω ὁ ΕΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσος
ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ EO κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ 413 κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως
ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον. ἀλλ᾽ ὡς
μὲν ὁ AA κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως

1. βάσις q. 8. δέ] om. q. ὕψη] corr. ex ὕψει V.
4. καί — 5. κύλινδροι] punctis del. V. 6. ὕψεσι Vq.
καί] τουτέστιν ὅτι Theon (BVq). 7. βάσις corr. ex
βάσεις m.1P. $8. AK Bq. 989. KA P. 10. ἔστιν P
11. ὑπό] corr. ex ἀπό m. rec. P. 16. K4] 4X B; supra
eras. V. pz] supra scr. m. 1 V. AK] KA P.

ELEMENTORUM LIBER XII. 223

Sint aequales coni et cylindri, quorum bases sint
eireuli 4BI7, ΕΖΗΘ, diameiri autem eorum AI,
EH, axes autem Κα, MN, qui iidem altitudines sunt
conorum uel cylindrorum, et expleantur cylindri 4,5, EO.
dico, cylindrorum 4X, EO bases in contraria ratione esse -
atque altitudines, et esse 4BI1: ΕΖΗΘ--ΜΝ: ΚΑ.

nam altitudo 44K aut aequalis est altitudini ΜΝ
aut non aequalis. prius sit aequalis. uerum etiam
A4, -— EO. coni autem et cylindri, qui eandem ha-
bent altitudinem, eam inter se rationem habent quam
bases [prop. XI] itaque etiam 4BI'4 — ΕΖΗΘ.
quare eiiam in coniraria ratione est 4BI': ΕΖΗΘ
z MN:KA. iam uero ne sit ΜΚ — MN, sed sit
MN » AK, et ab altitudine MN altitudini K 4 aequalis
abscindatur ΠΝ, et per I] punctum cylindrus EO

plano TZ planis circeulorum EZ HO, PO parallelo
secetur, et cylindrus fingatur EZ basim habens cir-
culum ΕΖΗΘ, altitudinem autem NI. et quoniam
4 — EO, erit. ΑΞ: EZ — EO: EZ [V, 1]. uerum

17. καί — 18. IIN] P, B mg. m. 2, V (τῷ corr. ex τό, τό ex
τῷ m. ὃ: IIM pro ΠΝ, sed M e corr. m. 2); καὶ wsío9o τῷ
A K ὕψει ἴσον τὸ IIM B in textu, q (τῶ ΠΗ͂ pro τὸ IIM), V
in textu post καὶ ἀφῃρήσθω — τὸ II M, sed punctis del.

19. EO] O in ras. m. 2 B. TTZ] T eras. P. 20. παρ-
αλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τῶν ΕΖΗΘ, PÓ κύ-
κλων. καί Theon (BVq). 22. IIN P, MII corr. ex NII m.
2 V. 23. Post κυλίνδρῳ add. ἄλλος δέ vig ὁ ἘΣ κύλινδρος
γᾳ, B mg. m. 2.

224 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἢ ABD4 βάσις πρὸς τὴν EZHO* ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ
ὕψος εἰσὶν οἵ 45, ΕΣ κύλινδροι" ὡς δὲ ὁ ΕΟ κύ-
λινδρος πρὸς τὸν EZ, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ
ΠΝ ὕψος" ὃ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται
δ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις. ἔστιν ἄρα
καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΖ βάσις προς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν,
οὕτως τὸ MN ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ
ΠΝ ὕψος τῷ ΚΑ ὕψει: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48ΒΓΩ͂
βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ MN ὕψος
10 πρὸς τὸ KA ὕψος. τῶν ἄρα 45H, EO κυλίνδρων
ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
᾿4λλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονϑέ-
voc«v αἷ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ABI
βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος
16 πρὸς τὸ Καὶ Δ ὕψος" λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν 6 AR κύλιν-
ὅρος τῷ EO κυλίνδρῳ.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασχευασϑέντων ἐπεί ἐστιν ὡς
ἡ Α48ΒΓ4 βάσις πρὸς την ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ
ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΑ ὕψος, ἴσον δὲ τὸ Καὶ ὕψος
20 τῷ ΠΝ ὕψει, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48ΒΓΖ4 βάσις πρὸς
τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ
ὕψος. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ 4ΒΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ
βάσιν, οὕτως ὁ AA κύλινδρος πρὸς τὸν EZ κύλιν-
δρον᾽ ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν ὡς δὲ τὸ MN
25 ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ [ὕψος]. οὕτως ὃ EO κύλινδρος
πρὸς τὸν EZ κύλινδρον᾽ ἔστιν ἄρα ὡς ὃ 4.Ξ κύλιν-

1. EZH 0 βάσιν ΒΥ. 8. EZ κύλινδρυν V. 4Ἁ. IIM B,
MII VN. Post ἐπιπέδῳ add. τῷ TZ P m. 8 e corr.; eadem
uerba post τέτμηται hab. V et m. 2 B. 6. καί] om. BVq.

βάσιε] βάσιν, sed corr. m. 1, P. 7. IM BV. τό] supra
add. o V. 8. IIM BV. 9. βάσιν] om. BVq. 12. ἀλλά

ELEMENTORUM LIBER XII. 295

AH: EZ — ABI: ΕΖΗΘ (nam eandem altitudinem
habent cylindi A454, EZ) [prop XI], et EO: EZ
— MN:IIN; nam cylindrus EO plano planis oppo-
sitis parallelo sectus est [prop. XIII]. itaque ABI
: EZHO — MN:IIN. uerum ΠΝ — K 4. erit igitur
ABI: EZHO-—MN:K.A. ergo cylindrorum A&A,
EO bases in contraria ratione sunt aique altitudines.

Iam uero cylindrorum 4&5, EO bases in contraria
ratione sint atque altitudines, et sit 4BI'1: ΕΖΗΘ
— MN:KA. dico, esse 4,5 — EO.

nam iisdem comparatis quoniam est 4 BI4:EZHO
— MN:KA4, eti KA—IIN, erit 4ΒΓ4: ΕΖΗΘ
— MN:IIN. uerum ABI: EZHO — AR: EX
(nam eandem habent altitudinem) [prop. XI], et
MN:IIN-- EO: EZ [prop. XIII]. est igitur 4,5

— 18. ὕψεσιν 7 "mg. m. 2 B. 18. ὕψεσι BVq. 20. IIM BV.
21. IIM corr. ex IIN V. 25. IIM corr. ex IIN V.
ὕψος] om. P. ΕΟ] E in ras. m. 1 FP. 26. ὡς] supra m.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 15

10

15

20

26

226 ZTOIXEISN ιβ΄.

Ógog πρὸς τὸν EZ κύλινδρον, οὕτως ὃ EO κύλινδρος
πρὸς τὸν ΕΣ. ἴσος ἄρα ὁ 413 κύλινδρος τῷ EO xv-
λίνδρῳ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων" ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

iS.

ΖΔύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων
εἰς τὸν μείξονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν
τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ
ἐλάσσονος κύκλου.

Ἔστωσαν οἵ δοϑέντες δύο κύκλοι ol Α4ΒΓΓΖ,
ΕΖΗΘ περὶ το αὐτὸ κέντρον τὸ Κ' δεῖ δὴ εἰς τὸν
μείξονα κύκλον τὸν ABI πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε
καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου.

Ἤχϑο γὰρ διὰ τοῦ K κέντρου εὐθεῖα ἧ BKA,
καὶ ἀπὸ rov Η σημείου τῇ Β4 εὐθείᾳ πρὸς ὀρϑὰς
ἤχϑω ἡ HA καὶ διήχϑω ἐπὶ τὸ I^ ἡ AT ἄρα ἐφάπτεται
τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τέμνοντες δὴ τὴν B4 περι-
φέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο
ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς
444. λελείφϑω, καὶ ἔστω ἡ 424, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ
τὴν B4 κάϑετος ἤχϑω ἡ 4M καὶ διήχϑω ἐπὶ τὸ Ν
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 44, 4Ν' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ A44
τῇ 4N. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἢ AN τῇ ΑΓ,
ἡ δὲ 4Γ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΑΝ ἄρα

1. ὁ EO] δέ in ras. m. rec. V. 42. κυλίνδρῳ) -o in ras.
V. . 8. ὡσαύτως] δει in ras. m. rec. V. ὄπερ ἔδει δεῖξαι)
om. V. ὅ. ἐι5΄] om. ᾳ. 6. κύκλων] κυλένδρων q. κέντρων
P, sed corr. 7. πολύγωνον] om. V. 8. saco»? V, ψαῦον-
τος τοῦ] om. q. — 10. οἵ δοϑέντες] om. V. — 12. κύκλον]
om. ABI'4] BI eras. V. Dein add. κύκλον V.
πολυγώνιον q.

ELEMENTORUM LIBER XII. 997
:ΕΣ Ξ4 ΕΟ: ΕΣ. ergo 433 — ΕΟ [V, 9]. et eodem

modo etiam in conis; quod erat demonsirandum.

XVI.

Datis duobus circum idem centrum circulis in maio-
rem circulum polygonum aequilaterum, cuius latera
paria sunt numero, ita inscribere,
ut minorem circulum non tangat.
Sint dati duo circuli ABI,
B 4 ΕΖΗΘ circum idem centrum K.
oportet igitur in maiorem circulum
Z ABI polygonum aequilaterum,
euius latera paria sunt numero, ita

inscribere, αὖ cireulum EZ HO non tangat.
ducatur enim per K centrum recta BK, et ab
H puncto ad rectam BZf perpendicularis ducatur H.4
ei producatur ad I. itaque “Γ᾽ cireulum EZ HO con-
tingit [III, 16 coroll.]. iam 81 areum B.4z/ in duas partes
aequales secuerimus et parlem eius dimidiam in duas
partes aequales οὐ hoc semper fecerimus, arcum arcu
44 minorem relinquemus (X, 1]. relinquatur et sit
44, el ab 4 ad Bzf perpendicularis ducatur 4M et
ad N producatur, eb ducantur 47, 4N. ilaque 44
z /4N [Π|, 3. I, 4]. et quoniam ANN rectae AT'
parallela est [Π, 28], οὐ 4I' circulum EZ HO contingit,

18. μή] in ras. m. 2 V. 15. BK] βάσις in ras. m. rec. V.
17. Η4] AH BV. καί] ἴση in ras. m. rec. V.

20. votre -ερ in ras. m. rec. V. 21. 44] 4B α.

44| 4 e corr. m. 1 B. 22. 4M] M e corr. m. 2 B.

28. 4N] 4Z6, sed Z6 in ras. m. rec. V. ἴση ισ- eras.

V. 94. AN] ΛΗ q. 265. AT'] 4 in ras. m. rec. V

16

10

15

20

2b

228 ZTOIXEISN ιβ΄.

οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου" πολλῷ ἄρα αἵ AZ,
ΩΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐὰν δὴ τῇ
A44 εὐϑείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν
48ΒΓ4 κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ABI κύκλον
πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον
τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ EZ HO" ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

ιζ΄.

dio σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν
εἰς τὴν μείξονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον
ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσδονος σφαίρας
κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.

Νενοήσϑωσδαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον
τὸ Α᾽ δεῖ δὴ εἰς τὴν μείξονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον
ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν
ἐπιφάνειαν.

Τετμήσϑωσαν αἵ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ
κέντρου" ἔσονται δὴ oí τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ με-
νούσης τῆς διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυ-
κλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα᾽ ὥστε καὶ καϑ' οἵας ἂν ϑ8έ-
650g ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ δι᾽ αὐτοῦ ἐκβαλ-
λόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς
σφαίρας κύκλον. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπει-
δήπερ 17] διάμετρος τῆς σφαίρας, ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ
ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείξων
ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν δια-
γομένων [εὐθειῶν]. ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι

1. oí] ἡ α. 9. κύκλου] -κλου eras. V. δέ BV.
b. τε] om. P. 6. τοῦ] (alt) τό α. πσόρισμα. xol φανερόν,
ὅτι ἡ ἀπὸ τὸῦ A κάϑετος ἐπὶ τὴν ΒΔ οὐκ ἐφάψεται τοῦ ἐντὸς
κύκλου mg. m. 1 P. 10. ἐλάττονος V. 11. περιφέρειαν

ELEMENTORUM. LIBER XII. 299

AN circulum ΕΖΗΘ non conüngit. multo igitur
magis 424, 4N circulum ΕΖΗΘ non contingunt.
itaque si rectas rectae 4.2] aequales in circulum ABIA
continue aptauerimus [IV, 1], in circulum. 4BI'Z
polygonum aequilaterum, cuius latera paria sunt nu-
mero, ifa inscribemus, ut minorem circulum ΕΖΗΘ
non tangat; quod oportebat fieri.

XVII.

Datis duabus sphaeris circum idem centrum positis
in maiorem sphaeram solidum polyedrum ita inscribere,
ut minorem sphaeram secundum superficiem non tangat.

Fingantur duae sphaerae circum idem centrum 4.)
oportet igitur in maiorem sphaeram solidum polyedrum
ita inscribere, αὖ minorem sphaeram secundum super-
ficiem non tangat.

secentur sphaerae plano aliquo per centrum po-
silo. sectiones igitur circuli erunt, quoniam sphaera
orta οδὺ manente diametro et circumacto semicirculo
[XI def. 14]; quare in quaecunque positione semi-
circulum finxerimus, planum per eum ductum sectio-

nem in superficie sphaerae efficiet circulum. et ad-

paret, etiam maximum circulum id effecturum esse,
quoniam diametrus sphaerae, quae eadem diametrus
est semicirculi et ipsius circuli, ut. adparet, maior est
omnibus rectis, quae in circulo uel sphaera ducuntur

1) Figuram dedi ex P; in B recta K £) omissa est. nouam
delineauit Peyrardus.

P; yo. ἐπιφάνειαν supra m. rec. — 19. ἐγένετο V (ante c ras.
1 litt. et accentus corr). 928. ἐστίν P. 24, καί] 118. m. 1 V.
26. εὐθειῶν) om. P.

280 ΣΤΟΙΧΕΙΩ͂Ν ιβ΄.

σφαίρᾳ κύκλος ὃ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ
κύκλος ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχϑωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι
σρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἵ Β4, ΓΕ, καὶ δύο κύχλων

περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ZHO εἰς

. 6 τὸν μεέξονα κύκλον τὸν BI'4 E πολύγωνον ἰσόπλευρον
καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφϑω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος
κύκλου τοῦ ΖΗΘ, ᾿οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ BE
τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΑ, 4M, ME, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα

ἡ ΚΑ διήχϑω ἐπὶ τὸ N, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ 4 ση-

10 μείου τῷ τοῦ ΒΓΖΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἡ

3. κύκλος] bis P, corr. m. 9. δύο] om. q. 8. B4,
IE] 4 et De corr. V; BI, AE B. 6. τε καί V.
10. co] om. q.

ELEMENTORUM LIBER XII. 981

[II], 15]. iam in maiore sphaera sit cireulus ΒΓΖΕ,
in minore autem circulus ZHO, et duae eorum dia-
meiri inter se perpendiculares ducantur ΒΖ, I'E, et
datis duobus circulis cireum idem centrum positis
BIA E, ZHÓ in maiorem cireulum Β ΓΖ E polygonum

aequilaterum, cuius latera paria sunt numero, ita in-
scribatur, ut minorem circulum ΖΗΘ non tangat
[prop. XVI], et latera eius in B.E quarta parte cir-
culi sint BK, K 4, 4M, ME, eti ducta K 4 producatur
ad N, et ab 44 puncto ad planum circuli Β ΓΖ E per-

10

15

20

25

232 ZTOIXEISN ιβ΄. ἡ

ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ
τὸ E, καὶ διὰ τῆς A4 καὶ ἑκατέρας τῶν B4, ΚΝ
ἐπίπεδα ἐκβεβλήσϑω" ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα
ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μεγίστους xUxAOUs.
ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν Bá, ΚΝ
διαμέτρων τὰ ΒΖ, KAEN. καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΞ. 4 ὀρϑή
ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΖΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα
ἄρα τὰ διὰ τῆς Ξ.4 ἐπίπεδά ἐστιν ὀρϑὰ πρὸς τὸ τοῦ
ΒΓΖΕ κύκλου ἐπίπεδον ὥστε καὶ τὰ ΒΞ4, KEN
ἡμικύκλια ὀρϑά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΖ Ε κύκλου ἐπί-
πεδον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ và ΒΕ4,., ΒΞ4, ΚΕΝ ἡμι-
κύκλια᾽ ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΩ, KIN*
ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ BE, ΒΗ͂, ΚΑΙ τεταρτημόρια ἀλλήλοις.
ὅσαι ἄρα εἰσὶν -ν τῷ BE τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ
πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς B 5, KA τεταρ-
τημορίοις ἴσαι ταῖς BK, ΚΑ, AM, ME εὐϑείαις.
ἐγγεγφάφϑωσαν καὶ ἔστωσαν αἴ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, PAX,
KZ, ΣΤ, TT, TX, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν α ΣΟ, TII,
TP, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΖΕ κύκλου
ἐπίπεδον κάϑετοι ἤχϑωσαν᾽ πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς
κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων τὰς ΒΩ, ΚΝ, ἐπειδήπερ
καὶ τὰ τῶν ΒΞΖΩ͂, ΚΕΝ ἐπίπεδα ὀρϑά ἐστι πρὸς τὸ
τοῦ ΒΓΖ E κύκλου ἐπίπεδον. πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν
αἱ ΟΦ, ΣΧ, xol ἐπεξεύχϑω η ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴδοις
ἡμικυκλίοις τοῖς BE, ΚΕΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν
αἱ BO, KZ, καὶ κάϑετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἴ OO, ΣΧ,
ἴση [ἄφα] ἐστὶν ἡ μὲν OO τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ KX.
ἔστι δὲ καὶ ὕλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση" καὶ λοιπὴ

8. ποιήσουσιν P, ποιοῦσι 4. . ἔστωσαν Β7ᾳ. 6. τα]

eorr ex τό B. 7. ἐστιν B. 8. ὀρθὰ ἐστι BVq. 10. ἐστιν

ΡΒ. BAT'E α. 11, ἐστίν PB. ΚΕ ΝῚ om. P.

EL -..-... .ὄὄ - --.-

ELEMENTORUM LIBER XII. 2233

pendieularis erigatur ΑΞ et cum superficie sphaerae
concidai in 4, et per 4X et utramque Bzf, ΚΝ plana
ducantur. itaque propter ea, quae supra diximus, in
superficle sphaerae maximos circulos efficient. eos effi-
ciant, quorum semicirculi in diametris ΒΖ, K N sint,
ΒΞ4, ΚΕΝ. et quoniam 54 ad planum circuli BIZ E
perpendicularis est, etiam omnia plana, quae per X4 du-
cuntur, ad planum circuli Β ΓΖ E perpendicularia sunt
(XI, 18]. quare etiam semicirculi Bl, Καὶ 5 N ad planum
circuli- BI'ZE perpendiculares sunt. et quoniam semi-
cireuli B EZ, B4, KEN aequales sunt (nam in aequa-
libus sunt diametris B zl, Καὶ N) [III def. 1], etiam quartae
cireulorum partes B E, B5, Καὶ 5 inter se aequales sunt.
itaque quot sunt in BE quarta parte latera polygoni,
totidem eliam in B, K ΞΞ quartis partibus sunt rectis
BK, KA, AM, ME aequalia. inscribantur et sint
BO, ΟΠ, ΠΡ, PX et K Z, Z T, TT, TÀ, et ducantur
ΣΟ, TII, TP, et ab O, Z ad planum circuli ΒΓΖΕ
perpendieulares ducantur. cadent igitur in communes
planorum sectiones ΒΖ, K.N, quoniam eliam plana
eirculorum. B£5Z, K'N ad planum circuii BI4E
perpendieularia sunt [tum ἃ. XI def. 4|. cadant et
sint Oc, ΣΧ, et ducatur XO. et quoniam in aequa-
libus semicireulis ΒΞ 2, ΚἈΝ aequales abscisae sunt
BO, KZ [III], 28], et perpendiculares ductae sunt
ΟΦ, ΣΧ, erii OO — ΣΧ, ΒΦ — K X [III, 21. I, 26].
uerum eliam B.4-— KA. ilaque ὦ.“ —— X4. quare

18. Post BE erae. 4 P. Post BE ras. 1 litt. P. KA]
in ras. m. 1, dein del. N, P. 15. τοσαῦτα q. εἰσιν P B.

91. xal ἐπειδήπερ xaíq. 34. Xd] corr. ex.D X m. 1 V,
$X B. 4251. ἄρα] m. rec. P. ΣΧ] Zecorr V. 28. ἔστιν
B. | K4]e corr. m. 2 V. |

284 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ἄρα ἡ DA λοιπῇ τῇ XA ἐστιν ἴση" ἔστιν ἄρα ὡς d
ΒΦ πρὸς τὴν DA, οὕτως ἡ K X πρὸς τὴν Xt παρ-
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ KB. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα
τῶν OO, ΣΧ ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΖΕ κύκλου
δ ἐπίπεδον, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ Od τῇ ΣΙΧ. ἐδείχϑη
0$ αὐτῇ καὶ ἴση" καὶ αἱ XO, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ
παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ
ΣΟ, ἀλλὰ ἡ XO τῇ KB ἐστι παράλληλος, καὶ ἡ
ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος. καὶ ἐπιξευγνύουσιν
10 αὐτὰς αἱ ΒΟ, ΚΣ' τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν
ἕνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐϑεῖαι
παράλληλοι, καὶ ἐφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν ληφϑῇ τυχόντα
σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ
16 δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, TIIPT τετραπλεύρων
ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἔστι δὲ καὶ τὸ TPAÀ τρίγωνον
ἐν ἑνὶ ἐπιπέδω. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν O, Z,
II, T, P, T σημείων ἐπὶ τὸ 4 ἐπιξευγνυμένας εὐϑείας,
συσταϑήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ
20 τῶν ΒΗ͂, ΚΑ περιφερειῶν ἐκ πυραμέδων συγκείμενον,
àv βάσεις μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, TIIPT τετρά-
πλευρὰ καὶ τὸ TPA τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 ση-
μεῖον. ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης τῶν ΚΑ, 4M, ME
πλευρῶν καϑάπερ ἐπὶ τῆς BK τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν
25 καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συστα-
ϑήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰς τὴν
σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον. ὧν βάσεις [μὲν] τὰ

1, τῇ λοιπῇ τῇ ] q. 2. ΒΦ] e corr. V m. 2. 4. ἐστιν
P. 6. καί] (alt) om. q. Z0] O euan. P. εἰσίν PB.
7. ἐστιν} -w in ras. V, om. q.— X P. — 8. ΧΦ] corr.
in DX m. 1 V. 10. KBOZ] BOKZ V. 11. ὦσιν PB.

ELEMENTORUM LIBER XII. 235

Bo:0O4-—KX:XA. itaque XO rectae KB paral-
lela est [VI, 2]. ei quoniam utraque ΟΦ, ΣΧ ad
planum circuli BI'4E perpendicularis est, O ὦ rectae
ΣΧ parallela est [ΣΧ], 6]. demonstrauimus autem,
esse eliam O ὦ — ΣΧ. quare etiam rectae X, Z0
aequales sunt et parallelae [I, 33]. et quoniam X4
rectae ZO parallela est, eadem autem Χ rectae K B
parallela, etiam ZO rectae. K B parallela est [I, 30].
ei eas iungunt BO, K X. itaque quadrilaterum ΚΒΟΣ
in uno plano positum est, quoniam, si datis duabus
rectis parallelis in utraque sumuntur quaelibet puncta,
recta ad punctà ducta in eodem plano est ac paral-
lelae [XI, 7]. eadem de causa etiam utrumque quadri-
laterum ZOIIT, TIIPT in uno est plano. uerum
etiam iriangulus T'P&À in uno plano est [XI, 2]. iam
si a punctis O, Z, II, T, P, T ad 4 xectas finxerimus
ductas, figura quaedam solida polyedra inter arcus
BA, ΚΞ construetur ex pyramidibus composita, qua-
rum bases sunt quadrilatera K BOZ, ZOIIT, TIIPT
ei triangulus TP, uertlex autem 4 punctum. οὗ si
eliam in singulis lateribus K 4, 4M, M E eadem com-
parauerimus, quae in BK, et praeterea in reliquis
iribus quartis cireuli partibus eadem, figura quaedam
polyedra eonstruetur in sphaera inscripta ex pyra-
midibus composita, quarum bases sunt quadrilatera,

14. ἐστίν B. 16. ἑκάτερα BV. 16. ἐπιπέδῳ ἐστίν α.

ἔστιν Β. 21. βάσις BVq. ΠΤΡΥ q. 22. τὸυ q.

TEPIP, corr m. 1. τριγώνου q. 24. κατασκευάσομεν
e corr. m. 1 q. 26. Post τεταρτημορέων add. Theon: καὶ
ἐπὶ τοῦ λοιποῦ ἡμισφαιρέου (BV q). 26. σχῆμα] σχῆμα στε-
ρεόν V.. συγγεγραμμένον Ῥ. 27. πυραμίσιν P, ἐκ πυρα-
μέδων BVq. συγκείμενον ΒΥ. μέν] om. BVq.

10

1ὅ

20

μεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν BU, "WK. ὃ

2ὅ

296 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιβ΄.

εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΙΞ τρίγωνον καὶ τὰ
ὁμοταγῆ αὐτοῖς, κορυφὴ δὲ τὸ A4 σημεῖον.

Aéyo, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται
τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφ᾽ ἧς
ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλος.

"Hy9o ἀπὸ τοῦ 4 σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ
τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάϑετος ἡ 4'U xol συμβαλ-
λέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ "WU σημεῖον, καὶ ἐπεξεύχϑω-
σαν α "DB, "UK. καὶ ἐπεὶ ἡ 444 ὀρϑή ἐστι πρὸς
τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πά-
δας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας καὶ οὔσας ἐν
τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν, ἡ ΑΨ
ἄρα ὀρϑή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ AK, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ
τῆς AB τῷ ἀπὸ τῆς AK. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς
AB ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, "UB: ὀρϑὴ γὰρ ἡ πρὸς
τῷ "D τῷ δὲ ἀπὸ τῆς AK ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν
A, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ τῆς 4" λοι-
πὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ
ἴσον ἐστίν ἴση ἄρα ἡ Β. τῇ *PK. ὁμοίως δὴ δεί-
ἕξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ "P ἐπὶ và O, Σ ἐπιξευγνύ-
ἄρα κέντρῳ τῷ "^ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν "UB, ἘΚ
γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν O, Σ, καὶ ἔσται —
ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.

Καὶ ἐπεὶ μείξων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς XO, ἴση δὲ ἡ
ΧΦ τῇ ΣΟ, μείξων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ. ἴση δὲ ἡ
1. TEP BV. 2. ὁμοιοταγῆ Β. 8. λέγω δή α.

JJ B Vq.

9. VB] Be corr. P, B ἐστιν P, 10. KBOZ] Z
e corr. m. 1 P, mut. in BKOZ m. 1 V, BKOZ q. τετρα-

ELEMENTORUM LIBER XII. 23"

quae nominauimus, et triangulus T'PA, et quae simi-
lem obtinent locum, uertex autem punctum 4.

dico, polyedrum, quod.significauimus, minorem
sphaeram non tangere secundum superficiem, in qua
est circulus ΖΗΘ.

dueatur ab 44 puncto ad planum quadrilateri ΚΒΟΣ
perpendicularis 4*P et cum plano in puncto 977 conci-
dat, οὐ ducantur P B, ΨΚ. οὐ quoniam 4*I ad planum
quadrilateri K ΒΟ ΣΙ perpendicularis est, etiam ad om-
nes rectas eam tangentes et in plano quadrilateri po-
sitas perpendicularis est [XI def. 3]. itaque 4*P ad
utramque B 9, ΨΚ perpendicularis est. et quoniam
AB — AK, erii eliam 4B? -- AK?. est autem

Au? -- qrpi— 4 B?; nam angulus ad "JU positus
rectus est [I, 47]; et A? ] WK?- 4K?. quare
AP? -L 3B? — 43? -- 39 K?,. auferatur, quod com-

mune est, 4D7?. itaque B'D*— "J*K*. quare ΒΨ
— UK. similiter demonstrabimus, etiam rectas ἃ
J! ad O, Z ductas aequales esse utrique B "V5, ΨΚ.
itaque circulus, qui centro Ψ et radio alterutra recta-
rum ΨΒ, *UK describitur, etiam per O, Σὶ ueniet, et
quadrilaterum ΚΒΟΣ, τὰ circulo erit.

οὗ quoniam K B Xo et ΧΦ — ΣΟ, erit KB
2» 20. uerum KB — KZ — BO. quare etiam KZ

πλεύρου)] om. V. 12. ἐστιν] ἐστιν ἡ v Theon (B V q).

18. ἐστιν P. 14. τό] corr. ex τῷ m. 1 P. 16. ἐστιν P.
18. ἐστίν P. 19. ἀπό] -πό in ras. V. 21. ἔσται q.
VB P. 22. τὰ O, Z] corr. m. 2 ex τὸ O B.

28. PK] K in ras. V. 24. tO] bis P, sed corr. m. 1.

-στή- e corr. m. rec, P. ΒΨ γα. 96. τὸ] corr. ex τῷ V.
91. ἐστί V. ΧΦ] corr. ex 6X V, ΦΧ B. 28. τῇ]

τῆς B. τῆς] τῇ q. ἴση δὲ — p. 238, 9. ἐστίν) mg. m. 2 B.

238 zTOIXEION ιβ΄.

KB ἑκατέρᾳ τ
ΚΣ, BO τῆς EO μείξων

τετράπλευρόν ἐστ

ὧν KZ, BO καὶ ἑκατέρα ἄρα, τῶν
καὶ ἐπεὶ ἐν κ“ὑκλῷ
y, αἱ ΚΒ, BO,

c KB τοῦ ἀπὸ
“νω ἀπὸ τοῦ

τὴν 45. B, B£ πρὸς τὸ ὑπὸ
[τῶν] 4 Ω, 4.8, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΦ) τετρα"
oóvov καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς QA παραΐ-
; ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ 489,

Κ4

ληλογφάμμου καὶ τὸ ὑπὸ 48,
“28 ἔλαττόν ἔστιν ἢ διπλάσιον. καί ἐστι τῆς
“Ζσειξευγνυμένης τὸ μὲν ὑπὸ 48: ΒΩ ἴσον τῷ ἄπο
15 τῆς ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν 49, Ω8Β ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς
9-4. τὸ ἄφα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἔλασσόν
Zeov ἢ διπλάσιον. ἄλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ
τς ΒΨ μεῖξόν ἐστιν dj διπλάσιον" μεῖξον ἄρα τὸ ἀπὸ
7295 ΚΩ͂ του ἀπὸ τῆς Β Ψ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ B4
ο * 4j KA, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς BA τῷ ἀπὸ τῆς
pcex 4 ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς BA ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν BT,
, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν Ko, 94
ταὶ digo ἀπὸ τῶν ΒΨ, qr4 ico ἐστὶ τοῖβ ἀπὸ τῶν
“- 422 4,4, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ μεῖξον τοῦ ἀπὸ τῆς
B . λοιποῦ ἄρα τί , ἀπὸ τῆς £44 ἔλασσόν ἐστι τοῦ
M τῆς UA. μείξων ἄρα ἡ ΑΨ τῆς AQ πολλῷ

4- καί) om. d καί — 92. BO] mg. m. rec. p . 2.12,
eJ ort ΟΣ ΚΒ, ΣΟ P. ἐστί ad 6. ἤχϑω — ἴ. κά-
5 “55 Cr. " ng. g m. 1 P, co di καὶ
τε - supra scr. o m. 1. mde Ro PU ΒΥ, ἢ

“οι i
ec

10

n ELEMENTORUM LIBER XII. 239

2 ZO, BO ZO. el quoniam in circulo est, quadri-
laterum ΚΒΟΣ, et KB, BO, ΚΣ aequales, ΟΣ autem
minor, et radius circuli est B V, erit!) K B* - 2B?
ducatur a Καὶ ad ΒΦ perpendicularis Καὶ.) et quo-
niam B4-«249, et B4:49 — 4B»« BS: 49
?« 98, constructo in B£) quadrato et parallelogrammo
in £4 expleto erit etiam 4B »« B «249 »« 9.8.
οὐ ducta KA erit 4B»« BO. — BK?, 49 »« B9
— Κῶ" [III, 31. VI, 8coroll] itaque KB? 2KQ*.
uerum KB! ΒΨ itaque K? — BP? et quo-
niam B.4 — ΚΑ, erit B4? — ΑΚ". οἱ ΒΑ" — Bi?
JOUAÁ Ka? — KQ3-- 94? [I, 47). itaque ΒΨ
Ἔ Ψ 4? —— K9? 4- 9 4", quorum K 9*7» B P?. quare
Q4* C 34? ct 4377 4Q. multo igitur magis

1) Nam singula latera KB, BO, KZ maiora sunt latere
quadrati inscripti, quod aequale est BPy/2.

3) Facile demonstratur, perpendicularem hanc in ipsum
punctum 4 cadere, et huc spectat emendatio Theonis ὦ ubique
pro 9 reponentis. sed tum demonstrandum ei erat, KÓ p
pendicularem esse. Euclides hoc aut non intellexit aut, qu
potius crediderim, non curauit, quia ad tenorem demonstrat
nis nihil prorsus refert.

m, rec.; item lin. 9, 10, 12, 165. 9. B9] P m. 1, ΒΦ BV
P'm. rec.; item lin. 10, 12, 14. 10. τῶν] om. P. 2
Pm.i, 0B BVq, P m. rec.; item lin. 13, 16. ἀπό] cc
€x αὐτοῦ m. 2 B. 11, Q4] P m. 1, $4 BVq, P m. re
den add. V: B ἐν ἑτέρῳ (m textu m. 1). 12. à
ὑπὸ τῶν Vq. ὑπό] ὑπὸ τῶν V. διπλάσιον duxi
sov P. ἔστιν Ῥ. 16. BK]KBq etin 1. ἢ ΒΚ-- τῆρ]
ᾳ 18. ΧΩ] (prius et alt) P m: 1, ΚΦ BVq, P m. rec. zi
(alt) τοῦ V. 19. ΧΩ] P m. 1, ΚΦ BVq, P m. rec., it
lin. 22, 24 bis. 30. ἐστὶ καὶ τό V. — AK] in rae, V, ΚΑ B.
31, ἐστιν P. τῷ] corr. ex τό V. 32. Ω ΑἹ Ρ᾽ τὸ 1, ὁ
BVq, P m. reo; item lin. 24, 86. 98. τὰ ἄρα — 24. Q
pe m. 2 V. 26. ἐστιν P. 26. 42] P m. 1, 40 BV
m. rec.

b

10

15

2

e

25

940 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄. .

ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς AH. καί ἐστιν ἡ μὲν
ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ AH ἐπὶ
τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν ὥστε τὸ πο-
λύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν
ἐπιφάνειαν.

Δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν
εἰς τὴν μείξονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέ-
γραπται μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσδονος σφαίρας κατὰ τὴν
ἐπιφάνειαν" ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ᾿

Πόρισμα.

᾿Εὰν δὲ καὶ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΖΕ
σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον
ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΖ Ε σφαίρα στερεὸν πολύεδρον
πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρα σφαίρα στερεὸν πολύεδρον τρι-
πλασίονα λόγον ἔχει. ἥπερ ἡ τῆς ΒΓΖΕ σφαίρας
διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον.
διαιρεϑέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς τὰς ὁμοιοπληϑεῖς
καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ πυραμέδες
ὅμοιαι. αἵ δὲ ὅμοιαι πυραμέδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τρι-

πλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν᾽ ἢ ἄρα

πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον,
κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαέραᾳα
ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἥπερ ἡ
ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτ-
ἔστιν ἥπερ ἡ AB ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς
περὶ κέντρον τὸ .4 πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἕτέ-

1. 47] OT q. 4. ψαύει P. 5. Seq. demonstr.
&ltera, u. app. 99. ποιῆσαι] δεῖξαι Theon (B V 4). 10. πό-
ρισμα] mg. m. 1 P; om. BVq. 14. πρὸς τὸ --- πολύεδρον)

mg. m. 9 B. 16. στερεᾶς B, ἐλάσσονος q. σφαίρας] om.

ELEMENTORUM LIBER XII. 241

ΑΨ. AH. οὐ ΑΨ ad unam basim polyedri, 4H
aulem ad superficiem minoris sphaerae ducta est.
quare polyedrum minorem sphaeram secundum super-
fidem non tanget.!)

Ergo datis duabus sphaeris circum idem centrum
positis in majorem sphaeram solidum polyedrum ita
inscriptum est, u& minorem sphaeram secundum super-
ficem non tangat; quod oportebat fieri.

-ἀὦ

Corollarium.

Sin eliam in aliam sphaeram solido polyedro in
sphaera BI'E inscripto simile polyedrum solidum
inseripserimus, solidum polyedrum in sphaera BIE
inscriptum ad solidum polyedrum in altera sphaera
inscriptum triplicatam rationem habebit quam dia-
metrus sphaerae Β ΓΖ E ad diametrum alterius sphaerae.
solidis enim in pyramides numero aequales et simili
loco positas diuisis pyramides similes erunt. similes
autem pyramides triplicatam inter se rationem habent
quam latera correspondentia [prop. VIII coroll.]. itaque
pyramis, cuius basis est quadrilaterum K BO Z, uertex
autem 4 punctum ad pyramidem in altera sphaera
simili loco positam triplicatam rationem habet quam
latus correspondens ad latus correspondens, h. e quam
AB radius sphaerae, cuius centrum est 24, ad radium

1) Idem enim similiter fere de ceteris basibus solidi de-
monstrari potest.

qQ. 17. ὁμοπληϑεῖς V. 18. óuotaysig BV. 20. εἰσίν B.-
πυραμὶς ἄρα P. 21. ΚΘΣΟ V, sed corr. 28. Óuo-
ταγῆ V et B, sed corr. m. 1. — 26. περὶ τό Βα.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 16

10

15

242 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

ρας σφαίρας. ὁμοίως καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ
περὶ κέντρον τὸ .4 σφαίρᾳ πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ
πυραμέδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον
ἕξει, ἥπερ ἡ 4B πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας
σφαίρας. καὶ ὡς ὃν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἕπο-
μένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ
ἑπόμενα ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ 4 σφαίρα
στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ [σφαίρᾳ]
στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔξει. ἥπερ ἡ
AB πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας,
τουτέστιν ἥπερ ἡ B. διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας
σφαίρας διάμετρον" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ιη΄.

Αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι
λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων.

Νενοήσϑωσαν σφαῖραι αἴ ABD, 4EZ, διάμετροι
δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, EZ: λέγω, ὅτι ἡ ABI" σφαῖρα πρὸς
τὴν 4EZ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ
ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

ὥ. περὶ τό Bq. 4. ἑτέρας] om. P. 7. ὥστε καί P.
περὶ τό B. κέντρω TO α. 8. σφαέρᾳ) om. P.
10. ἑτέρας] B supra scr. στερεᾶς m. 2. 15. εἰσίν PB.
16, ἐννοήσθωσαν P.

ELEMENTORUM LIBER XII. 243

alterius sphaerae. similiter etiam singulae pyramides
in sphaera positae, cuius centrum est 4, ad singulas
pyramides simili loco positas in altera sphaera tripli-
catam rationem habent quam 4B ad radium alterius
sphaerae. et ut unum praecedentium ad unum sequen-
tium, ita omnia praecedentia ad omnia sequentia [V,
12]. quare totum solidum polyedrum in sphaera po-
situm, euius centrum est 4, ad totum solidum polye-
drum in altera sphaera positum triplicatam rationem
habebit quam 4B ad radium alterius sphaerae, ἢ. e.
quam diametrus Bzf ad diametrum alterius sphaerae;
quod erat demonstrandum.

XVIII.

Sphaerae triplicatam inter se rationem habent quam
diametri.

Fingantur sphaerae 4 BI, 4 EZ, earum autem dia-

metiri BI, EZ. dico, esse 4BI': 4EZ — BI": EZ*.
105

σι

10

15

20

2b

244 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

Εἰ γὰρ μὴ ἡ 48ΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν 4 EZ σφαῖραν
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ,
ξξει ἄρα 5 ABI' σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς
4 EZ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείξονα ἥπερ
ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα
τὴν HOK, καὶ νενοήσϑω ἡ 4ΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ
αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὴν μείξονα σφαῖραν
τὴν 4ΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσο-
vog σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγε-
γράφϑω δὲ καὶ εἰς τὴν ABI' σφαῖραν τῷ ἐν τῇ 4ΕΖ2
σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον"
τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν
τῇ 4EZ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ 48Γ σφαῖρα
πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ
ΒΓ πρὸς τὴν EZ: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48ΒΓ σφαῖρα πρὸς
τὴν HOK σφαῖραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ
στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ 4 ΕΖ σφαίρα στε-
ρεὸν πολύεδρον ἐναλλὰξ [ἄρα] ὡς ἡ 48Γ σφαῖρα
ἰρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα
πρὸς τὸ ἐν τῇ 4 EZ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείξων
δὲ ἡ ABI σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου" μείξων
ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ 4 ΕΖ σφαίρᾳ πο-
λυέδοουι ἀλλὰ καὶ ἐλάττων. ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ᾽
αὐτοῦ. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς
A4 EZ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ
διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι

8. σφαῖρα] om. α. e. HO P. ἐνγφνοήσϑω P. Post
Z4EZ add. σφαῖρα Vq et B m. 2. 7. γεγράφϑως q.
8. 4 EZ] E supra scr. m. 1 V. ΗΘ P. 10. 4EZ]) E

ELEMENTORUM LIBER XII. 245

nam si non est 4BI': 4Ε2 — BI*: EZ?, sphaera
4 BI' aut ad sphaeram minorem sphaera 71 EZ tripli-
eatam rationem habebit quam BI': EZ, aut ad ma-
lorem. prius habeat ad minorem ΗΘΚ, οὐ fingantur
A4EZ, ΗΘΚ circum idem centrum positae, et in ma-
iorem sphaeram ZEZ solidum polyedrum ita inscri-
batur, ut minorem sphaeram HO K secundum super-
fieiem non tangat [prop. XVII], et etiam in sphaeram
ABI'solido polyedro in Z4 EZ sphaera inscripto simile so-
lidum polyedrum inseribatur. itaque polyedrum solidum
in A4BI' inscriptum ad solidum polyedrum in ZEZ
inscriptum triplicatam rationem habet quam BI': EZ
[prop. XVII coroll.]. uerum etiam 4BI': ΗΘΚ — BI?
: ΕΖ, itaque ut ABI: ΗΘΚ, ita erit solidum po-
lyedrum in 4BI' sphaera inscriptum ad solidum po-
lyedrum in Ζ ΕΖ sphaera inscriptum. permutando
[V, 16] ut sphaera 4BI' ad polyedrum in ea in-
scriptum, ita sphaera HO K ad solidum polyedrum in
4A EZ sphaera inscriptum. sed sphaera A4BI' maior
est polyedro in ea inscripto. itaque etiam sphaera
HOOK maior est polyedro in sphaera z1 EZ inscripto
[V, 14]. uerum eadem minor est; nam ab eo comprehen-
ditur. itaque sphaera 44 BI' ad minorem sphaera Z4 EZ
irplicatam rationem non habet quam BI' diametrus
ad EZ. similiter demonstrabimus, ne ZZEZ quidem

---- - ———M—Ó—MMMM———— MÀ M — — —À .. ———

supra scr. m. 1 V. 11. σφαίρᾳ] om. V. — ocvsgtov] om. V.
19. πρὸς τό — 18. πολύεδρον] Om. q. 14. ABI] AT" P.
15. λόγον] λόγον ἔχει Ῥ. 16. 4B q. 17. σφαίρᾳ] om. V.

18. πρὸς τό — 19. πολύεδρον] om. q. 18. σφαίρᾳ] om.
Vv. 19. ἄρα] om. P. 20. σφαῖρα] om. V. 22. σφαῖρα]
om. V. 26. ἐλάττονα P. 26. 42 V.

Q

10

15

20

246 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιβ΄.

οὐδὲ ἡ Z4EZ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς 4 ΒΓ σφαίρας
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν BI.

“έγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ 4ΒΓ σφαῖρα πρὺς μείζονά
τινα τῆς 4ΕΖ2 σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ
ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Ei γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μείξονα τὴν 4MN*
ἀνάπαλιν ἄρα ἢ 4MN σφαῖρα πρὸς τὴν 48ΒΓ σφαῖ-
ραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ διάμετρος
πρὸς τὴν ΒΓ διάμετρον. ὡς δὲ 9 ΑΜΝ σφαῖρα
πρὸς τὴν A4 BI' σφαῖραν, οὕτως ἢ AEZ 6gpatoc πρὸς
ἑλάσσονά τινα τῆς 4ΒΓ σφαίρας, ἐπειδήπερ μείξων
ἐστὶν y AMN τῆς 4 ΕΖ, ὡς ἔμπροσϑεν ἐδείχϑη. καὶ
ἡ 4EZ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τινα τῆς ABT
σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν
BI* ὕπερ ἀδύνατον ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα ἡ 4ΒΓ σφαῖρα
πρὸς μείζονά τινα τῆς 4 ΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ
πρὸς ἐλάσσονα. ἡ ἄρα 48ΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν 4ΕΖ
σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν

EZ: ὕπερ ἔδει δεῖξαι. '
4. ἕξει V. 11. σφαίρας, ὡς ἔμπροσϑεῦ ἐδείχϑη, his

uerbis infra lin. 19 omissis, B V. 13. ἄρα] om. BV.

τινα] om. BV. 16. τινα] om. BV. 18. ἔλασσον q.

ABI' ΒΓ Y In fine: Εὐκλείδου στοιχείων ιἰβ Pq, Εὐκλείδου
στερεῶν β, ἔστι δὲ τῶν στοιχείων τὸ LB B. In q seq. τοῦτο τὸ
ϑεώρημα τὸ ς΄ ἐστὶ τοῦ ιγ΄ βιβλίου, deinde in textu XIII, 6
(in mg. ϑεώρημά ἐστι τοῦτο ς΄ τοῦ ιγ΄ βιβλέου); u. app.

ELEMENTORUM LIBER XII. 941

sphaeram ad minorem sphaera 44 BI' triplicatam ratio-
nem habere quam EZ ad BI.

iam dico, sphaeram ΑΙ BI' ne ad maiorem quidem
sphaera 4/EZ triplicatam rationem habere quam ΒΓ
ad EZ. nam si fieri potest, habeat ad maiorem
A4MN. itaque e contrario [V, 7 coroll] sphaera
A4MN ad sphaeram ABI' triplicatam rationem habet
quam diamelirus EZ ad diametrum BI: sed ut 4MN
sphaera ad A4BI' sphaeram, ita Z/EZ sphaera ad mi-
norem sphaera A4BI' quoniam 4MN —- 4EZ, ut
antea demonstratum est [prop. II lemma]. itaque
etiam ΖΦ EZ sphaera ad minorem sphaera ABI" tri-
plieatam rationem habet quam EZ: BI quod feri
non posse demonstrauimus. itaque 4BI'sphaera ad
maiorem sphaera z1 EZ iriplicatam rationem non habet
quam BI': EZ. demonstrauimus autem, eam ne ad
minorem quidem hane rationem habere. ergo

ABD: 4 EZ — ΒΓ": EZ5

quod erat demonstrandum.

10

1ὅ

’
ιγ.
,

α΄.

Ἐὰν εὐϑεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τμηϑῆῇ, τὸ μεῖξον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμί-
δειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμιδείας τετραγώνου.

Εὐϑεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα
τὸ ALD, καὶ ἐκβεβλήσϑω im εὐθείας τῇ DA εὐθεῖα ἡ
A4, καὶ κείσϑω τῆς 4B ἡμίσεια ἡ 444 λέγω, ὅτι
πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τοῦ ἀπὸ τῆς 414.

᾿ἀναγεγράφϑωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν AB, ΖΓ τετρά-
yova τὰ AE, ZZ, καὶ καταγεγράφϑω ἐν τῷ 42 τὸ
σχῆμα, καὶ διήχϑω ἡ Ζ2Γ ἐπὶ τὸ H. καὶ ἐπεὶ ἡ AB
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα
ὑπὸ τῶν 4ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Al. καί ἐστι
τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ABI τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ
τὸ ZO: ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ZO. καὶ ἐπεὶ διπλῆ

| ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς 44, ἴση δὲ ἡ μὲν BA τῇ KA, ἡ

20

0b 44 τῇ 40, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς 40. ὡς
δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν 4Θ, οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ’

Εὐκλείδου στοιχείων vy PVb, Εὐκλείδου στερεῶν y στοι-
1£í(ov vy B, Εὐκλείδου στοιχείων vy avtQeOv γα. b. τετραγώνου]
P, comp. supra m. 2 V; τῆς ὅλης Theon (BVbq). 8. τῇ] τῆς
P et B, sed corr. εὐθεῖα) εὐθείας B, corr. m. 1. 9. καί —

π᾿ “ p—————— — — — — O£O— wp ue"ep reo a ΝΟ ΣΝ -- ---—-— 01 ΑΕ τ

XIII.
I.

Si recta linea secundum rationem extremam 80
mediam diuiditur, quadratum maioris partis adiuncta
dimidia parte totius aequale est quadrato dimidiae
quinquies sumpto.

Nam recta linea 4B secundum rationem extre-
mam ac mediam diuidatur in puncto I et pars maior
sib 4I, et I4 in directum producatur, ut fiat 421, et
ponatur 421 — 1 4 B. dico, esse I71? — ὅ 2.4.

construantur enim in 4B, Γ᾽ quadrata 4E, ZZ,

Δ Ζ et in ZZ figura describatur [I p. 137
not. 1], et ZI' ad H producatur.
et quoniam 4B in I' secundum ra-
lionem extremam ac mediam diuisa
8 est, erit 4B»« BI — AT" [VI def. 3.
VI, 17]. et 4B»« ΒΓ -- ΓῈ, AI?
— ΖΘ. ilaque ΓΕ — ΖΘ. οὐ quoniam
B4-—244, e& B4— KA, A4
K Ἢ * — 40, erit etiam K 4 — 240. ue-

rum K 4:40 —D'K:I'9 [VI, 1]. itaque ΓΚ —2T'0.

44] mg. postea add. m. 1 P. 10. 44 q et corr. ex 4A V.
11. -cov] eras. P. 4ΓῚ ἴῃ ras m. 1 Γ. τετραγώνων
γα. 12. ἐν] vo ἐν P. τό] om. P. 18. ἐπί] corr. ex
ἐπεί m. 2 P. 15. 4B, ΒΓ q et m. 2 V. ἐστιν ἴσον BV.
16. 4B, ΒΓ m. 2 V. ἀπό] ὑπόα. 230. ΓΑ] ΚΓ Ρ.

10

1ὅ

20

25

2530 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ μγ΄.

διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ 40,
ΘΙΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς 4Θ,
GI. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον" ὅλον ἄρα
τὸ AE τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ MNA γνώμονι. καὶ
ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ BA τῆς 44, τετραπλάσιόν ἐστι
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ͂ τοῦ ἀπὸ τῆς 44,, τουτέστι τὸ 4Ε
τοῦ 410. ἴσον δὲ τὸ 4E τῷ MNA γνώμονι" καὶ ὃ
ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ £O" ὅλον
ἄρα τὸ ZZ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ 40. καί ἐστι τὸ
μὲν 4Z τὸ ἀπὸ τῆς 4I, τὸ δὲ 400 τὸ ἀπὸ τῆς 44
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 214.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηϑῇ,
τὸ μεῖξον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης
πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετρα-
γώνου" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

β΄.

᾿Εὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πεν-
ταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρη-
μένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνο-
μένης τὸ μεῖξον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ
τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐϑείας.

Εὐϑεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ AB τμήματος ἑαυτῆς τοῦ
AI' πενταπλάσιον δυνάσϑω, τῆς δὲ AD διπλῆ ἔστω
ἡ L4: λέγω, ὅτι τῆς ΓΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμ-
νομένης τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.

᾿ἀναγεγράφϑω γὰρ ἀφ᾽ ἑἕκατέρας τῶν 48. ΓΖ
τετράγωνα τὰ 42, ΓΗ͂, καὶ καταγεγράφϑω ἐν τῷ

1. KT' P. Hic in P litt. K saepius in H renouatum est
mànu σπ. A0] 4 e corr. m. 1 V. 2. vov ΓΘ διπλάσια P.

-—

. ELEMENTORUM LIBER XIII. 251

uerum eliam 40 - ΘΙ ΞΕ 2ΓΘ [I, 43]. itaque Κ,Γ'
— 30 -ἰ 0I. demonstrauimus autem, esse etiam
DE-—092. itaque 4E-— MNA. et quoniam B4,
— 2.44, erit B 4? -ὸ 4441), ἢ. e. 4E — 4410. sed
AE — MNA. itaque etiam MNA —4.0. quare
22 —540. et 4Z — 4I", 40— 4.43, itaque
ΓΖ -- ὅ4 45

Ergo si recta secundum rationem extremam ac
mediam diuiditur, quadratum maioris partis adiuncta
dimidia parte totius aequale est quadrato dimidiae
quinquies sunipto; quod erat demonstrandum.

II.

Si quadratum lineae rectae quadrato partis eius
quinquies sumpto aequale est, duplo partis illius se-
eundum rationem extremam ac mediam diuiso maior
pars reliquum est rectae ab initio sumptae.

nam sit 4835 — 5 AI? et ΓΖ — 2. 4I dico, recta
I'4 secundum rationem extremam ac mediam diuisa
maiorem partem esse I'B.

eonstruantur enim in utraque 4B, I'4 quadrata
AZ, ΓΗ, et in AZ figura describatur, et producatur

ΓΚ BVq. 3. ΖΘ BV. ὅλον] om. P. 4. Post
MNA eras. τετραγώνῳ (comp. b. | 5. 4Bq. ἐέστιν P.
6. τουτέστιν B. 7. 46] e corr. V, 46 P et B sed corr.

8. ἄρα] om. P. γνώμων ἄρα b. ἐστιν Ῥ. 40] corr.
ex 40 B, 46 q et in ras, V; item lin. 9, 10. 9. ἐστι]
(alt.) ἐστιν P B. 10. l'4 B et V, sed corr. m. 9. 11. ἐστιν
P. 13. τήν] e corr. m. 1 q. 14. δυνήσεται BV bq.

93. δυνείσϑω b. 91. τὸ ἐν P.

b

10

15

20

“π΄ 25

2529 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ εγ΄.

AZ τὸ σχῆμα, καὶ διήχϑω ἡ BE. καὶ ἐπεὶ πεντα-
πλασιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς B.4 τοῦ ἀπὸ τῆς AT, πεντα-
πλάσιόν ἐστι τὸ 42 τοῦ 40. τετραπλάσιος ἄρα ὃ
MNA γνώμων τοῦ 40. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ AT
τῆς I4, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ Ζ4Γ' τοῦ ἀπὸ
ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ 40, ἐδείχϑη δὲ καὶ ὁ MNA
γνώμων τετραπλάσιος τοῦ 440" ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώ-
uov τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ 4Γ τῆς DA,
ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ 4Γ τῇ ΓΘ [διπλῆ
ἄρα καὶ ἡ ΚΓ τῆς ΓΘ]. διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ
τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ 4Θ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια"
ἴσον ἄρα τὸ KB τοῖς 40, ΘΒ. ἐδείχϑη δὲ καὶ ὅλος
ὁ MNA γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ͂ ἴσος" καὶ λοιπὸν ἄρα
τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴδον. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ͂ τὸ
ὑπὸ τῶν ΓΖΔ Β' ἴση γὰρ ἡ I'4 τῇ 4H: τὸ δὲ ΘΖ τὸ
ἀπὸ τῆς I'B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ
ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ.
οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν B4. μείξων δὲ ἡ 4Γ τῆς LB:
μείξων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς B4. τῆς D ἄρα εὐϑείας
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖξον τμῆμά
ἐστιν ἡ ΓΒ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πεντα-
πλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμή-
ματος ἄκρον καὶ μέδον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖξον
τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας"
ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

1. τό] om. Pb. ὄὅ. ἀπό] om. b, ἀπὸ τῆς BVq. ἀπό]
ἀπὸ τῆς DVq. 6. τουτέστιν P. 7. τετραπλάσιος — γνώ-
pov] supra m. 2 B. 8. I'A] corr. ex 44 m. 2 B. 9. δι-
πλῆ — 10. ΓΘ] mg. postea add. P m. 1. 10. XT] X P.

11. εἰείῖν P. εἰσί — ΘΒ (alt.)] et in textu m. 1 et mg.

ΝΟ α“πααα ππασααι πα αι αν o UM RR Um 0T. τ

ELEMENTORUM LIBER XIII. 258

BE. et quoniam B4? — 5.4Γ5, erit 4Ζ --- 540.
itaque MNA — 4.40. οὐ quoniam ZI'—2I'A4, erit
41? —A4D4?, h. e. ΓΗ͂ —440. | demonstrauimus
autem, esse eliam M ΝΞ — 440. itaque MNA -- ΓΗ.
et quoniam ZI'—2I'4, et 4I'— ΓΚ, AI'— ΓΘ, erit
etiam KB —2B0 [VI,1]. uerum
eliam 460 - ΘΒ —20B [I,
43]. itaque K B — 490 - ΘΒ.
demonstrauimus autem, esse
etiam MN τ ΓΗ. quare ΘΖ
— BH. et BH --- I4»« 4B
(nam ΓΖ — 4 H), ΘΖ - ΓΒ.
itaque erit I4 »« 4B — I'B*.
est igitur ZT': I'B—IB:B4
[VI, 17]. est autem ZI'- I'B
[u. lemma]. quare etiam I'B
» B4 [V, 14] itaque recta
ΓΖ secundum rationem extremam ac mediam diuisa
maior pars est ΓΒ.

Ergo si quadratum lineae rectae quadrato partis
eius quinquies sumpto aequale est, duplo partis illius
secundum rationem exiremam ac mediam diuiso maior
pars reliquum est rectae ab initio sumptae; quod
eral demonstrandum.

m. 2 B. διπλάσια τοῦ BO BV. ΘΒ] (alt) ΒΘ b.

διπλάσιον Q. 12. ἴσον — € B] mg. m. 2 B. τοῖς] τοῦ b.
ὅλος} corr. ex ὅλον m. 1 P. 14. ἐστιν P. 15. ΓΖ,

4Ba3. 4H] BH b. στο] (alt) mutat. in τῶ m. 1 q.

16. ἐστίν P. τῷ] corr. ex τό m. 1 P. 19. ΓΖ] ante I

del. 4 m. 1 b. 95. ἐστίν P. 26. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] 0): -

[su

10

15

20

25

204 ZTOIXEIQN y.

“ήμμα.

Ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς 4Γ μείξων ἐστὶ τῆς ΒΓ, οὕτως
δεικτέον.

Εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλὴ τῆς
ΓΑ͂. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς
ΓΑ" πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, D4 τοῦ ἀπὸ
τῆς I4. ὑπόκειται 0i καὶ τὸ ἀπὸ τῆς B4 πεντα-
πλάσιον τοῦ az τῆς ΓΔΑ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον
ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BI, I4: ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆς 4I. ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς D
πολλῷ γὰρ [μεῖξον] τὸ ἄτοπον.

Ἢ ἄρα τῆς 4Γ διπλὴ μείξων ἐστὶ τῆς ΓΒ᾽ ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

[4

γ΄.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τμηϑῆ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμί-
σειαν τοῦ μείξονος τμήματος πενταπλάσιον δύ-
ναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείξονος τμή-
ματος τετραγώνου.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα
τὸ AI, xol τετμήσϑω ἡ 4Γ δίχα κατὰ τὸ 41 λέγω,
ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ ἀπὸ τῆς AT.

᾿Αναγεγράφϑω γὰρ ἀπὸ τῆς 4B τετράγωνον τὸ
A E, καὶ καταγεγράφϑω διπλοῦν τὸ σχῆμα. ἐπεὶ διπλῆ
ἐστιν ἡ AD τῆς 4I, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς

1. λῆμμα om. codd. 2. ἐστίν P. οὕτω B. 10. BI
P. δὃδιπλασίων P. ἐστίν B. 11. ἢ] om. B, ins. m. 1 b,

ELEMENTORUM LIBER XIII. 255

--

Lemma.)

Esse autem 2.4I'— BI, sic demonstrandum.

Nam si minus, sit, si fieri potest, ΒΓ — 21'4. ergo
BI?-—4I4*. itaque ΒΓ" - D4? — ὅΓ43, uerum
supposuimus, esse etiam B4? — 5I'4?. itaque B4?
— ΒΓ" - ΓΑ“, quod fieri non potest [II, 4]. itaque
non est l'B—24I. similter demonstrabimus, ne
minorem quidem recta I'B duplo maiorem esse recta
I'4; multo enim magis absurdum est. ergo 2.4. Γ}» ΓΒ:
quod erat demonstrandum.

III.

ΟἹ linea recta secundum rationem extremam ac
mediam diuiditur, quadratum minoris partis adiuncta
dimidia maioris parte aequale est quadrato dimidiae
maioris partis quinquies: sumpto.

Nam recta 4B secundum ralionem exiremam ac
mediam diuidatur in puncto I, et maior pars sit 4I,
et 4“Γ ἴὰ 4 in duas partes aequales diuidatur. dico,
esse B4? — 5 AI".

construatur enim in 4B quadratum .4 E, et figura
duplex describatur. iam quoniam 4 - 22 Γ, erit

1) Dubito, an hoc lemma genuinum non 810. neque enim
opus est, eb dicendi genus lin. 11 paullo insolentius est.

supra m. 2 V. ΓΒῚ ΒΓ BVq. διπλασέων] in ras. V.
Dein add. ἄρα B. ἐστίν PB. 12.ueifov] om. P. 18. ἐστίν
B. 18. τμήματος] om. q. ᾿ 21. τις ἢ] corr. ex τῆς m. 2 P.
38. τό] (prius) ἡ Vq. 34. vov] roig ᾳφᾳ. 26. διπλοῦν] om. BV bq.
σχῆμα διπλοῦν bq. καὶ éme(BVb4. 4247. τετραπλάσιον —
p. 256, 1. 4T] om. b.

e

10

15

20

956 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

AT τοῦ ἀπὸ τῆς 4I, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ
ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴδον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς AT, καί
ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν 4ΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ
τῷ PX. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ͂᾽ τετραπλά-
σιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕΒ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴδη ἐστὶν
ἡ A44 τῇ AT, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ OK τῇ KZ. ὥστε καὶ
τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ 0.4 τετραγώνῳ. ἴδη
ἄρα ἡ ΗΚ τῇ KA, τουτέστιν ἣ ΜΝ τῇ NE: ὥστε καὶ
τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ
ἐστιν ἴσον" καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. κοινὸν
προσκείσϑω τὸ I.N: ὁ ἄρα ΞΟΙ͂ γνώμων ἴσος ἐστὶ
τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχϑη τοῦ HZ-
καὶ ó ΞΟΙ͂ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ZH
τετραγώνου. € ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ZH τετρά-
γῶνον πενταπλάσιός ἐστι τοῦ ZH. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ
γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΩΝ. καί
ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆς 48, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ
τῆς ZI. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς ZI" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

δ΄.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τμηϑῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμή-
ματος; τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά
ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείξονος τμήματος τετρα-

26 γώνου.

Ἔστω εὐϑεῖα ἡ 4 B, καὶ τετμήσϑω ἄκρον καὶ μέδον
λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα τὸ AI*

1. I4 V. 8. τῶν] τῷ b. — Post prius ΓΕ add. τὸ δὲ
ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ (vo V) PZ Vbq, B m. 2. τὸ ἄρα — 4. ΡΣ]

ELEMENTORUM LIBER XIII. 251

ATI? -- 4 2 Γ", h.e. ΡΣ -—— AZH. et quoniam 4 B2« ΒΓ
— AI? [VI def. 3. VI, 17] et 4B»2« ΒΓ — ΓΕ, erit
DE-PZ. sed PE—A4ZH. quare etiam ΓΕ — 4Z H.
rursus quoniam 44 — 4I erii eüam 6 K — KZ.
quare etiam HZ — ΘΛ. est
igitur HK — KA, ἢ. e. MN
- NE. quare etiam MZ —ZE.
sed MZ-—I'H. quare etiam
DH --- ΖΕ. commune adiicia-
tur ΓΝ. itaque 401I — ΓΕ.
demonstrauimus autem, esse
DE--4HZ. aque etiam
ΞΟΠ -4AZH. quare AOII
--CZH--5ZH. sed XOII-- ZH — AN. οἱ ΖΝ
— ZB, HZ — 4I. ergo 4B! 5I"; quod erat
demonstrandum.

IV.

Si recta linea secundum rationem extremam ac
mediam secatur, quadratum totius et quadratum partis
minoris coniuncta iriplo maiora sunt quadrato partis
maioris.

Sit recta 4B et secundum rationem exiremam ac

(prius) om. V. 6. ἐστίν P. 8. τῇ] (alt) τῆι, « in ras. m.

1P. 9. ἀλλα —.10. ἔσον (prius)] postea ing. m. 1 P. 11. 'N
IH? α. ἔσται b. 19. HZ] corr. ex ZH q. 18. »
om. P. ἐστιν B. HZ BV bq. 14. τετραγώνου] om.
Bbq, supra m. 1.V. ὁ — ZH] zo ἄρα 4N Theon (BVbq;
N e corr. V, 4H q). 15. “πενταπλάσιος] -& e corr. m. 1 P;
-σιον BV bq. ZH τετραγώνου BVbq. ἀλλά — 16. AN]
om. Theon ὥγυφ, 16. ἐστιν Ῥ. Et] ἐστιν B. q,
corr. m. 1. 9. l'4 P. 22. ἐλάττονος P. 26. ἔστω --- καί

(prius)] TR γὰς γραμμὴ ἡ AB V.
"Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 17

10

15

20

25

958 ZTOIXEISN ιγ΄.

λέγω, ὅτι và ἀπὸ τῶν 48, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς I4.

᾿ναγεγράφϑω γὰρ ἀπὸ τῆς 48 τετράγωνον τὸ
AAEB, καὶ καταγεγράφϑω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἡ
48 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ ID, καὶ
τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν 7) 4Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ABI
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν
ΔΒΓ τὸ AK, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς 4Γ τὸ ΘΗ᾿ ἴσον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ AZ τῷ
ΖΕ, κοινὸν προσκείσϑω τὸ I'K- ὅλον ἄρα τὸ AK
ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον τὰ ἄρα AK, ΓΕ τοῦ AK
ἐστι διπλάσια. ἀλλὰ τὰ AK, ΓΕ ὁ 4MN γνώμων
ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον' ó ἄρα AMN γνώμων
καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ 4Κ. ἀλλὰ
μὴν καὶ τὸ 4Κ τῷ ΘΗ ἐδείχϑη ἴσον. ὁ ἄδα AMN
γνώμων καὶ [τὸ I'K τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ
ΘΗ: ὥστε ὁ ΑΜΝ γνώμων καὶ) τὰ ΓΚ, ΘΗ τετρά-
yove τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου. καί ἐστιν
ὁ [μὲν] 4MN γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα
ὅλον τὸ 4Ε καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν AB,
ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς AT τετράγωνον.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν 4B, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι
τοῦ ἀπὸ τῆς 4ΓΓ τετραγώνου" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

;

ε΄.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τμηϑῇ; καὶ προστεϑῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείξονι τμή-
ματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ-

1. τριπλασίονά q. 8. Ante dvoy. del. καί m. 1 b.
5. Γ' σημεῖον V. 7. ἐστί) (prius) ἐστέν P. 8. AK] K
corr. m. 1 ex B PF. ADI') A K b. 9. ΘΗ] 9 e corr. m.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 259

mediam secetur in I et maior pars sit AI. dico,
esse 4B? -ἰ BI? «-- ὅΓ43.

construatur enim in 4B quadratum 444EB, et
describatur figura. iam quoniam 4B in Γ᾽ secundum
rationem exiremam ae mediam secta est, ei maior
pars est. 4Γ, erit 4B »« ΒΓ — AI? [VI def. 8. VI,
17]. et 4B»« BIl'— AK, AI?
— ΘΗ. itaque AK — ΘΗ. et
quoniam :4 Z — ΖΕ [I, 43], com-
y mune adiiciatur ΓΚ. itaque ΑΚ
e ΓΕ. ergo4K--DE-24AK.
sed AK -]- DE — AMN - ΓΚ.
itaque 4*'M N - ΓΚ —24K. de-
monstrauimus autem, esse etiam
A4 K 0H. itaque 4MN 4- IK
Ἔ ΘΗ 30H. uerum 4MN - ΓΚ - 69H — AE
CF DK --A4B?-- ΒΓ", οὐ HO — AI?. ergo 483
Ἢ BI? — 3.4I"*; quod erat demonstrandum.

V.

Si recta linea secundum rationem exiremam ac
mediam secatur, et ei adiicitur recta parli maiori
aequalis, tota recta secundum rationem extremam ac

1b. ἐστίν P. 10. προσκείσϑω κοινόν BV. 11. DE] D
b. ἴσον ἐστί V. 12. γνώμων -- 18. AM N] bis b.

14. ἐστιν P. 15. μὴν καί] om. 4. 16. τὸ ΓΑ — 17. xat]
om. P. 16. διπλάσιον V. 17. ΘΗ — AMN) in ras. m.
1 q. 18. διπλάσια b. τριπλάσια — 19. verooyovo] bis P,
corr. m. 1. 19. μέν] om. P (etiam in repet.). 20. ὅπερ
P. ἐστίν PB. τὰ] om. b. 22. διπλάσια b. ἐστιν
P. 26. προτεϑῇ ᾳ. τῷ — 21. εὐθεῖα) mg. m. 1 b, in textu:
τῷ ὅλῳ τμήματι ἴση εὐθεῖα ὕλη. 21. ὅλη ἡ B V.

17*

b

10

15

20

2b

2600 ZTOIXEISN iy.

τμηται, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς
εὐ d eta.

Εὐϑεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ' σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα
ἢ AT, καὶ τῇ 4Γ ἴση [κείσϑω] ἡ 44. λέγω, ὅτι
ἡ 4B εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ 4, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα
ἡ AB.

᾿Δἀναγεγράφϑω γὰρ᾽ ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον τὸ
A E, καὶ καταγεγράφϑω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ ἡ 48 ἄκρον
καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ I, τὸ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ' ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ AI. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ
ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς AT τὸ ΓΘ᾽ ἴσον ἄρα
τὸ ΓΕ τῷ OI. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ,
τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ 40" καὶ τὸ 4Θ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ
G E [κοινὸν προσκείσϑω τὸ ΘΒΊ. ὅλον ἄρα τὸ 4 Κα
ὅλῳ τῷ AE ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν A4K τὸ ὑπὸ
τῶν BA, 44: ἴση γὰρ ἡ 424 τῇ 44 τὸ δὲ AE
τὸ ἀπὸ τῆς 418’ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BA ἴσον ἐστὶ τῷ
ἀπὸ τῆς 48. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΑ,
οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν 44. μείξων δὲ ἡ AB τῆς
BA: μείξων ἄρα καὶ ἡ BA τῆς A4.

Ἡ ἄρα 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ 4, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ AB' ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.

3. ἡ] ἡ τό b. 6. κείσϑω)] om. P. 6. 4B] 44 b.
7. ἡ] om. q. 7 — εὐθεῖα] om. V. 8. AB] supra scr. 4
m. 1 b. 9. Gveysyeyo. P, corr. m. 1. — 10. ἐπεὶ yep B V.
19. τῶν ABI' V. ἀπό] corr. ex ὑπό m. 1 P. τῆς
ΑΤ' V. ἐστιν P. 13. τῶν ΑΒΓ. re] ΘΓ P.
14. GT'] corr. ex I'8 m. 2 V. 16. 6 I'] 8 e corr. V.
16. κοινόν — 6G B] postea add. m. 1 P. 0 B] Θ e corr. b.

ELEMENTORUM LIBER XIII. . 961

mediam secta est, ei maior pars est recta ab initio
sumpta.

Nam recta linea 4B secundum rationem extremam
ac mediam in puncto I' secetur, et maior pars sit AT
el 441 — AI. dico, rectam ΖΒ secundum rationem
exiremam ac mediam in 44 sectam esse, el partem
maiorem esse rectam ab initio sumptam 4B.

eonsiruatur enim in 4B quadratum AE, et de-
scribatur figura. quoniam 4B in I' secundum ratio-
nem exiremam ac mediam secta est, erit 4B »« ΒΓ
-— AI" [VI def. 8. VI, 17]. et 4B»« BI'— LE,
ἌΓ τὰ ΓΘ. itaque ΓΕ ΞΟ ΘΓ. uerum E — ΓΕ
[I, 43], 40 — 9I. quare etiam 440 — ΘΕ. itaque

4 4 Pp B
Ν

ΖΚ- AE. οἱ 4Κὶ — ΒΖ »« 4A (nam 4 2 -- 4 4),
AE — 483. erit igitur Β4 »« 44 — AB. itaque
4B:BA—B4:A44([VI,17]. sed 48)» B A. itaque
eliam B.4 7 44 [V, 14].

Ergo 4B in 44 secundum rationem extremam ac
mediam diuisa est, et maior pars est 44B; quod erat
demonstrandum.

————

Ie 4 44 M 44] corr. ex /44 m. 1 b. 19. τὸ ἄρα
Ὁ. 48] 4 corr. ex 4 m. 1 b.

22. ry Gt) 4B Y, 4B B, Bá bq. 28. Bd BV.

26. Seq. alia demonstratio et! analysis propp. I—V in bq; u. app.

10

262 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ .y'.

σ΄.

Ἐὰν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τμηϑῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν
ἡ καλουμένη ἀποτομή.

Ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ AB καὶ τετμήσϑω ἄκρον καὶ
μέσον λόγον κατὰ τὸ I, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα ἡ
AI* λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν 4Γ, ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ
καλουμένη ἀποτομή.

᾿Εκβεβλήσϑω γὰρ ἡ Β4, καὶ κείσϑω τῆς ΒΑ ἡμέ-
δεια ἡ 42d. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ AB τέτμηται ἄκρον

καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείξονι τμήματι

15

20

τῷ AT' πρόσκειται ἡ 44 ἡμίσεια οὖσα τῆς AB, τὸ
ἄρα ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ 214 πενταπλάσιόν ἐστιν. τὸ
ἄρα ἀπὸ ΓΖ προς τὸ ἀπὸ 414 λόγον ἔχει, ὃν ἀριϑμὸς
πρὸς ἀριϑμόν᾽ σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ l1 τῷ ἀπὸ
44. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ 414 ῥητὴ γάρ [ἐστιν] ἡ 44
ἡμίσεια οὖσα τῆς 4B ῥητῆς οὔσης" ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ
ἀπὸ ΓΖΩ͂' ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ c ΓΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ
ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 44 λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριϑμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριϑμόν, ἀσύμμετρος ἄρα
μήκει ἡ ΓΖΩ͂ τῇ 44: αἱ DA, 44 ἄρα ῥηταί εἰσι δυ-
νάμει μόνον σύμμετροι᾽ ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ AI.
πάλιν, ἐπεὶ ἡ AB ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται,

Hanc prop. om. bq. 8. écr.y] mg. m. 1 V. 4. ἀπο-
vou] ῥητὴ B, corr. m. 2. 7. AI] I' in ras. m. 1 P.
4B, ΒΓ B, corr. m. 2. 9. ἐκβεβλήσθω] x corr. ex μ m.
9 B. τῆς] τῇ B, corr. m. 2. 10. τέτμηται] om. V
11. λόγον τέτμηται "v. 18. τῆς I'4 V. τῆς 4A V.

ἐστι B V. 14. τῆς Id V. πρός] supra m. 1 P. T0] in
ras. plurium litt. m. 1 P. τῆς 4A V. 16. 44 bis P.
ῥητή V. δέ) in ras. V. τό — γάρ] om. V. ἔστιν] om.
P. 18. ἐστίν B. 21. εἰσιν PB.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 263

VI.!)

Gi recta rationalis secundum rationem extremam
ac mediam diuiditur, utraque pars irrationalis est apo-
lome quae uocatur.

Sit recta rationalis 4B et secundum rationem ex-
iremam ae mediam in Γ᾽ diuidatur, et maior pars sit
AI. dico, utramque 4I, ΓΒ irrationalem esse apo-
ilomen quae uocatur.

4 A I B
|

producatur enim ΒΑ, et ponatur 447 — BA.
iam quoniam recta 4B in I' secundum rationem ex-
iremam ac mediam diuisa est, et parti maiori ATI' ad-
lecta est 441 dimidia rectae 4B, erit ΓΖ) — 5 44
[prop. I]. itaque I4? ad 244? rationem habet quam
numerus ad numerum. itaque ΓΖ et 414? commen-
surabilia sunt [X, 6]. sed 21.4? rationale est; nam
44, quae dimidia est rectae rationalis 4 B, rationalis
est. itaque etiam ΓΖ" rationale est [X def. 9]. quare
ΓΖ et ipsa rationalis est. et quoniam If? ad 444?
rationem non habet quam numerus quadratus ad nu-
merum quadratum, ΓΖ et 414 longitudine incommen-
surabiles sunt [X, 9]. itaque I'Zf, 2144 rationales sunt
potentia solum eommensurabiles. itaque apotome est
AT [X, 13]. rursus quoniam 4B secundum rationem
extremam ac mediam diuisa est, et maior pars est

1) In P in mg. add. m. 1: τοῦτο τὸ θεώρημα ἐν τοῖς πλεί-
στοις τῆς νέας ἐκδόσεως οὐ φέρεται, ἐν δὲ τοῖς τῆς παλαιᾶς
εὑρίσκεται. de q u. app.

264 ZTOIXEI9N εγ΄.

καὶ τὸ usifov τμῆμά ἐστιν ἡ AI, τὸ ἄρα ὑπὸ AB,
ΒΓ τῷ ἀπὸ 4Γ ἴσον ἐστίν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ
ἀποτομῆς παρὰ τὴν AB ῥητὴν παραβληϑὲν πλάτος
ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὶ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παρα-
βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτόμὴν πρώτην" ἀποτομὴ
ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ L4 ἀποτομή.

᾿Εὰν ἄρα εὐϑεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηϑῆῇ,
ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη
ἀποτομή᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

e

10 ξ΄.

Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου aí τρεῖς γω-
νέαι ἤτοι αἴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς
ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον.

Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ 4 ΒΓΖ Ε αἱἶ τρεῖς

16 γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἷ πρὸς τοῖς 4, B,

Γ ἴσαι ἀλλήλαις ἔστωσαν" λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι
τὸ ABI Ε πεντάγωνον.

᾿Ἐπεξεύχϑωσαν γὰρ αἱ ADI, BE, Ζ4. καὶ ἐπεὶ
δύο αἱ ΓΒ, B.4 δυσὶ ταῖς BA, AE ἴσαι εἰσὶν ἕκα-

20 τέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ
BAE ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ 4Γ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν
ἴση. καὶ τὸ 48ΒΓ τρίγωνον τῷ ABE τριγώνῳ ἴσον,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔδονται,

ὑφ᾽ ἃς αἵ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ

26 ΒΓΑ͂ τῇ ὑπὸ BEA, ἡ δὲ ὑπὸ ABE τῇ ὑπὸ IAB:
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ 42 πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ AD ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση" καὶ λοιπὴ

1. Ànte καί add. noto τὸ I' V. ABT'V. 2. ἐστὶ
BV. 4. ἀποτομῆς ἄπο- supra scr. n. 2B. 6. I4] AT BV.
7. ῥητή — 9. δεῖξαι]: c— BV. 8. ἄλογον P. Seq. in

ELEMENTORUM LIBER XIII. 265

AT, erit 4B »5« ΒΓ — AI? [VI def. 8. VI, 17]. itaque
quadratum apotomes ΑΓ δὰ 4B rationalem adplica-
tum latitudinem efficit BI. quadratum autem apo-
lomes ad rationalem adplicatum latitudinem efficit
apotomen primam [X, 97] itaque I'B apotome est
prima. demonstrauimus autem, etiam I4 apotomen esse.

Ergo si recta rationalis seeundum rationem ex-
iremam 86 mediam diuiditur, utraque pars irrationalis
esti apolome quae uocatur; quod erat demonstrandum.

VII.

Si pentagoni aequilateri tres anguli, siue deinceps
positi suné siue non deinceps, inter se aequales sunt,
pentagonum aequiangulum erit.

Nam pentagoni aequilateri 4 BI'E prius, qui dein-
ceps posili sunt, tres anguli 4, B, I'inter se aequales
sini dico, pentagonum A4BI E aequiangulum esse.

ducantur enim ΑΓ, BE, Z4. οὐ quoniam duo
latera ΓΒ, B.4 duobus lateribus B4, AE singula
singulis aequalia sunt, et / ΓΒΑ — ΒΑΕ, erit. AT
— BE et ^ ABI'— ABE, et reliqui anguli reliquis
angulis aequales erunt, sub quibus aequalia latera
subtendunt [I, 4], / BI'4 — BEA, L ABE-—I'AB.
quare etiam 42 — ΒΖ [I, 6]. demonstrauimus autem,
esse eliam 4I'- BE. itaque etiam ZI'—ZE.

P altera demonstr. prop. V et analysis prop. I—V, in BV

analysis prop. I—V ; u. app. 19. £] om. b, qui "hinc nu-

meros propp. om. 19. ἤτοι! 13 ἢ αἵ — ἑξῆς] om. q.
ἢ αἱ] in ras. m. 1 B. στιν P. 18. «χϑωσαν — 19.

AE] mg. m. 2 B, sed etiam m. 1 in textu, om. BE — ΓΒ

19. δύο] af δύο P. 29. ἴσον ἐστέ q. "26. ΒΓΑ] I4 in

ras. V, BAT B.

e

10

15

20

26

266 ETOIXEION ιγ΄.

ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ
ΓΖ τῇ AE ἴση. δύο δὴ αἱ ΖΤ, I'4 δυσὶ ταῖς ΖΕ,
ΕΖ ἴσαι εἰσίν" καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ Zz' γωνέα
ἄρα ἡ ὑπὸ ZI γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ZEA ἐστιν ἴση. ἐδείχϑη
δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BIA τῇ ὑπὸ AEB ἴση" καὶ ὅλη ἄρα
ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ 4Ε24 ἴση. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ
ΒΓΖ ἴση ὑπόκειται ταῖς πρὸς τοῖς 4, B γωνίαις" καὶ
ἡ ὑπὸ 4Ε4 ἄρα ταῖς πρὸς τοῖς 4, B γωνίαις ἴση
ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ I'4E yo-
vía ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς 4, B, Γ γωνίαις" ἰσο-
γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ 48 ΓΖ Ε πεντάγωνον.

᾿Αλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἴ κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι,
ἀλλ᾽ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς 4, I, 4. σημείοις"
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ 4ΒΓΖΕ
πεντάγωνον.

᾿ἘἘπεξεύχϑω γὰρ ἡ Β4. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, AE
δυσὶ ταῖς BI, ΓΖ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περι-
ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ BE βάδει τῇ B ἴση ἐστίν, καὶ
τὸ ABE τρίγωνον τῷ ΒΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ
αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται,
vp ἃς αἵ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ AEB γωνία τῇ ὑπὸ ΓΖ ΒΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ
ὑπὸ BEA γωνία τῇ ὑπὸ Β4Ε ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ
ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ Β4 ἐστιν ἴση. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ
AEA γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ IAE ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ
ὑπὸ I'4 E ταῖς πρὸς τοῖς 4, Γ γωνίαις ὑπόκειται log:

1. ἐστιν ἴση — 8. E] bis b. 1. ἔστιν Β. 8. εἰσί

V b. 6. καί] om. BV. 6. ἐστιν ἴση ΒΥ. ἀλλά BVq.
7. BI'4] sic, sed mg. m. 1 ΓΖῈ b. γωνίαις] om.

BY b. 8. roig] τούς q. Post B add. I' q et supra m.

1 V. 10. Γ] om. B, supra m. 1 V. 11. ἐστίν B, om. V.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 261

uerum eliam ΓΖ — 4E. itaque duo latera ΖΓ, L4
duobus lateribus ΖΕ, Ez! aequalia sunt; et basis
eorum communis est ΖΖ. ilaque [ ZI -- ΖΕΖ
[I, 8]. demonstrauimus autem, esse etiam /, BI'4
— AEB. quare etiam /, BI'41 — 4. ΕΖ. supposuimus
autem, angulum BIZ angulis
ad 4, B positis aequalem
esse. itaque etiam ( AEZ
angulis ad ΑἹ, B positis
aequalis est. iam similiter
demonstrabimus, etiam angu-
lum ΓΖ E angulis ad 4, B, I
positis aequalem esse. ergo
r | pentagonum 44 BI'41 E aequi-
angulum est.
iam uero anguli deinceps positi aequales ne sint,
sed aequales sint anguli ad puncta 4, I, 4 positi.
dico, sic quoque pentagonum aequiangulum esse.
ducatur enim ΒΖ. οὖ quoniam duo latera B.4,
A4 E duobus lateribus BI, ΓΖ aequalia sunt et aequales
angulos comprehendunt, erit BE - ΒΖ et ^ ABE
— BI, et reliqui anguli reliquis angulis aequales
erunt, sub quibus aequalia latera subtendunt [I, 4].
itaque 4 4EB —I'4B. verum etiam ( Β ΕΖ — ΒΖΕ,
quoniam etiam B E — ΒΖ [1,6]. itaque ( «4 ΕΖ — I4 E.
supposuimus autem, angulum IE angulis ad 4, Γ
positis aequalem esse. ergo etiam ( 4“ E71 angulis ad

A

14. ἐστιν B, 10. ἐπεζεύχθωσαν B. ἡ] a£ B. 17. εἰσέν PB.

περιέχουσι PVbq. 18. dovz( Vq, comp. b. 19. ABE ἄρα
bq. στί PVq, comp. b. — 21. ἐστέν] om. V. 22. AEB
— [48] ABT ' P. ἔστιν B. 94. καί] om. BV.

10

15

20

2

cx

968 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

καὶ ἡ ὑπὸ 484 ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς 4, Γ ἴση
ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ABI' ἴση ἐστὶ
ταῖς πρὸς τοῖς 4, DI, 4 γωνίαις. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ
τὸ 48Β14Ὲ πεντάγωνον" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

η΄.

Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ (doyo-
νίου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν
εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλ-
λήλας. καὶ τὰ μείξονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ
τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

Πενταγώνου γὰρ ἰδοπλεύρου καὶ ἰδογωνίου τοῦ
ABDAE δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς
4, B ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, BE τέμνουσαι
ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ σημεῖον᾽ λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ O σημεῖον,
καὶ và μείξονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πεντα-
γώνου πλευρᾷ.

Περιγεγράφϑω γὰρ περὶ τὸ 4ΒΓΖΕ πεντάγωνον
κύκλος ὁ 4ΒΓΖΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ͂, 48
δυσὶ ταῖς 4B, BI' ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περι-
ἔχουσιν, βάσις ἄρα ἡ BE βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ABE τρίγωνον τῷ ABI' τριγώνῳ ἴσον ἐστέν,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς al ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Β4Γ γωνία τῇ ὑπὸ 4BE'* διπλῆ

1. γωνέα ἄρα bq. τοῖς] ταῖς b. 2. ἐστίν] ἐστί V bq.
ἐστί] ἐστίν B. 8. τοῖς] τοι P. ἐστί) om. V. — 4. ὅπερ
ἔδει δεῖξαι) om. Bbq. 7. ὑποτείνουσιν Pq. 9. ἔσται q.
16. εἰσίν B, εἰσέ V. 20. eicév PB. περιέχουρε Vbq.
21. ἐστί P Vq, comp. b. 22. ἐστέ P Vbq. 28. ἔσον-
ται) εἰσίν q. — 25. ἴση — p. 270, 1 BA07] sic b, sed mg. m. 1:

ELEMENTORUM LIBER XIII. 269 |

44, Γ᾽ positis aequalis est. eadem de causa etiam
L ΑΒΓ angulis ad 4, I, 4 positis aequalis est, ergo
pentagonum 4BI'4E aequiangulum est; quod erat
demonstrandum.

VIII.

Si in pentagono aequilatero et aequiangulo sub
duobus angulis deinceps positis rectae subtendunt,
inter se secundum rationem exiremam ac mediam se-
cant, οὖ partes earum maiores aequales sunt lateri
pentagoni.

Nam in pentagono &equilatero et aequiangulo

ABIAE sub duobus angulis
4 ad 4, B deinceps positis rectae

Z ENS AI, BE subtendant inier se
E p secantes in puncto 6. dico,

utramque secundum rationem

extremam ac mediam sectam

esse in puncto O, et partes

: earum maiores aequales esse
lateri pentagoni.

cireumscribatur enim cireum 44 B ΓΖ E pentagonum

cireulus 4BI'4E (IV, 14]. et quoniam duo latera

EA, AB duobus 48; ΒΓ aequalia sunt et aequales

angulos comprehendunt, erit BE — 4Γ, et A ABE

-- ABI, οὐ reliqui anguh reliquis aequales erunt

singuli singulis, sub quibus aequalia latera subten-

dunt [I, 4]. itaque / BAI'— ABE. quare [, 48E

yo. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒῈ xal ἡ AG E ἄρα διπλῆ ἐστι τῆς BAO
γωνίας ἐκτὸς γάρ ἐστι τοῦ ABO τριγώνου. 25. ἐστίν] om.
γα. γωνία} om. q. διπλὴ ἄρα] om. q.

10

15

20

25

910 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

ἄρα ἡ ὑπὸ 4ΘΕ τῆς ὑπὸ BAG. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ
ΕΑΓ τῆς ὑπὸ Β4Γ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια
ἡ EAT περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι διπλῆ ἴση ἄρα ἡ
ὑπὸ ΘΑ Ε γωνία τῇ ὑπὸ A0 E" ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐϑεῖα
τῇ ΕΑ͂, τουτέστι τῇ AB ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐϑεῖα τῇ AE, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ABE τῇ ὑπὸ AEB. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ABE τῇ ὑπὸ BAG
ἐδείχϑη log: καὶ ἡ ὑπὸ BEA ἄρα τῇ ὑπὸ BAG ἐστιν
ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ABE καὶ
τοῦ 48Θ ἐστιν ἡ ὑπὸ ABE: λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ BAE
γωνία λοιπῇ τῇ vxo 46 B ἐστιν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ
τὸ ABE τρίγωνον τῷ 4BO τριγώνῳ᾽ ἀνάλογον ἄρα
ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ͂, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν
ΒΘ. ἴση δὲ $ ΒΑ τῇ EG: ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν
ΕΘ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ.
τῆς EO" μείξων ἄρα καὶ y ΕΘ τῆς ΘΒ. ἡ ΒΕ ἄρα
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ
usitov τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου
πλευρᾷ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ AI' ἄκρον
καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ O, καὶ τὸ μεῖξον
αὐτῆς τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου
πλευρᾷ" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ϑ᾽
Ἐὰν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ
δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγρα-
m ) ^
φομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη εὐϑεῖα ἄκρον

1. Post 46 E add. ἄρα διπλῆ ἐστι α. Post Β4Θ add.
yovíag* ἐκτὸς γάρ ἐστι τοῦ ABO τριγώνου Vq, Β m. 2.
ἔστιν PB. 2. ἐπειδή ΒΥ͂. καί supra m. 2 ΒΑ 83. EAT]
EAT τῆς α. ἐστιν Β. 4, ΘΑ ΕΊ 4ΘΕ q, 4E" b.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 211

—2B40 [I, 32]. uerum etiam / E4I' —2B AT,
quoniam arcus ΕΖ Γ᾽ duplo maior est arcu ΓΒ [III,
28. VI, 33]. itaque [ 6 4E — A4OE. quare etiam
ΘΕ -—E4-—4B [Il, 6]. et quoniam B4 -— AE,
erit etiam ( 4BE -- 4EB [I, 5]. demonstrauimus
autem, esse ( “ΒΕ -- BAO. quare etiam ( BEA
— B.40. et duorum triangulorum 4B E, 4B com-
munis esti |. 4BE. itaque [| ΒΑΕ τὸ 468 [I, 32].
quare irianguli 4BE, 4B aequianguli sunt. erit
igitur [VI, 4] EB: B4 — AB: ΒΘ. sed ΒΑ. — ΕΘ.
ilaque BE: E — ΕΘ: ΘΒ. uerum BE ΕΘ. itaque
eliam E6 — 6B [V, 14]. ergo BE in 9 secundum
rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior
pars 6 E lateri pentagoni aequalis est. similiter de-
monsirabimus, etiam 44I'in 9 secundum rationem ex-
iremam ac mediam diuisam esse, eli maiorem eius
partem ΓΘ lateri pentagoni aequalem esse; quod erat
demonstrandum.

IX.

Lateribus hexagoni et decagoni in eundem circulum
inscriptorum coniunctis tota recta secundum rationem

IX. Theon in Ptolem. p. 181.

4
Α4ΘΕἸ EA0 q, 4ΘῈ’ b. ὅ. τουτέστιν B. 6. BA] AB baq.
στί om. q, ἐστίν B. 7. τῇ ὑπὸ AEB)] mg. m. 2 B.
dAÀ bq. | BA0] 4BO B, corr. m. 2, 8. ἄρα] om. P,
ἄρα γωνέα V. ἐστιν] om. V. 9. ἴση] in ras. m. 1 b.
10. BAE] e corr. V. 11. 4BO b. ἐστί] om. V.
12. ΑΒΘ BO in ras. V. 16. ἄρα] ἐστί comp. V. E6]
corr. in EB b et B m. 2. 18 ἐστίν PB. 19. ΓΑ q.
91. ἐστίν, B. — 92b. τῶν] corr. ex τόν m. 2P. τόν] corr. ex
τῶν m. 2 P. αὐτόν] om. b.

10

15

20

2b

212 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ιγ΄.

καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖξον αὐτῆς
τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά.

Ἔστω κύκλος ὁ 48ΒΓ, καὶ τῶν εἰς τὸν ABD κύ-
κλον ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω
πλευρὰ ἡ ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ DI, καὶ ἔστωσαν ἐπ᾽
εὐθείας᾽ λέγω, ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ Β4 ἄκρον καὶ
μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά
ἐστιν ἡ ΓΖ.

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε δημεῖον,
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EB, ΕΓ, EZ, καὶ διήχϑω ἡ
BE ἐπὶ τὸ 4. ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά
ἐστιν ἡ ΒΓ, πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια
τῆς ΒΓ περιφερείας" τετραπλασίων ἄρα ἡ 4Γ περι-
φέρεια τῆς ΓΒ. ὡς δὲ ἡ 4Γ περιφέρεια πρὸς τὴν
ΓΒ, οὕτως ἡ ὑπὸ AED γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Dl'EB:
τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ
ἐπεὶ ἴση 5$ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ ἄρα
ὑπὸ 4ΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὴν ἡ ΕΓ εὐϑεῖα τῇ Df ἑκατέρα γὰρ
αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ξξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν
ΑΒΓ κύκλον [ἐγγραφομένου)] ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ
DEA γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ" διπλασία ἄρα ἡ
ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ EAT. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ
διπλασία ἐδείχϑη ἡ ὑπὸ AEI" τετραπλασία ἄρα ἡ
ὑπὸ 4ΕΓ τῆς ὑπὸ EZ4I. ἐδείχϑη δὲ καὶ τῆς ὑπὸ

e

ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ AEI*" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ EAT

1. καί] (prius) corr. ex κατά m. rec. P. 7. Post τέτμηται
add. κατὰ τὸ I' V, Bm. 9. 11. EB Ὁ. Ante ἐπεί add. καέ
BV q, P m. 2. τοῦ δεκαγ. q. 12. AI'B] in ras. m. 3,
B &dd. m. rec. b. 183. ΒΓ — 14. τῆς] om. b. 15. AEI'
D' corr. ex B m. rec. b. 16. ἄρα ἐστέν P. 17. ἴση ἐστίν
Ρ. 18. ΜῈ ΓῚ EAT B, corr. m. 2. διπλασίων V.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 213

extremam ac mediam diuisa est, el maior eius pars
latus est hexagoni.
Sit cireulus 4BI, ei figurarum in circulo ABI
inseriptarum decagoni latus sit BI, hexagoni autem
ΓΖ, ei in eadem recta po-
sitae sint. dico, totam rec-
tam Bf secundum ratio-
) nem exiremam ac mediam
diuisam esse, ei maiorem
partem esse IZ.
sumatur enim centrum
circuli E punctum [III, 1],
et ducantur EB, EI, EA,
et BE ad 4 producatur.
quoniam BI'latus est de-
eagoni aequilateri, arcus
ΑΓΒ quintuplo maior est arcu BI: itaque arcus
AT quadruplo maior est arcu ΓΒ. sed ut arcus AT
ad arcum ΓΒ, iia angulus A4EI'ad angulum ΓΕΒ
(VI, 33]. itaque |. 4EI' — AI'EB. et quoniam /, EBI*
— ΕΓΒ I, 5], enit | AEI'— 2ETI'B |I, 32]. et
quonam ΕΓ - ΓΖΔ [IV, 15 coroll.] (nam utraque
lateri hexagoni in cireulo 4BI' inscripti aequalis est),
erit etiam [| ΓΕΖ Ξ ΓΖ Ε [1,5]. itaque | EI'B—2EAT'
[I, 32]. demonsirauimus autem, esse etiam [, Δ ΕΓ
— 2EIB. itaque ( AEI' — 4EZI. demonsirauimus

ἐστίν B. 19. ET'] corr. ex ΒΓ m. 2 B. vj] τῆς b.
20. ἐστί B. 21. ἐγγραφομένου] om. P. ἐστίν B.

ἡ γωνία ἡ V. 822. γωνίᾳ] om. V. διπλῆ b. 28. EAT

γωνίας b. EIB] B in ras. V; supra scr. ΕΖ Γ' τὰ. 2 B.

24. AEI'| A corr. ex 4 b. 25. AEI'] A corr. ex 4d m. 2 P.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 18

δι

10

1ὅ

20

to
Qt

914 ZTOIXEIQN ιγ΄.

τῇ ὑπὸ BEI. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε
ΒΕΓ καὶ τοῦ BEZ, ἡ ὑπὸ EBZ γωνέα' καὶ λοιπὴ
ὥρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση" ἰσογώνιον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒ4 τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ. ἀνά-
λογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἢ 48 πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως 1
EB πρὸς τὴν BI. ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ Γ4. ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ΒΩ πρὸς τὴν 4I, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ.
μείξων δὲ ἡ ΒΩ τῆς 41" μείξων ἄρα καὶ ἡ 4Γ τῆς
ΓΒ. ἡ B4 ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ-
τμηται [κατὰ τὸ ΓΊ, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμα αὐτῆς ἐστιν
ἡ Z4I* ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[4

L.

Ἐαν sig κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγ-
γραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν
τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ την τοῦ δεκαγώνου τῶν
εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.

Ἔστω κύκλος ὁ 4 BIA E, καὶ εἰς τὸν 4ΒΓΖ E κύ-
κλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφϑω τὸ 4BI'4 E.
λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ABI A E πενταγώνου πλευρὰ δύναται
τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευ-
ρὰν τῶν εἰς τὸν ABI'AE κύκλον ἐγγραφομένων.

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Z σημεῖον,
καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ 42 διήχϑω ἐπὶ τὸ H σημεῖον, καὶ
ἐπεζεύχϑω ἡ ZB, καὶ ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὴν 4B κά-
ϑετος ἤχϑω ἡ ZO, καὶ διήχϑω ἐπὶ τὸ Κι, καὶ ἐπε-
ξεύχϑωσαν αἱ AK, KB, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ
τὴν AK κάϑετος ἤχϑω ἡ Z4, καὶ διήχϑω ἐπὶ vo

2. BET] ΒΕΗ͂Ρ. BEZ] BEDTP. 4. ἐστί) om. V.
5. 4B] B4 B. 6. Γ4] Γ' supra ser. m. 1 V, DP. 7. τὴν
ΓΒῚ ΓΒ Βᾳ. 8.4TD](prius ΑΓ b, ΓΖ B. 9. ἄρα εὐϑεῖα]

ELEMENTORUM LIBER XIII. 215

autem, esse etiam 4 EI'— 4 BEI. ergo | ΕΖ ΓΕ ΒΕΓ.
duorum auiem triangulorum BEI'et Β ΕΖ communis
est angulus EB4f. itaque etiam |, BEZ — ΕΓΒ [I,
92] itaque trianguli EBzZ/, EBI' &equianguli sunt.
quare erit [VI, 4] 4B: BE-—— EB: ΒΓ. uerum EB
— ΓΖΔ. iique ΒΖ: 4Γ-Ὥ 2Γ: ΓΒ. uerum B4
» 4I. itaque etiam Ζ4Γ.» ΓΒ [Υ͂, 14] ergo recta
ΒΖ secundum rationem extremam ac mediam diuisa
est, et maior pars eius est 411; quod erat demon-
strandum.

X.

Siin circulum pentagonum aequilaterum inscribitur,
quadratum lateris pentagoni aequale est quadratis
laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo in-
scriptorum.

Sit cireulus 4BIE, et in cireulum ABI AE
pentagonum aequilaterum inscribatur 4 BI' E. dico,
quadratum lateris pentagoni 48 Γ4 Ε aequale esse
quadratis laterum hexagoni et decagoni in circulo
A BIA E inscriptorum.

sumatur enim centrum cireuli Z punctum [III, 1],
et ducta 4Z ad H punctum producatur, οὐ ducatur
ZB, et à Z ad AB perpendicularis ducatur Z6, et
ad K producatur, et ducantur 4K, KB, et rursus ἃ
Z ad Α K perpendicularis ducatur Z4, et ad M pro-

X. Pappus V p. 440, 18. Theon in Ptolem. p. 181.

mg. m. 1 V. 10. κατὰ τὸ ΓῚ om. P. , αὐτῆς τμῆμα
αὕτη q. 11. 4Γ]Ὶ d corr. ex I' m. 1 b. ὅπερ ἔδει deben]
n. 0)— b; ὅπερ ἔδει: c B. 15. τῶν] om. V.
εἷς — κύκλο» ὁ om. 4, εἰς αὐτόν V, κύκλον om. Bb.
Ἢ καί --- 2] bis b
18*

1

1

ex

e

σοι

216 ZTOIXEISN ιγ΄. |

M, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν y ΑΒΓΗ
περιφέρεια τῇ AEAH περιφερείᾳ, ὧν ἡ ABL τῇ
AEA ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ͂ περιφέρεια λοιπῇ
τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση. πενταγώνου δὲ ἡ I: δεκαγώνου
ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Z4 τῇ ZB, καὶ
κάϑετος ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ AZK γωνία τῇ
ὑπὸ KZB. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ 4Κ τῇ ΚΒ ἐστιν
ἴση" διπλῆ ἄρα ἡ ἡ AB περιφέρεια τῆρ ΒΚ περιφερείας"
δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ AK εὐθεῖα. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ 4K τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ
διπλῆ ἐστιν ἡ AB περιφέρεια τῆς BK περιφερείας,
ἴση δὲ ἡ I περιφέρεια τῇ 48 περιφερείᾳ, διπλῆ
ἄρα καὶ ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς BK περιφερείας. ἔστι
0$ ἡ ΓΖ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ ἴση ἄρα ἡ
ΓῊ περιφέρεια τῇ BK περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ BK τῆς
KM ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ Υ KA καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς
ΚΜ ἐστι διπλῆ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς
BK περιφερείας ἐστὶ διπλῆ" ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια
τῇ BA. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς BM ἐστι

20 διπλῆ" ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ HZB γωνίας τῆς ὑπὸ

BZM [ἐστι] διπλῆ. ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ HZB καὶ τῆς ὑπὸ
Ζ48 διπλῆ᾽ ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ZAB τῇ ὑπὸ ABZ. καὶ
ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ZAB ἐστιν ἴδη. κοινὴ δὲ

€

τῶν δύο τριγώνων, τοῦ tt ABZ καὶ τοῦ BZN, ἡ

1. καὶ ἐπεὶ ΒΥ. 4. AH V. óc-] supra m. 1 b.

5. ἄρα] ἔτι V. 6. AZK] K supra m. 1 7. KZB γωνίᾳ
q. 9. 41] A corr. ex B V, BK P. δεκαγώνου — 11. πε
φερείαρ! bis V (in rep. 41). 9. δια] τῆς ΒΚ. διάα. 11. KB

I'4| corr. ex ΓΒ m. 2B. 18. ἔστιν ΒΚ 16. ἐστιν B.
doe] om. b. 17. ἐστιν B. 18. ἐστίν B. 19. τῇ] corr.
ex τῆς BA i V. 30. HEBq. 291.B'"Z'M
b ἐστι om. ἐστιν B. ἔστιν B. 22. 4BZ]

ELEMENTORUM LIBER XIII. ] 211

ducatur, et ducatur K N. quoniam areus 4 ΒΓΗ͂ arcui
AEAH aequalis est, quorum ΑΒΓ — AEA, erit LH
— ΗΖ. ΓΖ auiem pentagoni est; itaque ΓΗ͂ est de-
cagoni. “οὖ quonfum ΖΩ͂ — ZB, et ΖΘ perpendicularis
est, eril eliam | 4ZK — KZB [I, 5. I, 26]. quare
eliam arcus 4 Καὶ areui K B aequalis est [III, 26]. itaque
areus 44 B duplo maior
est arcu BK. «quare
recia 44K latus deca-
goni est. eadem de
causa etiam 4 K duplo
maior: est arcu Καὶ M.
ei quoniam arcus 4.8
duplo maior est arcu
BK, et arcus ΓΖ arcui
AB aequalis, etiam
arcus ΓΖ arcu BK
duplo maior erit. ue-
rum arcus ΓΖ, etiam arcu I'H duplo maior est. itaque
arcus ΓΗ͂ arecui BK aequalis est. sed arcus B K arcu
KM duplo maior est, quoniam arcus K 4 eo duplo
esb maior. itaque etiam ΓΗ͂ arcu KM duplo maior
est. uerum etiam arcus ΓΒ arcu BK duplo maior
est; nam arcus ΓΒ arcui B.4 aequalis est. quare
totus arcus HB areu BM duplo maior est. itaque
etiam ( HZB —2BZM[VI,33]. uerum etiam /, HZB
— 2Z4B;nam Z4 B — ABZ. itaque BZN —ZAB.
duorum autem iriangulorum .44BZ, BZN communis

corr. ex AZ B m. rec. b. 28. BZN] N corr. ex H m.

2B;
ZBN b, corr. m. rec. 24. BZN) N corr. ex H m. 2 B.

218 ZTOIXEIQN ιγ΄.

ὑπὸ ABZ yovía: λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ 428 λοιπῇ τῇ
ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴδη" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABZ
τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς
ἢ AB εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως “ἢ ZB πρὸς τὴν
BN: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ABN ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ.
πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 44 τῇ AK, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς
ὀρϑὰς ἡ AN, βάσις ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν
ἴση" καὶ γωνία ἄρα. 9 ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΑΝ
ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ 44Ν τῇ ὑπὸ KBN ἐστιν
10 ἴση καὶ ἡ ὑπὸ AKN ἄρα τῇ ὑπὸ KBN ἐστιν ἴση.
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε 4KB καὶ τοῦ
AKN ἡ πρὸς τῷ A4. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ AKB λοιπῇ
τῇ ὑπὸ K N.4 ἐστιν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ͂
τρίγωνον τῷ KNA τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς
16 ἡ Β4 εὐϑεῖα πρὸς τὴν 4Κ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν
ΑΝ' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BAN ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
AK. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν 4ΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ
τῆς BZ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ABN μετὰ τοῦ ὑπὸ BAN,
ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ
90 μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς AK. καί ἐστιν ἡ μὲν BA πεντα-
᾿γώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ AK δεκα-
γώνου.
Ἢ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε
τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν
965 αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

σι

ια΄.
Ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμε-
τρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ

9. BZN P, et B, sed corr. m. rec. 4. ZB] BZ P.
6. AB, BN VQ, b e corr. m. rec. ἐστίν P. τῆς ΒΖ

ELEMENTORUM LIBER XIII. 2179

est [. 4BZ. itaque erit 428 — BNZ [1,32]. itaque
iranguli 4BZ, BZN aequiangul sunt. erit igitur
[VL 4] 4B: BZ-—ZB:BN. quare 4B2« BN — BZ?
[VI, 17]. rursus quoniam 44 -— A4K, et ΑΝ commu-
nis est et perpendicularis, erit ΚΝ — ΑΝ et [ AKN
— ΔΑΝ [L 4]. sed L 44N — KBN [III, 29. I, 5].
quare eliam /, 4KN — KBN. οὐ duorum triangu-
lorum 4KB, 4KN communis est angulus ad 44 po-
sibus. erit igitur [. 4KB — KNA [I, 32]. quare
irianguli KB.4, K N.4 aequianguli sunt. erit igitur
[VI, 4] B4: 4K — KA: AN. itaque ΒΑ». AN
z— 4K* [VI, 17]. demonstrauimus autem, esse etiam
AB» BN— BZ*, ergo 4B»« BN-- BAo»« AN
--- ΒΖ" -ἰ A4K?*-— BA? ΠῚ, 2]. et B4 latus est penta-
goni, ΒΖ hexagoni [IV, 15 coroll], 4K decagoni.
Ergo quadratum lateris pentagoni aequale est qua-
dratis laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo
inscriptorum; quod erat demonstrandum.

XI

S1 in circulum, cuius diametrus rationalis est, penta-
gonum aequilaterum inscribitur, latus pentagoni recta
est irrationalis minor quae uocatur.

VQ. 7. ἄφα καί P. AN] A corr. ex 4 m. 2 B.
10, καὶ ἡ — ἐστιν ἴσῃ) bis P, corr. m. 1; supr& m. 1 V.
ἐστιν ἴση] ἄρα ἴση ἐστί V. 11. ve] om. P. 41Χ8] ABK
P. 12. ἡ πρὸς τῷ ΑἹ om. V; ἡ ὑπὸ NAK Theon (Bbq).
13. ἐτί B. —. KBA" Ὁ. -14. KN A' b. 15. εὐθεῖα)
om. q. 16. B4, AN q et e corr. m. rec. b. 11. AK |
corr. ex AN K m. rec. b. AB, BN Vq et e corr. m. rec.
b; item lin. 18. 18. B4, AN Vq et corr. ex 4ΒΝ m. rec.
b. 19. ὅπερ ἐστίν P. BZ] corr. ex ZB V. 21. AK]
supra scr. 4 m. 1 b. 925. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. bq.

280 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ εγ΄.

πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη
ἐλάσσων. .

Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν
διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφϑω τὸ
ABIAE: λέγω, ὅτι ἡ τοῦ [48 {4 ΕἸ πενταγώνου
πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. :

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον,
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4Z, ZB καὶ διήχϑωσαν ἐπὶ τὰ
H, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AI, καὶ κείσϑω τῆς
10 42 τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ 4Ζ᾽ ῥητὴ ἄρα
καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή" ὕλη ἄρα ἡ BK
ῥητή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AD'H περιφέρεια
τῇ 44H περιφερείᾳ, ὧν ἡ ABI τῇ AEA ἐστιν ἴση,
λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. καὶ ἐὰν
ἐπιξεύξωμεν τὴν 44], συνάγονται ὀρϑαὶ αἱ πρὸς τῷ
A γωνέαι, καὶ διπλῆ ἡ l4 τῆς ΓΑ͂. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ M ὀρϑαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ AD
τῆς ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ AAT γωνία τῇ
ὑπὸ 4MZ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ATA
20 καὶ τοῦ 4ΜΖ ἡ ὑπὸ AAT, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ATA

λοιπῇ τῇ ὑπὸ MZA ἐστιν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ

τὸ 4Γ4 τρίγωνον τῷ 4MZ τριγώνῳ: ἀνάλογον ἄρα
ἐστὶν ὡς ἡ AD πρὸς ΓΑἅΑ͂, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς Z4
καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια" ὡς ἄρα ἡ τῆς AD
25 διπλῇ πρὸς τὴν I4, οὕτως 7) τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν

o

1

e

1. ἄλογος} corr. ex ἀνάλογον m. rec. P. 5. ABI'AE]
(alt om. P. 6. Ante &4oyog eras. dv- P. 7. v0] (alt.) corr.
ex τοῦ P. 1]. ἔστιν B. 19. ἐστε Vq, comp. b. 4ABI'H
bq. 18. 44 H] AEAH να. AEZ4| Ed in ras. m. 9 V.

log ἐστίν P. 14. ἄρα] om. q. 15. τῷ) τό bq.

16. 4I'P. 17. τῷ] τό q, τῷ supra scr. o m. 1 b. Post
M add. γωνίαι m. xec. P. εἶσι Vbq. διπλῆ ἄρα ἡ F.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 281

Nam in cireulum ABI'ZE, cuius diametrus ratio-
nalis git, pentagonum aequilaterum inscribatur 4BI'A E.
dico, latus pentagoni rectam esse irrationalem mino-
rem quae uocetur.

sumatur enim centsum eireuli Z punctum [Π|, 1],
et ducantur 42, ZB et producantur ad puncta H,
6, εὖ ducatur AT, et ponatur ΖΚ — !/,4Z. 4Z autem
rationalis es; itaque etiam Z K rationalis est. uerum
eliam ΒΖ rationalis est. itaque tota BK rationalis
esi. ei quoniam arcus AI'H arecui 44H aequalis
est, quorum ΑΒΓ s AEZ, erit ΓΗ͂ — ΗΖ. et ducta
44 concludimus, angulos ad 4 positos rectos esse,
et ΓΖ — 214 [I, 4]. eadem de causa etiam anguli

A ad M positi recti
sunt, ei

ADI'—2I'M.

iam quoniam
LAAI'— AMZ,
et duorum trian-
guorum AI'4,
4 MZ communis
est [ AAT, eri
L AI'A — MZA
[I, 32]. itaque
irnanguli 4I'4, 4MZ aequianguli sunt. erit igitur
[VI, 4|] 4Γ: 4 — ΜΖ: ΖΑ. et sumpto duplo prae-
cedentium erit 24I': ΓΑ —2MZ:Z4. sed 2MZ

AI" supra scr. zí m. 1 b. 19. τῶν] corr. ex ἡ m. 1 b.
ΑΓΑῚ AAT BV. 20. AAT] A44 e corr. Υ. ATA] corr. ex
AAI'm,. rec. B. 23. AT] ΓΑ Vq.. τὴν TA V. τὴν ZAV.

oO

e

Q

282 ZTOIXEION ιγ΄.

Z4. ὡς δὲ ἡ τῆς MZ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως
ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς Z4* καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς
ΑΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ. οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν
ἡμίσειαν τῆς ΖΑ. καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα" ὡς
ἄρα ἡἣ τῆς ΑΓ διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίδειαν τῆς ΓΑ͂,
οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ τέταρτον τῆς Z4. καί ἐστι τῆς
μὲν 4Γ διπλὴ ἡ AT, τῆς δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆς
δὲ Z4 τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ' ἔστιν ἄρα ὡς 9 4Γ
πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΚ. συν-
ϑέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΜ,
οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς KZ' καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμ-
φοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ
MK πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρας
τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσης. οἷον τῆς ΑΓ, ἄκρον
καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον
ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ 4Γ, τὸ
0à μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὕλης
πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης,
καί ἐστιν ὅλης τῆς 4Γ ἡμίσεια ἣ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ

20 τῆς ΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς

ΓΜ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς 4ΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΓΜ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς KZ: πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς MK τοῦ
ἀπὸ τῆς ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς KZ ῥητὴ γὰρ ἡ

25 διάμετρος" ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς MK: ῥητὴ ἄρα

ἐστὶν ἡ MK [δυνάμει μόνον]. καὶ ἐπεὶ τετραπλασία
ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ
τῆς KZ: εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ

1, ὡς δέ] ἀλλ᾽ ὡς BVb. 2. τῆς 4Γ] τοῦ AT" V; supra
scr. 4 m. 1b. 4. ἡμίσεια P. et b, corr. in ἡμίση τὰ. 1; ἡμίση

ELEMENTORUM LIBER XIII. 9283

:ZA4 — ΜΖ: AZA. est igitur 2 4D: ΓΑ — MZ: ZA.
et sumpto dimidio sequentium erit 2 Γ΄}: /,I'4 — MZ
:",Ζ4. et 24D — AT, I4 — DM, V,ZA — ΖΚ.
ilaque ZI': ΓΜ -— ΜΖ: ΖΚ. οὖ componendo [V, 18]
AT -d-DM:DM-MK:KZ. quare erit (4I 4- ΓΜ)".
:DM?-— ΜΚ: KZ?. οὐ quoniam recta sub duobus
lateribus pentagoni subtendenti uelut 4I' secundum
ralionem exiremam ac mediam diuisa maior pars
lateri pentagoni aequalis est [prop. VIII], h. e. ZI,
el quadratum maioris partis adiuncta dimidia parte
tolius aequale est quadrato dimidiae totius quinquies
sumpto [prop. I], e& ΓΜ — !/ AT erit (4D 4- DM)?
— 5I'M?. demonstrauimus autem, esse (Z/I' ]- I'M
:DM? — ΜΚ: ΚΖ". itaque MK? — 5KZ?, uerum
K Z? rationale esi; nam diametrus rationalis est. itaque
eliam M K? rationale est. MK igitur rationalis!) est.
et quoniam est ΒΖ — AZK, erit BK — 5 KZ. itaque
BK? -—25KZ?. uerum MK? — 5 KZ?. itaque BK?

1) Uerba δυνάμει μόνον lin. 26, quae huc nihil pertinent,
glossema sapinnt.

BV. ὅ. ϑυρτα ADl'scr. 4. 1 b. 7. ATCP. ἡἧἅμισείας
B, corr. m. 2. 10. ΓΜ] M supra scr. m. 2 B. 11. τὴν
KZ bq, ΖΚ B, τὴν ZK V. 19. 4I'M] M supra scr. m. .
2 B. τῆς I'M V. 18. τῆς KZ V. 15. τετμημένης
Theon (BVbq). ^ 16. τουτέστιν PB. 17. προσ- in ras. m.
1 b. 19. ἐστιν] ἐστι τῆς α. 20. τῆς] om. q.
A4I'supra scr. M m. 2 B; item lin. 21. ὡς ἀπό q. ἔστιν
P. 26. ἄρα ἐστι P. ῥητή — 26. μόνον] πρὸς vo ἀπὸ KZ

. , 86. ἐστίν} ἐστὶ καί V. δυνάμει μόνον] λόγον γὰρ ἔχει
ὃν ἀριϑμὸς πρὸς ἀριϑμὸν τὸ ἀπὸ τῆς MK πρὸς τὸ ἀπὸ (τῆς
add. V) KZ Theon (BVq). 27. ἐστίφ] (410.) om. V. 28. Post
KZ in P del m. 1: εἰκοσιπενταπλά (-σιον postea add.) ἄρα
ἐστὶν ἡ BK τῆς ΒΖ.

10

15

284 '" ETOIXEISN ιγ΄.

ἀπὸ τῆς KZ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς MK τοῦ
ἀπὸ τῆς KZ: πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς BK τοῦ
ἀπὸ τῆς ΚΜ' τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ
λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριϑμὸς πρὸς τετρά-
γῶνον ἀριϑμόν" ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ BK τῇ ΚΜ
μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν. αἱ ΒΚ, ΚΜ
ἄρα ῥηταί εἰδι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ ἀπὸ
ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεϑῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα
τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή᾽ ἀποτομὴ ἄρα
ἐστὶν ἢ MB, προσαρμόξουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω
δή, ὅτι xal τετάρτη. ᾧ δὴ μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς
BK τοῦ ἀπο τῆς ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς
N: ἡ ΒΚ ἄρα τῆς KM μεῖξον δύναται τῇ Ν. καὶ
ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ZB, καὶ συνϑέντι σύμ-
μετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ZB. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμ-
μετρός ἐστιν" καὶ ἡ BK ἄρα τῇ BO σύμμετρός ἐστιν.
καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς BK τοῦ ἀπο
τῆς ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ
λόγον ἔχει. ὃν 8 πρὸς ἕν. ἀναστρέψαντι ἄρα vo ἀπὸ

20 τῆς ΒΚ πρὺς τὸ ἀπὸ τῆς N λόγον ἔχει, ὃν € πρὸς

25

ὃ, οὐχ Ov τετράγωνος πρὸς τετράγωνον" ἀσύμμετρος
ἄρα ἐστὶν ἡἣ BK τῇ Ν' ἡ ΒΚ ἄρα τῆς KM μεῖξον
δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ
BK τῆς προσαρμοξούσης τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ
ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρός ἐστι
τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν
q MB. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης
περιεχόμενον ὀρϑογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυνα-

2. BK] B corr. ex Γ τ. 1 b. 8. KM] 16 MK b; τῆς
ΜΚΒαᾳ, τῆς KM V. ὅ. ἐστίν] om. V. KB 6. ἐστιν PB.

. ELEMENTORUM LIBER XIII. . 285

— DK M*. itaque BK? ad K M? rationem non habet,
quam numerus quadratus ad numerum quadratum.
itaque BK, KM longitudine incommensurabiles sunt.
eti utraque earum rationalis est. itaque BK, KM
rationales sunt potentia solum commensurabiles. sin
a recta rationali rationalis aufertur toti potentia solum
commensurabilis, quae relinquitur, irrationalis est, sci-
lice& apotome. itaque MB apotome est et ei con-
gruens MK [X, 73]. iam dico, eandem quartam esse.
sit enim N?* — BK? —— KM?, ilaque BK* — KM*
ἜΝ" et quoniam KZ, ZB commensurabiles sunt,
etiam componendo KB, ZB commensurabiles sunt.
uerum ΒΖ, BO commensurabiles sunt. itaque etiam
BK, BO commensurabiles. οὗ quoniam B K? — 5 K M?,
erit BK?: KM? —D:1. conuertendo igitur [V, 19
coroll] ΒΚ: N?* — 5:4, quae non est ratio quadrati
ad quadratum. itaque BK, NN incommensurabiles
sunt [X, 9]. quadratum igitur rectae B.K quadratum
rectae KM excedit quadrato rectae ei incommen-
surabiliss iam quoniam quadratum totius BK qua-
dratum rectae congruentis K M excedit quadrato rectae
ei incommensurabilis, et tola BK et ΒΘ commen-
surabiles sunt, M B quarta apotome erit [X deff. tert. 4].

KM] EK corr. ex M m. 10. 7. εἰσιν B. 9. ἐστι κα-
λεῖται δὲ bq. ἌὨλἀποτομή] om. BV. 10. écvís] om. V.
11. δή] δέ B. δὴ] γάρ BV. ἐστιν. τῆς] om. q.
14. ZB] Z in ras. m. 1 P. 16. ZB] ΒΖ Βα et supra scr. 4
b. 16. ἐστι PBVq, comp. b. — Dein add. μήκει BV
καί — ἐστιν} mg. m. 2 ins. ante μήκει B. ἐστι Vq, comp.
Bb. 18. τό] (alt) τόν V. 19. 5] πέντε ᾳ(. ἔν) ἃ BV,
τὸν ἃ Ὁ. 20. τό] τόν V. 21. 0v] ὁ b. 28. συμμέτρου
q et P, sed corr. m. rec. 3925. Ante BK eras. K P. ἀσύμ-
pstoog B. | 291. BM P. 88. ἐστι Vq, comp. b.

286 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄. .

μένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων. δύ-
ναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ 48 διὰ τὸ ἐπιξευγνυ-
μένης τῆς 4Θ ἰσογώνιον γίνεσϑαι τὸ 4BO τρίγωνον
τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν
5 B4, οὕτως τὴν 48 πρὸς τὴν BM.
Ἢ ἄρα 48 τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν
ἡ καλουμένη ἐλάττων" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ιβ.

Ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγ-
10 γραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τρι-
πλασίέων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
Ἔστω κύκλος ὁ ABI, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον
ἰσόπλευρον ἐγγεγράφϑω τὸ ABI" λέγω, ὅτι τοῦ 4ΒΓ
τριγώνου μέα πλευρὰ δυνάμει τριπλασέων ἐστὶ τῆς ἐκ

15 τοῦ κέντρου τοῦ 4ΒΓ' κύκλου.
Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ABI' κύχλου τὸ
2, καὶ ἐπιξευχϑεῖσδα ἡ 44] διήχϑω ἐπὶ τὸ E, καὶ
ἐπεξεύχϑω ἡ BE. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ABI'
τρίγωνον, ἡ BEI' ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ
20 τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας. ἡ ἄρα BE περι-
φέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας"
ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ BE εὐϑεῖα' ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ
ἐκ τοῦ κέντρου τῇ 4E. καὶ ἐπεὶ διπλὴ ἐστιν ἡ AE
τῆς 4 E, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 4Ε τοῦ ἀπὸ

—

1. ἐστι BV q, comp. b. 2. τό] om. B, add. mg. m. 2.
ΘΒ, BM γα. 8. γίγνεσθαι V. A0B α. 4. τρι-
γώνῳ] om. b. ΒΘ q. 5. τήν] (prius) corr. ex ἡ m. 1 P.
6. ἐστιν] om. P. 7. πλευρὰ ἐλάττων b. 11. ἐστίν P.
18. ἐγεγράφϑω (sic) ἰσόπλευρον b, supra scr. B —«. ἡ τοῦ BV.
15. 4Β ΓῚ om. V. 16. 4BI'| om. BV. 20. κύκλου] om. q.
22. ἑἐξάγωῶνος B. — Post prius ἄρα add. πλευρά. ἐστίν P B.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 981

rectangulum autem rationali οὖ quarta apotome com-
prehensum irrationale est, et recta, cuius quadratum
ei aequale est, irrationalis est uocaturque minór [X,
94]. uerum 4B? — ΘΒ »« B M, quia ducta 46 trian-
gui 4B, 4ΒΜ aequianguli fiunt [VI, 8], et est
ΘΒ: ΒΑ -- AB:BM [VI, 4].

Ergo 4B latus pentagoni irrationalis est minor
quae uocatur; quod erat demonstrandum.

XII.
Si in cireulum iriangulus aequiangulus inscribitur,
latus trianguli potentia triplo maius est radio circuli.
Sib circulus 4BI, et in eum iriangulus aequi-

A angulus 4BI' inscribatur [IV,
LH, à 2]. dico, latus quoduis trian-
guli 4BI'potentia triplo maius
esse radio circuli 4 BI.
4 sumatur enim 47 cenirum

eireuli 4BI' [IITI, 1], et ducta

T ΑΖ ad E producatur, et du-

catur BE. οὐ quoniam irian-

E gulus A4BI'aequiangulus est,

arcus ΒΕΓ tertia pars est ambitus circuli 4 BI: itaque
arcus B E sexta pars est ambitus circuli.) itaque hexa-
goni est recta B E. quare BE — 2 E [IV, 15 coroll]. et
quonian 4E-—24E, οὐ A4E?-—44E? -ABE?*.

XII. Theon. in Ptolem. p. 183.

. 1) Nam AT'E — ABE et arc. ΑΓ — AB.

σι

10

15

20

26

288 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

τῆς EZ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς BE. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ
τῆς 4Ε τοῖς ἀπὸ τῶν 48, BE' τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν
AB,*BE τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. διελόντι
ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 48 τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ BE.
ἴση δὲ $ ΒΕ τῇ 4E: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 4B τριπλά-
δσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 4E.

'H ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ. δυνάμει τριπλασία
ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου [τοῦ κύκλου] ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

’

ιγ΄.

Πυραμέδα συστήσασϑαι καὶ σφαίρᾳ περι-
λαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαέ-
ρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευ-
ρᾶς τῆς πυραμίδος.

᾿Εχκείσϑω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ
AB, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλα-
σίαν εἷναι τὴν AD τῆς DB: καὶ γεγράφϑω ἐπὶ τῆς
AB ἡμικύκλιον τὸ 441, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Γ ση-
μείου τῇ 48 πρὸς ὀρϑὰς ἡ I, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ
44’ καὶ ἐκκείσϑω κύκλος ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν
ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΖΓ, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν ΕΖΗ
κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖ Η͂' καὶ εἰλήφϑω
τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ O σημεῖον, καὶ ἐπεξεύχϑω-
σαν αἱ EG, ΘΖ, ΘΗ͂' καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ ση-
μείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλον ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἡ
ΘΚ, καὶ ἀφῃφήσϑω ἀπὸ τῆς ΘΚ τῇ ΑΓ εὐϑείᾳ ἴση
ἡ OK, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ KE, KZ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ

4. διπλάσιόν b. ἐστιν P. ἀπὸ τῆς V. ὅ. διπλά-
σιόν b. 7. διπλασία b, τριπλασίων V. 8. éorv(y P
τοῦ κύκλου] om. P. 10. Ante καί ins. ἐκ τεσσάρων τριγώνων

ἰσοπλεύρων mg. m. 1 pro scholio P. σφαῖραν b. 12. ἐστίν
P. 14. ἐκκείσθω) prius « supra sor. m. rec. P. 16, Ante

σ᾿

ELEMENTORUM LIBER XIII. 289

uerum 4E? — 4B? -- BE? [IIT, 31. I, 47]. itaque
AB? -I- B E - AB ΕΞ. subtrahendo igitur 4 B? —3 B E?.
sed BE — 4E. itaque 48 —3 4 E*.

Ergo latus trianguli potentia triplo maius est radio;
quod erat demonstrandum.

XIII.

Pyramidem construere et data sphaera comprehen-
dere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia
sesquialieram esse lateris pyramidis.

Ponatur 4B diametrus datae sphaerae et in I'
puncto ita secetur, ut sib 4I'— 2ΓΒ [V1, 10]. et in

4 44 B semicirculus describatur

4248, et ἃ I' puncto per-

pendiecularis ducatur I4,

et ducatur 214. et ponatur

r circulus EZ H radium aequa-

lem habens rectae ΖΓ, et
in cireulum EZ H triangulus
aequilaterus inscribatur EZH
[IV, 2]. et sumatur centrum
cireuli punctum 6 [III, 1],
et ducantur EO, ΘΖ, ΘΗ.
el in € puncto ad planum
"^ eireuli EZ H perpendicularis

erigatur 9 K, οὐ à ΘΚ rectae A4I' aequalis abscindatur
G K et ducantur KE, KZ, KH. et quoniam ΚΘ ad

XIII—XVII. Hero def. 101, 2.
κατά del. δίχα m. i i m. rec.) P. 16. τῆς ΓΒ] mg. postea

&dd. m. 1 P, τῆς ΒΓ V. καταγεγράφϑω P. 1. ση-}
supra m. 1 b. 19. EHZ V. ἔχον q. 20. ἐκ] supra Τα.
1 P. 292. κέντρον b. 9. ἀφαιρήσϑοω P.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 19

et

10

15

20

25

290 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

ἡ ΚΘ ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗ͂ κύκλου ἐπίπεδον,
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐϑείας
καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρϑὰς
ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκάστη τῶν ΘΕ,
OZ, OH: ἡ ΘΚ ἄρα πρὸς ἑκάστην τῶν OE, ΘΖ,
ΘΗ ὀρϑή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν AT τῇ
GK, ἡ δὲ ΓΖ τῇ OE, καὶ ὀρϑὰς γωνίας περιέχουσιν,
βάσις ἄρα ἡ 4.4 βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν KZ, KH τῇ 44A ἐστιν ἴση"
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΚΕ, KZ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ 4Γ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ
AB τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ
ἀπὸ τῆς 44 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ, ὡς ἑξῆς δειχϑή-
όεται. τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 44 τοῦ ἀπὸ τῆς
ΖΓ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ
τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ 4Γ τῇ ΕΘ' ἴση ἄρα καὶ
ἣ 44 τῇ ΕΖ. ἀλλὰ ἢ 44 ἑκάστῃ τῶν KE, KZ,
KH ἐδείχϑη loq καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν EZ, ZH, HE
ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση" ἰσόπλευρα ἄρα
ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, KEZ, KZH,
KEH. πυραμὶς ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τρι-
γώνων ἰσοπλεύρων, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ EZH τρί-
yovov, κορυφὴ δὲ τὸ K σημεῖον.

Δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοϑείσῃ
καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ
δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

1. ἐστιν P. ἃ. ἄρα] ἔτι V. αὐτῆς corr. ex αὐτῆι m.
2 B. 8. ΕΖΗΘ Bb. . 5 ΘΑ͂ — 6. 9H] mg. m. 2 B.

5. OK] Θ e corr. m. 1 b. 6. ἐστι Vq, comp. b.

7. περιέχουσι V bq. 8. 44] 4ecorr. m. 2P. 9. ἴση᾽ καὶ αἴ

q. 10. ἀλλήλοις V. εἰσί q, comp. b. 1]. τριπλῆ] διπλῆ
b. 13. Post 4Τ' add. P: ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ AB πρὸς AT"

ELEMENTORUM LIBER XIII. 291

planum cireuli EZH perpendicularis est, etiam ad
omnes rectas eam tangentes et in plano circuli EZH
positas rectos angulos efficiet [XI def. 3]. tangunt
autem 6 E, ΘΖ, ΘΗ. OK igilur ad singulas OE,
ΘΖ, 6H perpendicularis est. et quoniam AI'-— ΘΚ,
ΓΖ — ΘΕ, ei rectos angulos comprehendunt, erit 714
— KE (I, 4]. eadem de causa eliam KZ — 24 et
KH — 44. iaque KE-— KZ — KH. οὐ quoniam
AI'—2LDB, erit 4B —3BI. sed 4B: ΒΓ — A4?
: ΖΓ", αὖ postea demonstrabitur [u. lemma]. itaque
44? — 94I1?. uerum etiam Z E? — 3 EO? [prop. XII].
el ΖΓ -- ΕΘ. itaque eliam 2/14 — EZ. demonsira-
uimus aulem, esse 7/14 — ΚΕ --ἰ KZ- KH. itaque
singulae EZ, ZH, HE singulis K E, K Z, K H aequales
sunt. quare quattuor iranguh EZH, KEZ, KZH,
KEH aequilateri sunt. ergo ex quattuor iriangulis
aequilateris pyramis constructa est, cuius basis est
irnangulus EZH, uerlex autem K punctum.

oporlet igitur eam etiam data sphaera compre-
hendere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia
sesquialteram esse lateris pyramidis.

οὕτως (corr. ex οὗτος m. 2) τὸ ἀπὸ 44 “πρὸς τὸ ἀπὸ AT,
ἀναστρέψαντι ὡς 7 AB πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὸ
ἀπὸ AI idem mg. m. 2 B (BA pro priore 4B, AI' pro 4T",
add. in fine ὡς ἑξῆς δειχϑήσεται, sed ins. post δειχϑήσεται
lin. 18; eodem loco haec uerba πεὶ γάρ — δειχϑήσεται in
iextu hab. V (84, τὴν AD, τῆς dA, τῆς AT), sed περιττόν
add. m. 2. . ἔστιν PB. 11. ΔΑ) Ad P. τῇ] τῆς
P. 18. H E] corr. ex ΗΘ m. 2 V, H6 q. 19. ΚΕ] EK
q. ἴση ἴσα καί q. 40. ἐστίν B. στέσσερα B. ΚΖΗῚ
KEH q et V (E e corr). 21. KEH] KZH q et (ΖΗ
e corr), ΚΗΘ B. συνίσταται ΒΥ. Post τριγώνων add.
ἴσων καί Vq, m. rec. B. 22. ἦ α. 25. δυνάμει ἡμιολία
ἐστί V. ἐστίν Ῥ.
105

999 ZTOIXEIOSN ιγ΄.

Ἐχβεβλήσϑω γὰρ im εὐθείας τῇ ΚΘ εὐϑεῖα ἡ
6.4, καὶ κείσϑω τῇ ΓΒ ἴση ἡ 04. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ.
ἴση δὲ ἡ μὲν AD τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΖ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ
ὅ ΓΒ τῇ 694, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ,
οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΙ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν KO,
Θ. ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς EO. καί ἐστιν ὀρϑὴ ἕκχα-
τέρα τῶν ὑπὸ KOE, EO γωνιῶν" τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς
KA γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ E [ἐπει-
10 δήπερ ἐὰν ἐπιξεύξωμεν τὴν EA, ὀρϑὴ γένεται ἡ ὑπὸ
AEK γωνία διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσϑαι τὸ EAK
τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν E40, ΕΘΚ τριγώνων]. ἐὰν
δὴ μενούσης τῆς ΚΑ περιενεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς
τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι,
15 ἥξει καὶ διὰ τῶν Z, Η σημείων ἐπιξζευγνυμένων τῶν
ZA, AH καὶ ὀρϑῶν ὁμοίως γινομένων τῶν πρὸς τοῖς
Z, H γωνιῶν" καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ περιει-
λημμένη τῇ δοθείσῃ. ἣ γὰρ Κὶ 4 τῆς σφαίρας διά-
μετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ
20 τῇ 4B, ἐπειδήπερ τῇ μὲν 4Γ ἴση κεῖται ἡ KO, τῇ
δὲ ΓΒ ἡ ΘΑ.
“Μέγω δή, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία
ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ 4Γ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα
25 ἐστὶν ἡ 48 τῆς BI" ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν
ἡ B4 τῆς AI. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν AD, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 44 [ἐπειδήπερ ἐπι-
ξευγνυμένης τῆς 48 ἐστιν ὡς ἡ BA πρὸς τὴν 44,
οὕτως ἡ Z4 πρὸς τὴν 4Γ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν

1. τῇ] scripsi; τῆς ΡΒΥ͂Ρα. 2. ΘΛ] supra scr. 4 m.
1 b. ἐκκείσθω q. 5. ἄρα] e corr. V. 6. Ante ΕΘ del.

————— αὐ π παι αν

ELEMENTORUM LIBER XIII. 203

producatur enim recta K 9 in directum et fiat 6 4,
ei ponatur 8.4 — ΓΒ. et quoniam est 4Γ: I4 — I4
:I'B [VI, 8 coroll.], et 4Γ -- K0, I4 — 9E, ΓΒ
em 691, erit K0: 9 E — ΕΘ: ΘΑ. ilaque KO »5« 64
- EG? [VI, 17]. et uterque angulus KO E, E64
rectus est. itaque semicirculus in K.4 descriptus etiam
per E ueniet! itaque si manente recta K.4 semi-
circulus cireumuolutus rursus ad idem punctum refertur,
unde cireumuolui coeptus est, eliam per puncta Z, H
ueniet ductis rectis Z4, AH, quo facto anguli ad
Z, H positi et ipsi recti fiunt. οὖ pyramis data
sphaera erii comprehensa; nam Κὶ Δ diametro sphaerae
AB aequalis est, quoniam posuimus

| K6 — AI, ΘΑ -- ΓΒ.

iam dico, diametrum sphaerae potentia sesquialte-
ram esse laleris pyramidis.

nam quoniam 4I'—2I'B, erit 4B —3BI. itaque
conuertendo B4 — 9, 4I. uerum B4: 4D'— BA?

1) Hoc ex VI, 8 concluserat Euclides; nam quae sequuntur
lin; 9—129 male cohaerent et subditiua uidentur, sicut etiam
lin. 27 — pag. 294, 8. ibi Euclides tacite usus erat VI, 4 et
V def. 9. qu&e leguntur, et re (cfr. lemma) et uerbis (εἶναι
pag. 294 lin. 1) offendunt.

0 m. 1 P. 7. ἐστί] ἐστίν P. 8. KO E) KO B; corr. ex
ΚΘ, OE m. 1 P. E04] corr. ex ΕΘ, 64 m. 1 P.

10. γέγνεται P. 11. 4EKX]| EAKX B, corr. m. 2. γίγνε-
σθαι V b. 12. EK 60 P. 16. Z4] Z corr. ex 4 m. 1 V.
γιγνομένων Pb. 17. ἐστιν P. 19. ἐστίν P.

28. ἐστίν PB. 24. τῆς] τῇ b. διπλῆ b. ἄρα ἐστίν
ἄρα V, ἐστιν ἄρα B. 26. BA] (prius) 48 V. πρὸς τήν
bis P. 28. 4B] in ras. V, 4B b et B, sed corr. BA]

corr. in B4 Bb.

294 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ w'.

2448, 44Γ τριγώνων, καὶ εἶναι ὡς τὴν πρώτην
πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς δευτέρας]. ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ
τοῦ ἀπὸ τῆς 44. καί ἐστιν ἡ μὲν B.A ἡ τῆς δοϑείσης
δ σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ 4141] ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυ-
ραμέδος.
Ἢ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς
πλευρᾶς τῆς πυραμίδος" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Adsiuu o.
10 — Zzfaxvéov, ὅτι ἐστὶν ὡς ἢ 4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς 44 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4I.

Ἐκκείσϑω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ
ἐπεξεύχϑω ἡ 4886, καὶ ἀναγεγράφϑω ἀπὸ τῆς 4Γ
τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ZB παρ-

15 αλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ
2448 τρίγωνον τῷ 44 τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ BA
πρὸς τὴν dz, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν ALD, τὸ ἄρα
ὑπὸ τῶν BA, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς 44. καὶ
ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ EB

20 πρὸς τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν BA,
AI* ἴση γὰρ ἡ Ε4 τῇ AI" τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν
AD, ΓΒ, ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ
τῶν ΒΑ, 4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AI, ΓΒ. καί ἐστι
τὸ μὲν ὑπὸ τῶν BA, 4Γ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς 44, τὸ

25 δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ' ἡ γὰρ 4Γ
κάϑετος τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν 4Γ, ΓΒ μέδη
ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρϑὴν εἶναι τὴν ὑπὸ 4418. ὡς

4. ἡ] (alt) om. ᾳ. ὅ. 44] om. b. 7. δυνάμει ἡμιολέα
Gregorius. 9. λῆμμα] om. codd. 18. 4B] supra scr. 4

ELEMENTORUM LIBER XIII. 295

: 44?*. ilaque B4? — 5". 4.413, et ΒΑ datae sphaerae
diametrus est, 4241 autem lateri pyramidis aequalis.

Ergo diametrus sphaerae potentia!) sesquialtera est
lateris pyramidis; quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Demonstrandum, esse 4B: ΒΓ — 42? : AI".
exponatur enim figura semicirculi, οὗ ducatur ΖΒ,
οὐ in A4I' quadratum EI' describatur, et expleatur
parallelogrammum — ZB.
4 iam quoniam est B4 : 44
— 4:41, qua 448
c» ZA4TD'[VI,8. VI,4], erit
BA» AI—A4? [VI,11].
4 B et quoniam est 4B:BD
— EB: BZ VI, 1], et EB
— BA» 4I (nam E4
— AI), ΒΖ — AT'»« IB,
erit 4B: BI'— BA»« AT
E Z : AI'2« ΓΒ. et BA »« ADT
z 443, AUI B — AI*.
nam perpendicularis ΖΓ media est proportionalis par-
lium basis Α4Γ, ΓΒ [VI, 8 coroll], quia rectus est

1) Uocabulo δυνάμει aegre quidem caremus, sed fortasse
iamen audiri potest.

m.1b. 14 ELI'corr. ex BI' m. 1 B. 20. ἐστιν B.
21. γάρ ἐστιν V. 23. ἐστιν B. 24. τό] vo V. τῷ] τό
V. A4] sic, sed mg. m. 1 4B b. 285. AI, ΓΒ BV.

296 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

ἄρα ἡ 48 πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 424] προς
τὸ ἀπὸ τῆς 4I" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ιδ΄.

Ὀκτάεδρον συστήσασϑαι καὶ σφαίρᾳ περι-
5 λαβεῖν, qj καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ
τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶ

τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου.
᾿Εχκείσϑω ἡ τῆς δοϑείσης σφαίρας διάμετρος 7
AB, xol τετμήσϑω δίχα κατὰ τὸ I, xol γεγράφϑω
10 ἐπὶ τῆς 48 ἡμικύκλιον τὸ 4418, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ
D τῇ AB πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ 48.
καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον éx&-
στην τῶν πλευρῶν τῇ 48, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν al OZ,
EH, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ K σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ
16 τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς εὐθεῖα ἡ ΚΑ καὶ
διήχϑω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ KM,
καὶ ἀφῃρήσθω ἀφ᾽ ἑκατέρας τῶν ΚΑ, KM μιᾷ τῶν
ΕΚ, ΖΚ, HK, OK ἴση ἑκατέρα τῶν KA, KM, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AE, 4Z, 4H, 40, ME, ΜΖ, MH,
20 MO. καὶ ἐπεὶ ἴδη ἐστὶν ἡ KE τῇ KO, καί ἐστιν
ὀρθὴ 9 ὑπὸ EKO γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς OE δι-
πλαάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ AK τῇ KE, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ AKE γωνία,
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς EA διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ EK.
25 ἐδείχθῳ δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ

2. ὅπες ἔδει δεῖξαι) om. V. Figura lemmatis fuit in
L. 8. ιδ΄ (9 .L 4. συνστήσασϑαι P, corr. m. 2.
5. τὰ πρότερα] τὴν ᾿πυραμέδα Tbeon (LBV bq), yo. ἧι xal τὴν
πυραμίδα mg. m. 1 pro schol. P. 6. τῆς] om. b. ἐστίν
PLB 8. δοθείσης] om. q. σφαίρας) σφαίρας ἡ 4B L.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 297

LA44B [III,31]. ergo 4B: ΒΓ — 445": 41*?; quod
erat demonstrandum.

XIV.

Octaedrum construere et sphaera comprehendere
sicui priora et demonstrare, diametrum sphaerae po-
tentia duplo maiorem esse latere octaedri.

ponatur datae sphaerae diameirus 4B, et in Γ
in duas partes aequales diuidatur, et in 4B semi-

4 eireulus describatur 421 B, et ἃ Γ ad

AB perpendicularis dueatur ΓΖ, et

AMENS ducatur 4B, et exponatur quadratum
A I ἢ EZHO singula latera rectae 4B
4 aequalia habens, et ducantur ΘΖ,

EH, et in K puncto ad planum qua-

drati ΕΖΗΘ perpendicularis ducatur

recta K 4, et ad alteram partem plani

M producatur ut K M, et ab utraque K 4,

KM uni rectarum EK, ZK, HK,

6 K aequales abscindantur KA, KM, et ducantur AE,
42, AH, 40, ME, MZ, MH, MO. et quoniam
KE — ΚΘ, et [| EKO rectus est, erit [I, 47] ΘΕ"
— 2EK?. rursus quoniam ΜΚ — KE, et | A4KE
rectus est, erii Ε 45 — 2E ΚΞ [id.]. demonsirauimus

XIV. Pappus V p. 414, 7.

11. ΓΔ] 4 e corr. V. insfev q. 19. ἐκείσθω supra

Scr. x m. 1 13. 4B] in ras. V, B4 B. ΘΖ] Ze LBb.

16. uon] om. V. 17. καί] om. L?— μιᾷ — 18. K M]
om. L. 18. EK) KE supra m. 2 B, KE V. ZK] KZ
BV q. KH, ΚΘ BV. 99. ἐστιν L. 28. KAE b.

24. Tot EA ras.1 lit. P. ἐστιν L. τῆς EK LBV.

10

1

Q

20

25

298 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ «γ΄.

τῆς EK^ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς AE ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
ΕΘ' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ AE τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ἡ 4Θ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση" ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ
AEO τρίγωνον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον
τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ
ἘΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ 4, M
σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν᾽ ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται
ὑπὸ ὀχτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοϑείσῃ
καὶ δεῖξαι, ὅτε ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει δι-
πλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.

Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ 4K, ΚΜ, KE ἴσαι ἀλλή-
λαις εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς 4M γραφόμενον ἡμικύ-
κλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ E. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν
μενούσης τῆς ΔΜ περιδνεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ
αὐτὸ ἀποχκατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι, ἥξει καὶ
διὰ τῶν Z, H, O σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιει-
λημμένον τὸ ὀκτάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοϑείσῃ.
ἐπεὶ γὰρ iom ἐστὶν ἡ 4K τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ KE,
καὶ γωνίας ὀρϑὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ AE βάδει
τῇ ἘΜ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ AEM
γωνία" ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ᾽ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 4M διπλά-
σιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς AE. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν q
ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ 48 τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ
AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὲ ἀπὸ τῆς 48 πρὺς τὸ
ἀπὸ τῆς ΒΩ διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4 τοῦ
ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4M διπλά-
δσιον τοῦ ἀπὸ τῆς AE. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς

1. ἐστίν L. 2. ἐστίν} om. V. 8. ἐστίν L. 5. Post
ὧν add. xi b. βάσις L et B, sed corr. m. 2. ἔστιν L.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 299

aulem, esse etiam 6 E? — 2EK?. itaqne 4 Εἶ — EO".
quare 4 τὸὰ EO. eadem de causa igitur etiam 46
— 6 E. quare triangulus 4 EO aequilaterus est. simi-
liter demonstrabimus, etiam reliquos triangulos, quo-
rum bases sint latera-quadrati EZ HO, uertices autem
puncta 4, M, singulos aequilateros esse. ergo octa-
edrum constructum est octo triangulis aequilateris com-
prehensum.

Oportet igitur data sphaera idem comprehendere
et demonstrare, diametrum sphaerae potentia duplo
maiorem esse latere octaedri.

nam quoniam tres rectae 44K, ΚΜ, KE inter se
aequales sunt, semicirculus in 44M descriptus etiam
per E ueniet. et eadem de causa si manente 4M
semicirculus cireumuolutus ad idem punctum refertur,
unde circumuolui coeptus est, etiam per puncta Z, H,
6 ueniet, οὐ octaedrum sphaera comprehensum erit.
iam dico, eiiam data id sphaera comprehensum esse.
nam quoniam ΜΚ — KM, ei KE communis est, et
rectos angulos comprehendunt, erit 4E — EM [I, 4].
el quoniam ( Δ ΕΜ rectus est (nam in semicirculo est)
[Π|, 31], erit 4M? — 24 E? [I, 47]. rursus quo-
niam 4I'—I'B, ent 4B —2BI. uerum 48: ΒΓ
— 485": BA? [VI,8. V def. 9]. itaque 4B* — 284.
demonstrauimus autem, esse eliam 4M? — 2 4E*. et

6. κορυφή Pq. 3. ἰσόπλευρά bq. 8. περιεχομένων P,

corr. m. 1. 11. ἐστέν L. 12. Post γάρ del. ἐστιν m. 1 P.

αἴ] (alt) « (3?) L. 441] KA b. 18. εἰσί Vq, comp.

. 17. 2] E, Z P. 90. περιέχουσι V bq. 21. ἡ] om.

q. 38. ἐστι] om. V, ἐστιν 1. 24. τῆς] ς in ras. 2 lilt. m.

1P,cvjq. 86. Bd] 4 inras. V. δδιπλάσιον — 21. B4]
om. L, mg. m. 2 B.

o

10

15

20

300 ETOIXEISN ιγ΄.

4B τῷ ἀπὸ τῆς AE ἴση γὰρ κεῖται ἡ EO τῇ 418.
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4B τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ' ἴση
ἄρα ἡ 48 τῇ 4Μ. καί ἐστιν ἡ 48 ἡ τῆς δοϑείσης
σφαίρας διάμετρος᾽ ἡ 4M ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δο-
ϑείσης σφαέρας διαμέτρῳ.

Περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος Óv-
νάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς" ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

ιδ΄.

Κύβον συστήσδασϑαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν,
7 καὶ τὴν πυραμέδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαί-
ρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς
τοῦ κύβου πλευρᾶς.

᾿Εκκείσϑω ἡ τῆς δοϑείσης σφαίρας διάμετρος ἡ
AB καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν
ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφϑω ἐπὶ τῆς 48 ἡμικύχλιον
τὸ 448, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ 48 πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω
ἡ ΓΖ. καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ 4B, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον
τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ 48, καὶ ἀπὸ
τῶν E, Z, H, 0 τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑωσαν αἱ EK, Z4, HM, ΘΝ, καὶ

1. AE] supra scr. 4 m. 1 b. 4B| supra scr. A4 m.
1b. 2. ἐστιν ἄρα P, 8. ἡ] (tert.) om. b. 4. ἐστίν P.
,T. ὅτε ἡ} corr. ex ὅτε Ὁ m; 1. 8. ὅπερ ἔδει δεῖξαι! om.
V, ὅπερ idy B. 11. κύκλον q. συνστήσασθαι P. 12. ἢ]
om. b. τὴν πυραμέδα] τὰ πρότερον Theon (BVbgq).
18. τριπλῆ Bqb, comp. V. ἐστέ PB. 15. ἡ] (prius) postea
add. m. 1 P. 19. 4B] AB b. 20. ἔχων P, corr. m. 3.
τήν] ᾿πβιάστην γα. 21. τῷ τοῦ EZH6] supra m. 2 P.
ἐπιπέδων B, corr. m. 3. 22. καί] seq. ras. 8 litt. V.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 801

4B? -—— AE; supposuimus enim esse EO -- 4B.
itaque etiam 4B* -— 4M*. quare 4B — 4M. οἱ
AB diamelrus est datae sphaerae. ergo 4M diametro
datae sphaerae aequalis est.

Ergo octaedrum data sphaera comprehensum est;
et simul demonsirauimus, diametrum sphaerae potentia
duplo maiorem esse latere octaedri; quod erat de-
monsitrandum.

XV.)

Cubum construere et sphaera comprehendere, sicut
. pyramidem, et demonstrare, diametrum sphaerae po-
tentia triplo maiorem esse
latere cubi.

Exponatur diametrus
datae sphaerae 4B et in
I'ita diuidatur, ut sit AT
— 2I'B [VI, 10], et in.4B
semicireulus describatur
A44B, et ἃ I' ad 4B per-
pendicularis ducatur ΓΖ, et
ducatur 48, et exponatur
quadratum EZHO latus rectae ΖΒ aequale habens,
οὗ in E, Z, H, 90 ad planum qu&àdrati EZ HO per-
pendiculares erigantur E K, Z4, H M, O N, et a singulis

1) In B figura textus eadem est
&c nostra, sed in mg. m. 1 haec
figura descripta est additis uerbis: αν

ἐν ἄλλῳ ὃ κύβος οὕτως.

. 902 ͵ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ εγ΄.

οι

1

Q

20

25

ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν EK, Z4, HM, ΘΝ μιᾷ
τῶν EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν EK, ZA,
HM, ΘΝ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ K 4, 4M, MN, NK:
κύβος ἄρα συνέσταται ὃ ΖΝ ὑπὸ ἕξ τετραγώνων ἴσων
περιεχόμενος. δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν
τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτε ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος
δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
᾿Ἐπεξεύχϑωσαν γὰρ αἴ KH, EH. καὶ ἐπεὶ ὀρϑή
ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ͂ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρϑὴν
εἶναι πρὸς τὸ EH ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν EH
εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον
ἥξει καὶ διὰ τοῦ E σημείου. πάλιν, ἐπεὶ ἣ ΗΖ ὀρϑή
ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ZA, ΖΕ, καὶ πρὸς τὸ ΖΚ
ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ HZ ὥστε καὶ ἐὰν ἐπι:
ξεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ HZ ὀρϑὴ ἔσται καὶ πρὸς
τὴν ΖΚ' καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς ΗΚ γρα-
φόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Z. ὁμοίως καὶ
διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει. ἐὰν δὴ
μενούσης τῆς KH περιενεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ
αὐτὸ ἀποκατασταϑῇ, ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι., ἔσται
σφαίρᾳ περιειλημμένος ὃ κύβος. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ
δοϑείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν y ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν
ὀρϑὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ δι-
πλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς EZ. ἴση δὲ ἡ EZ τῇ EK:
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς EK:
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν H E, E K, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ,
τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλα-
σίων ἐστὶν ἡ 48 τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν

—

1. ἀφῃρήσϑωσαν B Vbq. 4. συνίσταται V? ZN]) N
in ras. m. 1 P. 7. τριπλασίων P. 8. KH] corr. ex ΑΝ
τα. 1Β, ΚΝ ᾳ. 98. τήν] ὁοΥγζ. ex τό m. 1 q. 12. HZ] in

ELEMENTORUM LIBER XIII. 303

EK, Z4, HM, ΘΝ uni rectarum EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ
aequales abscindantur singulae EK, ΖΑ, HM, ΘΝ,
el ducantur K4, 4M, MN, NK. itaque cubus con-
siructus est sex quadratis aequalibus comprehensus.
oportet igitur eundem data sphaera comprehendere et
demonstrare, diametrum sphaerae potentia triplo ma-
lorem esse latere cubi.

ducantur enim KH, EH. et quoniam [ KEH
rectus est, quia KE ad planum EH perpendicularis
esi eb manifesto eliam ad recíam EH [XI def. 3],
semieireulus in KH descriptus etiam per E punctum
ueniet. rursus quoniam ΗΖ ad utramque Z4, ΖΕ
perpendicularis est, HZ etiam ad planum Z K perpen-
dicularis est [XT, 4]. quare ducta Z K recta HZ etiam
ad Z K perpendicularis erit. qua de causa rursus semi-
eireulus in HK descriptus etiam per Z ueniet. simi-
liter etiam per reliqua puncta cubi ueniet. iam si
manente KH semicirculus circumuolutus ad idem
punctum refertur, unde circumuolui coeptus est, cubus
sphaera comprehensus erit. iam dico, etiam data sphaera
eum comprehensum esse. nam quoniam HZ — ΖΕ,
et angulus ad Z positus rectus est, erit EH? — 2EZ?
[L 47]. uerum EZ — EK. erit igitur EH* — 2EK?*.
quare HE? --EK? —B83EK*? — HK*. et quoniam
AB —3BIj,et 4B: ΒΓ πε AB?*: B4? (VES. V def. 9],

ras. V. 18. dou» P. ZA",ZE' b, ZE,ZA q et V (E et
A in ra8.) καί) supra m. 1 b. KZ q et in ras. V.
14. HZ]inras. V. καὶ ἄν ᾳ, κἄν BVb. 16. HZ] in ras. V.
. 16. καῖ om. q. 17. ὁμοίως δὲ καί V. 20. ἔσται ἄρα
bq. 238. τῷ] τόνγα. 26. τά] καὶ τά V, τά postea add. P.
ΗΕ] EH α. EK] supra scr. Ν᾿ m. 1 Ὁ. τῆς] τοῦ α.
HK]H corr. ex E m. rec. B. 28, ΒΓ corr. ex BK m. 18.

304. ZTOIXEIQN ιγ΄.

ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 4B πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BA,
τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς B.
ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τρι-
πλάσιον. καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ 48᾿ ἴση ἄρα καὶ
ὅ ἡ ΚΗ τῇ AB. καί ἐστιν ἡ AB τῆς δοϑείσης σφαίρας
διάμετρος" καὶ ἡ KH ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης
σφαίρας διαμέτρῳ.
Τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβος" καὶ
συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει
10 τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

,

t6.

Εἰκοδάεδρον συστήσασϑαι xal σφαίρᾳ περι-
λαβεῖν, ἧ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖ-
ξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν

15 ἡ καλουμένη ἐλάττων.

"Exxsío9c ἡ τῆς δοϑείδης σφαίρας διάμετρος ἢ
AB καὶ τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλὴν εἶναι
τὴν AI τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφϑω ἐπὶ τῆς 48 ἡμι-
κύκλιον τὸ A44 B, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ AB πρὸς

20 ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ
4B, καὶ ἐκκείσϑω κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ
κέντρου ἴση ἔστω τῇ 4B, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν
ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τὸ καὶ (Go-
γώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσϑωσαν αἱ EZ, ZH,

?20 HO, OK, KE περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ 4, M, Ν,
A, Ὁ σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AM, MN, NA,
AO, OA, ΕΟ. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΜΜΝΞΟ

1. BI'] corr. ex BK m. 1 B. 2. τριπλασίων P, corr.
m. 1. 4. 4B] 48 corr. in B4 B, AB supra scr. 4 m. 1b,

ELEMENTORUM LIBER XIII. 305

erit 4 B? — 3 B4?. demonstrauimus autem, esse eliam
HK? -—3KE?. et posuimus K E — 218. itaque etiam
KH -—.4B. ei AB diametrus est datae sphaerae.
ilaque etiam K H diametro datae sphaerae aequalis est.

Ergo cubus data sphaera comprehensus est; et
simul demonstrauimus, diametrum sphaerae potentia
iriplo maiorem esse latere cubi; quod erat demon-
strandum.

XVI.

leosaedrum construere et sphaera comprehendere,
sicut figuras supra nominatas, et demonstrare, latus
icosaedri irrationglem esse minorem quae uocatur.

Exponatur diametrus datae sphaerae 4B et in I' ita
secetur, ut sit 4I'—4 IB (VI, 10], et in.4B semicirculus
describatur 4421 B, et ἃ Γ ad 4B perpendicularis du-
eatur recta I'7/, et ducatur 41 B, et exponatur circulus
ΕΖΗΘΚ, cuius radius aequalis sit rectae 418, et in
circulum EZ HO K pentagonum aequilaterum et aequi-
angulum inscribatur EZ HO K ΠΥ, 11], et arcus ΕΖ;
ZH, HO, OK, KE in punctis 4, M, N, Κα, 0 in
binas partes aequales diuidantur, et ducantur 4M,
MN, ΝΑΗ͂, 40,04, EO, itaque pentagonum 4M N XO

XVI. Pappus V p. 440, 19.

B4 VQ. 6. τῆς] ἡ τῆς 4 6. καί] om. q. ἐστίν B.
vj] supra scr. m. 1 P 8. δοθείσῃ] om. P. 10. ἐστίν P.
12. συνστήσασθαι P, corr. m. rec. 16. cgoígac] bis P,
corr. m. 1. 17. ὥστε) ὡς b. 19. 4B4À b. τῇ 4B] om.
b. 21. Bd e corr. b. ἐκκείσϑω] alt. x postea add. m. 1P.
ἡ ἐκ vov] bis P, corr. m. 1. 26. KE «i q. 36. ΟἹ postea
ins. B. 21. EO] om. 4, supra scr. B uel Θ b.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 20

5

10

15

20

2b

306 ZTOIXEISN ιγ΄.

πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ EO εὐϑεῖα. καὶ dv-
εστάτωσαν ἀπὸ τῶν E, Ζ, H, O, K σημείων τῷ τοῦ
κύχλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ,
ZP, HZ, OT, KT ἴσαι οὖσαι τῇ. ἐκ τοῦ κέντρου
τοῦ ΕΖΗΘΚ xvxAov, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ,
ΣΤ, TT, TII, HA, AP, PM, MZ, ΣΝ, NT, TX,
AT, TO, OIL καὶ ἐπεὶ ἑἕχατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν
ἡ ΕΠ τῇ KT. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση" αἵ δὲ τὰς ἴσας
τε καὶ παραλλήλους ἐπιξευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
εὐθεῖαι ἴσαι ve καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἢ IIT ἄρα τῇ
EK ἴση vs καὶ παράλληλός ἐστιν. πενταγώνου δὲ
ἰσοπλεύρου ἡ EK- πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ
ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ
πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ
κύκλον ἐγγραφομένου᾽ ἰσόπλευρον ἄρα τὸ IIPXTT
πεντάγωνον. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ,
δεκαγώνου δὲ ἡ EO, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὲ IIEO,
πενταγώνου ἄρα ἐστὶν y IIO" ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου
πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ. ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ
δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ OT πενταγώνου ἐστὶ πλευρά.
ἔστι δὲ καὶ ἡ IIT πενταγώνου ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΠΟΥ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν
Π4Ρ, ΡΜΣ, ENT, TAT ἰσόπλευρόν ἐστιν. καὶ
ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχϑη ἑκατέρα τῶν Π4ἅ, ΠΟ, ἔστι

1. δεκαγώνον, mut. in δεκάγωνον q. OE P. ἂν-
ἐστάτω q. ^ 4. οὖσαι] om. b. 7. EII] OG II? B, sed corr.
8. ἐστι BVq, comp. b. 9. ἔστιν ΡΒ. 10. ἐπὶ τὰ αὐτὰ
μέρη ἐπιξευγνύουσαι V. 11. re] om. q. 12. τέ ἐστι V.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 301

aequilaterum est, el decagoni latus est recta EO. et
in punclis E, Z, H, Θ, K ad planum circuli perpen-
dieulares erigantur rectae ἘΠ, ΖΡ, HZ, OT, Kv
radio circuli ΕΖΗΘΚ aequales, et ducantur ΠΡ,
ΡΣ, ΣΤ, TT, TII, I14, AP, PM, MZ, ΣΝ, NT
T5, AT, TO, OIL οὐ quoniam utraque ΕΠ, Καὶ T
ad idem planum perpendicularis est, ΕΠ rectae KT
parallela erit [XI, 6]. uerum etiam ΕΠ τὸ KT. quae
autem rectas aequales ei parallelas ad easdem partes
coniunguni rectae, inter se aequales et parallelae sunt
[[, 33]. itaque IIT rectae EK aequalis et parallela
est. uerum EK latus pentagoni aequilateri est. quare
eliam ΠῚ latus est pentagoni aequilateri in ΕΖΗΘΚ
eirculo inscripti. eadem de causa etiam singulae ΠΡ,
ΡΣ, ΣΤ, TT latera sunt pentagoni aequilateri in
EZHO K circulo inscripti. itaque pentagonum JIPZTT
aequilaterum est. et quoniam hexagoni latus est ΠΕ,
decagoni autem EO, et | I1 EO rectus est, IIO latus
est pentagoni; nam quadratum lateris pentagoni qua-
dratis laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo
inseripborum aequale est [prop. X]. eadem de causa
eliam OT latus est pentagoni.' uerum etiam IIT
pentagoni est. triangulus igitur ΠΟΥ͂ aequilaterus
est. .eadem de causa etiam singuli trianguli Π4Ρ,
PMZ, ZNT, TA&AT aequilateri sunt. et quoniam de-
monstrauimus, utramque 714, IIO latus pentagoni

ἐστι»} om. V, ἐστι q, comp. b. 13. -πλεύρου — ἰσο-}
mg. m. 2 B. 15. δή] om. q. 16. ἐστί, supra add. πλευρα,
V. BZHe SV. 17. ἄρα ἐστίν P. 19. EO] E9 b, OE
q. 21. τε] om. q. 22. τῶν] om. q. 28. TO q.
24. ἔστιν B. 26. PME b. TET. τριγώνων V. ἐστι
PVq, comp. b. — 27. ὄστιν B.
20*

10

“δ

20

2b

308 ZTOIXEISN ιγ΄.

δὲ xal ἡ AO πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ
IIAO τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν
APM, MEN, ΝΤΗ͂, ATO τριγώνων ἰσόπλευρόν
ἐστιν. εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου τὸ
ὦ σημεῖον" καὶ ἀπὸ τοῦ (D τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ OO, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὰ
ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν
ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΠΩ, IIX, TO, EO, AO, ATUY,
J* M. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ
ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι" καὶ α EO, ΠΧ ἄρα
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἑξαγώνου δὲ ἡ Edx
ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν
ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρϑή ἐστιν 1
ὑπὸ ΠΧἕ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ T9 πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ,
ἐὰν ἐπιξεύξωμεν τὰς D K, XT, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον
ἔσονται, καί ἐστιν ἡ DK ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ξξα-
γώνου" ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ XT. δεκαγώνου δὲ ἡ
ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ TX πενταγώνου ἄρα ἡ T9.
ἔστι δὲ καὶ ἢ I1T? πενταγώνου" ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΠΥ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν
λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ,
ZT, ΤΥ εὐϑεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ € σημεῖον, ἰσόπλευρόν
ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ ξξαγώνου μὲν ἡ 4, δεκαγώνου

---- -

2. I1A0 α. 8. τρέγωνον comp. b. 4. τοῦ κύκλου τοῦ
ἘΖΗΘΑ. 6. ἐκβεβλη α. 1. τῷ b. 8. 5] T in
ras. m. 1 P. 9. 40| 47 P, 54A q. AU] A0 P.

10. 4/M] in ras, dein add. M V; MT, del. m. 1 et m. rec.
P. 11. ἐστιν} comp. b, ἐστε PBVq. 12. Ante X del.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 309

esse, et 40 et ipsa pentagoni est, triangulus 7140
aequilaterus est. eadem de causa etiam singuli trian-
gui 4PM, MZN,NTZAÀ, ATO aequilateri sunt. iam
sumatur centrum circu EZHOK [Il], 1] et sit
punetum €. et in puncto ad planum circuli per-
pendieularis erigatur £, et ad alteram partem pro-
ducatur ut ^, et abscindatur latus hexagoni ΦΧ,
decagoni autem utraque T, X$2, et ducantur 11$,
IIX, T£, EO, “ὦ, AT, 3 M. ei quoniam utraque
OX, ΠΕ ad planum circuli perpendicularis est, DX
rectae 77 E parallela est [XI, 6]. uerum etiàm aequales
sunt. quare etiam Εἰ ὦ, IIX aequales et parallelae
sunt [I, 33]. sed E latus est hexagoni. quare etiam
IIX hexagoni est. et quoniam ΠΧ latus est .hexa-
goni, X£, autem decagoni, οὐ /. ΠΧ rectus est [XI
def. 3. I, 29], ΠΩ latus est pentagoni [prop. X].
eadem de causa eiiam T'f) pentagoni est, quoniam, si
duxerimus DK, XT, aequales erunt et inter se oppo-
sitae, οὐ ὦ Καὶ radius aequalis est lateri hexagoni; quare
eliam XT hexagoni est. decagoni autem X$, et
L T X9 rectus est; quare T£) pentagoni est. uerum
eliam IIT pentagoni est. itaque iriangulus IIT'5)
aequilaterus est. eadem de causa igitur etiam reliqui
irianguli, quorum bases sunt rectae ΠΡ, PZ, ZT,
TT, uertex autem punctum (ὁ, singuli aequilateri
sunt. rursus quoniam hexagoni est 0, decagoni

1 litt, P. εἰσίν PB. XII P. 15. ἐστιν} (prius) ἐστι P,
εἶσιν q. 19. OX B. 21. T9] GT P. 4282. ἔστιν B.
ἐστί} om. V, ἐστίν P. 28. καί] om. bq, supra m. ῶ Β.
24. ὧν] supra m. 2 B. — 26. ἐστὶ Pq, comp. b. — uév] ἐστίν
q, μέν ἐστιν b. Ab q. -

810 EZTOIXEISN w'.

δὲ ἡ DIU, xol ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 40 7 γωνία, πεντα-
γώνου ἄρα ἐστὶν ἡ AU. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπι-
ξεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ
ΜΨ πενταγώνου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΜ πενταγώνου"
ὅ ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ 4M P τρίγωνον. ὁμοίως δὴ
δειχϑήσεται. ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων,
ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ MN, NAE, XO, OA, κορυφὴ
δὲ τὸ *"P σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. συνέσταται ἄρα
εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περι-
10 ἐχόμενον.
Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοϑείσῃ
καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν
ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
Ἐπεὶ γὰρ ξξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ
15 XQ, ἡ O2 ἄρα ἄκρον xal μέδον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ X, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν 9 DX:
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν OX, οὕτως ἡ ΦΧ
προς τὴν X9. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ DE, ἡ δὲ ΧΩ
τῇ ΦΨ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Φ πρὸς τὴν OE, οὕτως
20 ἡ EO πρὸς τὴν OW. καί εἰσιν ὀρϑαὶ αἱ ὑπὸ (0 E,
ΕΦΨ γωνίαι" ἐὰν ἄρα ἐπιξεύξωμεν τὴν E, εὐθεῖαν,
ὀρϑὴ ἔσται ἡ ὑπὸ U ES, γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα
vOv "EQ, QE, τριγώνων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί
ἐστιν ὡς ἡ $$ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς
25 τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν $0 τῇ TX, ἡ δὲ ΦΧ τῇ
XII, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΙ, οὕτως ἡ
ΠΧ πρὸς τὴν XQ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπι-
ξεύξωμεν τὴν II'U, ὀρϑὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία"

3. ΦΜῬΡ. 4 VMP. ἔστιν ΡΒ. 7]supra scr. m.
1 b. 5. ἐστί] om. V, ἐστίν P. VAM P. δή] om. V.

ELEMENTORUM LIBER XIIL - 311

autem ὦ "P, et | 44D: rectus est, 4 Τ᾿ pentagoni
est [prop. X]. eadem de causa ducta M , quae latus
est hexagoni, concludimus, etiam M I? pentagoni esse.
uerum eliam 4M peniagoni est. itaque triangulus
4M" aequilaterus est. similiter demonstrabimus,
eliam reliquos iriangulos, quorum bases sint MN,
ΝΞ, HO, OA, uerlex autem punctum P, singulos
aequilateros esse. ergo icosaedrum constructum est
uiginti triangulis aequilateris comprehensum.

oportet igitur eiiam data id sphaera comprehen-
dere et demonsirare, latus icosaedri irrationalem esse
minorem quae uocatur.

nam quoniam hexagoni est X, decagoni autem
ΧΙ, recta. f) in X secundum rationem extremam
ac mediam diuisa est, et maior pars eius est DX
[prop. IX]. itaque $90:49X-— DX:X9. uerum
OX — DE, X9, — OT. quare 90:0E— EGO:O0Y.
et anguli (2E, EG I recti sunt, ergo ducta E
L VT'EQ rectus erii, quia A WES, -- DES, [VI, 8].
eadem de causa quoniam est $$: DX — DX: ΧΩ,
et $0 — TX, DX— XII, ent 7X: XII —IIX:XQ.
quare rursus ducta ΠΡ angulus ad II positus rectus

6. λοιπῶ»] L ni ra scr. m 1P. 7. ὧν] mg. m. 2 B.
μέν] om. B. 8. ἐστι Pq, comp. b. 14. ἐστιν] μέν V.
18. $E] DA Theon (BVbq), item lin. 19. 20. EO] 4o

BVbq (A e corr. m. 2 B). QdA4 Vbq, 4 e corr. m. 2 B.
91. 40:7 BVbq. A9, BVbq. 22. 49, BVbq.

28. $49, BVbq. $A9 B V q. Post τριγώνων add. τὸ

ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Δ

Vbq, mg. m. 2 B (καί om. α. 834. ἡ] (prius) in ras. m. 1 P.
26. ΨΧ) X Y! q. 27. τοῦτο] τὰ αὐτά q; γ0. διὰ τὰ

αὐτά mg. m. 1 b. εἰ ἐπιξεύξομεν q. 28. τῷ] τό α.

312 ZTOIXEIQN εγ΄.

τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ
διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχϑὲν
τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταϑῇ, ὅϑεν
ἤρξατο φέρεσϑαι, nés, καὶ διὰ τοῦ II καὶ τῶν λοιπῶν
σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημ-
μένον τὸ εἰκοσάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοϑείσῃ.
τετμήσϑω γὰρ ἡ OX δίχα κατὰ τὸ 4΄. καὶ ἐπεὶ
εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ὦ 2, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ X, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ 9X,

10 ἡ ἄρα ὩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείξονος

15

20

25

τμήματος τὴν X 4' πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς
ἡμισείας τοῦ usífovog τμήματος" πενταπλάσιον ἄρα
ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 2. 4' τοῦ ἀπὸ τῆς 4΄ X. καί ἐστι τῆς
μὲν $4' διπλῆ ἡ QU, τῆς δὲ ΑΓ Χ διπλῆ ἡ OX:
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4) Ψ τοῦ ἀπὸ τῆς
ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλὴ ἐστιν ἡ 4Γ τῆς IB, πενταπλῆ
ἄρα ἐστὶν ἡ 48 τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ 48 πρὸς τὴν
BI, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 48 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Bf:
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς
BA. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 2 Ψ πενταπλάσιον
τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ. καί ἐστιν loq ἡ 48Β τῇ OX ἕκα-
τέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ “κέντρου τοῦ
ΕΖΗΘΚ κύκλου" ἴση ἄρα καὶ ἡ 4B τῇ ΨΩ. καί
ἐστιν ἡ AB ἡ τῆς δοϑείσης σφαίρας διάμετρος" καὶ
ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοϑείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαέρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον.

Aéyo δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός
ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ

2. II] supra ser. Ψ' b. 8. ὅϑεν καί q. 7. 4'] τα P,

ἂχ q, « mut. in α V, « Bb (in fig. (ας B). 9. ἔλαττον V.
αὐτῆς] ἐστι b, αὐτῆς ἐστι Βα. ἐστιν} om. Bbq.

—co0o—— M —Ó———MÁUÓHHEEEREEEEEEEEgpmmERtRt—— ——————MMM—r rp ————L———Á—BM ——— ÁN ΠΟ ΣΟ ΡΝ ΝΜΝ ΡΟ ΎΟΝὸπΠ πο πο δ ΠΤ i
JU

Ld

ELEMENTORUM LIBER XIII. . 818

erii [VI, 8]. itaque semicireulus in Δ... descriptus
eliam per Π ueniet [I, 31]. et si manente 9/2 semi-
circulus eireumuolutus rursus ad idem punctum refertur,
unde circumuolui coeptus est, eb per 17 et per reliqua
puncta icosaedri ueniet, οὐ icosaedrum sphaera com-
prehensum erit. iam dico, data id sphaera compre-
hensum esse. nam ΦΧ in Α΄ in duas partes aequales
diuidatur. et quoniam recta f£) secundum rationem
exiremam ac mediam in X diuisa est, οὖ minor eius
pars est £X, erit 4' 23 — 5A4' X? [prop. IIIJ. est
aulem $97 — 20 4' DX--24'X. iaque Q7?
— ΧΦ", et quoniam AI'— 4ΓΒ, erit 4B τα ΒΓ.
uerum 4B: BI'— 4 Β5: BA? (VI, 8. V def.9]. itaque
4 B? — 5 BA41?. demonstrauimus autem, esse etiam
ΩΨ — 50 X?, οἱ 4B — DX; nam utraque earum
radio cireuli ΕΖΗΘΚ aequalis est. itaque etiam 4B
e UJ. ei 4B diametrus est datae sphaerae. quare
eliam 9^9) diametro datae sphaerae aequalis est. ergo
icosaedrum data sphaera comprehensum est.

iam dico, latus icosaedri irrationalem esse mino-
rem quae uocatur. nam quoniam diameirus sphaerae

ἡ] tó bq. — 10.7 ἄρα $X] om. V, ἡ 9X ἄρα q. ,, 4Ἅ΄ et
A non discernunt Bbq, in V a in « corr. 18. au b, eos
(g eras.) B. A' X] coz (s eras.) B, Li ". χα ᾳ, ἄζ b.

καί — 14. Ω.4΄] om.q. 18. ἐστιν ΡΒ. 4. 94 in ras. V,
acc (g eras.) B. διπλὴ δὲ τῆς ΨΩ ἡ QU q et b mg.
m. 1 (ye). Xd Y. 16. ΧΦ] e corr. Y. τετραπλασέων
BY bq. ἐστι» om. 4. πενταπλασίων V et, supra scr. ἢ

m. 1, b. 17. ἐστίν] om. V. BI]in ras, dein add. ἐστιν

V, ΓΒ B. AB — 18. τῆς (prius)] bis P, Sor. m. 1.

19. ἐστίν B. 20. δέ] om. b. 21. ἴση] om. V. — 4B ἴση

V. 99. ἐστιν PB. τοῦ κύκλον τοῦ EZHOK V.

23. ΕΖΗΘ q. καί) om.q. τῆς $U b. 25. ἐστίν PB.
28. ἐλάσσων BV q.

814 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

τῆς σφαίρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων
τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα
ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου" ὥστε
καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν. ἐὰν δὲ εἰς κύκλον
5 ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον

ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἢ
καλουμένη ἐλάττων. ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου
πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν. ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου

e

πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.

1. ἐστιν B. τετραπλασίων b. 9. ΕΖΗΘ q. 8. ἐστέν PB.
7. ἐλάσσων V. ἡ óbygb. 8. ἡ ἄρα ἡ Ὁ. 9. ἐλάσσων P.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 915

ralionalis est et potentia quintuplo maior est radio
circuli ΕΖΗΘΚ, etiam radius circuli EZ HO Καὶ ratio-
nalis est. quare eliam diametrus eius rationalis est.
sin in cirenlum rationalem diametrum habentem penta-
gonum aequilaterum inscribitur, latus pentagoni irra-

B

lionalis es& minor quae uocatur [prop. XI] uerum
latus pentagoni EZHOK latus est icosaedri. ergo
latus icosaedri irrationalis est minor quae uocatur.

δι

10

1ὅ

40

25

316 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

Πόρισμα.

Ἔκ δὴ τούτου φανερόν, ὕτι ἡ τῆς σφαίρας διά-
μετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
τοῦ κύκλου, ἀφ᾽ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ
ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ
ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν
αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ὅπερ ἔδει “δεῖξαι.

ιζ΄.

4Ζωδεκάεδρον συστήσασϑαι καὶ σφαίρᾳ περι-
λαβεῖν, y καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ
δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ &Aoyójc
ἐστιν d καλουμένη ἀποτομή.

᾿Ἐκκείσϑωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα
πρὸς ὀρϑὰς ἀλλήλοις τὰ 4ΒΓ4, ΓΒΕΖ, καὶ τετμή-
σϑω ἑκάστη τῶν 48, ΒΓ, Γά, 44, ΕΖ, EB, ΖΓ
πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ H, O, K, A, M, N, X, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ HK, ΘΑ, MO, NA, xal τετμήσϑω
ἑκάστη τῶν NO, OSA, ΘΠ ἄκρον xal μέσον λόγον
κατὰ τὰ P, Σ, T σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα
τμήματα τὰ PO, ΟΣ, TII, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν
P, Z, T σημείων τοῖς τοῦ κύβου ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς
ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ PT, ΣΦ, TX, καὶ
κείσϑωσαν ἴσαι ταῖς PO, OZ, TII, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν
αἱ TB, BX, XI, ΓΦ, 0T. λέγω, ὅτι τὸ ὙΒΧΓΦ

πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι
1. πόρισμα] om. bq. 8. ἐστίν B. ὅ. τοῦ] om. BV,
6. τῶν δύο V. 7. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. BV.

8. τι om. q. 9. συνστήσασϑαι P, corr. m. rec.

10. προειρημένα] πρότερον α; mg. m. 1: yq. τὰ πρότερον b.
18. κυβου] κύκλου comp. b. 16. 5 σημεῖα V. 17. τετμή-

ELEMENTORUM LIBER XIII. 311

Corollarium.

Hine manifestum est, diametrum sphaerae potentia
quintuplam esse radii circuli, in quo icosaedrum de-
scriptum est, et diametrum sphaerae ex latere hexa-
goni et duobus lateribus decagoni in eodem circulo
inseripbhorum compositam esse. — quod erat demon-
strandum.

XVII.

Dodecaedrum construere et sphaera comprehendere,
sicut figuras, quas supra nominauimus, et demonsirare,
latus dodecagoni irrationalem esse apotomen quae
uocatur.

exponantur duo plana cubi, quem nominauimus
[prop. XV] inter se perpendicularia 4BI'7, I'BEZ,
et singula latera 4B, BI, I4, 44, EZ, EB, 2Γ
in binas partes aequales diuidantur in punctis H, 6,
K, A, M, N, A, et ducantur HK, 094, MO, N34,
et singulae NO, OS, ΘΠ secundum rationem extre-
mam ac mediam in punctis P, Z, T' secentur, et maiores
earum partes sint PO, ΟΣ, TII, et in punctis P, Z,
T ad plana cubi perpendiculares in partes exteriores
cubi erigantur PT, ΣΦ, TX, ei ponatur PT — PO,
21 -£ OZ, TX — TII, et ducantur TB, BX, XT,
ΓΦ, ΦΥ. dico, pentagonum TBXI'À ei aequilaterum
esse et in uno plano positum et praeterea aequiangulum.

σϑωσαν αἵ NO V. 18. GII] II e corr. m. rec. P; ΘΠ
εὐθεῖαι V. 21. κύβου] κύκλου comp. b. 22. κύβου] in
ras. V. PT] P eras. 28. ἐκκείσϑωσαν P. — 924. BX,
XI'] X, XTI' in ras. m. 2 V. ΓΦΊ mg. m. 2V, ΓΧ B.
TBXI'4j po XI inq X corr. ex I'm. 1. 25. ἐπιπέδῳ] in
ras. m. 2 V.

σι

10

15

20

2b

318 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

ἰσογώνιόν ἐστιν. ἐπεξεύχϑωσαν γὰρ αἵ PB, XB, ΦΒ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέδον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ P, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα
ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ.
ἴση δὲ ἣ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ OP τῇ ΡΥ" τὰ ἄρα
ἀπὸ τῶν ΒΝ, NP τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς PT.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴδον"
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς PT*
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν BP, PT τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ
τῆς PT. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν BP, PT ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ
τῆς ΒΥ" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς TP: διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ BT τῆς PT. ἔστι
ὃὲ καὶ ἡ OT τῆς TP διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ EP τῆς
ΟΡ, τουτέστι τῆς PT, ἐστι διπλῆ ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ
γῷ. ὁμοίως δὴ δειχϑήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν BX,
XT, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ὙΦ ἐστιν ἴδη. ἰσόπλευρον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ
ἐν ἑνέ ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἤχϑω «γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ
τῶν PT, Z4 παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου
μέρη ἡ OU, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ "UO, ΘΧ' λέγω,
Or, 7 "UO X εὐθεῖά ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ 9 ΘΙ ἄκρον καὶ
μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖξον αὐτῆς
τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ OII πρὸς τὴν
IIT, οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν TO. ἴση δὲ 9 μὲν ΘΠ
τῇ ΘΟ, ἡ δὲ IIT ἑκατέρᾳ τῶν TX, ΟΨ' ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν OU, οὕτως ἡ XT πρὸς τὴν TO.
καί ἐστι παράλληλος T μὲν ΘΟ τῇ TX: ἑκατέρὰ γὰρ
αὐτῶν τῷ Β4) ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ἡ δὲ TO
τῇ OI ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς

8. μεῖξον αὐτῆς V. PO] in ras. V. τὰ] τό q.
4. NP] HP B. τριπλάσια] mut. in τριπλάσιον m. 1 q.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 2919

ducantur enim PB, ZB, 4B. et quoniam recta NO
secundum rationem extremam ac mediam diuisa est
in P, et maior pars eius est PO, erunt ON? - NP?
- 9 PO? [prop. IV]. uerum ON — NB, OP — ΡΥ.
itaque BN? - NP? —3PT?, est autem BP? — ΒΝ"
J- NP? [I, 47]. itaque BP* —3PT?. quare BP?
]- PT? — 4PT?, uerum BT? — BP? -- PT? [I, 41].
ilaque B T? — 4PT?. quare BT —2P7. est autem
etiam 0 — 2T P, quoniam eliam ZZP—20P-—2PT7.
itaque BT -— TO. similiter demonstrabimus, esse
etiam singulas B X, XI', ΓΦ utrique BT, T'Ó aequales.
ergo pentagonum B TI'X aequilaterum est. iam dico,
idem in uno plano positum esse. ab O enim utrique
PT, Z4 paràllela in partes exteriores cubi ducatur
ΟΨ, et ducantur ΨΘ, 6 X. dico, 9O X reciam esse.
nam quoniam ΘΙ in T secundum rationem extremam
ac mediam diuisa est, et maior pars eius est IIT,
erib € II: IIT « IIT: TO. uerum ΘΙ — ΘΟ, IIT
— TX -— OT. itàque ΘΟ: OW — XT: T9. et ΘΟ
rectae T'X parallela est (nam utraque earum ad pla-
num B7 perpendicularis em) [XI, 6] et T' rectae
ΟΨ (nam utraque earum ad planum ΒΖ perpendicu-

ἐστιν P. 6. PT] ΡΓ q 6. NP] Pe corr. V.

9. ἐστιν P. 10. PT) (al PI'q. 11. ἄρα] bis P, postea
corr. m. 1. 12. ἐστίν] om. V. ἔστιν B. 18. TP Ὀψ διπλὴ]
in ras. V. ZP] supra ras. m. 2 q. 14. PT] corr. ex
PD m. 1 α. ἔστιν Β. 16. »«/] om. 4. BX] ΦΧ α.

18. ἐστιν} ἐ ins. m. 1 q. ἤχϑω] 7j e corr. m. 1 Ὁ.

20. μέρη τοῦ κύβου v. Ψ Θ] 6 e corr. m. 1 b. 22. 10-
yov] om. b. 28. τὴν IIT] IIT in ras. V, IIT Bb.

24. O II] IIO P

LU

σι

10

1

σι

20

2ὅ

390 ZTOIXEIQN ιγ΄.

ὀρϑάς ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεϑῇ κατὰ μίαν
γωνίαν, ὡς và ΨΟΘ, OTX, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς
δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν
πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπ᾽
εὐθείας ἔσονται" ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ "DO τῇ ΘΧ.
πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ" ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπι-
πέδῳ ἐστὶ τὸ ὙΒΧΓ ὦ πεντάγωνον.

“Μέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ εὐϑεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον
λόγον τέτμηται κατὰ τὸ P, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν
ἡ ΟΡ [ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΝΟ, ΟΡ πρὸς
τὴν ΟΝ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν OP], ἴση δὲ 4 OP
τῇ ΟΣ [ἔστιν ἄρα ὡς ἡ EN πρὸς τὴν NO, οὕτως
ἡ ΝΟ πρὸς τὴν OZ], ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον
λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν
ἡ ΝΟ' τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν NO τῇ NB, ἡ δὲ ΟΣ
τῇ ΣΦ' τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν NZ, Σ᾿ Φ τετράγωνα τρι-
πλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς NB: ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ,
ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ. τοῖς
δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, NB [ag ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΙ Β᾽ τὰ
ἄρα ἀπὸ τῶν BZ£E, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ
(ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΦΣΒ γωνία), τετραπλάσιόν ἐστι
τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ' διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ OB τῆς BN.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΝ διπλῆ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ΒΦ τῇ BI. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ BT, ὙΦ δυσὶ ταῖς BX,
ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ B βάσει τῇ BD ἴση,

2. ΘΤΧῚ OTX B, et b supra scr. Θ m. 1. hi δυσὶ
(δύο 4) πλευραῖς Theon (B Vb 4). πλευρὰς αὐτῶν q. 4 πλευ-
ede] om. V. — xo/] om. P. OX b. 6. ἄρα] γάρ ἔστιν

q. ἐπιπέδῳ ἄρα B. 1. ἐστε om. q; ἐστίν P. TBXIY]

ELEMENTORUM LIBER XIII, 321

laris est) sin duo trianguli in uno angulo con-
iunguntur ut *«FOG, OG T'X duo latera duobus lateribus
proportionalia habentes, ita ut latera correspondentia
etiam parallela sint, reliqua latera in eadem recta
erunt posita [VI, 32]. itaque "750, 6 X in eadem
recta positae erunt. omnis autem recta in uno plano
posita est [XI, 1]. ergo pentagonum TB XI'Ó in uno
plano positum est.

iam dico, idem aequiangulum esse.

nam quoniam recta NO in P secundum rationem
exiremam .ac mediam diuisa est, et maior pars eius
est& OP, οὐ OP — OZ, recta ΝΣ in O secundum ra-
tionem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars
est NO (prop. V.) itaque NZ? -- 0? —3NO?
[prop IV]. uerum NO— NB, ΟΣ — ΣΦ. itaque
NZ*-L206?—3NB*. quare DZ? .- ZN?-L- NB*
— 4NB*. sed ZB?-— ΣΝ" - NB? [I, 47]. itaque
BZE?-- 20? —A4NB?!-— ΒΦ" (nam ( OZB rectus
est) [XI def. 3]. itaque DB —2BN. uerum etiam
BI -—2BN. quere B — BI: et quoniam duae
rectae BT, TO duabus BX, XI' aequales sunt, et

1) Forma prop. V, ad quam apertissime hic respicit Eu-
clides, docet, uerba ἔστιν ἄρα — OP lin. 11—12 et ἔστιν
ἄρα — OZ lin. 13—14 superuacua et subditiua esse. nec satis
est cum ed. Basil. οὐ Gregorio pro OP lin. 19 ΟΣ scribere.

T eras. V, post ὦ ras.; BXI'O T τὸ BI'X67 q. 9. εὐθεῖ,
postea add. « m. 1 P. 18. τῇ] τῆς b. 17. ON bis V.
18. τῇ] corr. ex τῆς m. 1P. 19, dive] corr. ex ὦσα m. 1 b;
ὥστε καί. τά] om. q. 232 0. ἐστιν P. 21. ZN] N in
ras. m. 1 b. ZB]BZinras m. 1 P, BZB V. 22. BZ]
ZB b. τουτέστιν P. $B V. 24. ἐστίν} om. V.

25. ἔστιν PB. ἐστίν] om. Vq. 26. BÓ] corr. ex B V.

91. slot Y bq. OB Vq.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 21

-

10

15

20

922 | ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ w'.

γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥ Φ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν
ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία
ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ BXI* αἵ ἄρα ὑπὸ BXI, ΒΥΦ, ὙΦΓ
τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐὰν δὲ πενταγώνου
ἰσοπλεύρου αἵ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, ἰσο-
γώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ
BTOIX πεντάγωνον. ἐδείχϑη ὃδὲ καὶ ἰσόπλευρον"
τὸ ἄρα BT OI'X πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσο-
γώνιον, καί ἐστιν. ἐπὶ μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς
BI. ἐὰν ἄρα ἐφ᾽ ἑκάστης τῶν τοῦ κύβου δώδεκα
πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταϑήσεταί τι
σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων
τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον.
Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοϑείσῃ
καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός
ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
᾿Ἐχβεβλήσϑω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ" συμ-
βάλλει ἄρα ἡ OS. τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα
τέμνουσιν ἀλλήλας" τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρα-
τελεύτῳ ϑεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου. τεμνέτωσαν
κατὰ τὸ 2" τὸ ῷ ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς
περιλαμβανούσης τὸν κύβον, καὶ ἡ $0 ἡμίσεια τῆς
πλευρᾶς τοῦ κύβου. ἐπεξεύχθϑω δὴ ἡ T. καὶ ἐπεὶ

2. δειχϑηξομεν, sed γϑη del, b. 8. ἐστίν PB. ΒΑΧΓῚ
(prius) X in ras. m. 1 P. 5. ἰσόπλευρον q. ὦσιν] corr. ex
εἰσίν m. 1 P. 6. ἔσται) ἐστι BV. - 7. ΒΥΎΦΧΙ ᾳ. δέ] om.
q. 8. τέ ἐστιν P. 9. κύβου] κύκλου b. 18. τε] om.
P. ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον) om. Theon (BVbq). 17. ΨΩ]
WOq. συμβαλεῖὶ P. 18. OQ] 69 B, ΨΩ Vb, VO q.

κύβου) κύκλου comp. b, corr. in B. 19. τεμουσιν, corr. m.
, B. παρατελευταίῳ q. 21. τό] (alt.) καὶ τὸ q.
29. OQ, V, 929 B. Ante τῆς del ἐστε m. 1 P.

28. ΓΩ q.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 323

basis B basi ΒΓ aequalis, erit [I, 8] | BT — ΒΧΓΙ.
similiter demonstrabimus, esse etiam
L TOÓI'—BXI:
itaque tres anguli BXI, ΒΥΦ, T I*inter se aequales
sunt. sin pentagoni aequilateri ires anguli inter se
aequales sunt, penta-
gonum aequiangulum
erit [prop. VII]. ergo
pentagonum BTOIX
aequiangulum est. de-
monstrauimus autem,
idem aequilaterum esse.
ergo pentagonum
BTOIX

aequilaterum ^ est οὐ
aequiangulum, et in uno
latere cubi B I'construc-
ium est. ilaque si in
, Singulis duodecim late-
ribus cubi eadem comparauerimus, figura quaedam
solida consiruetur duodecim pentagonis aequilateris et
aequiangulis comprehensa, quae uocatur dodecaedrum.

oportet igitur idem data sphaera comprehendere et
demonstrare, latus dodecaedri irrationalem esse apo-
lomen quae uocatur.

producatur enim 9'O, et fiat ΨΩ. itaque OQ)
eum diametro cubi concurrit, et inter se in binas partes
aequales secant; hoc enim in paenultimo theoremate
undecimi libri demonstratum est [XI, 38]. secent in
Q. 22 igitur centrum est sphaerae cubum comprehen-

dentis, οὐ ὦ. O dimidia lateris cubi. ducatur TQ. et
21*

A A 4

Ox

10

15

20

324 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ uécov λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ O, καὶ τὸ μεῖξον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ,
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ
τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ
ἡ μὲν ΝΟ τῇ O9. ἐστιν ἴση, ἡ δὲ "PO τῇ ΟΣ. ἀλλὰ
μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ’ τὰ ἄρα ἀπὸ
τῶν 3I, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. τοῖς
δὲ ἀπὸ τῶν 2. ΔΓ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς T$ τὸ
ἄρα ἀπὸ τῆς T9 τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περι-
λαμβανούσης. τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμι-
σείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς" προδέδεικται γὰρ κύβον
συστήσασϑαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ
τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς
πλευρᾶς τοῦ κύβου. εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης, καὶ [ἡ]
ἡμίσεια τῆς ἡμισείας" καί ἐστιν ἣ ΝΟ ἡμίσεια τῆς
τοῦ κύβου πλευρᾶς" ἡ ἄρα T, ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ
κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον.
καί ἐστι τὸ €) κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβα-
νούσης τὸν κύβον' τὸ T ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπι-
φανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ
ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ
ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς Gqaípag* περιείληπται ἄρα τὸ δω-
δεκάδδρον τῇ δοϑείδσῃ σφαίρᾳ.

1. NE B, corr. m. 1. 8. ἐστι» P. 4. NO] ΝΕ B.

9. ἄρα] om. q. τοῦ] τό q. 10. ἔστιν P B. τῆς] (alt.)

bis b. 12. τῆς] ins. m. 1 V. δέδεικται α. 14. ὃ

νάμειἾ pu P. διπλασίων B, corr. m. rec. ἐστίν PB.
. εὖ ἡ V. ἡ ὅλη Bq. 7] postea ins. m. 1 P,

εἰ q. 16. ἡμίσεια — NO] bis P, postea corr. m. 1.

17. ἐστίν P. 19. ἐστιν B. 20. σημεῖον ἄρα ἃ.

22, τὴν ἐπιφάνειαν q, v bis supra scr. m. 1 b. — 38. ἐστίν P.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 2325

quoniam recta ΝΣ in O secundum rationem extremam
ac mediam diuisa est, et maior pars eius est NO,
erunt
NZ?*--zO0?-3NO? [prop. IV].
sed ΝΣ — ΨΩ, quoniam
NO-—09, ΨΟΞΞΟΣ.
et praeterea |
ΟΣ -- ΨΎ,
quoniam OZ — PO. itaque
QU? -L Tq? —3N0
uerum
T9? — Qu? -r 97? ἢ, 41]
itaque
ΥΩ," —3NO*
sed radius sphaerae cubum comprehendentis ei ipse
potentia triplo maior est dimidio latere cubi; nam
antea explieauimus, quomodo cubus construendus sit
et sphaera comprehendendus, et quo modo demon-
sirandum sit, diametrum sphaerae potentia triplo ma-
iorem esse latere cubi [prop. XV] sin tota triplo
maior est tota, etiam dimidia triplo maior est di-
midia; et. NO dimidia est lateris cubi. itaque T'£)
radio sphaerae cubum comprehendentis aequalis est.
eb $2 centrum est sphaerae cubum comprehendentis.
quare punctum 2? ad superficiem sphaerae positum
est, iam similiter demonstrabimus, etiam reliquos
angulos dodecaedri singulos ad superficiem sphaerae
positos esse. ergo dodecaedrum data sphaera compre-
hensum est.

396 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός
ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
Ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέδον λόγον τετμή-
μένης τὸ μεῖξον τμῆμα ἐστιν ἃ ΡΟ, τῆς δὲ ΟΠ ἄκρον
5 καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ
OZ, ὅλης ἄρα τῆς ΝΕ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνο-
μένης τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἷον ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ, ἡ ὉΡ πρὸς τὴν ΡΝ, καὶ
τὰ διπλάσια" τὰ γὰρ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις
10 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον: ὡς ἄρα ἡ NA πρὸς τὴν ΡΣ,
οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ, Z&. μείξων
0b ἡ NAÀ τῆς PX' μείξων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφο-
τέρου τῆς NP, ZA: ἡ ΝΗ ἄρα ἄκρον καὶ. μέσον
λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖξον αὐτῆς τμῆμα ἐστιν ἡ
15 ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ὙΦ' τῆς ἄρα NAE ἄκρον καὶ
μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ T.
καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι
δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, ῥητὴ ἄρα
ἐστὶν ἡ ΝΗ͂ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου. ἐὰν δὲ ῥητὴ
20 γραμμὴ ἄκρον καὶ μέδον λόγον τμηϑῇ, ἑκάτερον τῶν
τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.
Ἢ TO ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός
ἐστιν ἀποτομή.

1. ἡ] om. α. 9. Post τῆς ins. μέν m. rec. P. τεμνο-
μένης E P; item lin. 5. 6. τετμημένης bq. 8. NO] ON B.
OP (prius) e corr. V; dein del. καὶ τὰ διπλάσια.

9. ἰσάκις ὡσαύτως B. 10. ὡς] καὶ ὡς b. — 15. ΝΗ doa q.
16. τετμημένης bq. | OT P. 17. ἐστιν PB. De scholio

quodam in P hio adscripto ἃ. app. 20. γραμμή] Y μή b,
corr. m. 1; εὐϑεῖα γραμμή q. τέτμηται q. κατέρα q.
21. ἐστιν ἡ καλουμένη V bq, e corr. m. 2 B. 28. ἐστιν ἡ

καλουμένη V bq.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 921

iam dico, latus dodecaedri irrationalem esse apo-
tomen quae uocatur nam quoniam PO maior pars
est rectae NO secundum ralionem extremam ac me-
diam diuisae, οὐ OZ maior pars est rectae OE se-
cundum rationem extremam ac mediam diuisae, PZ
maior pars esi totius rectae NX secundum rationem
extremam ac mediam diuisae. quoniam enim!) NO
: OP — OP: PN, etiam dupla eandem rationem habe-
bunt; nam partes eandem rationem habent quam aeque
multiplicia [V, 15]. itaque NN: PZi— PZ:NP-- ΣΕ.
sed ΝΞ» ΡΣ. itaque etiam PZ NP - ΣῈ [Υ, 14].
ergo ΝΙ͂ secundum rationem extremam ac mediam di-
uisa est, οὖ maior pars eius est ΡΣ. sed ΡΣ — T6.
ilaque Td maior pars est rectae NX secundum ra-
lionem extremam ac mediam diuisae. et quoniam dia-
meirus sphaerae rationalis est et latere cubi triplo
maior est potentia, etiam NX, quae latus est cubi,
rationali$ est. sin recta rationalis secundum rationem
extremam ac mediam diuiditur, utraque pars irratio-
nalis est apotome [prop. VI]. ergo T, quae latus
est dodecaedri, irrationalis est apotome.

1) Uocabulo οἷον lin. 7 uidetur significari, rectam IN, non
propre secundum rationem extremam ac mediam diuisam esse,
quia pars minor ex NP, Z5 diiunclis composita est. quod
hic parum refert, quia maiore parte sola utimur. sed fortasse
totus locus οἷον lin. 7 — ἔστιν ἡ PZ lin. 14 subditiuus est.

10

15

20

2b

328 ZTOIXEIQSN w'.

Πόρισμα.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς
ἄχρον καὶ μέδον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖξον τμῆμά
ἐστιν 17] τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

"η΄.

Τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκϑέσϑαι
καὶ συγκρῖναι πρὸς ἀλλήλας.

᾿Ἐκχκείσϑω 1 τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ
AB, καὶ τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν
AD τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ 4 ὥστε διπλασίονα εἶναι
τὴν 44 τῆς 4B, καὶ γεγράφϑω ἐπὶ τῆς 48 ἡμι-
κύκλιον τὸ AEB, καὶ ἀπὸ τῶν I, 4 τῇ 48 πρὸς
ὀρϑὰς ἤχϑωσαν αἱ ΓΕ, 4Z, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ
AZ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ A4 τῆς AB,
τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ 48 τῆς B. ἀναστρέψαντι
ἡμιολία ἄφα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς 44. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς
τὴν 44, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς BA πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z-
ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ AZB τρίγωνον τῷ AZA τρι-
γώνῳ᾽ ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ
τῆς 42. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμεε
ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος. καί ἐστιν ἡ AB
ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ 42 ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ
πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.

Πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ 44 τῆς 4B, τριπλῆ
ἄρα ἐστὶν ἡ 48 τῆς ΒΖ. ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν B4,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 4B πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BZ' τριπλά-

1. πόρισμα] comp. mg. m 1 PBVq, om. b. 8. τετμη-

μένης bq. 4. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. Vq, o)— b. — 5. 1m]
om. Bbq. 989. κατὰ μέν BV. . 10. τῇ] corr. ex τῆς B.

|

. «
ELEMBNTORUM LIBER XIII. $99

Corollarium.

Hinc manifestum est, latus dodecaedri maiorem esse
partem lateris cubi secundum rationem extremam ac
mediam diuisi. — quod erat demonstrandum.

XVIII.

Latera quinque figurarum exponere ei inter se
comparare,
Exponatur diameirus datae sphaerae 4B et in Γ
ita secelur, ut sib 4I' — ΓΒ, in 44 autem ita, ut sit
44 —24B, ei in AB semicirculus describatur 4EB,
H ἢ et in I, 4 ad 48 perpendicu-
lares ducantur ΓΕ, 4Z, et
E 7 ducantur 4Z, ZB, EB. et
quoniam est 4471 — 2 4 B, erit
AB -—23B4. aque conuer-
tendo B4-*,44. sed
lg B.4:4441 — B.4?: A Z? [V def.
9]; nam 4ZB .- 424 [VI, 8].
itaque B4? — ὃ. 4Z?. uerum etiam diametrus sphaerae
potentia lateris pyramidis sesquialtera est [prop. XIII].
et 4B diamelrus sphaerae est. ergo A4Z lateri pyra-
midis aequalis est.
rursus quoniam 4124] — 248, erit 4B — 3 B 4.
sed 4B: ΒΖ — AB?: BZ? (VI, 8. V def. 9]. itaque

K T 44

DTB] I corr. ex d V. ἔδιπλασιον P, « supra scr. m. 1.

19. 4] e corr. m. 1 b. 14. Ante 4Z del. ΓΕ, 4Z m. 1 P.
AZ, ΖΕ, EB B; ZB, EB, 42 α. 15. τριπλασία q, mg.

m. 1 τριπλασία yg. b. B4] 4B B. 18. ABZ b.

20. ἔστιν PB. 22. ἐστίν P. 23. τῆς] om. Vq. — 24. τρι-

πλῆ] τριπλασίων P. 26. ΖΒ Bba.

1

e

1

οι

20

2b

330 ZTOIXEISN ιγ΄.

σιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς A4 B τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἔστι
δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων
τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς. καί ἐστιν ἡ A B ἡ τῆς σφαίρας
διάμετρος" ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AT τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν
ἡ 48 τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ 48 πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς 48 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BE' διπλάσιον ἄρα
ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ
ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ
ὀκταέδρου πλευρᾶς. καί ἐστιν ἡ AB ἢ τῆς δοϑείσης
σφαίρας διάμετρος" ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ
πλευρά.
Ἤχϑω δὴ ἀπὸ τοῦ A4 σημείου τῇ AB εὐθείᾳ πρὸς
ὀρθὰς ἡ AH, καὶ κείσϑω ἡ AH ἴση τῇ AB, καὶ
ἐπεξεύχϑω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν AB κάϑετος
ἤχϑω ἡ OK. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς AI-
ἴση γὰρ ἡ HA τῇ AB: ὡς δὲ ἡ HA πρὸς τὴν AT,
οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ OK τῆς
KI. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ
τῆς KI" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ
τῆς OI, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς KI. ἴση δὲ
ἡ ΘΓ τῇ DB: πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ
τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ 48 τῆς
ΓΒ, óv ἡ 424 τῆς 4B ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ BA
λοιπῆς τῆς 4Γ ἐστι διπλῆ. τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς
I4: ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς
ΓΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς BI' τοῦ ἀπὸ τῆς
DK: μεῖξον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ.

1. ἐστίν Ῥ. ZB B. ἔστιν PB. 8. κύκλου P, corr.
m. rec. 8. ἐστί] ἐστίν P, om. V. τοῦ] πρὸς τό q.

ELEMENTORUM LIBER XIII. 991

A B? --- 882. uerum etiam diametrus sphaerae latere
cubi potentia iriplo maior est [prop. XV] et AB
.diametrus sphaerae est. ergo ΒΖ latus cubi est.

el quoniam 4Γ ΞΞ. ΓΒ, erit 4B — 2BI*. sed AB
: BI'— AB? : BE? [VI, 8. V def. 9]. itaque 4B?
—2BE. uerum etiam diametrus sphaerae latere
octaedri potentia duplo maior est [prop. XIV]. et 4B
diameirus est datae sphaerae. ergo B E latus octaedri est.

iam ab .4 puncto ad rectam 4B perpendicularis
ducatur 44 H, et ponatur 4H — 4 B, et ducatur HT,
ei ἃ Θ ad 4B perpendicularis ducatur 6 K. οὐ quo-
niam H4 -——24I' (nam H4- 4B), et HA: AT
— ΘΙ: ΚΓ (VI, 4], erit etiam 69K πο 2 ΚΓ. itaque
6 K? —AKI?. quare ΘΚ" - KI? —5KI?-—69I*
[Ll 47]. uerum ΘΓ --ΞἩ ΓΒ. itaque BI? —5I'K?. et
quoniam 4B —2I'B, quarum 442 —24B, ent B4
— 24I. ilaque BI'—3I'Z. quare BI" — 9I'4*.
sed BI? — ΓΚ", itaque I'K? — I4?. quare etiam

ἔστιν PB. 9. τριπλασίων b. 11. BE] E corr. ex Θ m.
rec. P. πλευρά ἐστι α. 14. τῇ AB ἴση ἡ AH V.

16. AH V. 17. HA] AH α. τῇ] τῆς P. 18. καί] om.
q. 19. ἐστίν P. — 20. ἐστίν P. 21. ἐστιν PB. 834. ΓΒ]

BD V. ἐστιν PB. B4] supra scr. 4 b. 26. 4ΓῚ ΓΑ
Ρ. 26. I'4| in hoc uocab. des. b, λεέπει φύλλα τῷ mg.

932 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

μείξων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆς ΓΖ. κείσϑω τῇ ΓΚ ἴση
ἡ ΓΑ͂, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 τῇ AB πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ
AM, xol ἐπεξζεύχϑω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν
ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ, καί ἐστι τῆς
μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ 48, τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ KA, πεντα-
πλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΑ.
ἔστι δὲ καὶ ἢ τῆς σφαέρας διάμετρος δυνάμει πεντα-
πλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ᾽ οὗ τὸ
εἰχοσάεδρον ἀναγέγραπται. καί ἐστιν ἡ AB ἡ τῆς
10 σφαίρας διάμετρος᾽ ἡ ΚΑ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ
τοῦ κύκλου, ἀφ᾽ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται" ἡ
ΚΑ ἄρα ἕξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου.
καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τὲ τῆς
τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεχαγώνου τῶν εἰς
τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν
AB ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ 0b Κα ἑξαγώνου
πλευρά, καὶ ἴση ἡ AK τῇ 48, ἑκατέρα ἄρα τῶν AK,
AB δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν
κύκλον, ἀφ᾽ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καὶ
20 ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ AB, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΔ' ἴση
γάρ ἐστι τῇ ΚΑ, ἐπεὶ καὶ τῇ 0 K* ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν
ἀπὸ τοῦ κέντρου᾽ καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν OK, Κα
διπλασίων τῆς ΚΓ' πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ MB.
ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου" εἰκο-
σαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ MB. |

Καὶ ἐπεὶ ἡ ZB κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω
ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖξον
τμῆμα τὸ NB: ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά.

Qt

1

σι

2

οι

1, μεῖξον V. ἐστὶν ἄδαωα q. ΓΑΙ KT V. TK]corr.
ex ΚΓ. 4. ἐστιν P. KI V. ἐστιν P. 7. ἔστιν

ELEMENTORUM LIBER XIII. 9323

I'K I4. ponatur ΓΖ — D'K, et ab 4 ad 48 per-
pendicularis ducatur 4 M, et ducatur MB. οὖ quoniam
BI? —5DUK?, οἱ 4B —2BD, KA —2LI'K, erit AB?
— DK 4?. uerum eliam diameirus sphaerae potentia
quintuplo maior est radio circuli, in quo icosaedrum
constructum est [prop. XVI coroll]. et 4B diametrus
sphaerae est. ergo K.4 radius est circuli, in. quo
icosaedrum constructum est. Κα igilur latus est
hexagoni in circulo illo inscripti [IV, 15 coroll]. et
quoniam diameitrus sphaerae ex latere hexagoni et
duobus lateribus decagoni in circulo illo inscriptorum
composita est [prop. XVI coroll], et 418 diametrus
est sphaerae, Κα autem latus hexagoni, et ΑΚ — 48,

utraque 4K, 4B latus est decagoni in cireulo in-

scripli, in quo icosaedrum constructum est. et quo-
niam ΔΒ latus est decagoni,. hexagoni autem .M.4
(nam MA zz ΚΗ, quia MA — OG K; aequali enim spatio
a centro distant; et. 9. K — Κ4 —— 3 ΚΓ). pentagoni

. est MB [prop. X. I, 41]. uerum latus pentagoni est

ieosaedri [prop. XVI] ergo MB latus est icosaedri.

el quoniam Z B latus cubi est, secundum rationem
exiremam ac mediam diuidatur in NN, et maior pars
sit NB. ergo NB latus est dodecaedri [prop. XVII
coroll.].

PB. 9. 4B ἡ] 4B Ῥ. 10. ἐκ] ἡ ἐκ q. ἐστίν P.

12. εἰρημένου κύκλου] ἐν τῷ εἰρημένῳ κύκλῳ m. 2 V.

18. τῆς σφαίρας 7] V 15. ἀναγραφομένων q. 21. ἐστιν
P. 06K] ΚΘ q. 28. ἐστίν] ο om. V. 94. ἡ τοῦ εἶκο-
σαέδρον] mg. m. 9 B, in text. del. ἡ τοῦ. 26. ΒΖ q.
στέν P.

10

15

20

26

334 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιγ΄.

Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχϑη τῆς μὲν
442 πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία, τῆς δὲ
τοῦ ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆς δὲ τοῦ
κύβου τῆς ZB δυνάμει τριπλασίων, οἵων ἄρα ἡ τῆς
σφαίρας διάμετρος δυνάμει 8E, τοιούτων ἡ μὲν τῆς
πυραμίδος τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ
τοῦ κύβου δύο. ἡ μὲν ἄρα τῆς πυραμέδος πλευρὰ
τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπί-
τριτος, τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ
ὀχταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία. αἵ μὲν οὖν
εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυρα-
μίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν
ἐν λόγοις ῥητοῖρ. αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ Tj τε
τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸς
ἀλλήλας οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοιρ
ῥητοῖς" ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή.

Ὅτι μείξων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ
τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς NB, δείξομεν οὕτως.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ Ζ4 Β τρίγωνον τῷ
ZAB τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν
ΒΖ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν BA. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι
ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας"
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν BA, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
4B πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BZ: ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ἡ 48
πρὸς τὴν Β4, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ZB πρὸς τὸ ἀπὸ

1. Ante ἐδεέχϑη del. ε P. eu om. P. 6. τεσσάρων
τῶν α. 7. μὲν] corr. ex μὲ m. 1 9. τῆς] τῆ q.
10. zie] om. q. 11. . πλευραῦ om. q. 18. τε] om. P.
14. ἡ .4. 15. τὰς προ-] om. q. — 16. ἄλογοι ydg εἰσιν
om. V. 17. ὅτι δέ BV. MB] M e corr. V. 18. N5]

ELEMENTORUM LIBER XIII. 22D

οὗ quoniam demonstrauimus, diametrum sphaerae
AZ lateris pyramidis potentia sesquialieram esse, BE
aulem latere octaedri potentia duplo maiorem, ZB
autem latere cubi potentia iriplo maiorem, quarum
magnitudinum sex aequalis est potentia diametrus
sphaerae, earum quattuor aequale est latus pyramidis,
tribus octaedri, duabus cubi. itaque latus pyramidis
potentia supersesquitertium est lateris octaedri, latere
autem eubi potentia duplo maius, latus autem octaedri
lateris cubi potentia sesquialierum est. ergo latera,
quae nominauimus, trium illarum figurarum, scilicet
pyramidis, octaedri, cubi, inter se rationes habent ra-
lionales. reliqua uero duo, scilicet icosaedri et dode-
caedri, neque inter se neque ad ea, quae supra nomi-
nauimus, rationes rationales habent; nam irrationales
sunt, aliérum minor [prop. XVI], alterum apotome
[prop. XVII].
: Latus icosaedri MB maius esse latere dodecaedri
NB, sic demonstrabimus.
quoniam enim irianguli ΖΩ͂ B et ΖΑΒ aequianguli
sunt [VI, 8], erit 4B: BZ — ΒΖ: BA[VI,4]. et quo-
niam ires rectae proportionales sunt, erit ut prima
ad tertiam, ita quadratum primae ad quadratum tertiae
-[V def. 9].) itaque 4B: ΒΑ — 4B*: BZ*. e con-

1) Miramur, cur haec definitio hoc loco omnibus uerbis
citetur, praesertim forma parum Euclidea, cum iamen antea
in hae ipsa propositione toties tacite sit usurpata. itaque puto,
uerba καὶ ἐπεί lin. 21 — δευτέρας lin. 28 subditiua esse.

N e corr. V. 9. ἐπεί) in ras. m. 1 P. ἐστιν P.
428 B, ZB4 q. "al ΒΖ) prias) supra scr. B4 m. 1 B.
BZ| ZBP. 26.2B]B

σι

10

15

20

25

336 ΣΤΟΙΧΕΊΩΝ ιγ΄.

τῆς ΒΩ. τριπλῆ δὲ ἡ AB τῆς Bz* τριπλάσιον ἄρα
τὸ ἀπὸ τῆς ZB τοῦ ἀπὸ τῆς B4. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ
τῆς 44 τοῦ ἀπὸ τῆς 4B τετραπλάσιον᾽ διπλῆ γὰρ ἡ
A4 τῆς 4B* μεῖξον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 44 τοῦ ἀπὸ τῆς
ZB: μείξων ἄρα ἡ 44 τῆς ZB' πολλῷ ἄρα ἡ 44
τῆς ΖΒ μείξων ἐστίν. καὶ τῆς μὲν A44 ἄκρον καὶ
μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ KA,
ἐπειδήπερ ἡ μὲν AK ξξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκα-
γώνου" τῆς δὲ ZB ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης
τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ NB' μείξων ἄρα ἡ KA τῆς
NB. ἴση δὲ ἡ KA τῇ AM: μείζων ἄρα ἡ AM τῆς
ΝΒ [τῆς δὲ 4M μείξων ἐστὴν ἡ MB]. πολλῷ ἄρα
ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείξων ἐστὶ τῆς
NB πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Aéyo δύ, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχή-
ματα οὐ συσταϑήσεται ἕτερον δχῆμα περιεχό-
μενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων
ἀλλήλοις.

Ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὕλως ἐπιπέδων
στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται. ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων
ἡ τῆς πυραμίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου,
ὑπὸ δὲ. πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου" ὑπὸ δὲ $E τριγώνων
ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συν-
ισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία᾽ οὔσης γὰρ τῆς
τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου ὀρϑῆς
ἔσονται αἱ GE τέσσαρσιν ὀρϑαῖς ἴσαι" ὅπερ dOUvavov:

2. ἔστιν PB. 6. καὶ usífov B. ἄρα καί V. τῆς
ZB] (alt. om. P. 6. ἐστί VQ. 7. τετμημένης V.
11. 4M τῆς NB] in ras. m. 1 P. 12. τῆς δὲ — MB] post-
e& add. in mg. m. 1 P. 18. μεέξω, ν add. m. 2 V. 14. Se-

ELEMENTORUM LIBER XIII. 331

irario igitur 4B: ΒΖ — ZB?: BA4*. uerum 4B —3B4.
itaque etiam Z B* —3 B4?. uerum etiam 4471? — 44 B?:
nam 47 -——24B. itaque 4413.» ZB?*. quare 44
ZB. itaque multo magis 44 7 ZB. et rectae 44
secundum rationem extremam ac mediam diuisae maior
pars οδϑὺ K/4, quoniam 44K hexagoni est, K.4 autem
decagoni [prop. IX]; rectae autem ZB seeundum ra-
lionem exiremam ac mediam diuisae maior pars est
NB. itaque Κα NB. esi autem K 4 — 4M. quare
ΑΜἹ)Ῥλ ΝΒ. ergo multo magis MB latus icosaedri
NB latere dodecaedri maius est; quod erat demon-
strandum.

Tam dico, praeter quinque figuras, quas nominaui-
mus, nullam aliam construi posse polygonis et aequi-
lateris el aequiangulis inter se aequalibus compre-
hensam.

Nam ex duobus triangulis aut omnino figuris planis
angulus solidus construi nequit [XI def. 11]. ex tribus
uero iriangulis angulus pyramidis construitur, ex quat-
tuor oetaedri, ex quinque icosaedri. ex sex autem
iriangulis aequilateris et aequiangulis ad idem punctum
coniunctis angulus solidus non orietur; nam eum angu-
lus trianguli aequilaleri duae parles sint recti, sex
anguli quattuor rectis aequales erunt; quod fieri non

Cum epimetro lin. 15 sq. cfr. Psellus p. 51 sq.

quitur alia demonstratio extremae partis, u. app. 16. ov»-
σταϑήσεται P. 19. ἢ ὅλως] scripsi; ras. 2 uel 8 litt. P, supra
Scr. ἀλλ᾽ οὐδὲ ὑπὸ δύο m. rec.; ἀλλ᾽ οὐδὲ ἄλλων δύο Theon
(ΒΥ. 4. 880. οὐ] om. Pq. 26. oí] om. q.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 22

e

10

15

20

338 EZTOIXEISN w'.

ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων
ὀρϑῶν περιέχεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων
ἢ ἕξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ
δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται"
ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον᾽ ἔσονται γὰρ πάλιν τέσ-
ὅαρες ὀρθαί. ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ
ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου" ὑπὲ
δὲ τεσσάρων ἀδύνατον" οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου
ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρϑῆς καὶ πέμπτου, ἔσονται oí
τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν usífovg* ὅπερ ἀδύ-
νατον. οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων
περιδχεϑήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον.

Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον
ὄχῆμα στερεὸν συσταϑήσεται ὑπὶ ἰσοπλεύρων τε καὶ
ἰσογωνίων περιξχόμενον᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

“Μῆμμα.

Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰδογωνίέου
πενταγώνου γωνία ἐρϑή ἐστι καὶ πέμπτου,
οὕτω δεικτέον.

Ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον
τὸ 4ΒΓΖΕ, καὶ περιγεγράφϑω περὶ αὐτὸ κύκλος ὃ
ABI'AE, καὶ εἰλήφϑω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Z, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ Z4, ZB, ZI, Z4, ΖΕ. δίχα ἄρα
τέμνουσι τὰς πρὸς τοῖς 4, B, I, 4, E τοῦ πεντα-

2. ὀρθῶν γωνιῶν q. οὐδέ] om. q, οὐδ᾽ P. 8Β. f] om.
P, supra scr. m. 1 B. γωνιῶν τριγώνων q. 6. τέσσαρεϊς
P. 8. δέ] om. q. ἰσοπλεύρου πενταγώνου V. 9. αἴ]
supra m. rec. P. 10. τέσσαρες] -eg in ras. m. 1 P. In mg.
m. 1 pro scholio: ὡς δείξει ὑποκάτω P. 11. πολυγωνίων π
(non P). ἑτέρων στερεῶν q. 19. αὐτό] om. BV.

-- --π----------- τ ---------.----------------------- τ ΠὺῸὺῦὗῦστστὌτι προ τσπασπσειυ τ συσσσσσσσνν..............ὕὉ»ὕ.... “-.-.ὅὄὕὔὐϑὐὔδιασιαπσ “ναι ιμημεανειηαναναν — —— — ——
—— M — —— M — νι

ELEMENTORUM LIBER XIII. 889

polest; nam omnis angulus solidus minus quattuor
rectis comprehenditur [XI], 21]. eadem de causa ne ex
pluribus quidem quam sex angulis planis solidus angu-
lus construitur. iribus autem quadratis angulus cubi
comprehenditur. quattuor autem nullus; nam rursus
quattuor recti erunt. pentagonis aulem aequilateris
οὐ aequiangulis tribus angulus dodecaedri comprehen-
ditur, quattuor autem nullus; nam cum angulus penta-
goni aequilateri aequalis sit recto angulo cum quinta
parte recti, quattuor anguli quattuor rectis maiores
erunt; quod fieri non potest. eadem de causa ne
alis quidem figuris polygonis angulus solidus com-
prehendetur.

ergo praeler quinque figuras, quas nominauimgps,
nulla alia figura solida construetur figuris aequilateris
ei aequiangulis comprehensa; quod erat demonstrandum.

Lemma.

Angulum autem pentagoni aequilateri et aequi-
anguli aequalem esse angulo recto et quintae parti
recli, sic demonstrandum.

sit enim pentagonum aequilaterum et aequiangulum
ABDAE, ei circum id circulus ecireumseribatur 4BIAE

[IV, 14], et sumatur centrum eius Z [III, 1], et du-

cantur Z4, ZB, ZI, Z4, ΖΕ. itaque angulos pen-
iagoni ad 44, B, I, 44, E positos in binas partes
aequales secant [I, 4]. et quoniam quinque anguli ad

14. συνσταϑήσεται P, corr. m. rec. — 16. λῆμμα] om. codd.
17. ὅτε q. τε καί V. Post ἰσογωνέου add. καί q.
18. ἐστιν PB. πέμπτον q. — 20. τὲ xa( V. 32. τό] (prius)
om. q. 24. τέμνουσιν PB.

22*

940 ΣΤΟΙΧΕΙ͂ΟΝ ιγ΄.

γώνου γωνίας. καὶ ἐπεὶ αἴ πρὸς τῷ Z πέντε γωνίαι

τέσσαρσιν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα

αὐτῶν, ὡς ἡ ὑπὸ 428. μιᾶς ὀρϑῆς ἐστι παρὰ

πέμπτον" λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ZAB, 482 μιᾶς εἰσιν
5 ὀρϑῆς καὶ πέμπτου. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ LAB τῇ ὑπὲ ΖΒΓ"

καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ABI' τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶς

ἐστιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2. εἰσί] εἰσίν PBV. ὅ. ΖΒ4 q. 7. ὀρθῆς ἐστι V.

πέμπτον q. In fine: Εὐκλείδου d ureioe vy P, Εὐκλείδου
στοιχείων τῆς Θέωνος ἐκδόσεως vy Bq.

UU UCM toss C£ Mn Bom Ρροὃᾳὃἕᾶ2ῥΨἍοΕοἅιὦὁιἜἘὁὃἕοΕὲὃοὃὦ}Ἃ

ELEMENTORUM LIBER XIII. 941

Z positi quattuor rectis aequales sunt et inter se
aequales, unus eorum, uelut 4Z B, recto angulo aequa-
lis est deficiente quinta parte. itaque ZA4B -]- 4BZ

Α͂

Uri

recto et quintae parti recti aequales sunt [I, 32]. et
ZAB — ZBI. quare ABI' tolius angulus pentagoni
recto et quintae parti recti aequalis est; quod erat
demonstrandum.

|
|
APPENDIX I.

-----........ .»...΄-

Demonstrationes alterae.

1.
Ad libr. XI prop. 22.
"AAA ng.

Ἔστωσαν αἱ δοϑεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι of
ὑπὸ ABI, 4EZ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μεί-
ξονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιεχέτωδαν
ὃὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι αἱ 4B, ΒΓ, 4Ε, EZ, HO,
ΘΚ, καὶ ἐπεξεύχϑωδαν αἵ AI, 42, ΗΚ. λέγω, ὅτι
δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI, 4Z, HK τρί-
yovov συστήσασϑαι, τουτέστι πάλιν ὅτι αἵ δύο τῆς
λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

10 δἰ μὲν οὖν πάλιν αἱ πρὸς τοῖς B, E, Θ σημείοις
γωνίαι ἴσαι εἰσίν, ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΓ, 4Z, HK,
καὶ ἔσονται αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονες. εἰ δὲ ov,
ἔστωσαν ἄνισοι αἴ πρὸς τοῖς B, E, Θ σημείοις γωνίαι.
καὶ μείξων ἡ πρὸς τῷ B ἑκατέρας τῶν πρὸς τοῖς E,

15 Θ' μείξων ἄρα ἔσται καὶ ἡ 4 εὐϑεῖα ἑκατέρας τῶν
4Z, HK. καὶ φανερόν, ὅτι ἡ 4Γ μετὰ ἑκατέρας

e

XI, 22. post, δεῖξαι p. 60, 18 add. PBF Vb.

8. ὑπό] om. F, supra m. 2 B. 5. ΒΓ] BI, IA b.
6. 42] 4 corr. ex I m. 1 F. 8. τουτέστιν B. 11. ἴσαι
εἰσίν) εἰσιν ἴσαι BV. ἴσαι) om. ΒΥ. — HK] HK ἴσαι BV.

Aliter.

Sint dati tres anguli plani 4BI, A4EZ, ΗΘΚ,
quorum duo reliquo maiores sint quolibet modo con-
iuncti, ei eos comprehendant rectae aequales 48.
BI, 4E, EZ, HO, OG K, ei ducantur AI; 4Z, HK.
dico, fieri posse, αὖ ex rectis aequalibus rectis AI,
4Z, HK iriangulus construatur, hoc est rursus duas
reliqua maiores esse quolibet modo coniunctas.

iam si rursus anguli ad puncta B, E, € positi
aequales sunt, etiam 4I, 42, HK aequales erunt,

6 E B

1.
AÁd libr. ΧΙ prop. 22.

| H κ 4 Ζ 4 4

et duae reliqua maiores. sin minus, anguli ad puncta
B, E, Θ᾽ positi inaequales sint, et angulus ad B po-
Situs utroque angulorum ad E, 6 positorum maior
Sit. ilaque etiam 4Γ» 4Z, AI'^ HK [I, 24]. et

18. ἄνισοι] corr. ex ἴσοι m. xec. P. 14. Ànte καί ras.

1 litt. F. 16. ἐστί BF b. ἡ AI']in ras. V. εὐθεῖα]
om. V.

o

10

1

ud

20

946 APPENDIX I.

τῶν 4Z, HK τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι. λέγω," ὅτι
καὶ αἱ 4Z, ΗΚ τῆς AT' μείξονές εἰσι. συνεστάτω
πρὸς τῇ 4B εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ B
τῇ ὑπὸ ΗΘΚ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ABA, καὶ κείσϑω
μιᾷ τῶν AB, BI, 4Ε, EZ, ΗΘ, OK ἴση ἢ BA,
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ 44, AI. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ AB,
BA δυσὶ ταῖς HO, OK ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσὶν, βάσις ἄρα ἡ 44 βάσει
τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. καὶ. ἐπεὶ αἱ πρὸς τοῖς E, O ση-
μδίοις γωνίαι τῆς ὑπὸ ΑΒΓ usítovég εἰσιν, ὧν ἡ ὑπὸ
ΗΘΚ τῇ ὑπὸ 4844 ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ
E γωνία τῆς ὑπὸ ABI' μείξων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο
αἱ AB, ΒΓ δυσὶ ταῖς 4E, EZ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα
ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ 4 ΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ABI
μείξων, βάσις ἄρα ἡ 42 βάσεως τῆς 4Γ' μείξων
ἐστίν. ἴση δὲ ἐδείχϑη. ἡ HK τῇ 44: αἱ Goa AZ,
ΗΚ τῶν 44, 4“Γ μείζονές εἰσιν ἀλλὰ αἴ 44, AT
τῆς ΑΓ μείξονές εἰσι πολλῷ ἄρα αἱ 4Z, HK τῆς
AT' μείξονές εἰσιν. τῶν 4Γ, 4Z, HK ἄρα εὐϑειῶν
αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανό-
μεναι" δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς AI, 4Z,
ΗΚ τρίγωνον συστήσασϑαι᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

οἷ" μείξονές εἰσι] Pb, yo. μείζων ἐστί mg. b; μείζων ἐστί ΒΕΥ͂.
2. 4Z] corr. ex AZ m. B] e corr. F. 4.484]
B H4 b, corr. mg. m. 1. 5. B4) corr. ex 4A m.1F. 8. περι-
ἔχουσι PBVb. A44] 4 in ras. V. βάσει) supra m. 3 ó:
9. ἐστιν ἴση V. ἐστί B, comp. Fb. 10. τῆς] τοῖς F.
εἰσι V. 19. ΑΒΓ bg (non F). ἐστί P V, comp. b.
δύο αἴ] e£ δύο F. 18. AB] F, 4B bg. 14. -τέρᾳ καὶ yo-
mg. trans. m. 1 F. ἡ $zó] om. b. 16. AT b.
16. dei] om. P. — 44] corr. ex 44 B. 17. ἀλλ᾽ Fb.
18. πολλῷ — 19. εἰσιν postea add. m. 1 P. 19. εἰσ, BV b,
comp. F. 31. éevíy] om. V. — AZ] AZ F. 22. συνστή-
σασϑαι P, corr. m. 3.

APPENDIX I. 941

adparet, esse AI'J- 4Z HK, AI'J- HK » 4Z.
dico, esse etiam ZZ - HK » AI: nam ad rectam
“4 et punctum eius B construatur ( 4B 4 — ΗΘΚ
[I, 23], οὐ ponatur B4 — 4B— BI'— 4E-—EZ
— ΗΘ --- ΘΚ, et ducantur 4.4, AI: et quoniam
duae 48, ΒΑ duabus ΗΘ, ΘΚ singulae singulis
aequales sunt et angulos aequales comprehendunt, erit
44 -— HK [I, 4]. et quoniam anguli ad puncta E,
6G positi angulo 4BI' maiores sant, quorum ( ΗΘΚ
— 4B., angulus ad E positus angulo 4BI' maior
eril. et quoniam duae 4B, ΒΓ duabus AE, EZ
aequales sunt, et |. 4 EZ — ABI, erit etiam 422)» AT
[I, 24]. demonstrauimus autem, esse HK — 4A 4.
itaque erit

42 HK 44-4 AT.
uerum 44 -- 4ΓῚ» I. multo igitur magis erit

4Z -- HK AT.

ergo rectlarum 4, 42, HK duae reliqua maiores
sunt quolibet modo coniunctae. fieri igitur potest, ut
ex reetis aequalibus rectis 4I, 42, ΗΚ iriangulus
construatur; quod erat demonstrandum.

348 APPENDIX I.

2.
Ad libr. XI prop. 23.

᾿Αλλὰ δὴ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπὶ μιᾶς
τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου τῆς ΜΝ, καὶ ἔστω τὸ A,
καὶ ἐπεζεύχϑω 7 Ξ 4. λέγω πάλιν, ὅτι μείξων ἐστὶν
ἡ 48 τῆς AS. εἰ γὰρ μή, ἥτοι ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ
ΛΜΗ͂ ἣ ἐλάττων. ἔστω πρότερον ἴση. δύο δὴ αἱ AB,
ΒΓ, τουτέστιν αἱ 4E, EZ, δύο ταῖς ME, Ξ4, τουτ-
ἔστι τῇ ΜΝ, ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ AZ Σ;κεῖται
ἴση. καὶ αἱ 4E, EZ ἄρα τῇ 4Z ἴσαι εἰσίν" ὅπερ
ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ AB ἴση ἐστὶ τῇ AR.
10 ὁμοίως δὴ οὐδὲ ἐλάττων' πολλῷ γὰρ τὸ ἀδύνατον
μξῖξον. ἡ ἄρα 4B μείξων ἐστὶ τῆς A4. καὶ ἐὰν
ὁμοίως, € μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 41Β τοῦ ἀπὸ τῆς
ΛΑ, ἐκείνῳ ἴσον πρὸς ὀρϑὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ
ἀναστήσωμεν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, συσταϑήδεται τὸ

16 πρόβλημα.
ἀλλὰ δὴ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ
AMN τριγώνου καὶ ἔστω «τὸ E, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ
AH, MA. λέγω δὴ καὶ οὕτως, ὅτι μείξων ἐστὶν ἡ
AB τῆς ΑΕ. εἰ γὰρ μή, ἥτοι ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων.
20 ἔστω πρότερον ἴση. δύο οὖν αἱ AB, ΒΓ δύο ταῖς

Θι

XI, 28 in textu post ποιῆσαι p. 68, 17 add. PBF V b.

1. τό] om. P. 2. τῆς MN] ras. 8 litt. V, γωνίας τῆς
MN φ. ἔστω τὸ ἘΠ in ras. m. 1 b. — 8. ὅτι πάλιν b.
μεῖξον g. 4. ἡ] corr. ex of V. εἰ γάρ — 11. τῆς AA]
mg. m. 1, add. ye. b, in textu: ἐπεὶ γὰρ αἴ 4E, EZ τῆς AZ,
τουτέστι τῆς ΜΝ, μείξους εἰσί, καὶ ἡμίσειαι" ἡ Ε4 ἄρα τουτ-
ἐστιν τῆς ΜΗ͂ ἡ AB τῆς ΛΗ͂ μείξων ἐστίν. 6. αἴ] in ras.

m. 92 P. 4E, EZ δυσί in spatio uacuo tertiae partis lineae
m. 9 P. δυσί b. τουτέστιν B. 7. ἀλλὰ ἡ MN]

APPENDIX I. 949

2.
Ad libr. XI prop. 23.!)

Uerum centrum circuli in aliquo latere trianguli
sit, uelu& M.N, et sit X, et ducatur X4. dico rursus,
esse 4B — 4,4. nam si minus, erii aub. 4 B —— AX
aub 4B «4A. prius sit 4B — 4,3. itaque duae
rectae 4B, BI, hoc est 4E, EZ, duabus rectis M5,
A4, hoc est M N, aequales sunt. supposuimus autem,

esse MN τε 2Ζ. quare Zz4E-|-EZ-4Z. quod

fieri non potest. itaque non est 4B — ΛΞ. iam simi-
liter demonsitrabimus, ne minorem quidem esse 4B
recta 41,3; nam hoc multo mi-
nus fieri potest. ergo 4B AX.
ei si similiter ,3P ad planum
cireuli perpendicularem erexeri-
mus, ita ut sit, 5 P? — 4B? —— 453
problema componetur.

Uerum centrum circuli extra
iriangulum “ΜΩ͂Ν positum sit et sib ἐπ, et ducantur
45, MÀ. dico sic quoque, esse 48)» 4,3. nam si
minus, erib aub. 4 B « 43 aut 4B « 45. prius sit

1) De figuris cfr. p. 62.

m. 9 P. κεῖται ἐστίν supra scr. κβῖται m. 2 B. 8. καί
— ἄρα] om. F; uidentur fuisse in mg. à m. 2. ἴσαι εἰσίν]
m. 2 FP. 9. ἐστέν] om. B V, supra m. 1 F. ἐστί] om.
ἄρα g (non F). vj] bis g. 18. ἐκείνῳ — 14. EP] mg.
m. 1 b, add. yo., in textu: ἐκεένῶι ἴσην πρὸς τῷ τοῦ κύκλου
ἐπιπέδῳ ἀναστήσομεν τὴν EP (in ras.). 18. ἐκεῖνο b.

14. ἀναστήσομεν b. — 10. ἐντός V, sed corr. 18. AS, MA]
al AN o, RA, ΖΜ, EN b, AX, MN, NX V et B (Ν m. 2).

καί] om. V, ὅτε καί b. — óc] om. b. — 20. ov] δή V,
δεῖ g. δύο] δυσί b.

Θι

10

1ὅ

20

350 APPENDIX I.

MA, EA ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, xal βάσις ἡ
AT ' βάσει τῇ MA ἴση" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ 48ΒΓ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΜΒ... ἴση ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ
ΗΘΚ τῇ ὑπὸ AEN ἐστιν ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ MEN
δύο ταῖς 4BI, ΗΘΚ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ αἴ ὑπὸ ABI,
ΗΘΚ τῆς ὑπὸ 4ΕΖ μείζονές εἰσιν. καὶ ἡ ὑπὸ MEN
ἄρα τῆς ὑπὸ ZEZ μείξων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἵ
4 E, EZ δύο ταῖς ΜΈ, EN ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις ἡ
4Z βάσει τῇ ΜΝ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΜῈΝ yo-
νίᾳ τῇ ὑπὸ 4 ΕΖ ἐστιν ἴση. ἐδείχϑη δὲ καὶ μείξων"
ὕπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ A B τῇ A5. ἑξῆς
δὲ δείξομεν, ὅτε οὐδὲ ἐλάττων. μείξων ἄρα. καὶ ἐὰν
πρὸς ὀρϑὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πάλιν ἀναστήσωμεν

“τὴν EP καὶ ἴσην αὐτὴν ἀποϑώμεϑα, à μεῖξον δύναται

τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ͂, συσταϑήσεται τὸ
πρόβλημα.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ AB τῆς AS.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. καὶ κείσϑω τῇ μὲν 48 ἴση ἡ
AO, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ &II, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΟΠ. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἣ AB τῇ BI, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ &O τῇ
AIL ὥστε καὶ λοιπὴ 9? OA λοιπῇ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἣ AM τῇ IIO, καὶ ἰσογώνιον
τὸ AME τρίγωνον τῷ IIXO τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς
ἡ Ξ 4 πρὸς τὴν AM, ἡ ΞΟ πρὸς τὴν OH, καὶ ἐναλ-

1. ἑκατέρα] ἑκατέρας P, ; del. m MA] M in ras.
V. ἔστιν loq F. . ἔ ἐστί») ἔστιν ion ^b. ἴση ἐστί V.
4. καὶ ὅλη Ὁ. 5. δός] PBY, F m. 1, δυσί b, Β' m. 2.
vais] ταῖς ὑπό Fb; ὑπὸ supra scr. m. 2 BV. ἀλλ᾽ P.
αἴ] 9 b. 6. εἰσι BV, comp. Fb MXN] oorr. ex MN
m. 2 P, MA in ras. m. 2 B. 7. ἐστί PBV, comp. Fb.
8. δύο] δυσί b et m. 2 F. εἰσέ PBV, comp. Fb. 9. ye-
víx] om. b. 10. ἴση ἐστέν b. 11. decis] om. ἑξῆς
δέ] ὁμοίως δὴ τοῖς ἔμπροσθεν Fb, mg. m. 1: yo. "toe ed v.

APPENDIX I. 351

AB — 45. ergo duae rectae 4B, ΒΓ duabus ME,
".4 singulae singulis aequales sunt, et AI'— M 4;
ilaque erii [.4BI'— MEA [I, 8]. eadem de causa
etiam ( ΗΘΚ — 4XN. itaque
LMXEN --τ ABI-- HOOK. sed
ABI'J-H0K-.Z4EZ quare
etiam /. MXN 4ΕΖ2Ζ. οἵ quo-
niam duae rectae 4 E, EZ dua-
bus MA, ΕΝ aequales sunt, et
Z4Z MN, ent áMESN—AEZ
[1,8]. demonstrauimus autem, esse
eiiam /. MEN 7 4 EZ. quod absurdum est. itaque non
est 4 B — 4. deinceps autem demonstrabimus, ne mi-
norem quidem eam esse. ergo maior esti. οὗ si rursus
ad planum circuli perpendicularem erexerimus Καὶ Ρ et
sumpserimus P? — 4B?-:- 45?, problema componetur.

iam dieo, ne minorem quidem esse 4 B recta 45.
nüm si fieri potest, sit 4B « 4X. οὗ ponatur ,£O
— AB, AII -— BI, et ducatur OII. et quoniam AB
— BI, erii ΞΟ — ἘΠ. quare etiam ΟΖ — IIM.
itaque 4M rectae IIO parallela est (VI, 2], et trian-
gulus 4 ΜΗ triangulo I7 4O aequiangulus [1, 29]. itaque
SA: 4M — ΞΟ: ΟΠ [VI, 4), οὐ permutando [V, 16]

13. ἀναστήσομεν P, sed corr. 14. τήν] τό F. — EP]P

eras. V, EO b. ὑποθώμεϑα FV. X o]corr. ex 0 P m. 2.
15. τὸ ἀπό — τῆς] in spatio uacuo et mg. m. rec. P.
τὸ ἀπὸ τῆς] ἡ b. τοῦ ἀπό] om. b. ΑΞ] A& οὐ b;

mg. m. 1: yg. τὸ ἀπὸ τῆς AB τοῦ ἀπὸ τῆς AA yo. καὶ οὕτως.
λέγω --- Ῥ. 862, 29: ἀδύνατον] mg. m. 1 b, adiecta figura,

cni adscribitur: τοῦτο τὸ σχῆμα οὔκ ἔστι τοῦ κειμένου.

20. ἐστίν P. καί] om. F, supra m. 2: καὶ 75 καὶ ἡ b.

21. O4] O in ras. F. MII F. 88. AMEN] ASM Fb,

MEAinras V. 34, ἡ ΞΟ] οὕτως ἡ ΞΟ Fb.

952 APPENDIX I.

λὰξ ὡς ἡ AE πρὸς τὴν EO, οὕτως ἡ 4M πρὸς τὴν
OIL μείξων δὲ ἡ A5 τῆς ΞΟ' μείξων ἄρα καὶ ἡ
AM τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ AM τῇ ADT ἐστιν ἴση" καὶ ἡ
AT ἄρα τῆς ΟΠ ἐστι μείξων. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ AB,
5 ΒΓ δύο ταῖς OX, ἘΠῚ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
καὶ βάσις ἡ 4Γ᾿ βάσεως τῆς OII μείξων ἐστέν, γωνία
ἄρα ἡ ὑπὸ ABI' γωνίας τῆς ὑπὸ OXRII μείξων ἐστίν.
ὁμοίως δὴ κἂν τὴν ΞΡ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν KO, ἘΠ
ἀπολάβωμεν καὶ ἐπιξεύξωμεν τὴν ΟΡ, δείξομεν, ὅτι
10 καὶ ἡ ὑπὸ ΗΘΚ γωνία τῆς ὑπὸ OSP μείξων ἐστίν.
συνεστάτω δὴ πρὸρ τῇ 4Ξ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ
σημείῳ τῷ A τῇ μὲν ὑπὸ ABI' γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ
A&RZ, τῇ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΗ͂Τ, καὶ κείσϑω
ἑκατέρα τῶν EZ, RT τῇ ON ἴση, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν
15 αἱ ΟΣ, OT, ΣΤ. καὶ ἐπεὶ δύο α 4B, BI' δύο
ταῖς OX, ΕΙΣ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ 48ΒΓ γω-
vía τῇ ὑπὸ OAZ ἴση, βάσις ἄρα ἡ AT, τουτέστιν ἡ
AM, βάσει τῇ ΟΣ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ xal
| ἡ AN τῇ OT ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο a( MA, AN
40 δύο ταῖς ΣΟ, OT ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ MAN
γωνίας τῆς ὑπὸ ΣΟΤ' μείξων ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ MN
βάσεως τῆς ET μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ 4Z
ἐστιν ἴση" καὶ ἡ 4Z ἄρα τῆς ΣΤ' μείξων ἐστίν. ἐπεὶ
οὖν δύο αἱ 4E, ΕΖ δύο ταῖς EE, AT ἴσαι εἰσίν,
26 καὶ βάσις 7 4Z βάσεως τῆς EZ T μείζων, γωνία ἄρα
ἡ ὑπὸ A4EZ γωνίας τῆς ὑπὸ ZAT μείξων ἐστίν. ἴση
ὃὲ ἡ ὑπὸ ΣΗ͂Τ ταῖς ὑπὸ ABI, HOK. ἡ ἄρα ὑπὸ
A4EZ τῶν ὑπὸ ABI, ΗΘΚ μείξων ἐστίν. ἀλλὰ καὶ
ἐλάττων" ὅπερ ἀδύνατον.

1. τὴν EO] XO V. 8. τῇ AT] om. φ. 4. AT
ΓΑ P. μείξων ἐστί, sed ἐστί supra scr., F. 6. μεέξων

APPENDIX I. 858

οὐ 4 : ΞΟ — ΑΜ: ΟΠ. uerum 4&7 AO. itaque
eliam 4M — OII [V, 14]. sed 4M — AI: itaque
eliam 4Γ» ΟΠ. iam quoniam duae rectae 4B, ΒΓ
duabus rectis O,5, 311 singulae singulis aequales sunt,
ei 4I' Oll, erit L ABI'— OAXII [I, 25]. similiter
81 posuerimus ,5 P — Ξ0 — ἘΠῚ et duxerimus OP, de-
monstrabimus, esse etiam [ HO K — OXP. iam ad
rectam 4,5 et punctum eius 3 angulo A4BI' aequalis
eonstruatur /. 45 2 [1, 23], et ponatur SZ — &T— OS,
et ducantur OZ, OT, ZT. ei quoniam duae rectae
AB, BI'duabus OX, 32 aequales sunt, et ( ABIT
— OZ, erit 4I'— OZ [I, 4], h. e. 4M—02.
eadem de causa etiam 44N — OTT. et quoniam duae
rectae ΜΖ, ΑΝ duabus ΣΟ, OT aequales sunt, et
L MAN » ΣΟΊ, erit MN — ZT [I, 24]. sed MN
— Z2. itaque etiam 21Z — Z T. iam quoniam duae
rectae Z4E, EZ duabus ΣΙ, XT aequales sunt, et
AZZT,ert LAEZ ZAT [I, 25]. est autem
L EET - 4ΒΓ- ΗΘΚ. ergo L 4EZ ABI'-- HOK.
uerum idem minor est. quod fieri non potest.

comp. F, ἄρα comp. ἐστί PBV, comp. Fb. 7. ἄρα)

comp. Supra scr. m. 2 F. 8. x&v] P, καί m. 10. OSP

γωνίας F. ἐστί P, comp. b. 11. τὴν ΛΞ εὐθεῖαν m,

et B, sed corr. Post yi ras. 1 litt, V. 12. ἴσην P,

ged corr. 7] postea ins. m. 1 P. 13. OH K B.

ΑΞ ΤΊ T e corr. m. 2 P. 14. ἐπεξεύχϑω V, cav add. m

rec. 15. αἱ 45: BD δύο] mg. V. 16. εἰσί PV.

comp. Fb. zi] ἡ F, corr. m. 2. 18. βάσει] εἰ

eras. V. 19. deus ἴση Vb. AN] A ins. m. 1 V.

90. Z0] corr. ex OZ V, OZ B. εἰσί PV, comp. Fb.

91. ZT F. ἐστί PY, comp. Fb. 22. ἀλλ᾽ Fb.

98. ἐστί V. 24. οὖν] om. B. ZAR] corr. ex EZ m. 2 P.
εἰσί PV, comp. Fb. 36. μείξων ἐστί F V; seq. rae. tertiae

partis lineae F. — 27. xd (prius) καὶ ἡ b. 29. ἀδύνατον] &co-

zo» FE, corr. mg. m. 2.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 28

e

954 APPENDIX I.

ὃ.
Uulgo XI prop. 38.

᾿Εὰν ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρϑὸν Tf, καὶ ἀπό
τινος σημείου τῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον
ἐπίπεδον κάϑετος ἀχϑῇ, ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς πεσεῖται
τῶν ἐπιπέδων ἡ ἀγομένη κάϑετος.

ἐπίπεδον γὰρ τὸ ΓΖ ἐπιπέδῳ τῷ 48 πρὸς ὀρϑὰς
ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ 44, καὶ εἰλήφϑω
ἐπὶ τοῦ ΓΖ ἐπιπέδου τυχὸν σημεῖον τὸ E" λέγω, ὅτι
ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ AB ἐπίπεδον κάϑετος ἀγομένη

. ἐπὶ τῆς “144 πεσεῖται.

10

1ὅ

20

μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΕΖ,
καὶ συμβαλλέτω τῷ 418 ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον,
καὶ ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὴν 244 ἐν τῷ AB ἐπιπέδῳ κά-
ϑετος ἔστω ἡ ΖΗ, ἥτις καὶ τῷ D ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρϑάς ἐστιν, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ EH. ἐπεὶ οὖν ἡ ZH
τῷ ΓΖ4 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν, ἅπτεται δὲ αὐτῆς
ἡ EH οὖσα ἐν τῷ ΓΖ ἐπιπέδῳ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ
ὑπὸ ZHE γωνία. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ τῷ AB ἐπιπέδῳ
πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΖΗ ὀρϑή ἐστιν. τρι-
γώνου δὴ τοῦ ΕΖΗ αἱ δύο γωνίαι ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν"
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ AB
ἐπίπεδον κάϑετος ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τῆς 244.
ἐπὶ τὴν 4.4 ἄρα πεσεῖται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

XI, 88 post XI, 87 habent PBFV, om. b; £v τισι τῶν
ἀντιγράφων ov φέρεται τὸ λη P mg. m. 1..

4y' PBV, in ras. m. 2 F. 2. cov] (alt.) m. 2 F. ἕτερον
ost o del. s P. 8. ἀχϑεὶ P, corr. m. 2. — 5. ΓΖ] Γ' eras.
V. c6 ΔΑΊ corr. ex 44 V, AAF. 9. 44] 44 F V.
li. συμβαλέτω PV. 18. ἔστω] ἤχϑω BFV. 14. ἐστι BV,

APPENDIX I. 9355

ὃ.
Uulgo XI prop. 38.

Si planum ad planum perpendiculare est, et a
puncto aliquo alterius plani ad alterum planum per-
pendicularis ducitur, perpendicularis ducta in commu-
nem planorum sectionem cadet.

Nam planum ΓΖ ad planum 4B perpendiculare
sit, eb communis eorum sectio sit 7/174, et in ΓΖ plano

r punctum aliquod sumatur E.
E dico, perpendicularem ab E

A ad planum 4B ductam in 7/14
"B cadere.

ne cadat enim, sed si fieri potest, extra cadat ut
EZ et cum plano 4B concurrat in puncto Z, et ἃ
Z ad 44 in plano 4B perpendicularis sit Z H, quae
eadem ad planum ΓΖ perpendicularis est [XI def. 4],
el ducatur EH. iam quoniam ZH ad planum IZ
perpendieularis est, et eam tangit EH in plano I'4
posita, [| ZHE rectus erit [XI def. 3]. uerum etiam
EZ ad planum AB perpendicularis est. itaque / ΕΖΗ
rectus est. ergo iriangui ΕΖΗ duo anguli rectis
aequales sunt; quod fieri non potest [I, 17]. itaque
perpendicularis ab E ad planum 4 B*ducta extra 714
non cadet. ergo cadet in 214; quod erat demon-
strandum.

comp. F. EH] H eras. V. 18. ἐστιν] (alt.) ἐστι B V,

comp. F. 19. ὀρϑαὶς] δύο ὀρϑαῖς FV, δύο add. m. 2 B.

εἰσίν) om. F V. 22, τήν] corr. ex τῆς m. 2 V. Ad F Y.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. F V.

23*

956 APPENDIX I.

4.
Ad libr. XII prop. 4.

Kol ἐπεὶ τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι δύο πρίσματα
ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. ἀλλὰ μὴν καὶ τὰ ἐν τῇ 4EZO
πυραμίδι δύο πρίσματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ἔστιν
ἄρα ὡς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ BK παραλληλό-
γραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ MO εὐϑεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα,
οὗ βάσις μὲν τὸ AAT τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ
ΟΜΝ, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ IIEPO, ἀπεν-
αντίον δὲ 4 XT, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ
ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ETT. συνϑέντι
10 ἐστὶν ἄρα ὡς τὰ ΚΒΞΑΜΟ, ΛΗ͂ΓΜΝΟ πρίσματα

πρὸς τὸ ARDI'MNO πρίσμα, οὕτως τὰ IIEOPET,

ΡΦΖΣΤΥ πρίσματα πρὸς τὸ ΡΦΖΣΤΥ πρίσμα.

ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ KBEAMO, ASI'MNO

πρὸς τὰ IIEDPZT, POZZTT πρίσματα, οὕτως τὸ
15 ΛΕΈΓΜΝΟ πρίσμα πρὸς τὸ ΡΦΖΣΤΥ πρίσμα. ὡς
δὲ τὸ ΙΞΓΜΝΟ πρίσμα πρὸς τὸ ΡΦΖΣΤΥ πρίσμα,

οὕτως ἐδείχϑη ἡ ΔΞΓ βάσις πρὸς τὴν POZ, καὶ ἡ

ABI βάσις πρὸς τὴν A4EZ βάσιν. καὶ ὡς ἄρα τὸ

4ΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4 ΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὰ ἐν
230 τῇ 4BI'H πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ

A4EZO0 πυραμίδι δύο πρίσματα. ὁμοίως δὲ κἂν τὰς

᾿ ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν τὸν αὐτὸν τρόπον
οἷον ὡς ràg ΜΝΟΗ, ΣΤΎΘ, ἔσται ὡς ἡ MNO

ox

XII, 4. Pro uerbis ὡς δέ p. 160, 18 — δεῖξαι p. 162, 14
Theon (BY q). de figura u. p. 169.

2. ἐστιν ἴσα B. 4. BKA&S]inras V. ὅ. MO] Me
corr. V. 6. μέν] om. V. 7. οὕτω B. 9. καὶ συνϑέντι

APPENDIX I. 951

4,
Ad libr. XII prop. 4.

Et quoniam duo prismata pyramidis 4BI'H inter
se aequalia sunt, uerum etiam duo prismata pyramidis
4EZO inier se aequalia sunt, erit αὖ prisma, cuius
basis est parallelogrammum BK 4,5, ei autem oppo-
sita recta MO, ad prisma, cuius basis est triangulus
AAHI, ei autem oppositus OMNN, ita prisma, cuius
basis est JI EP, ei autem opposita Z T, ad prisma,
cuius basis est triangulus PO Z, ei autem oppositus
ZTT. componendo igitur est K B/S4MO -]- 443IT'MNO
: 4A8IMNO-—IIEOPZT-A-POZZTT:POZZTT.
itaque permutando erit
KBXEXAMO -- ASTMNO:IIEOPZT--POZZXTT

— ASIMNO:POZZTT.
demonsitrauimus autem, esse 43IT'MNO: ΡΦΖΣΤΥ
— AXI: POZ-— ABI:AZEZ. itaque etiam ut ABI
: 4 EZ, iia duo prismata pyramidis 4BI'H ad duo
prismata pyramidis z4/EZO. similiter si reliquas py-
ramides, uelut MNOH, ZTTO, eadem ratione diui-

q. 10. ἄρα ἐστίν V. 11. οὕτω B. ΠΡΕΦΣΤ, post ó
ras., V. 12. POZZT T] P inter duas ras. V. EOZZTT
V. πρίσματα q. 18. KXBARMO B. AADIMNO B,
EDIMON q et ON in ras. V; seq. πρίσματα V.

14. LEO PZT] OP in ras. Υ. οὕτω B. — 16. ὡς δέ — 16.
POÓZZTT πρίσμα] om. q. 18. βάσιν] om. V. 19. οὕτω
q. 922. ὑπολειπομένας mg. m. 2 B, in textu γενομένας.

23. ὡς] (prius) bis V.

358 APPENDIX I.

βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν vij MNOH
πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ETTO πυρα-
μίδι δύο πρίσματα. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΜΝΟ βάσις πρὸς τὴν
ZTT βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓ βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ2

5 βάσιν. καὶ ὡς ἄρα ἡ 48Γ βάσις πρὸς τὴν 4ΕΖ
βάσιν, οὕτως καὶ τὰ ἐν τῇ ABI'H πυραμίδι δύο πρίσ-
ματα πρὸς τὰ ἐν τῇ 4 ΕΖΘ πυραμίδι δύο πρίσματα,
καὶ τὰ ἐν τῇ MNOH δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ
ZTTO πυραμίδι δύο πρίσματα, καὶ τὰ τέσσαρα πρὸς

10 τὰ τέσσαρα. τὰ αὐτὰ δὲ δειχϑήσεται καὶ ἐπὶ τῶν γε-
νομένων πρισμάτων ἐκ τῆς διαιρέσεως τῶν 4Κ40
καὶ ΔΙ ΠΡΣ πυραμίδων καὶ πάντων ἁπλῶς τῶν ἰδο-
πληϑῶν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

5.
Ad libr. XII prop. 17.

Δεικτέον δὴ καὶ ἑτέρως προχειρότερον, ὅτι μείξων

16 ἐστὶν ἡ ΑΨ τῆς AH. ἤχϑω ἀπὸ τοῦ H τῇ AH πρὸς
ὀρθὰς ἡ Η Δ΄, καὶ ἐπεξεύχϑω d Α.Α4΄. τέμνοντες δὴ
τὴν EB περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς
δέχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα περι-
φέρειαν, dj ἐστιν ἐλάσσων τῆς ὑποτεινομένης τοῦ
90 ΒΓΖΔῈ κύκλου περιφερείας ὑπὸ τῆς ἴσης τῇ Η 4΄.
λελείφϑω καὶ ἔστω ἡ KB περιφέρεια. ἐλάσσων ἄρα
καὶ ἡ KB εὐϑεῖα τῆς Η Α΄. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ ἐστὶ

XII, 17 inter ἐπιφάνειαν et δύο p. 340, 5—6 PBVq. De
figura u. p. 231. pro 4' in P scribitur «; litteram hanc iu
fig. om. B.

6. οὕτω Bq. δύο] om. V. 7. πρὸς τά — πρίσματα]
om. 4. πυραμίδι δύο πρίσματα] om. V. 8. καί] καὶ ἔτι

APPENDIX I. 359

serimus, erunt ut MNO: Z TT, ita duo prismata pyra-
midis MNOH ad duo prismata pyramidis ZTTO.
uerum MNO:ZTT-— ΑΒΓ : A4EZ. quare etiam ut
ΑΒΓ: ΕΖ, ia duo prismata pyramidis ABI'H ad
duo prismata pyramidis 4 EZ et duo prismata- pyra-
midis MNOH ad duo prismata pyramidis ZTT6,
et quattuor ad quattuor. eadem autem etiam in pris-
matis ex diuisione pyramidum 4K 40, 41IIPZ ortis
demonstrabuntur, et omnino in omnibus prismatis nu-
mero aequalibus; quod erat demonstrandum.

5.
Ad libr. XII prop. 11.

Iam aliter quoque promptius demonstrandum est,
esse 4 — AH. ducatur ab H ad AH perpendicu-
laris Η Α΄, et ducatur 4.4'. iam arcum EB in duas
paries aequales secantes et dimidiam partem eius in
duas parles aequales et hoc semper facientes arcum
quendam relinquemus minorem arcu circuli BI'ZE,
sub quo recta aequalis rectae H.4' subtendit. relin-
quatur et sit arcus KB. itaque erit KB « H.4'. et

V. δύο] e corr. V. 9. τὰ] om. B. τέσσερα B, corr.

m. 92. 10. τά] om. q. τέσσερα B, corr. m. 2. woué-
707 q. 11. τῶν) corr. ex τῶ m. 2 'B., AAKO Y.

12. ἰσοπιηϑᾶν] εἰς τὸ πλῆϑος q. 18. ὁπερ ἔδει δεῖξαι) om.
Vg; in el. τε δέ ἐστιν ὡς τὸ A. 15. AH] (priu), H

e corr. V, 4K q.. 16. H4'] HA Vq, H B. 4417 4

Vq, 4 B; mg. ἡ HA καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AA m. 9 B.

18. τοῦτο] τὸ αὐτό qd. 19. ἐστι») ἔσται q.. 20. τῇ] τῆς B.
HA'| HA V (4e corr) c et B (supra scr. 4 m. 2), HA q.
21. εἰλήφϑω q. 29. H4'] HA V, HA q, H B (supra

scr. HA m. 9). ἐστιν P

ὅ

10

15

20

360 APPENDIX I.

τὸ BK XO τετράπλευρον, καί εἰσιν ἴσαι αἴ OB, BK,
KZ, καὶ ἐλάττων ἡ OZ, ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΒΚ γωνία. μείξων ἄρα ἡ KB τῆς ΒΨ. ἀλλὰ τῆς
KB μείξων ἐστὶν 3) HA' πολλῷ ἄρα ἡ Η 4’ μείξων
ἐστὶ τῆς ΒΨ' μεῖξον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η Δ΄ τοῦ
ἀπὸ τῆς BU. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 4 4' τῇ AB, ἴσον
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς .4.4' τῷ ἀπὸ τῆς 48. ἀλλὰ τῷ μὲν
ἀπὸ τῆς 414’ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν 4H, HA', τῷ δὲ ἀπὸ
τῆς 4B ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν BU, 4: τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν
AH, HA' ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ,. ὧν τὸ ἀπὸ
τῆς Β Ψ ἔλαττόν ἐστι vov ἀπὸ τῆρ Ἡ Α΄ λοιπὸν ἄρα
τὸ ἀπὸ ΨΑ͂ μεῖξόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΗ' μείξων ἄρα ἡ
AI τῆς AH.
6.
Ad libr. XIII prop. 6.

Ἐὰν ῥητὴ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηϑῇ,
ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἀποτομή ἐστι. ῥητὴ yàg ἡ
A B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ D δη-
μεῖον. σύμμετρον τμῆμα ἐστι τὸ 4Γ. λέγω, ὅτι éxa-
τέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀποτομή ἐστι. κείσϑω τῆς 48
ἡμίσεια ἡ 44. ῥητὴ δὲ ἡ AB: ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ 44.
καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Df τοῦ ἀπὸ
τῆς 44, ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῶν 44, ῥητὸν ἄρα καὶ

6. Haec propositio inter libb. XII et XIII legitur in solo
q (cfr. p. 246 adn. crit) in re parum differt a XIII, 6, qua-
lem recepimus; sed uerba magis abhorrent, quam ut scriptura
codicis q inter discrepantias meras recipi possit. est detrun-
calio prop. 6 genuinae. cum praeterea scriptura erroribus scri-
barum plurimis laboret, interpretationem Latinam non dedi.

1. of] om. q. 2. ὑπό] ὑπὸ τό B. 8. ἀλλά] ἀλλὰ καί q.
4. HA'| HA V, AH q, H B (supra scr. HA m. 3).

- ————————————————ÁÓÀ A DAN -ττπτροϑτιοτρ.ο..-.-΄΄΄-΄-΄΄---- - - -.- -----Ξ- ---ἠ“--ς--- — — — ——— ÀA -

APPENDIX I. 961

quoniam in circulo est BK ZO quadrilaterum, et OB
-- ΒΚ -KZ,minor autem OZ, obtusus est /, B'*PK.
ilaque K B — BU. uerum Η 4΄ — KB. itaque multo
magis H 4'- ΒΨ. quare etiam 4'H?-— ΒΨ. et
quoniam “4 Α΄ — 4 B, erit etiam Δ΄ 4? — 4 B?. uerum
AH? -]- A4' H? — 4' 4*, B UP? -- Ψ 4? — 4853, ergo
AH? -- A'H* — B yn «45, quorum B P? — 4' H?,
itaque 74? — 4H?*. ergo 4 — AH.

H4] HA d Md in rag) οὗ q, ΗΑ“ e. corr. B. — 5. ueifov] μεί-

fov HA V (A in ram) HA q et B (A postea ins.).

6. isl A P. A44'] A4 Va, A B (supra scr. m. 2 A4).

τῇ] Te ex τῆς P. 7. A4'] AA Vq, 44 postea ins.

B. εὖ corr. ex τοῦ m. rec. P. tQ] corr. ex τό m. 1 q.
44,44 Y9; 4H B, 44A m. ὃ. AH] « 9 B.

HA'] HA q, H4 B 10. 4H] ins. m. 2 in spatio uacuo
B. HA']HAVq; HAB, cor.in HA. ἴσα ἐστί V.

11. ἐστι] om V ; ἐστιν P. τῆς] om. P. HA'] ras. V, ΗΑ

q (H e corr. m. 1), zog B; seq. καί comp. V. 12. τῆς ΨΑ

γα. τῆς AH q; 4 mutat. in 4 B.

862 APPENDIX I.

τὸ ἀπὸ τῶν Zl. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ
τῆς 4Γ τοῦ ἀπὸ τῆς 44, τὸ ἄρα ἀπὸ τῶν ΖΓ ΄ πρὸς
τὸ ἀπὸ τῶν 414 λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριϑμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριϑμόν, ἀλλ᾽’ ὃν μὲν ἀριϑμὸς πρὸς

δ ἀριϑμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ 4Γ τῇ 414 μήκει.
καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα" αἵ ΓΖ, 2.44 ἄρα ῥηταί εἰσι δυ-
νάμει μόνον σύμμετροι. ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ AI.
ῥητὴ δὲ ἡ AB, καὶ τῷ ἀπὸ τῶν 4Τ' ἴσον παρὰ τὴν
AB παραβέβληται τὸ ὑπὸ τῶν 4B, ΒΓ. τὸ δὲ ἃ

10 ἀποτομὴν παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ
ἀποτομὴν πρώτην. ἀποτομὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΒ. ἑκατέρα
ὃ ἄρα τὸν 4Γ, ΓΒ ἀποτομή ἐστιν. ἐὰν ἄρα ῥητὴ
εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηϑῇ, ἑκάτερον τῶν
τμημάτων ἀποτομή ἐστιν.

1.
Ad libr. XIII prop. 5D.
15 "AAA ong.

"xv εὐϑεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηϑῇ»,
ἔσται ὡς συναμφότερος ἦ ὅλη καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα
πρὸς τὴν ὅλην, οὕτως ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖξον τμῆμα.

Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τε-

20 τμήσϑω κατὰ τὸ D, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα τὸ 4Γ΄
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς AB,
οὕτως ἡ B4 πρὸς AI.

Κείσϑω. γὰρ τῇ ΑΓ ἴση 95 Az λέγω, ὅτι ἐστὶν

7. Hoc ἄλλως habet r post XIII, 6, q in textu pro X
06, b mg. m. 1 post XIII, , τ,

15. ἄλλως] 2m. q, in quo numerus prop. Ey: est.
16. μέσο q. 0. ἔστω] ἔσται b. — 21. 4B] BA P

APPENDIX I 963

1.
Ád libr. XIII prop. 5.
Aliter.

Si recla linea secundum rationem extremam ac
mediam secatur, erit ut tota, cum parte maiore ad totam,
ita tota ad partem maiorem.

nam recta 4B in I' secundum rationem extremam

| 80. mediam secta sit, et maior pars sit ΑΓ. dico,
esse B4 -]- 4Γ: 4B — BA: AI. — ponatur enim 44
— ΑΓ. dico, esse ΒΖ: ΒΑ —— ΒΑ: AI. nam quo-

ex

10

15

20

3604 APPENDIX I.

ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν AI.
ἐπεὶ γὰρ ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ D, καὶ μεῖξον τμῆμά ἐστι τὸ 4Γ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ
ΒΑ͂ πρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ. ἴση
0b ἡ AD τῇ dt ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς 44,
οὕτως 7 4Γ πρὸς DB: ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ
44 πρὸς τὴν 48, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂ συν-
ϑέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ
B4 πρὸς AI. ἴση δέ ἐστιν ἡ 44 τῇ AI" ἔστιν ἄρα
ὡς συναμφότερος ἣ BAT πρὸς τὴν 48, οὕτως (ἡ
BA πρὸς AI. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς ἡ 4B πρὸς BA,
οὕτως ἡ ΒΑ͂ πρὸς AI, ἴση δὲ ἡ DA τῇ 44, ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν
A4. καὶ ἡ 4B ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ 44, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς
εὐθεῖα ἡ Α41Β' ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

8.
Ad libr. XIII prop. 1— 5.

Τί ἐστιν ἀνάλυσις καὶ τί ἐστι σύνϑεσις.

᾿ἀνάλυσις μὲν οὖν ἐστι λῆψις τοῦ ἑητουμένου ὡς
ὁμολογουμένου δίὰ τῶν ἀκολούϑων ἐπί τι ἀληϑὲς ὁμο-
λογούμενον.

8. Hae analyses in meis codicibus coniunctae sunt. legun.
tur in P (in quo demonstr. alt. prop. 5 sextam sequitur) post
demonstrationem alteram prop. b (supra nr. 7 signatam), in B -
post prop. 6, in b post prop. 5 (prop. 6 deest), in q post pro-
positionem in eo sextam, quam supra nr. 7 signauimus; in V
analyses prop. 1—8 in textu sunt post prop. 6, prop. 4—6
eodem loco mg. inf. m. 2.

2. ΑΒ] ΒΑΡ. — 4. BA] ΑΒᾳ. ὅ. δῆ δ᾽ Ῥ. 44]
44". τὴν Ád P. 1. 44| 4B b. τήν] (prius) om. b.

APPENDIX I. 965

niam 4B in I' secundum rationem extremam ac me-
diam secta est, οὖ maior pars est 4I erii B4: AT
— ADl:IB. uerum A4DI'— 44. itaque Β4: 44
-- 4D:IB. econtrario igitur 44: 4B — ΒΓ: ΓΑ.
componendo igitur B: B4 — B4: AI. uerum Z4
— 4l. itaque BA4-- 4DI:4B-—B4:4I:) οἱ
quoniam demonstrauimus, esse 28: B.4 — B A : AT,
οὐ ΓΑ͂ — 44, erit 4B: BA — BA: 424. ergo eliam
4B in 4 secundum rationem exiremam ac mediam
secta est, el maior pars est recta ab initio sumpta
44 B; quod erat demonstrandum.

-------------ι |

4 A I B

8.
Ad libr. XIII prop. 1—5.
Quid sit analysis, quid synthesis.
Analysis est adsertio eius, quod quaeritur, ut con-
cessi, qua per consequentias ad aliquid peruenitur,
quod uerum esse conceditur.

1) Hic perfecta est demonstratio propositionis, qualis in
nostro ἄλλως exposita est. reliqua addita sunt, ut intellege-
retur, sub hac forma idem demonstrari 80 in ipsa propositione

b, qualis in textu exposita est.

9. πρός] πρὸ τή P. δέ] δ P. 44] A4 P. 10. 4B]
BA P 11. τὴν AT' P. 12. ΓΑ] AT' P. 4A] 44 P.

14. καί] prius) om. P. 16. κα om. b. 17. τί — ovs-
$so:;;] om. V. 18. μὲν oov] om. BVbq. — £ovw P.

866 APPENDIX I.

Σύνϑεσις δὲ λῆψις τοῦ ὁμολογουμένου διὰ τῶν
ἀκολούϑων ἐπί τι ἀληϑὲς ὁμολογούμενον.

Τοῦ ἃ ϑεωρήματος ἡ ἀνάλυσις καὶ ἡ σύνϑεσις
ἄνευ καταγραφῆς.

Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τε-

τμήσϑω κατὰ τὸ D, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα ἡ AT, καὶ

, τῇ ἡμισείᾳ τῆς .4B ἴση κείσϑω ἡ A44: λέγω, ὅτι
πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς D τοῦ ἀπὸ τῆς 4.

10

15

20

"Exi γὰρ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ vov
ἀπὸ τῆς 444, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς D ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν
I4, A4 μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ͂, 44, τὰ ἄρα
ἀπὸ τῶν ΓΑ͂, 421 μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν DA, 442
πενταπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ 424: διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ
τῆς l'4 μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ͂, 44 τετραπλάσιά
ἐστι τοῦ ἀπὸ 44. ἀλλὰ τῷ μὲν δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ,
A4 ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν BA, AI* διπλῆ γὰρ ἡ
ΒΑ τῆς 42: τῷ δὲ ἀπὸ τῆς 4Γ' ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ
τῶν 4B, BI* ἡ γὰρ AB ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ-
τμηται" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BA, 4Γ μετὰ τοῦ ὑπὸ AB,
BI' τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 44. ἀλλὰ τὸ
ὑπὸ τῶν ΒΑ͂, 4Γ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν 48, ΒΓ τὸ
ἀπὸ τῆς 4B ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς AB τετραπλά-
σιόν ἐστε τοῦ ἀπὸ 44. ἔστι δέ" διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ
48 τῆς 44.

2. τι ἀληϑὲς ὁμολογούμενον) P, τὴν τοῦ ξητουμένου κατά-
ληξιν ἤτοι κατάληψιν ΒΥ͂Ὀα. 10. τό] τοῦ Ὁ. ἐστιν Β.
19. 44] (alt.) corr. ex AI* m. 1 b. 18. ἐστιν P.

τῆς Ad V. 14. τετραπλάσιόν γα. 15. τῶν] om. bq.

16. τό] τοῦ b. τῶν] om. q. ydo ἔστιν bq. 17. cà]

corr. ex τῶν m. 2 P. ΑΓ D44q 19. AB] τῶν AB P.
20. τῆς] om. V. τό] vo q. 22. ἀπό] bis q. τῆς]

APPENDIX I. 361

synthesis est adsertio concessi, qua per consequentias
ad aliquid peruenitur, quod uerum esse conceditur.

Analysis et synthesis prop. I sine figura.

recia enim .4B secundum rationem exiremam 80
mediam secetur in I, et maior pars eius sib AI, et
ponatur 4271 — 4 4B. dico, esse ΓΖ, — 5.4 423,

nam quoniam Γ᾽ 25 --- 54 4?, et

I4? -—ID4?-- 44? 4-24 5€ A A ΠῚ, 4],
ent I^?-- 424?-L-20I4»« 424-5424*. iaque
subtrahendo I'4?- 2D4»5« 424 —444?. | uerum

4 A D B
I —————À————————À4
BA» AI'—20I'4»« 44 (nam BA4—2424), et
AI? — AB 2 ΒΓ (nam 4B secundum rationem ex-
iremam ac mediam secta est) itaque B4 »« AT
--A4B»«BI'-—444*. uerum BA»« 4Γ - AB
»« BI'— 4B? ΠΙ, 2]. ergo 4B? — 44.413, οἱ est;
nam 4B —24 4.

om. P. ἐστι V, ἴσον ἐστέ bq. ἀπό] ὑπό b. 28. ἀπὸ)
ἀπὸ τῆς V, ὑπό

10

15

2

e

25

2368 APPENDIX I.

Σύνϑεσιςο.

Ἐπεὶ οὖν τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ
ἀπὸ τῆς 44. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ Β4 τὸ ὑπὸ BA, 4 ἐστι
μετὰ τοῦ ὑπὸ 4B, ΒΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ BA, 4Γ μετὰ
τοῦ ὑπὸ AB, ΒΓ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ 4.
ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ' ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ
τῶν 44, 4Γ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ [cov ἐστὶ τῷ
ἀπὸ τῆς AI" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 4Γ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ
τῶν 2414, 4Γ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 2144
ὥστε τὰ ἀπὲ τῶν 444, 4Γ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν
44, AT πενταπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 4144. τὰ δὲ
ἀπὸ τῶν 44, 4Γ' μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν 44, AT
τὰ ἀπὸ τῆς I4 ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς I πεντα-
πλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς 4214 ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Τοῦ β ϑεωρήματος ἡ ἀνάλυσις καὶ ἡ σύνϑεσις
ἄνευ καταγραφῆς.

Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ D τμήματος ἑαυτῆς τοῦ 44
πενταπλάσιον δυνάσϑω, τῆς δὲ 44 διπλῆ κείσϑω ἡ
AB: λέγω, ὅτι q AB ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ 4Γ,
ἥτις ἐστὶ τὸ λοιπὸν μέρος τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐϑείας.

"Exch ἣ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ 4Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ
τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς AI. ἔστι δὲ καὶ τὸ
ὑπὸ τῶν Β4Γ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 44, AT ἴσον" διπλῆ
γάρ ἐστιν ἡ B.4 τῆς 44 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 4B, ΒΓ
μετὰ vot ὑπὸ τῶν BA, AD, ὅπερ ἐστὶ τὲ ἀπὸ τῆς

2. ΒΑ BV, 8’ 4’ b. 8. ἐστιν Β. 11. πενταπλάσιόν
γα. 18. ἐστιν} ἐστι Vq, comp. b. 14. ὅπερ ἔδει δεῖξαι]

APPENDIX I. 69

synthesis.

Iam quoniam 4B? --Ξ 444), et B4* — BA»« AT
Ἢ 4B »« BI'[II, 2], erunt B4»« 4Γ- AB»« BI
— 44 4?. uerum B4 5« AI'—244»« AI; AB»« BI
— AI*. itaque AI? -- 2444 »« AT — 441 4?. quare
44?-- 41?*--944»« AT —544?. uerum Z4? -
AI*--244»«40I-I4? ΠΙ, 4]. ergo ΓΖ
— 51 4?. quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. II sine figura.

quadratum enim rectae ΓΖ quintuplum sii qua-
drati pariis eius 7/4, et ponatur 4B — 214. dico,

4 A I B
|

------------Ξ--ι
rectam 4B secundum rationem extremam ac mediam
in puncto Γ᾽ sectam esse, οὖ maiorem partem esse
AI, quae reliqua pars est rectae ab initio sumptae.

quoniam 4B in I' secundum rationem extremam
ac mediam secta est, et maior pars est ΖΓ, erit 4B
»« BI'— AI?. uerum eliam B.4»5« AI'—244»« AI
nam B 4-244. itaque erit 4B»« BI'-- BA4A»« AT

om. q, 0)— b. 15. ἡ] (alt.) om. P. 19. λόγον] om. b.
20. σημεῖον] om. V. τό] om. bq. 21. ἐστίν P.

22. ἐπεὶ γάρ BV. 86. ΒΑ, AT' b. 46. B4] AB ᾳ.

27. τοῦ] om. q. τῶν] om. Bbq. ἐστίν P.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 94

1

1

2

2

οι

310 APPENDIX I.

AB, ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 44, AD μετὰ τοῦ
ἀπὸ τῆς AI. τετραπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ
ἀπὸ τῆς 44' τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν
44, ΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ 4Γ τοῦ ἀπὸ 44 ὥστε τὰ
ἀπὸ τῶν 444, AD μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν 4A, AI,

. ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ

0

b

0

οι

τῆς 4.4. ἔστι δέ.

Σύνϑεσιο.

Ἐπεὶ οὖν πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τοῦ
ἀπὸ τῆς 44. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς D τὰ ἀπὸ τῶν 4A,
4Γ ἐστι μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν 44, 4Γ, τὰ ἄρα ἀπὸ
τῶν 44, 4Γ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν 44, 4 πεντα-
πλαάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ 44. διελόντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν
44, 4Γ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Ἅ4Γ' τετραπλάσιόν ἐστι
τοῦ ἀπὸ τῆς 441 ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 4B τετρα-
πλάσιον τοῦ ἀπὸ 441 τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν 44, AT,
ὕπερ ἐστὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν B4, AD, μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΑΓ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς 48. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς
AB τὸ ὑπὸ 48, ΒΓ ἐστι μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ, AI*
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, 4Γ μετὰ τοῦ ὑπὸ 48, ΒΓ ἴσον
ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ AI" καὶ κοινοῦ
ἀφαιρεϑέντος τοῦ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ, λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ
AB, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ AI" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ
πρὸς τὴν AI, οὕτως ἡ AD πρὸς τὴν ΓΒ. μείξων δὲ
ἡ BA τῆς 4Γ' μείξων ἄρα καὶ ἡ 4Γ τῆς ΓΒ᾽ ἡ 4B
ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ
τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν T 4I" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

4. ἀπὸ τῆς AD V. τῆς 44d V. τα] τό q. ὃὄὅ. μετά
— 4Γ] supra m. 92 B. ὑπό) ἀπό α. 6. ἐστίν PB.

APPENDIX I. 311

—24 4» AT-- AI*— AB? [IL 2]. sed 4 B*—4 2 A?
ilaque etiam 22144 »« 4Γ - 4I? — 44.433. quare
4435 -- AT? 4-244 5« AD — 54 43 — 4? [II 4].
et est.

synthesis.

iam quoniam I'Z? — 51 43, et D41* — 4 4?-- AT?
4-244»« I [I, 4], erit. 4.4? J- 4Γ5- 244
» 4I1'-524. subtrahendo erit 2414 »« AT'-- AI?
— 44.213, uerum etiam 4 Β — 44 4?. itaque 2 21.4
» 4Γ-- AI? τῷ AB? — BA»« AT -]- AI?. uerum
AB! — 4B» BI'-- B4»« AT (Il, 2]. itaque ΒΑ
» AI'-4- AB»« BI'— BA »« AT -4- AI?. et ablato,
quod commune est, B.4 »« AT' erit. 4B »« BI'— 4Γ3
ilaque B4: 4I'— 4Γ: ΓΒ. eti BA4 — AI. itaque
eliam A4I'— I'B. ergo 4B secundum rationem ex-
iremam ac mediam in Γ᾽ secta est, eb maior pars est
AI* quod erat demonstrandum.

τό] om. B. πενταπλάσια B, comp. V. 7. Tijg] om. P.
ἔστιν Bb, om. q. δέ] om. q, 4E b; dein add. διὰ τὴν ὑπό-
θεσιν BVq, mg. m. 1 b. 10. τά] τό BV. 11. ἐστιν B.
ἀπό] corr. ex ὑπό V. 13. ἐστι] om. V. A4 q, τῆς
4A V. 15. τῆς] om. P. ἔστιν B. ἀπό] corr. ex & m.
1 P. 16. τῆς Ad V. τῶν] om. P. 17. ἐστίν B.
18. ἀλλά — τῆς AB] postea add. m. 1 mg. P. 19. ὑπὸ τῶν
Υ. ἐστιν B. 20. ὑπό] (alt.) ἀπό α. ἴσον --- 91. BA,
ΑΓῚ postea add. m. 1 mg. P. 21. τῷ] corr. ex τό m. 2 P.
38. AB, ΒΓῚ corr. ex ΑΒΓ V; AB b, ABT' B.
26. AI'] (prius) ΓΑ q. ἄρα AB V. 97. ὅπερ ἔδει
δεῖξαι) om. Vq, ο)--- b.

24*

b

10

15

20

26

312 APPENDIX I.

Τοῦ y ϑεωρήματος ἡ ἀνάλυσις καὶ ἡ
σύνϑεσις.

Εὐϑεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ 48 ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα
ἡ AD, καὶ τῆς AD ἡμίσεια ἡ ΓΖ λέγω, ὅτι πεντα-
πλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ.

᾿Επεὶ γὰρ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ
ἀπὸ τῆς I4, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς 4B τὸ ὑπὸ τῶν AB,
ΒΓ ἐστι μετὰ τοῦ ἀπὸ 4D, τὸ ἄρα ὑπὸ AB, ΒΓ
μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ Ζ Γ΄
διελόντι τὸ ἄρα ὑπὸ 48. ΒΓ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ 4I. τῷ δὲ ὑπὸ 48, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς
AI" ἡ γὰρ A4 B ἄκρον καὶ uécov λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ I. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 4Τ' τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ
ΖΓ. ἔστι δέ: διπλῆ γὰρ ἡ AD τῆς ZI.

Ἢ σύνϑεσις.

Ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ AD τῆς AIL, τετραπλάσιόν
ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ AI. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ 4Γ
ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ 48, BI" τὸ ἄρα ὑπὸ AB, ΒΓ
τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΖΓ. συνϑέντι τὸ ἄρα ὑπὸ
ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ 4I, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ AB,
πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ 4Γ' ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Τοῦ ὃ ϑεωρήματος ἡ ἀνάλυσις καὶ ἡ
σύνϑεσις.
Εὐϑεῖα γὰρ γραμμὴ ἢ 4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον
τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖξον τμῆμα τὸ AI*

1. 7] (alt.) om. 3 8. γάρ} om. bq. λόγον] om. P.
8. 4B] e corr. V, B4 q. 9. BI'] corr. ex ΑΓ m. 2 B.

APPENDIX I. 318

Analysis et synthesis prop. III.

recia enim 4B in I' puncto secundum rationem
extremam ac mediam secetur, et maior pars sib 4Γ
et ΓΖ το" “ΑΓ. dico, esse BzZf* — ὃ ΓΖ.
nam quoniam Bf? — 5171?,et 4 B* — AB»« BI
J- AT? [II, 6], erit 4B »« ΒΓ -- AI? —541I?. sub-
trahendo erit 4 B »« ΒΓ — 44I*. uerum AI? — AB
4 d nr B

»« BI' nam 4B in I'secundum rationem extremam
ac mediam secta est. ergo 4I? -—-4.1I?. et est;
nam 4I'—924lI.

synthesis.

quoniam A4I'— 24I, erit 4 Γ3 — 4Z/I?. uerum
AB »« BI' — AI?. itaque AB»« ΒΓ --Ξ- AAI*. ad-
dendo erit 4B »« ΒΓ -- 41? —5 4I" — 4B* [II, 6];
quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. IV.

recta enim 4B in I'secundum rationem extremam
ac mediam secetur, eb maior pars sit 4I. dico, esse
A B? -- BI? — 38 AI".

τῆς 4I V, ΓΔ P. 11. ἄρα τό ΒΥ. 15. τῆς
AT V. ἔστιν B. 16. 3]. om. Bq. 17. ΓΖ P.
18. τῷ] corr. ex τό m. 1 b. ἀπό] om. b. 20. ἀπό] (prius)
om. P. 22. ἐστιν P. ὕπερ ἔδει δεῖξαι) om. q, o)— Ὁ
28. ἡ] (a1t.) om. q. 25. γάρ] om. bq.

914 APPENDIX I.

λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν 48, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ
ἀπὸ AI. |
"Ems γὰρ và ἀπὸ τῶν AB, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ
ἀπὸ AI, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν AB, ΒΓ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν
5 4B, ΒΓ ἐστι μετὰ τοῦ ἀπὸ ALT, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν
AB, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ AD τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ
AI* διελόντι τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ AB, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι
τοῦ ἀπὸ ΑΓ' ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἔστι δέ" ἡ γὰρ AB ἄκρον καὶ μέδον
10 λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ.

'H σύνϑεσις.

Ἐπεὶ ἡ 48 ἄκρον καὶ μέδον λόγον τέτμηται κατὰ
τὸ Γ, καί ἐστι μεῖξον τμῆμα ἡ 4Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ 48.
ΒΓ' ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ AI" τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ AB, ΒΓ
16 διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ 4Γ' συνϑέντι τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ
τῶν 4B, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ 4Γ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ 4I. ἀλλὰ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν AB, BI' μετὰ τοῦ
ἀπὸ τῆς 4Γ τὰ ἀπὸ τῶν AB, ΒΓ ἐστι τετράγωνα"
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν 48, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ AT"
80 ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Τοῦ € ϑεωρήματος ἡ ἀνάλυσις καὶ ἡ
σύνϑεσις.
Εὐϑεῖα γάρ τις ἡ 4B ἄχρον καὶ μέσον λόγον τε-
τμήσϑω κατὰ τὸ D, καὶ ἔστω usifov τμῆμα ἡ AT,
25 καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσϑω ἡ 44^ λέγω, ὅτι ἡ 4B ἄκρον
καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ 4, καὶ τὸ μεῖξον
τμῆμά ἐστιν ἡ 48.

5. τοῦ] om. V. 6. ἐστιν P. 7. vóv AB V.
διπλάσιον — 8. BI'] om. q. 8. τό] om. b. ὑπό] ἀπό V,

APPENDIX I. | 315

nam quoniam 4B? -|- BI? — 84Γ", sed AB? -]- BI?
— 24B » BI 4- AT? (II, ΤΊ, erit 24B »« ΒΓ -- AT?
-- 9441?. subtrahendo erii 24 B »« BI'—2 AI".

A I B
----.-.-.ο.ΘὈ..-:.---ἰ| |
quare 4B »« BI'— AI". et est; nam A4B secundum
ralionem extremam ac mediam in I' secta est.

synihesis.

quoniam 4B secundum rationem extremam ac me-
diam in I' secta est, et maior pars est 4Γ, erit 4B
^ BI'— 4I*. itaque 248». BI'—24AI*. ad-
dendo erit 2.4 B »« ΒΓ - 41? — 84I*. uerum 2 4B
»- BI'-L 4I?- AB? - BI? [I], 7]. ergo AB?
J- BI* — 3.4I*; quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. V.
recta enim 4B in I' secundum rationem extremam
ac mediam secetur, et maior pars sit AI, et ponatur
AZ - AI. dico, 4B in 44 secundum rationem ex-
iremam ac mediam sectam esse, et partem maiorem
esse 48.

ἅπαξ ὑπό Bb. 9. τῷ] supra scr. o m. 1 Ὁ. τῆρ] om. B.
ἔστιν B. 10. Γ' ὅπερ ἔδει δεῖξαι B. 11. 7] om. Bb.
18. καί — 4 ΓΊ postea &dd. m. 1 P, mg. m. 1 V (4Γ ὁ

corr.) 14. ἴσον — BI'] mg. m. 2? B. τῷ] τό q. ἀπό]

om. B. ὑπὸ τῶν B. 16. διπλάσιον — Α ΓῚ etiam in mg.

& m. 9 B (τῆς AT). 18. τῆς] om. ᾳ. ἐστιν P. 19. ΒΓ

τετράγωνα Bbq. 280. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. q, o)— b.

21. 7] (alt.) om. V.

10

15

20

316 APPENDIX I.

Ἐπεὶ yàg ἡ 48 ἄκρον xal uédov λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ 4, καὶ τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἡ 48, ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ 4B προς τὴν BA, οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν
A4. ἴση δὲ ἡ A4 τῇ AI" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48 πρὸς
τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν AI" ἀναστρέψαντι
ἄρα ὡς ἡ Β4 πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν
BI* διελόντι ἄρα ὡς ἡ BA πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ
ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἴση δὲ ἡ 44 τῇ AI* ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν AD οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΒ.
ἔστι δέ᾽ ἡ γὰρ 48 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται
κατὰ τὸ I.

Ἢ σύνϑεσις.

Ἐπεὶ ἡ 48 ἄκρον καὶ μέσον λίγον τέτμηται κατὰ
τὸ I, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ B.4 πρὸς τὴν AI, οὕτως ἡ
AT πρὸς τὴν ΓΒ. ἴση δὲ ἡ AD τῇ 44’ ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν I'B:
συνϑέντι ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ AB πρὸς
τὴν BI* ἀναστρέψαντι ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως
ἡ B4 πρὸς τὴν AI. ἴση δὲ ἡ AD τῇ 44 ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ 4B πρὸς Β4, οὕτως ἡ BA πρὸς 44. ἡ ἄρα
4B ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ 4, καὶ
τὸ μεῖξον τμῆμά ἐστιν ἣ A4B' ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

9.
Ad libr. XIII prop. 17.
Ῥητὴ γὰρ ἡ 48 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω
κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖξον τὸ AI. προσκείσϑω δὲ

9. Ad uocabulum κύβου p. 8206, 19 signo 65 relatum in mg.
inf. hab. P m. 1 (pro scholio).

1. ἐπεί --- ἃ. AB] mg. V. 1. γάρ] οὖν V. 9. κατὰ
τὸ 4] om. V. 6. B4] corr. ex BA m. 2B. 8. ἴση — 9.

APPENDIX 1, 311

nam quoniam 2.8 in 44 secundum rationem ex-
iremam ac mediam secta est, eb maior pars est 48,
erii 4B: ΒΑ — ΒΑ: 424. sed 42 — AI. itaque
4B:BAzBA4: AI. aque conuertendo erit B

4 A I B

--------- Ὁ -------. |
1:44 -ΞΟ. AB:BI [V, 19 coroll] dirimendo igitur
BA4:44-—ALDL:IB([V,li] sed 44 — AI. itaque
B4: AI'— ΑΓ: ΓΒ. et est; nam 4B secundum ra-
lionem exiremam ac mediam in I' secta est.

synthesis.

quoniam 4B in I' secundum rationem extremam
ac mediam secta est, erit B4: AI' — ΑΓ: ΓΒ. sed
4Γ-τ 44. ilaque ΒΑ: 424 — 4Γ: ΓΒ. compo-
nendo igitur Bz1: 214 — 4B: ΒΓ [V, 18]. itaque
eonuerlendo ZB: B4 — BA: AI'[V, 19 coroll]. sed
AI'-—24. ertigitur 4B:B4-— ΒΑ: 42. ergo
4B in 4 secundum ralionem extremam ac mediam
secta est, οὖ maior pars est 4318: quod erat demon-
strandum.

9.
Ad libr. XIII prop. 17.?)

receta enim rationalis 4B in I' secundum rationem
extremam 86 mediam secetur, δὲ maior sit ΑΓ. ad-

1) Hoc scholio idem demonstratur, quod in prop. VI, quam
omittunt codices nonnulli; inter eos tamen P non est. -

I'B] mg. m. 2 B. 12. ἢ] om. Βα. 17. τήν] om. q.

19. τῇ 4.14] in ras. m. 1 P. — 20. πρὸς v» B.4 V. τὴν 44
V b. 21. κατὰ τὸ ΑἹ postea add. m. 1 P. 22. ὅπερ ἔδει
δεῖξαι] om. q, ο)--- b. δεῖξαι) ὦ V.

918 APPENDIX I.

ἡ 44 ἡμίσεια τῆς 4B. ῥητὴ ἄρα xol ἡ 44. καὶ ἐπεὶ
πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ 44, αἱ D, 44
ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἀποτομὴ
ἄρα 7 ΑΓ. ῥητὴ δὲ ἡ AB. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς
παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν᾽
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν y ΒΓ. éxdvegov ἄρα τῶν 4Γ,

ΓΒ ἀποτομή ἐστιν ὁ᾽ προσαρμόξουσα δὲ τῆς μὲν 4Γ
| ἡ A4, τῆς δὲ ΓΒ ἡ ΓΖ.

e

10.
Ad libr. XIII prop. 18.

"AlAeg ὅτι μείξων ἐστὶν ἡ MB τῆς NB.

1. Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ 44 τῆς 4B, τριπλῆ ἄρα
ἡ 48 τῆς ΒΖ. ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν B4, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς 4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ διὰ τὸ ἰσογώ-
νιον εἶναι τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ Z4B τριγώνῳ. τρι-
πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἐδείχϑη

16 0à τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΑ πενταπλάσιον.
πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς KA τρισὶ τοῖς ἀπὸ τῆς ZB ἴσα
ἐστίν. ἀλλὰ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἕξ τῶν ἀπὸ τῆς
ΝΒ μείξονά ἐστιν. καὶ πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΚΑ
ἕξ τῶν ἀπὸ τῆς ΝΒ μείξονά ἐστιν. ὥστε καὶ ἕν τὸ

80 ἀπὸ τῆς KA évóg τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ μεῖξόν ἐστιν.
μείξων ἄφα. ἡ ΚΑ τῆς NB. ἴση δὲ ἡ KA τῇ AM.
μείξων ἄρα ἡ ΜΜ τῆς NB. πολλῷ ἄρα ἡ MB τῆς
ΒΝ μείξων ἐστίν᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ὅτι δὲ τρία τὰ
ἀπὸ τῆς ΖΒ ἕξ τῶν ἀπὸ τῆς ΒΝ μείξονά ἐστιν, δεί-

10. Post δεῖξαι p. 836, 14 hab. ΡΒΥ͂ ᾳ.

7. ὁ] h. e. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 9. Post ΝΒ add. V: ἄλ-
Aog δεικτέον, ὅτι μείξων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ τῆς

APPENDIX I. 319

liciatur autem 247 — '/, 4B. itaque eliam 4 7f ratio-
nalis est. et quoniam est D'4?— 5444? [XIII, 1],
rectae ΓΖ, 21.4 rationales sunt potentia solum com-
mensurabiles. itaque 4I' apotome est. sed 4B ra-
4 A Γ Β
|-------------------- --
lionalis est. quadratum autem apotomes ad rationalem
adplicatum latitudinem efficit apotomen [X, 97]. itaque
BI'apotome est; ergo utraque AI, ΓΒ apotome est;
quod erat demonstrandum. congruens autem est ATI'
rectae 4421, et I71 rectae ΓΒ.

10.
Ad libr. XIII prop. 18.
Aliter demonstratur, esse MB — NB.
Quoniam enim 242/—224B, erii 4B — 8 ΒΖ.
sed 4B: BzZ — 4B?*: BZ?, quia ZAB -- ZAB. itaque
4B? — 5823. . demonstrauimus autem, esse 4B?
-— ὅΚ 45, itaque DK? — 3ZB*. uerum 3ZB*
»6NB. itaque etiam 5K 42» 6NB?, quare etiam
KA4?*— NB?. itaque K 47» NB. uerum K 4 — AM.
ilaque 4M NB. ergo multo magis MB ^ BN;
quod erat demonstrandum. — esse autem 3ZB* — 6 BN?,..
ila demonstrabimus. quoniam enim ΒΝ.» ΝΖ, erit

toU δωδεκαέδρου. 11. Bd] 4B BV. B4) 4B V.

18. εἶναι) om. V. 14, BZ] ZB V. 18. ἐστι q. 20. ἐστι
BVq. 33. BN] NBB, NBN V. ysi£ov ἐστίν] om. BV.
ὕπερ ἔδει δεῖξαι] om. q. — 924. τῆς] (prius) τῶν Va.

ἐστι BV q.

10

ὅ80 APPENDIX I.

ἕξομεν οὕτως" ἐπεὶ γὰρ μείξων ἐστὶν ἡ ΒΝ τῆς ΝΖ,
τὸ ὥρα ὑπὸ τῶν ZBN μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ BZN.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΝ μεῖξόν ἐστιν
ἢ διπλάσιον τοῦ ὑπὸ ΒΖΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΖΒΝ
μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν, τὸ δὲ ὑπὸ
ΒΖΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΒ ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ZB
τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΝ μεῖξόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἕν ἄρα
τὸ ἀπὸ τῆς ZB δύο τῶν ἀπὸ ΒΝ μεῖξόν ἐστιν. ὥστε
καὶ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἕξ τῶν ἀπὸ ΒΝ μείζονά

ἐστιν᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

1. ἐστίν) om. ᾳ. | BN] NB q, BNB V.
τοῦ ὑπὸ ne V, τοῦ ὑπὸ τῶν Q, τοῦ ἀπὸ τῆς

ex τά m. 2 V, mut. in τά B. τῶν ZBN q.

del. « P. 4. BZN] corr. ex ZBN m. 2 B.

9. τοῦ ὑπό]
8. τύ] corr.

Post τοῦ
5. ZB] BZ

APPENDIX I. 381

ZB» BN»BZ»«ZN. itaque ZB »« BN -]- BZ
x ZN252BZ»«ZN. uerum ZB»« BN 4- BZ»5«ZNN
— ΖΒ" [II, 2], et BZ»«ZN --- ΝΒ“, itaque ZB?
-2BN:. ergo etiam 3ZB* —- 6BN*; quod erat de-
monstrandum.

B. ἐστι q, comp. V. ὑπὸ τῶν V. 6. BZN] e corr. V.

t0] τό, supra scr. ἴσον m. 2 B, ἴσον τῷ P. NB] ΒΝΒ
V. ἐστιν] om. P. Dein add. ἄκρον γὰρ (supra V) καὶ
μέσον λόγον τέτμηται 7 BZ κατὰ τὸ N, xol τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης V, et mg. m. 2 B. 7. Ev] corr.
ex ἐάν m. 1 q. 8. τῶν] τῆξᾳε P. ἀπὸ τῶν V. 10. ἐστιν)
om. q. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. V.

APPENDIX II.

Un

ΧΙ.

λς΄.
᾿Εὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ περιεχόμενον
ὑπὸ τῶν τριῶν στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς μέσης
στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰδογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἵ 4, B, I', ὡς
ἡ 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν I. λέγω, ὅτι
τὸ ὑπὸ τῶν 4, B, Γ περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς B στερεῷ ἰσοπλεύρῳ τε xol ἰσογωνίῳ.

κείσϑω τῇ 4 ion ἡ AE, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΖΔ

εὐθείᾳ καὶ τῷ σημείῳ τῷ 41 τυχούσῃ στερεᾷ γωνίᾳ
εὐθυγράμμῳ ἴση στερεὰ γωνία εὐθύγραμμος ἡ περι-
ἐχομένη ὑπὸ τῶν Z4, AH, H4, AE, Z4, 40,
καὶ κείσϑω τῇ μὲν B ἴδη ἡ H4,cváj δὲ Γ ἴση ἡ ΘΖ,
καὶ συμπεπληρώσϑω τὸ AK στερεόν, xol κείσϑω τῇ
B ἴση ἡ AM, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ MA εὐϑείᾳ καὶ
τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ 4 τῇ στερεᾷ γωνίᾳ εὐϑυ-
γράμμῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν OZ, AE, EA, AH,
H4, 40 ion στερεὰ γωνία εὐθύγραμμος ἡ περιεχο-
μένη ὑπὸ τῶν MA, AN, NA, AR, 5.4, AM, ὥστε

Hic appendix scripturam cod. b inde a XI, 86 ad finem
libri XII continet nulla littera mutata. quamquam sine dubio
plurimi insunt meri errores scribendi, tamen dubitari nequit,
quin cod. b quasi recensionem quandam propriam praebeat.
cfr. Zeitschr. f. Math, ἃ. Phys, hist.-litt. Abth, XXIX p. 1— 22.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 25

36

37

380 APPENDIX II.

ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ τῶν Oz, AE τῇ ὑπὸ τῶν
NA, AM, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν O4, AH τῇ ὑπὸ τῶν
NA, 45, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν HA, AE τῇ ὑπὸ τῶν Ξ3.4.
AM, καὶ κείσϑω τῇ B ἴση ἑκατέρα τῶν MA, 40,
καὶ συμπεπληρώσϑω τὸ AII στερεόν. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ, 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ
ἡ μὲν Α τῇ 4Ε, ἡ δὲ B ἑκατέρα τῶν EA, 40, ἡ
δὲ Γ τῇ 40, ὡς ἄρα ἡ 4E πρὸς MA, οὕτως ἡ OA
πρὸς τὴν 400. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν
ΘΩ͂, AE, OA, AM αἵ πλευραὶ ἀντιπεπόνϑασιν᾽ ἶσον
ἄρα ἐστὶ τὸ 410, OP παραλληλόγραμμον τῷ OAMZ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι γωνίαι ἐπίπεδοί εἰσιν αἴ ὑπὸ τῶν O4,
ΖΕ, OA, AM, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι
γραμμαὶ ἐφεστᾶσιν αἴ Hz, AA, ἴσας γωνίας περι-
ἔχουσι τὴν μὲν ὑπὸ τῶν OZ, 4“Η τῇ ὑπὸ τῶν OA,
ΑΞ, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν Η4, AE τῇ ὑπὸ τῶν XA,
A M, καὶ ἀφῃρημέναι εἰσὶν ἴσαι εὐθεῖαι αἴ H4, EA,
αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν H, A ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΘΩ͂, AE,
OA, AM ἐπίπεδα κάϑετοι ἀγόμεναι ἴσαι ἔσονται. τὰ
0à ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα,
ὧν τὰ ὕψη ἴσα ἐστί, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα. ἐστὶ
τὸ ΖΚ τῷ All καί ἐστι τὸ μὲν 4K τὸ ὑπὸ τῶν
4, B, D, τὸ δὲ 4Π τὸ ἀπὸ τῆς B. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
A, B, Γ περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
B στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρη-
μένῳ" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

At.
- - »
᾿Εὰν cow ὁσαιδηποτοῦν εὐϑεῖαι ἀνάλογον, καὶ

τὰ ἀπ’ αὐτῶν ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα ἀνάλογον ἔσται. καὶ ἐὰν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν

APPENDIX II. 381

ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνά-
λογον ἧ, καὶ αὗται ἀνάλογον ἔσονται.

ἔστωσαν ὁσαϊδηποτοῦν εὐϑεῖαι ἀνάλογον ἡ 48.
I4, EZ, ΗΘ, ὡς 1 AB πρὸς I4, οὕτως ἡ ΕΖ
πρὸς HO, καὶ ἀναγεγράφϑω ἀφ᾽’ ἑκάστης τῶν AB,
I4, EZ, ΗΘ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα τὰ AK, I4, EM, ΗΝ. λέγω, ὅτι
ἐστὶν ὡς τὸ AK στερεὸν πρὸς τὸ ΓΖ στερεόν, οὕτως
τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. πεποιήσϑω
γὰρ ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἥ τε ΓΖ πρὸς
τὴν S καὶ ἡ 5 Ξ' πρὸς τὴν Ο. ὡς ἄρα i πρώτη πρὸς
τὴν τετάρτην, τουτέστιν ἡ 48 πρὸς τὴν O, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης. τουτέστι τὸ 44K, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
δευτέρας, τουτέστι τὸ ΓΔ ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ,
οὕτως ἥ τε ΗΘ πρὸς τὴν II καὶ ἡ II πρὸς τὴν P.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν P, οὕτως τὸ EM πρὸς
τὴν ΗΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ AB πρὸς τὴν L'A, ov-
τῶς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ῇ 4B πρὸς
τὴν ΓΖ. οὕτως y τὲ Γά πρὸς τὴν ΚΞ καὶ ἡ 5 E πρὸς
τὴν O, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν HO, οὕτως ἥ τε HO
πρὸς τὴν II καὶ ἡ II πρὸς τὴν P, àv ἴσου ἄρα ἐστὶν
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν O, οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν P. ἀλλ᾽
ὡς μὲν ἡ AB πρὸς τὴν O, οὕτως τὸ ΑΚὶ στερεὸν
πρὸς τὸ I'4 στερεόν, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν P, οὕτως
τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. ὡς ἄρα τὸ
AK στερεὸν πρὸς τὸ ΓΖ στερεόν, οὕτως τὸ EM στε-
ρεὸν πρὸς τὸ HN στερεόν.

ἔστω δὴ πάλιν ὡς τὸ AK στερεὸν πρὸς τὸ ΓΑ
στερεόν, οὕτως τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ HN στερεόν.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. πεποιήσϑω γὰρ ὡς ἡ 48 πρὸς

95*

88

388 APPENDIX II.

τὴν D'4, ovrog ἡ EZ πρὸς τὴν ET, xol ἀναγεγράφϑω
ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ HN ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στε-
ρεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ET. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ AB
πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ, καὶ ὡς
ἄρα τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΖΔ στερεόν, οὕτως τὸ
EM στερεὸν πρὸς τὸ ΣῪ στερεόν. τὸ ΕΜ ἄρα πρὸς
ἑκάτερον τῶν HN, ΣῪ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον
ἄρα ἐστὶ τὸ HN τῷ ZT, καὶ ὁμόλογός ἐστιν ἡ ΗΘ
τῇ ΣΤ. ἴση ἄρα ioriv ἡ HO τῇ ΣΤ. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ,
ἴση δὲ ἡ ΣΤ τῇ ΗΘ, ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν ΓΖ,
οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ' ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
λη΄.

᾿Εὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ
δίχα τμηϑῶσι, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληϑῇ,
ἡ τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ κύκλου
διάμετρον, καὶ αὐτὴ δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ
κύκλου διαμέτρου.

κύβου γὰρ τοῦ 48 τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν
ΓΖ, AE, ΒΖ, ΗΘ αἵ πλευραὶ δίχα τετμήσϑωσαν
αἱ ΓΖ, 44, AE, ΕΓ, ΒΖ, ZH, H0, ΘΒ κατὰ τὰ
K, 4, M, N, A, O, II, P, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπί-
πεδα ἐκβεβλήσϑω τὰ KM, ΠΗ͂, NA, OP, καὶ ἔστω
τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ ἡ ΣΤ, διάμετρος δὲ τοῦ
κύβου ἔστω ἡ ΒΑ͂. λέγω, ὅτι ἡ EZ T δίχα τέμνει τὴν
τοῦ κύβου διάμετρον, καὶ αὕτη δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ
τῶν ἢ) τοῦ κύβου διαμέτρων ").

ἐπεξεύχϑωσαν γὰρ al ΓΣ, ΣΑ͂, BT, TH. ἐπεὶ

1) corr. in τῆς — διαμέτρου m. 1.

APPENDIX Il. 389

ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ 44, καί ἐστι τῆς μὲν ΓΕ ἡμίσεια
ἡ ΓΝ, τῆς δὲ 44 ἡμίσεια ἡ 44, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ΓΝ τῇ A4: ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΝ τῇ ZA ἴση. δύο δὴ
αἵ ΓΝ, ΝΣ δυσὶ ταῖς 44, AZ ἴσαι εἰσί" καὶ γωνία
ἡ ὑπὸ ΓΝΣ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ 2.444 ἴση" βάσις ἄρα ἡ
ΓΣ βάσει τῇ ΣΑ͂ ἴση, καὶ τὸ ΓΝΣ τρίγωνον τῷ
A42 τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ al λοιπαὶ γωνίαι ταῖς
λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔδονται, ὑφ᾽ ἃς al ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν D'Z, ΣΝ
γωνία τῇ ὑπὸ τῶν 4Σ, X4. κοινὴ προσκείσϑω ἡ
ὑπὸ τῶν ΝΣ. ΣΑ͂ αἱ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΣ, ΣΝ, ΝΣ,
ΣΑ͂ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΣ, ΣΑ͂, AZ, ΣΝ ἴσαι εἰσίν.
ἀλλ᾽ αἱ ὑπὸ τῶν AZ, ΣΑ͂, AZ, ΣΝ δυσὶν ὀρϑαῖς
ἴσαι εἰσί" πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΝΣ καὶ τῷ πρὸς
αὐτῇ σημείῳ τῷ Σ δύο εὐθεῖαι αἱ ZI, ΣΑ͂ μὴ ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρϑαῖς

ἴσας ποιοῦσι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΣΝ, ΝΣΑ͂. ἐπ᾽ εὐθείας.

ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΣ τῇ ΣΑ͂. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ BT

τῇ TH ἐπ᾿ εὐθείας ἐστί, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἑκατέρα.

τῶν ΓΒ, AH τῇ ΕΘ, ἀλλὰ καὶ παράλληλοι, αἵ δὲ
παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
οὖσαι παράλληλοι εἰσίν, αἱ ΓΒ, AH ἄρα ἴσαι v6 καὶ
παράλληλοί εἰσι. καὶ ἐπεξευγμέναι εἰσὶν αἱ I'A, BH,
καί ἐστι τῆς μὲν ΓΑ͂ ἡμίσεια ἡ ΣΑ͂, τῆς δὲ ΒΗ ἡμί.
σεια ἡ BT. αἵ Σ4. BT ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί
εἰσι" καὶ ἐπεξευγμέναι εἰσὶν α ΣΤ, 48. ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ μὲν ΣῪ τῇ TT, ἡ δὲ AT τῇ TB: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
A9.

Ἐὰν ἡ δύο πρίσματα ἰσουψῆ. καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν

τρίγωνον, τὸ δὲ παραλληλόγραμμον, διπλάσιον δὲ ἡ

89

390 APPENDIX Il.

τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ
πρίσματα.

Ἔστω δύο πρίσματα ἰσουψῆ τὰ 4ΜΒΓΖΔΕΖ,ΗΘΚΑΜΝ,
καὶ τὸ μὲν ἐχέτω τρίγωνον βάσιν τὸ K AN, τὸ δὲ παρ-
αλληλόγραμμον τὸ ΒΓΖ4Ε, καὶ ἔστω τὸ ΒΓΖΕ τοῦ
NKA τριγώνου διπλάσιον. λέγω, ὅτι ἴσα ἐστὶ τὰ
πρίσματα. πεπληρώσϑω γὰρ τὰ παράλληλα ἐπέπεδα
τὰ 44, ΗΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ B4 παραλληλόγραμμον
τοῦ NK A τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον, ἔστι δὲ τοῦ NK A
τριγώνου διπλάσιον τὸ N A4 παραλληλόγραμμον, ἴσον
ἄρα ἐστὶ τὸ B.4 τῷ N 4. ἐπὶ ἴσων οὖν βάσεων τῶν
B4, NA ἰσουψῆ ἐστι στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ
424, HA. ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. ἀλλὰ τοῦ μὲν 44
ἥμισύ ἐστι τὸ 4ΒΓ4ΕΖ2Ζ πρίσμα, τοῦ δὲ H.A ἥμισυ
τὸ HOK AM πρίσμα. καὶ τὸ 4ΒΓΖ4ΕΖ ἄρα πρίσμα
vo HOKAMN πρίσματι ἴσον ἐστίν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Εὐκλείδου στοιχείων στερεῶν τα.

XII Εὐκλείδου στοιχείων ιβ.

1

Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά
ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.

ἔστωσαν κύκλοι ol ABI, HOK A, καὶ ἐν τοῖς
ABI'4, HOKA ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ABI'AE,
HOKAM, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΖ,
ΘΝ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ABIAE
πολύγωνον πρὸς τὸ HO K AM πολύγωνον. ἐπεξεύχϑω-
σαν γὰρ αἱ ΒΕ, AZ, ΘΜ, ΗΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς
ἡ BA πρὸς AE, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν HM, καὶ
περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, ΘΗΜ aí πλευραὶ
ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABE τρίγωνον

APPENDIX II. 391

τῷ ΗΘΜ τριγώνῳ᾽ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν AEB
γωνέα τῇ ὑπὸ τῶν ΗΘΜ. ἀλλ᾽ ἡ μὲν ὑπὸ 4ΕΒ τῇ
ὑπὸ 428 ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ HMO τῇ ὑπὸ HNO
ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ ὀρϑὴ ὑπὸ τῶν BAZ ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ
ΘΗΝ ἴση. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ" 428 λοιπῇ τῇ ὑπὸ
HON ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABZ τρίγω-
νον τῷ ΗΘΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς 7
ΒΖ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς GH. ἐναλλὰξ
ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ Β4 πρὸς
τὴν OH. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὺς
τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ ZB πρὸς τὴν ΘΝ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ABIAE
πολύγωνον πρὸς τὸ HOK AM πολύγωνον διπλασίονα
λόγον ἥπερ ἡ 4B πρὸς τὴν HO, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ
πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν HO, καὶ ὡς
ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ
τετράγωνον, οὕτως τὸ ABI E πολύγωνον πρὸς τὸ
HO K.4M zoAvyovov: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν
διαμέτρων τετράγωνα.

ἔστωσαν κύκλοι οὗ ABI'4, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ
αὐτῶν αἱ ΒΖ, ΖΘ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
BA τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τεεράγωνον, οὕτως
ὁ ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. εἰ γὰρ
μή ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ABI κύκλος πρὸς
τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου χωρίον ἢ πρὸς τὸ μεῖξον. ἔστω πρότερον πρὸς
ἔλασσον τὸ Φᾧ, καὶ τῷ ΕΖΗΘ κύκλῳ ἴσα ἔστω τὰ
ΦΧ, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετρά-

309 APPENDIX II.

yovov τὸ ΕΖΗΘ. τὸ ΕΖΗΘ ἄρα τετράγωνον ucitóv
ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύχλου. τετμήσθωσαν
αἱ EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ K,
4, M, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EK, KZ,
Z4, AH, HM, MO, ON, ΝΕ. ἕκαστον ἄρα τῶν
EK, KZ, ZA, AH, HM, ΜΘ, ΘΝ, NE τρίγωνον
μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ x«9' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ
κύκλου. ἕκαστον ἄρα τῶν EKZ, ZAH, ΗΜΘ. ΘΝΕ
τῶν τριγώνων μεῖξόν ἐστιν ἥτοι ἥμισυ τοῦ xaO αὑτὸ
τμήματος τοῦ κύκλου. τοιαύτης δὴ γινομένης τῆς διαι-
θέσεως ληφϑήσεται τοιαῦτα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου
κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Χ χωρίου. λελήφϑω
καὶ ἔστω τὰ ΕΚ, KZ, Z4, AH, ΗΜ, ΜΘ. ΘΝ.
ΝΕ. δύο οὖν. μεγεϑῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τοῦ T6
ΕΖΘ κύκλου καὶ τοῦ Χ χωρίου ἀφήρηται ἀπὸ τοῦ
μεύξονος μεῖ ἴξον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος καὶ τοῦ καταλειπο-
μένου μεῖξον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος, καὶ τοῦτο ἀεὶ γεγέ-
νηται. καὶ καταλέλειπται χωρίον, ὃ ἔλασσον ἔσται τοῦ
X. λοιπὸν ἄρα τὸ EKZAH MON πολύγωνον μεῖξόν
ἐστι τοῦ ὦ χωρίου. ἐγγεγράφϑω δὴ εἰς τὸν ABI'A
κύκλον τῷ EKZAHMON πολυγώνῳ ὅμοιον πολύ-
yovov τὸ ΑΞΒΟΓΠΩ͂Ρ, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
B4 τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ 4ΒΓ4
κύκλος πρὸς τὸ. D χωρίον, ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ
, τῆς Β24 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZO, οὕτως τὸ
AEBODILAP πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ,
ὡς ἄρα ὃ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ὦ χωρίον, οὕτως
τὸ AS ΒΟΓΠ AP πολύγωνον πρὸς τὸ EKZAHMON
πολύγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ 4ΒΓΖ πρὸς
τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Χ χωρίον πρὸς τὸ
EKZAHMON πολύγωνον. μείξων δὲ ὃ 4 BIA κύκλος

APPENDIX II. 393

τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου" μεῖξον ἄρα καὶ τὸ ᾧ χωρίον
τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ μὴν καὶ ἔλασ-
σον τὸ Φ' ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς Β4.τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον,
οὕτως 0 4ΒΓ4 κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου χωρίον.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖξον. εἰ γὰρ δυνατόν,
ἔστω πρὸς τὸ ὦ. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 48 τετράγωνον,
οὕτως τὸ ὦ χωρίον πρὸς τὸν 4ΒΓΔ4 κύκλον. ὡς δὲ
τὸ Q^ χωρίον πρὸς τὸν ABI'A κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ
κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ 4ΒΓΩ͂ κύκλου χωρίον'

e » ^ 3 Ἀ ^" , 1 3 3. ^ a"
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ZO τετραγῶνον πρὸς τὸ «x0 τῆς ͵

4B τετράγωνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασ-
σόν τι τοῦ ABI κύκλου χωρίον" ὅπερ ἀδύνατον
δέδεικται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς B τετρά-
yovov πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὃ
ABI' κύκλος πρὸς μεῖξόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου
χωρίον. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον. ἔστιν
ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὃ 4ΒΓ4 κύκλος πρὸς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον.

Πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται
εἴς τὲ δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ
ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα
τῆς ὅλης πυραμέδος μείξονά ἐστιν 7] τὸ ἥμισυ.

ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μὲν ἔστω τὸ 4ΒΓ' τρίγω-
vov, κορυφὴ δὲ τὸ Z4 σημεῖον. λέγω, ὅτι ἡ 4ΒΓ4
πυραμὶς διαιρεῖται εἴς τε Óvo πυραμίδας ἴσας ἀλλή-
λαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴδα.

e

394 APPENDIX II.

τετμήσϑωσαν αἵ πλευραὶ τῆς πυραμίδος δίχα κατὰ
τὰ E, Z, H, 0, K, A δημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ
EZ, ZH, EH, HA, ΖΘ, ΘΚ, KA, AG. καὶ ἐπεὶ
ἴση ἐστὴν ἡ μὲν AZ τῇ Z4, ἡ δὲ BO τῇ 0A, παρ-
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AB τῇ ZO. πάλιν ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ μὲν AE τῇ ΕΒ, ἡ δὲ AZ τῇ ZA, παράλ-
ληλος ἄρα ἐστὶν ἡ B4 τῇ ΕΖ. παραλληλόγραμμον
ἄρα ἐστὶ τὸ EBZO. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν EB τῇ
ΖΘ, ἡ δὲ EZ τῇ ΒΘ. ἀλλ᾽ ἡ μὲν ΒΕ τῇ EA ἐστιν
ἴση, ἡ δὲ ΒΘ τῇ O4. καὶ ἡ uiv AE ἄρα τῇ ZO
ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΘΖ. ἔστι δὲ καὶ AZ τῇ
Z4 ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ 4 ΕΖ τρίγω-
. vov τῷ Z0. τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 4ΖΘ
τρίγωνον τῷ ΖΩΚὶ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν.
τὸ δὲ AEH τρίγωνον và ΖΘΚ τριγώνῳ ἴδον vs καὶ
ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλή-
λων αἱ EZ, ΖΗ παρὰ δύο εὐϑείας ἁπτομένας ἀλλή-
λῶν τὰς ΘΩ͂, 4Κ κεῖνται μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΕΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΩ͂Κ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν δύο αἵ
ΕΖ, ΖΗ δυσὶ ταῖς O41, A4K ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκα-
τέρα, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ O4K
ἴση ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ 64 K
τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς μέν ἐστι τὸ AEH τρί-
yovov, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴδη τε καὶ ὁμοία ἐστὶ
τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ 4ΒΓ τρίγωνον,
κορυφὴν δὲ τὸ 4] σημεῖον. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ AEH τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ
σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ
τὸ ABI' τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Z4 σημεῖον. διή-

APPENDIX II. 395

ρηται ἄρα ἡ ABI πυραμὶς sig δύο πυραμίδας ἴσας
ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ.

λέγω δή, ὅτι καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. ἐπεὶ γὰρ
ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ 4Γ, διπλάσιόν ἐστι τὸ EH AB
παραλληλόγραμμον τοῦ Η4ΓΓ τριγώνου. καὶ ἐπεὶ δέ-
δεικται, ὅτι, ἐὰν δύο πρίδσματα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος,
καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρί-
γωνον, ἢ δὲ διπλάσιον τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τρι-
γώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα, τὸ ἄρα πρίσμα τὸ περι-
ἐχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν OBA, ΕΖΗ,
τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τοῦ ΕΒΖΘ καὶ τοῦ
EBAH καὶ ἔτι τοῦ ΖΘΛΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι
τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΓΑ,
ΖΘΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν KZHI,
ΑΓΘΚ, ZHAO. διήρηται ἄρα ἡ ABI πυραμὶς
elg τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ
ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ φανερόν, ὅτι τὰ
δύο πρίσματα ἴσα ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυρα-
μέδος :—

᾿Εὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι
καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάδεις, διαιρεϑῇ δὲ ἑκατέρα
αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας
τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. ἔσται ὡς 1) τῆς μιᾶς
πυραμίδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν,
οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς
τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμέδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ.

ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι
καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ABI, ΜΝΙ͂, κο-
φυφὰς δὲ τὰ 4, Ο σημεῖα, καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα
αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας

APPENDIX II.

XI.
Ag.

"E&v τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ περιεχόμενον
ὑπὸ τῶν τριῶν στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς μέσης
στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.

ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἴ 4, B, I, ὡς
ἡ 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν I. λέγω, ὅτι
τὸ ὑπὸ τῶν 4, Β, Γ' περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς B στερεῷ ἰσοπλεύρῳ ve καὶ ἰσογωνίῳ.
κείσϑω τῇ Α' ἴδη ἡ AE, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΖ
εὐθείᾳ καὶ τῷ σημείῳ τῷ 4 τυχούσῃ στερεᾷ γωνίᾳ
εὐθυγράμμῳ ἴση στερεὰ γωνία εὐθύγφαμμος ἡ περι-
ἐχομένη ὑπὸ τῶν Z4, AH, H4, AE, Z4, 490,
καὶ κείσϑω τῇ μὲν B ἴση ἡ HA, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ O 4,
καὶ συμπεπληρώσϑω τὸ 41K στερεόν, καὶ κείσϑω τῇ
B ἴση ἡ 4Μ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ MA εὐϑείᾳ καὶ
τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ 4 τῇ στερεᾷ γωνίᾳ εὐϑυ-
γράμμῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν O4, AE, EA, AH,
HA, 40 ἴση στερεὰ γωνία εὐθύγραμμος ἡ περιεχο-
μένη ὑπὸ τῶν MA, AN, NA, AR, Ξ4. AM, ὥστε

Hic appendix scripturam cod. b inde ἃ XI, 86 ad finem
libri XII continet nulla littera mutata. quamquam sine dubio
plurimi insunt meri errores scribendi, tamen dubitari nequit,
quin cod. b quasi recensionem quandam propriam praebeat.
cfr. Zeitschr. f. Math. ἃ. Phys, hist.-litt. Abth. XXIX p. 1— 22.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 25

36

386 APPENDIX Il.

ἴσην εἶναι τὴν uiv ὑπὸ τῶν OA, AE τῇ ὑπὸ τῶν
NA, AM, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν OZl, AH τῇ ὑπὸ τῶν
NA, 45, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν H 4, ΖΕ τῇ ὑπὸ τῶν AA,
AM, καὶ κείσϑω τῇ B ἴση ἑκατέρα τῶν MA, 40,
x«l συμπεπληρώσϑω τὸ 4Π| στερεόν. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ B πρὸς τὴν I, ἴση δὲ
ἡ μὲν 4 τῇ AE, ἡ δὲ B ἑκατέρα τῶν XA, 40, ἡ
δὲ Γ τῇ 40, ὡς ἄρα ἡ 4Ε πρὸς MA, οὕτως ἡ ΟΑ
πρὸς τὴν 210. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν
064, 4E, Ο4. AM αἵ πλευραὶ ἀντιπεπόνϑασιν᾽ ἴσον
ἄρα ἐστὶ τὸ 40, OP παραλληλόγραμμον τῷ OAMZ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι γωνίαι ἐπίπεδοί εἰσιν αἴ ὑπὸ τῶν O 4,
ΖΕ, OA, AM, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι
γραμμαὶ ἐφεστᾶσιν oí H4, HA, ἴδας γωνίας περι-
ἔχουσι τὴν μὲν ὑπὸ τῶν ΘΩ͂, 4Η τῇ ὑπὸ τῶν OA,
ΑΞ, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν Ha, 4Ε τῇ ὑπὸ τῶν XA,
A M, καὶ ἀφῃρημέναι εἰσὶν ἴσαν εὐθεῖαι αἱ Hl, 5A,
αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν H, Κα ἐπὶ τὰ διὰ τῶν O4, AE,
OA, AM ἐπίπεδα κάϑετοι ἀγόμεναι ἴσαι ἔδονται. τὰ
0à ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα,
ὧν τὰ ὕψη ἴσα ἐστί, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα. ἐστὶ
τὸ Z4K τῷ AIL καί ἐστι τὸ μὲν 4K τὸ ὑπὸ τῶν
A, B, D, τὸ δὲ 4Π τὸ ἀπὸ τῆς B. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
4A, B, Γ περιεχόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
B στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρη-
μένῳ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

λζ΄.
* -
᾿Εὰν ὠὡσιν ὁσαιδηποτοῦν εὐϑεῖαι ἀνάλογον, καὶ

τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα ἀνάλογον ἔσται. καὶ ἐὰν τὰ ἀπ᾽ αὐτῶν

APPENDIX II. 381

ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνά-
Aoyov y, καὶ αὗται ἀνάλογον ἔδονται.

ἔστωσαν ὁσαὶϊὶδηποτοῦν εὐθεῖαι ἀνάλογον ἡ AB,
ΓΩ, EZ, ΗΘ, ὡς ἡ AB πρὸς ΓΖ. οὕτως ἡ ΕΖ
πρὸς HO, καὶ ἀναγεγράφϑω ἀφ᾽ ἑκάστης τῶν AB,
Γ4, EZ, ΗΘ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παρ-
αλληλεπίπεδα τὰ AK, DI4, EM, ΗΝ. λέγω, ὅτι
ἐστὶν ὡς τὸ AK στερεὸν πρὸς τὸ I'4 στερεόν, οὕτως
τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. πεποιήσϑω
γὰρ ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἥ τε D4 πρὸς
τὴν A καὶ ἡ Καὶ πρὸς τὴν O. ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς
τὴν τετάρτην, τουτέστιν ἡ AB πρὸς τὴν O, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης, τουτέστι τὸ ΑΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
δευτέρας, τουτέστι τὸ ΓΛ ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ,
οὕτως ἥ τε ΗΘ πρὸς τὴν II καὶ ἡ II πρὸς τὴν P.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν P, οὕτως τὸ EM πρὸς
τὴν HN. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΓΖ. ov-
vog ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ 48 πρὸς
τὴν I4, οὕτως ἥ vs ΓΖΩ͂ πρὸς τὴν XE καὶ ἡ 5 E πρὸς
τὴν O, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν HO, οὕτως 5 τε ΗΘ
πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, àv ἴσου ἄρα ἐστὶν
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν O, οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν P. ἀλλ᾽
ὡς μὲν ἡ 48 πρὸς τὴν O, οὕτως τὸ AK στερεὸν
πρὸς τὸ ΓΑ στερεόν, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν P, οὕτως
τὸ ΕΜ στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν. ὡς ἄρα τὸ
AK στερεὸν πρὸς τὸ Γ. στερεόν, οὕτως τὸ EM στε-
ρεὸν πρὸς τὸ HN στερεόν.

ἔστω δὴ πάλιν ὡς τὸ AK στερεὸν πρὸς τὸ ΓΑ
στερεόν, οὕτως τὸ EM στερεὸν πρὸς τὸ ΗΝ στερεόν.
λέγω. ὅτι ἐστὶν ὡς ἢ AB πρὸς τὴν I4, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς τὴν HO. πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ AB πρὸς

268

988

388 APPENDIX II.

τὴν DA, οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν ET, καὶ ἀναγεγράφϑω
ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ ΗΝ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στε-
ροδὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΣΤ. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ AB
πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ, καὶ ὡς
ἄρα τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ D4 στερεόν, οὕτως τὸ
EM στερεὸν πρὸς τὸ ΣῪ στερεόν. τὸ EM ἄρα πρὸς
ἑκάτερον τῶν HN, ΣῪ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἔσον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΝ τῷ ΣΎ, καὶ ὁμόλογός ἐστιν 9 ΗΘ
τῇ ΣΤ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ HO τῇ ΣΤ. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν I'4, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΣΤ,
ἴση δὲ ἡ ΣΤ τῇ ΗΘ, ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν DIA,
οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ' ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
λη΄.

᾿Εὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ
δίχα τμηϑῶσι., διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληϑῇ,
ἡ τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ κύκλου
διάμετρον, καὶ αὐτὴ δέχα τμηϑήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ
κύκλου διαμέτρου.

κύβου γὰρ τοῦ 4B τῶν ᾿ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν
ΓΖ, AE, ΒΖ, ΗΘ αἵ πλευραὶ δίχα τετμήσϑωσαν
ol DA, 44, AE, ET, BZ, ZH, ΗΘ, ΘΒ κατὰ τὰ
K, 4, M, N, &, O, II, P, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπί-
πεδὰα ἐκβεβλήσϑω τὰ KM, IIS, NA, OP, καὶ ἔστω
τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ ἡ ΣΤ, διάμετρος δὲ τοῦ
κύβου ἔστω ἡ ΒΑ͂. λέγω, ὅτι ἡ XT δίχα τέμνει τὴν
τοῦ κύβου διάμετρον, καὶ αὕτη δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ
τῶν 1) τοῦ κύβου διαμέτρων ὃ).

ἐπεξεύχϑωσαν γὰρ αἱ ΓΣ, Z4, BT, TH. ἐπεὶ

1) corr. in τῆς --- διαμέτρου m. 1.

APPENDIX II. 2389

ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ 44, xat ἐστι τῆς μὲν ΓΕ ἡμίσεια
ἡ ΓΝ, τῆς δὲ 44 ἡμίσεια ἡ 44, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ΓΝ τῇ 44: ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΝ τῇ ΣΑ͂ ἴση. δύο δὴ
αὖ ΓΝ, ΝΣ δυσὶ ταῖς 44, 4Σ ἴδαι εἰσί" καὶ γωνία
ἡ ὑπὸ Ll'NZ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ZA44 ἴση" βάσις ἄρα 7
ΓΣ βάσει τῇ 2.4 ἴση, καὶ τὸ ΓΝΣ τρίγωνον τῷ
A442 τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἴ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς
λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾽ ἃς ab ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΣ. ΣΝ
γωνία τῇ ὑπὸ τῶν AZ, X4. κοινὴ προσκείσϑω ἡ
ὑπὸ τῶν ΝΣ, ΣΑ͂ αἱ ἄρα ὑπὸ τῶν LZ, ΣΝ, ΝΣ,
ΣΑ͂ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΣ, ΣΑ͂, 4Σ, ΣΝ ἴσαι εἰσίν.
ἀλλ᾽ αἱ ὑπὸ τῶν AZ, ΣΑ͂, AZ, ΣΝ δυσὶν ὀρϑαῖς
ἴσαι εἰσί" πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΝΣ καὶ τῷ πρὸς
αὐτῇ σημείῳ τῷ Σ δύο εὐθεῖαι αἱ ZI, Z4 μὴ ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρϑαῖς

ἴσας ποιοῦσι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΣΝ, NZ A. ἐπ᾽ εὐθείας

ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΣ τῇ Z4. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ BT
τῇ TH ἐπ᾽ εὐϑείας ἐστί, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἑκατέρα
τῶν ΓΒ, AH τῇ ΕΘ, ἀλλὰ καὶ παράλληλοι, αἵ δὲ
παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
οὖσαι παράλληλοι εἰσίν, α ΓΒ, AH ἄρα ἴσαι τε καὶ
παράλληλοί εἰσι. καὶ ἐπεξευγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΑ͂, BH,
καί ἐστι τῆς μὲν DIA ἡμίδεια ἡ X4, τῆς δὲ BH ἡμί.
σεια ἡ ΒΤ. αἵ Zi 4, ΒΤ ἄρα ἴσαι ve καὶ παράλληλοί
εἶσι" καὶ ἐπεξευγμέναι εἰσὶν α ΣΤ, AB. ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ μὲν ZT τῇ TT, ἡ δὲ AT τῇ TB ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
λ΄.

᾿Εὰν ἡ δύο πρίσματα ἰσουψῆ. καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν

τρίγωνον, τὸ δὲ παραλληλόγραμμον, διπλάσιον δὲ ἡ

89

390 APPENDIX II.

τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ
πρίσματα.

Ἔστω δύο πρίσματα ἰσουψῖ, τὰ ABI AEZ, HOK AMN,
καὶ τὸ μὲν ἐχέτω τρίγωνον βάσιν τὸ K AN, τὸ δὲ παρ-
αλληλόγραμμον τὸ ΒΓΖΕ, καὶ ἔστω τὸ ΒΓΖΕ τοῦ
NKA τριγώνου διπλάσιον. λέγω, ὅτι ἴσα ἐστὶ τὰ
πρίσματα. πεπληρώσθϑω γὰρ τὰ παράλληλα ἐπίπεδα
τὰ 44, HA. ἐπεὶ οὖν τὸ B4 παραλληλόγραμμον
τοῦ NK A τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον, ἔστι δὲ τοῦ NK A4
τριγώνου διπλάσιον τὸ ΝΖ παραλληλόγραμμον, ἴσον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΖ τῷ ΝΑ͂. ἐπὶ ἴσων οὖν βάσεων τῶν
B4, NA ἰσουψῇ ἐστι στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ
44, HA. ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. ἀλλὰ τοῦ μὲν 44
ἡμισύ ἐστι τὸ 4ΒΓ4ΕΖ πρίσμα, τοῦ δὲ H A ἥμισυ
τὸ HOK AM πρίσμα. καὶ τὸ ABIAEZ ἄρα πρίσμα
τῷ HOKAMN πρίσματι ἴσον ἐστίν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Εὐκλείδου στοιχείων στερεῶν τα.

XII Εὐκλείδου στοιχείων i.

1

Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά
ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.

ἔστωσαν κύκλοι οὗ ABI, ΗΘΚΑ, καὶ ἐν τοῖς
ABI'4, HOKA ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ABI'AE,
ΗΘΚΩΑΜ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΖ,
ΘΝ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ 4ΒΓΖΕ
πολύγωνον πρὸς τὸ HOK AM πολύγωνον. ἐπεξεύχϑω-
σαν γὰρ αἱ BE, AZ, ΘΜ, ΗΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς
ἡ B4 πρὸς AE, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν HM, καὶ
περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν BAE, ΘΗΜ ol πλευραὶ
ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABE τρίγωνον

APPENDIX II. 291

τῷ HOM τριγώνῳ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν AEB
γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΘΜ. ἀλλ᾽ ἡ μὲν ὑπὸ AEB τῇ
ὑπὸ 428 ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ HMO τῇ ὑπὸ ΗΝΘ
ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ ὀρϑὴ ὑπὸ τῶν BAZ ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ
ΘΗΝ ἴση. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ "428 λοιπῇ τῇ ὑπὸ
HON ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABZ τρίγω-
vov τῷ HON τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἢ
ΒΖ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς ΘΗ. ἐναλλὰξ
ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ Β4 πρὸς
τὴν ΘΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὺς
τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχξι
ἥπερ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΘΝ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ABIAE
πολύγωνον πρὸς τὸ HOKAM πολύγωνον διπλασίονα
λόγον ἤπερ ἡ 4B πρὸς τὴν HO, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ
πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν HO, καὶ ὡς
ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΝ
τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ
HO K AM πολύγωνον᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν
διαμέτρων τετράγωνα.

ἔστωσαν κύκλοι οὗ 4ΒΓ4, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ
αὐτῶν αἱ Β4. ΖΘ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
Β4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ vssgüycvov, οὕτως
0 ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον. εἰ γὰρ
μή ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς BA τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ABI κύκλος πρὸς
τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου χωρίον ἢ πρὸς τὸ μεῖξον. ἔστω πρότερον πρὸς
ἔλασσον τὸ Φ, καὶ τῷ ΕΖΗΘ κύκλῳ ἴσα ἔστω τὰ
ΦΧ, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετρά-

302 APPENDIX II.

yovov τὸ ΕΖΗΘ. τὸ ΕΖΗΘ ἄρα τετράγωνον ucitóv
ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσϑωσαν
αἱ EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ K,
A, M, Ν σημεῖα, xal ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EK, KZ,
Z4, AH, HM, MO, ON, NE. ἕκαστον ἄρα τῶν
EK, KZ, Z4, 4H, HM, MO, ON, NE τρίγωνον
μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καϑ᾽ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ
κύκλου. ἕκαστον ἄρα τῶν EKZ, ZAH, HM0, 9NE
τῶν τριγώνων μεῖξόν ἐστιν ἤτοι ἥμισυ τοῦ xo9' αὑτὸ
τμήματος τοῦ κύκλου. τοιαύτης δὴ γινομένης τῆς διαι-
ρέσεως ληφϑήσεται τοιαῦτα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου
κύχλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ X χωρίου. λελήφϑω
καὶ ἔστω τὰ EK, KZ, Z4, AH, HM, MO, ΘΝ,
. NE. δύο οὖν μεγεϑῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τοῦ ve
EZO κύκλου καὶ τοῦ X χωρίου ἀφήρηται ἀπὸ τοῦ
μείξονος μεῖξον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος καὶ τοῦ καταλειπο-
μένου μεῖξον ἢ τὸ ἥμισυ μέρος, καὶ τοῦτο ἀεὶ γεγέ-
νηται, καὶ καταλέλειπται χωρίον, ὃ ἔλασσον ἔσται τοῦ
X. λοιπὸν ἄρα τὸ EKZ AH MO N πολύγωνον μεῖξόν
ἐστι τοῦ (D χωρίου. ἐγγεγράφϑω δὴ εἰς τὸν ABI'A
κύκλον τῷ EKZAHMON πολυγώνῳ ὅμοιον πολύ-
yovov τὸ ΑΞΒΟΓΠΩ͂Ρ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
B4 τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ 48ΒΓΖΩά
κύκλος πρὸς vÓ. D χωρίον, ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως τὸ
AEBOLILAP πολύγωνον πρὸς τὸ EKZAHMON,
ὡς ἄρα ὃ ABIZf κύκλος πρὸς τὸ Φ χωρίον, οὕτως
τὸ AS ΒΟΓΠ AP πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ
πολύγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ ABI πρὸς
τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Χ χωρίον πρὸς τὸ
EKZAHMON πολύγωνον. μείξων δὲ ὁ 4. ΒΓΖ κύκλος

APPENDIX II. 393

τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου᾽ μεῖξον ἄρα καὶ τὸ Φ χωρίον
τοῦ EKZAHMON πολυγώνου. ἀλλὰ μὴν καὶ ἔλασ-
σον τὸ Φ' ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς B.verodyovov πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον,
οὕτως 0 ABI κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου χωρίον.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖξον. εἰ γὰρ δυνατόν,
ἔστω πρὸς τὸ ὦ. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4B τετράγωνον,
οὕτως τὸ ὦ χωρίον πρὸς τὸν ABI κύκλον. ὡς δὲ
τὸ ὦ χωρίον πρὸς τὸν 4Β ΓΖ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ
κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ 4ΒΓ4 κύκλου χωρίον.

ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ tüc ,

4B τετράγωνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασ-
σόν τι τοῦ 4ΒΓΖ4 κύκλου χωρίον" ὅπερ ἀδύνατον
δέδειχται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς B τετρά-
yovov πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὃ
ΑΒΓΖ κύκλος πρὸς μεῖξόν τε τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου
χωρίον. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον. ἔστιν
ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β 4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ 48ΒΓ4 κύκλος πρὸς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον.

Πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται
εἴς τὲ δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ
ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα
τῆς ὅλης πυραμίδος μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ.

ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μὲν ἔστω τὸ ABT τρίγω-
vov, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον. λέγω. ὅτι ἡ 4ΒΓ4
πυραμὶς διαιρεῖται εἴς τε δύο᾽ πυραμίδας ἴσας ἀλλή-
λαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα.

Q2

294 APPENDIX II.

τετμήσθωσαν oí πλευραὶ τῆς πυραμίδος δίχα κατὰ
τὰ E, Z, H, Θ, K, A σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ
ΕΖ, ΖΗ, EH, HA, ΖΘ, ΘΚ, KA, A0. καὶ ἐπεὶ
ἴση ἐστὶν ἡ μὲν AZ τῇ Z4, δὲ BO τῇ ΘΖ, παρ-
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AB τῇ ΖΘ. πάλιν ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ μὲν AE τῇ ΕΒ, ἡ δὲ AZ τῇ ZA, παράλ-
ληλος ἄρα ἐστὶν ἡ B. τῇ ΕΖ. παραλληλόγραμμον
ἄρα ἐστὶ τὸ EBZO. ἴδη ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν EB τῇ
ΖΘ, ἡ δὲ EZ τῇ ΒΘ. ἀλλ᾽’ ἡ μὲν BE τῇ E.A ἐστιν
ἴση, ἡ δὲ ΒΘ τῇ O4. καὶ ἡ μὲν AE ἄρα τῇ ZO
ἐστιν ἴση, ἣ δὲ ΕΖ τῇ O4. ἔστι δὲ καὶ ἡ AZ τῇ
Z4 ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ 4ΕΖ τρίγω-
| vov τῷ ZO4 τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 4ΖΘ
τρίγωνον τῷ Ζ4 K τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν.
τὸ δὲ 4ΕΗ τρίγωνον τῷ ΖΘΚ τριγώνῳ ἴδον τε καὶ
ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλή-
λων αἱ EZ, ΖΗ παρὰ δύο εὐϑείας ἁπτομένας ἀλλή-
λων τὰς ΘΩ͂, AK κεῖνται μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΕΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΩ͂ Κὶ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν δύο αἵ
ΕΖ, ΖΗ δυσὶ ταῖς 641, 4 K ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκα-
τέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ 64K
ἴση ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ͂ βάσει τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ EZH τρίγωνον τῷ 64 Καὶ
τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς μέν ἐστι τὸ 4 ΕΗ τρί-
γῶνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση τε καὶ ὁμοία ἐστὶ
τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ ABI τρίγωνον,
κορυφὴν δὲ τὸ 4) σημεῖον. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ AEH τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ
σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ
τὸ 4ΒΓ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ 4 σημεῖον. διή-

APPENDIX II. 395

ρηται ἄρα ἡ ABI πυραμὶς εἰς δύο πυραμίδας ἴσας
ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ.

λέγω δή, ὅτι καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. ἐπεὶ γὰρ
ἴση ἐστὶν ἡ B.A4 τῇ ADI, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΗ48Β
παραλληλόγραμμον τοῦ H AI' τριγώνου. καὶ ἐπεὶ δέ-
δεικται, ὅτι, ἐὰν δύο πρίσματα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος,
καὶ τὸ μὲν ἔχει βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρί-
γωνον, ἢ δὲ διπλάσιον τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τρι-
γώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα, τὸ ἄρα πρίσμα τὸ περι-
ἐχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΘΒ4, EZH,
τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τοῦ ΕΒΖΘ καὶ τοῦ
EBAH καὶ ἔτι τοῦ ZOAH ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι
τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν HIA,
ΖΘΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν KZHI,
ΑΓΘΚ, ZHAO. διήρηται ἄρα ἡ ABI πυραμὶς
εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ
04g καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ φανερόν, ὅτι τὰ
δύο πρίσματα ἴσα ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυρα-
μίδος :--

᾿Εὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι
καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεϑῇ δὲ ἑκατέρα
αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας
τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς
πυραμέδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν,
οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς
τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμέδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ.

ἔστωσαν δύο πυφαμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι
καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰὲὸ ABI, MNA, xo-
ρυφὰς δὲ τὰ 4, O σημεῖα, καὶ διῃρήσϑω ἕκατέρα
αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας

396 APPENDIX II.

τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς
ἢ ABI βάσις πρὸς τὴν ΜΝΕ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ
4.ΒΓΖ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ 4EZO
πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ.

ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ 4B τῇ AH, ὅμοιόν
ἐστι τὸ ABI' τρίγωνον τῷ AHT' τριγώνῳ. τὸ ABI
ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ AHT' τρίγωνον διπλασίονα Aó-
γον ἔχει ἥπερ ἡ ΝΞ πρὸς τὴν X. καί ἐστιν ὡς ἡ
BD πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ NA πρὸς τὴν X0. καὶ
ὡς ἄρα τὸ ABI' τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΓ τρίγωνον,
οὕτως τὸ MNA τρίγωνον πρὸς τὸ ΣΦΙ τρίγωνον.
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ A4BI' τρίγωνον πρὸς τὸ
ΜΝΞ. οὕτως τὸ Η4Γ τρίγωνον πρὸς τὸ Z5 τρί-
γῶνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ,
ΖΘΚ ἐπίπεδα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ
τὰ 205, PTN ἐπίπεδα. ὡς ἄρα ἡ ABI βάσις
πρὸς τὴν MNA βάσιν, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ ἀπεναν-
τίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ, ZOK ἐπίπεδα, πρὸς τὸ πρίσμα,
οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ và ZH, PTT ἐπίπεδα. ἀλλὰ
τὰ μὲν ἐν τῇ 48ΒΓ4 πυραμέδι πρίσματα διπλάσιά
ἐστι τοῦ πρίσματος, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ và AHT,
LOK ἐπίπεδα. τὰ δ᾽ ἐν τῇ MNAO πυραμίδι πρίσ-
ματα διπλάσιά ἐστι τοῦ πρίσματος, οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ
τὰ 2:0, PTT ἐπίπεδα. ὡς ἄρα ἡ 48ΒΓ βάσις πρὸς
τὴν MNA βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ 48 Γ4 πυραμίδι
πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΕῸΟ πυραμίδι πρίσματα.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΑΕΗ βάσις πρὸς τὴν ΜΠΣ
βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ AEHZ πυραμίδι πρίσματα
πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΠΣΡ πυραμίδι πρίσματα. ὡς δὲ ἡ
ZOK βάσις πρὸς τὴν TPT βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ
ΖΘΚΩ͂ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ PTTO

APPENDIX II. 891

πυραμίδι πρίσματα. ἔσται ἄρα ὡς ἕν τῶν ἡγουμένων
πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων, ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς
ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ABI βάσις
πρὸς τὴν MNA βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ABI A πυρα-
μίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ MNAO πυραμίδι πρίόσ-
pora πάντα ἰσοπληϑή.

Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τρι-
γώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς cl βάσεις.

ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες τριγώνους
ἔχουσαι βάσεις τὰς 4BI, MNA αἱ ABI4, ΜΝΕΟ,
κορυφὰς δὲ τὰ 44, O σημεῖα. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ
ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν MNA βάσιν, οὕτως ἡ 48Γ4
πυραμὶς πρὸς τὴν ΜΝΞΟ πυραμίδα. |

εἶ γὰρ μή. ἐστιν ὡς ἡ ABI βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ
βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ πυραμὶς πρὸς τὴν MN XO
πυραμίδα, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ABI, βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ
βάσιν, οὕτως ἡ 4ΒΓΖ24 πυραμὶς ἦτοι πρὸς ἔλαττόν τι
τῆς ΜΝΙΞΞΟ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖξον. ἔστω

πρὸς ἔλαττον τὸ €, καὶ τῇ MNAO πυραμίδι ἴσα ἔστω -

τὰ 2, X χωρία, καὶ διηρήσϑω ἡ ΜΝΙΟ πυραμὶς εἴς
τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ
καὶ εἰς δύο πρίσματα. μείξονα ἄρα ἐστὶ τὰ πρίσματα
τῆς ὕλης πυραμίδος ἢ τὸ ἥμισυ. τέμνοντες δὴ τὰς
ὑπολειπομένας πυραμίδας εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας
ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα
: ἴσα λήψομέν τινας πυραμίδας ἀπὸ τῆς ὅλης πυρα-
μίδος, αἵ ἔσονται ἐλάσδονες τοῦ X στερεοῦ. λελήφϑω-
σαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΜΠΣΡ, ΤΎΟ. ἐπεὶ ovv ἡ πυ-
ραμὶς ἴση ἐστὶ τοῖς στερεοῖς εἰς τὰ καταλελημμένα
ἀποτμήματα ἐλάσσονα εἰσι τοῦ X. λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν

Q

398 APPENDIX 11.

τῇ MNAXO πυραμίδι πρίσματα μείξονά ἐστι τοῦ 2
στερεοῦ. διῃρήσϑω ἡ Α4ΒΓΖ4 πυραμὶς ὁμοίως τῇ
ΜΝΙΞΟ πυραμίδι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 48ΒΓ βάσις
πρὸς τὴν MNA βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ πυραμίδι τῇ
ABUA πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ MNAO πυρα-
μίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ, ὡς ἄρα ἡ 48ΒΓΩ͂
πυραμὶς πρὸς τὸ f) στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ABI -
πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ MN EO πυρα-
μίδι πρίσματα πάντα ἰδοπληϑῆ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν
ὡς ἡ ΑΒΓΖ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα
πάντα, οὕτως τὸ 9) στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΜΝΞΟ
πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληϑῆ. μείζων δὲ T
ABI πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων πάντων.
μεῖξον ἄρα καὶ τὸ 3. στερεὸν τῶν ἐν τῇ MNAO πυ-
οαμέδι πρισμάτων πάντων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον" ὅπερ
ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ 4ΒΓ βάσις πρὸς τὴν
MNA βάσιν, οὕτως 7 ABI'A πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν
τι τῆς ΜΝΙΟ πυραμίδος στερεόν.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖξον. εἰ γὰρ δυνατόν,
ἔστω πρὸς τὸ 9). ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΜΝΞ
βάσις πρὸς τὴν 4ΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ 2) στερεὸν πρὸς
τὴν ABIUZA πυραμίδα. ὡς δὲ τὸ 22 στερεὸν πρὸς τὴν
ABUA πυραμίδα. οὕτως ἡ MNAO πυραμὶς πρὸς &Aoc-
τόν τι τῆς ΑΒΓ Ζ πυραμέδος στερεόν. ὡς ἄρα ἡ
MN&X βάσις πρὸς τὴν 4ΒΓ βάσιν. οὕτως ; ΜΝΞῸΟ
πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς 48 ΓΖ πυραμίδος στε-
ρεόν' ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ
ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΜΝΞ βάσιν, οὕτως ἡ ABI'A
πυραμὶς πρὸς μεῖξόν τι τῆς ΜΝΙΞΟ πυραμίδος στε-
ρεόν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὖδὲ πρὸς ἔλαττον. ἔστιν ἄρα

c

ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν MNA βάσιν, οὕτως ἡ

APPENDIX II. 399

ABIA πυραμὶς πρὸς vv MNAO πυραμίδα᾽ ὅπερ
ἔδει δεῖξαι. u ]

Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς 6
πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας.

ἔστω πρίσμα τὸ ABIA EZ τρίγωνον ἔχον βάσιν
τὴν 'Z4. λέγω, ὅτι τὸ ABI'AEZ πρίσμα διαιρεῖται
εἰς τρεῖς πυραμέδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις
ἐχούσας. ἐπεζεύχϑωσαν γὰρ αἴ Β4, ΒΖ, ΖΕ. ἡ
ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΒ 4 τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ
βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ BAE τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ
Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ
τὸ 4ΕΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ζ σημεῖον. καὶ 1)
πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ BI τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, ἴση ἐστὶ τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν
μὲν ἐχούσῃ τὸ AEZ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ B ση-
μεῖον. διήρηται ἄρα τὸ ABI'AEZ πρίσμα εἰς τρεῖς
πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις, ὧν βάσεις μέν εἰσιν ABD A,
EAEZ, κορυφὴ δὲ τὰ B, Z σημεῖα.

Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχου- 1
σῶν ἀντιπεπόνϑασιν αἵ βάσεις τοῖς ὕψεσι. καὶ ὧν
πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνϑασιν
αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι.

ἔστωσαν ἴσαι πυραμέδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι
βάσεις τὰς ABI, ΕΖΗ αἱ ABI'A4, ΕΖΗΘ, κορυφὰς
δὲ τὰ 4, Θ σημεῖα. λέγω, ὅτι τῶν 4ΒΓΩ, ΕΖΗΘ
πυραμίδων τριγώνων βάδιν ἐχουσῶν ἀντιπεπόνϑασιν
αἴ βάσεις τοῖς ὕψεσι. συμπεπληρώσϑω γὰρ τὰ BAM A,
ΖΘΡὈΡΘ στερεά. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ABI'A πυραμὶς

400 APPENDIX II.

τῇ ΕΖΗΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν 48 Γ4 πυρα-
| μίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΩ Μ΄ στερεόν, τῆς δὲ ΕΖΗΘ
ἑξξαπλάσιον τὸ ZOPO στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ B1 M A
στερεὸν τῷ ΖΘΡΟ στερεῷ. τῶν δὲ ἴσων στερεῶν
παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἵ βάσεις τοῖς
ὕψεσιν" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ BM βάσδις πρὸς τὴν ZP
βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΟΡΘΖ στερεοῦ ὕψος. ὡς δὲ ἡ
ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ZP βάσιν, οὕτως ἡ 48Γ βάσις
πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν. ὡς ἄρα ἡ ABI βάσις πρὸς
τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΟΡΘΖ στερεοῦ ὕψος
πρὸς τὸ τοῦ 4M ZB στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη
ἐστὶ τῶν τε ΒΩ M A, ΖΘΡὈΡΟ στερεῶν καὶ τῶν ABI'A,
ΕΖΗΘ πυραμίδων. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48ΒΓ πρὸς τὴν
EZH βάσιν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖΗΘ πυραμίδος
ὕψος τῶν ABI, ΕΖΗΘ πρὸς τὸ τῆς ABI πυρα-
μίδος ὕψος. τῶν ABI, ΕΖΗΘ ἄρα πυραμίδων
ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσιν. 1L
ἀντιπεπονθέτωσαν δὴ πάλιν τῶν 4ΒΓΖ4, ΕΖΗΘ
πυραμίδων αἱ βάδεις τοῖς ὕψεσι, καὶ ἔστω os ἡ ABI
. βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΕΖΗΘ
πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς 48ΒΓ24 πυραμίδος ὕψος.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ABI πυραμὶς τῇ ΕΖΗΘ
πυραμίδι' τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασϑέντων ἐπεί
ἐστιν ὡς ἡ 4ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν, οὕτως
τὸ τῆς ΕΖΗΘ ὕψος πρὸς τὸ τῆς 48ΒΓ4 πυραμίδος
ὕψος, ὡς δὲ ἡ ABI βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗ βάσιν,
οὕτως ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ZP βάσιν, οὕτως τὸ
τῆς ΕΖΗΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς 4ΒΓΖ zxv-
ραμίδος ὕψος. τὰ δ᾽ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν τε 4ΒΓΩ,
ΕΖΗΘ πυραμίδων καὶ τῶν ΒΩ MA, ZOPO στερεῶν.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΖΡ βάσιν, οὕτως

APPENDIX II. 401

τὸ τοῦ ZO PO στερεοῦ ὕψος. ὧν δὲ στερεῶν παραλ-
ληλεπιπέδων ἀντιπεπόνϑασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν,
ἴσα ἐστὶν ἐχεῖμα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΖ ΜΔ στερεὸν
τῷ ΖΘΡῸ στερεῷ. καί ἐστι τοῦ μὲν Β4 ΜΔ στερεοῦ
ἕκτον μέρος ἡ ΕΖΗΘ, ABI'4 πυραμίς, τοῦ δὲ ZOPO
στερεοῦ ἔκτον μέρος ἢ ΕΖΗΘ πυραμίς. ἴση ἄρα
ἐστὴν ἡ 4ΒΓ4 πυραμὶς τῇ ΕΖΗΘ πυραμίδι. ὅπερ
ἔδει δεῖξαι. |

AL ὅμοιαι πυραμίδες xal τριγώνους ἔχουσαι βάσεις
πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων
πλευρῶν.

ἔστωσαν ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι
βάσεις τὰς 4ΒΓ, ΕΖΗ αἱ 4ΒΓ4, ΕΖΗΘ, κορυφὰς
ὃὲ τὰ 4, Θ σημεῖα. καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν ὑπὸ τῶν
48, ΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ γωνίᾳ, ἡ δὲ
ὑπὸ τῶν AB, B4 τῇ ὑπὸ τῶν EZ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ
ἡ ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖ, ΖΗ, ὁμόλογος
ὃὲ ἔστω ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ 48 Γ4 πυραμὶς
πρὸς τὴν ΕΖΗΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ.

συμπεπληρώσϑωσαν γὰρτὰ B 4 M A, ZO PO στερεά.
ἐπεί ἐστιν oj ἡ ΒΓ πρὸς τὴν B 4, οὕτως ἡ ZH πρὸς
τὴν ΖΕ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν AB, BI,
EZ, ΖΗ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΡ παραλληλογράμμῳ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν 4.21 τῷ ΕΘ ὅμοιόν ἐστι,
τὸ δὲ NB τῷ ΖΠ. ἀλλὰ τὰ μὲν ΒΝ, 44, BM τὰ
τρία τοῖς ἀπεναντίον αὐτῶν τοῖς 421, MN, 4.4 ἴσα
ἐστί, τὰ δὲ ΖΡ, ΕΘ, ΠΖ τὰ τρία τοῖς ἀπεναντίον

αὐτῶν τοῖς ΘΟ, EO, PII ἴσα ἐστίν. ὅλον ἄρα το
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 26

402 APPENDIX Il.

BAMA στερεὸν ὅλῳ và ZOPO στερεῷ ὅμοιόν ἐστι.
τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν
τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. τὸ
BAMA ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΖΘΡΟ στερεὸν τριπλα-
σίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ZH. καί ἐστι
τοῦ uiv BA44M A στερεοῦ ἕκτον μέρος ἡ 4 ΒΓ πυραμὶς
τοῦ ΖΘᾧἑὑΟ στερεοῦ ἔκτον μέρος ἢ ΕΖΗΘ πυραμίς"
καὶ ἡ 4ΒΓΖ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΕΖΗΘ πυρα-
μίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ZH.

Πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν
αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴδον.

ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τὴν αὐτὴν τὸν
ABIDA κύκλον καὶ ὕψος ἴσον. λέγω, ὅτι τριπλάσιός
ἐστιν ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου.

εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλάσιος,
ἔσται ἄρα ἤτοι μείξων ἢ τριπλάσιος ἢ ἐλάσσων ἢ τρι-
πλάσιος. ἔστω πρότερον ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου μεί-
fov ἢ τριπλάσιος τῷ ῬΣῚ στερεῷ. καὶ ἐγγεγράφϑω
εἰς τὸν 481,4 κύκλον τετράγωνον τὸ ABI, καὶ
ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ABI τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲς
τῷ κυλίνδρῳ. τὸ ἄρα ἀνεσταμένον πρίσμα μεῖξόν ἐστιν
ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου. τετμήσϑωσαν αἱ 48, ΒΓ,
ΓΖ, 44 περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ E, Z, H, 9 ση-
usta, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EA, EB, ΒΖ, ZI, ΓΗ,
H4, 40, 0 A4, καὶ ἀνεστάτω ἀφ᾽ ἑκάστου τῶν 4ΕΒ,
ΒΖΙ, ΓΗΖ, 40 A4 τριγώνων πρίσματα ἰσουψὲς τῷ
κυλίνδρῳ. ἕκαστον ἀνασταμένων πρισμάτων μείξων
ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καϑ᾽ αὑτὸ τμήματος καὶ κυλίν-
δρου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφϑή-
σεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου χκυλένδρου, ἃ ἔσται

APPENDIX II. 408

ἐλάττονα τοῦ P στερεοῦ. λελήφϑω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ
τῶν 4EB, ΒΖΓ, ΓΗΖ, 40 4. λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα,
οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'HAO πολύγωνον, ὕψος
δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖξόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον
τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν 4 ΒΓΔ κύκλον,
ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ. ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ
βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZDIHAO πολύγωνον, ὕψος
δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυρα-
μέδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ 4EBZI'H 40 πολύ-
yovov, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλένδρῳ. καὶ ἡ πυραμὶς
ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'H 40 πολύγωνον,
ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖξόν ἐστι τοῦ κώνου
τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ABI κύκλον, ὕψος δὲ
τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ. ἀλλὰ καὶ ἐμπεριέχεται ἐν αὐτῷ"
ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων
ἐστὶν ἢ τριπλάσιος.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἢ τριπλάσιος.

εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. ἀνάπαλιν ἄρα ὃ κῶνος τοῦ
κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τῷ P στερεῷ,
καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν [4 BIA κύκλον τετράγωνον
τὸ 4ΒΓΖ2, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ 48 ΓΖ τετραγώνου
πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ. ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς
μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσϑωσαν
αἴ AB, ΒΓ, UA, 4.4 περιφέρειαι δίχα κατὰ τὸ ΕΖΗΘ
σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4E, EB, BZ, ZI, ΓΗ,
ΗΖ, 40, 0 A4, καὶ ἀνεστάτω ἀφ᾽ ἑκάστου τῶν AEB,
BZI, ΓΗΖ, 40 4 τριγώνων πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ
κώνῳ. ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμίδων μεί-
tov ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καϑ'᾽ αὑτὸ τμήματος τοῦ
κώνου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφϑή-
σεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνον, ἃ ἔσται

26*

10

404 APPENDIX II.

ἔλαττον αὐτοῦ στερεοῦ. λελήφϑω καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ
τῶν 4ΕΒ. ΒΖΓ, ΓΗΖ. 4604. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς,
ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ 4 ΕΒΖΓΗ 49 πολύγωνον, ὕψος
δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖξόν ἐστιν ἢ τρίτον μέρος τοῦ
κυλίνδρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν 4BI'A κύκλον,
ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. ἀλλ᾽ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις
μέν ἐστιν ἡ AEBZIHZO πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ
αὐτὸ τῷ κώνῳ, τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ “ΕἘΒΖΓΗΖΘ
πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. καὶ τὸ πρίσμα
ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ AEBZI'H 40 πολύγωνον,
ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖξόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου
τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν ABI κύκλον, ὕψος δὲ
τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖξόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν
μὲν ἔχοντος τὸν ABI κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ
κώνῳ. ἀλλὰ καὶ ἐμπεριέχεται ἐν αὐτῷ" ὅπερ ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρι-
πλάσιος. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ μείξων ἢ τριπλάσιος.
τριπλάσιος ἄρα ἐστίν.

Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν
τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάδεδι διαμέτρων.

ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν
ἔστωσαν οὗ ABI, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ KA,
ΜΝ, διάμετροι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ, ZO. λέγω, ὅτι
ὁ 4BIAKA xàvog πρὸς τὸν ΕΖΗΘΜΝ κῶνον τρι-
πλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Β4 πρὸς ΖΘ.

εἰ γὰρ μὴ ὁ ABI'AKA κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΜΝ
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Bl πρὸς την ΖΘ, ἕξει
ἄρα 0 4ΒΓΖΚΑ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ
EZHOMN κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἥπερ
ἡ B4 πρὸς τὴν ZO ἢ πρὸς τὸ μεῖζον. ἐχέτω πρό-

APPENDIX II. -. 405

τερον πρὸς ἔλασσον τὲ 4, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἀνεστάτω
ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ.
ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ
τοῦ κώνου. τετμήσϑωσαν αἴ EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ περι-
φέρειαι δίχα κατὰ và E, O, II, P σημεῖα, xol ἐπεξεύχ-
ϑωσαν αἱ EX, EZ, ZO, OH, HII, IIO, OP, PE,
καὶ ἀνεστάτω ἀφ᾽ ἑκάστου τῶν ΕΞ, EZ, ZO, OH,
HII, ΠΘ, OP, PE τριγώνων πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ
κώνῳ. ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμίδων μεί-
fov ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καϑ'’ αὑτὴν τμήματος τοῦ
κώνου. τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφϑή-
σεταί τινα τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, & ἔσται
ἐλάσσονα τοῦ .4 στερεοῦ. λελήφϑω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ
τῶν EZZ, ZOH, HIIO, ΘΡΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμές,
ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ EEZZOHHIIOPE πολύγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ NN σημεῖον, μεῖξόν ἐστι τοῦ 44 στερεοῦ.
ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν 4}ΒΓ4 κύκλον vo EXZOHIIOPE
πολυγώνῳ ὅμοιόν τε πολύγωνον τὸ 4EBTI'TA9 A,
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ A4ZBTITAO πολυγώνου πρίσμα
ἰσουψὲς τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυρα-
μίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ AEBTI T A Φ πολύγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, τρίγωνον ἐφεστάτω τὸ 4ΣΒ,
τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμέδα, ἧς βάσις μέν ἐστι
τὸ ΕΞΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον
ἐφεστάτω τὸ ΝΖ τρέγωνον, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ
ΣΚ, ΜΗ. ἐπεὶ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν
ἀνάλογόν εἰσιν οἵ vs ἄξονες καὶ οἱ διάμετροι τῶν βά-
σεων, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΑ προς τὴν ΜΝ, οὕτως o
ΒΖ πρὸς τὴν ZO. ὡς δὲ ἡ B4 πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως
ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΜΖ. ὡς ἄρα ἡ ΚΑ πρὸς τὴν KB,

406 APPENDIX II.

οὕτως ἡ MN πρὸς τὴν MZ: καὶ περὶ ὀρϑὰς γωνίας
τὰς ὑπὸ τῶν 4K, KB, MN, ΜΖ αἱ πλευραὶ ἀνά-
Aoyóv εἰσιν. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΙ ΒΑ τρίγωνον τῷ
MNZ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΑ πρὸς
τὴν 4B, οὕτως ἡ MN πρὸς τὴν ΖΝ. ἐναλλὰξ ἄρα
ἐστὶν ὡς ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἡ AZ πρὸς
τὴν ΝΖ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ZK πρὸς τὴν KA,
οὕτως ἡ MEA πρὸς τὴν ΜΝ, καὶ περὶ ὀρϑὰς γωνίας
τὰς ὑπὸ τῶν EK A, &MN ql πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν,
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ Σ Καὶ A τρίγωνον τῷ E ΜΝ τριγώνῳ.
ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως
ἡ 4Z πρὸς τὴν ΝΗ͂, ἐδείχϑη δὲ καὶ ὡς ἡ AK πρὸς
τὴν MN, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν ΝΖ' ὡς ἄρα ἡ AB
πρὸς τὴν ΝΖ, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν NA. καὶ ἐπεί
ἐστιν, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν KI, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς
τὴν ΜΗ͂, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν BKZ,
ZM&A αἵ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ
BKZ τρίγωνον τῷ ΖΜ τριγώνῳ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ
ZK πρὸς EZB, οὕτως ἡ ΞΜ πρὸς EZ. ἀλλὰ μὴν καὶ
ὡς ἡ ZK πρὸς τὴν ZA, οὕτως ἡ MA πρὸς τὴν AN.
δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ἣ AZ πρὸς ZB, οὕτως ἡ ΝΞ
πρὸς τὴν ΞΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ 42 πρὸς
τὴν NA, οὕτως ἡ ZB πρὸς τὴν ΞΖ. ἐδείχϑη δὲ καὶ
ὡς ἡ Α͂Σ πρὸς τὴν ΝΞ, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν ΝΖ.
ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν ΝΖ, οὕτως ἡ 4X πρὸς τὴν
NA' ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ 4ΣΒ τρίγωνον τῷ NAZ
τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ
ΚΒΣ τρίγωνον, κορυφὴ ὃὲ τὸ 4 σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ
τῇ πυραμίδι τῇ βάσιν μὲν ἐχούσῃ τὸ MEZ τρίγωνον,
κορυφὴν ób τὸ Ν σημεῖον. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμέδες
καὶ τριγώνους βάδεις ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας ἐν τρι-

APPENDIX II. 401

πλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα
πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ BK X τρίγωνον, κορυφὴ
δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν
ἔχουσαν τὸ ΜΖ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον,
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜΘ.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΣ τρίγω-
vov, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν
βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ MEZ τρίγωνον, κορυφὴν δὲ το
Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Β4 πρὸς
τὴν ΘΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν
λοιπῶν πυραμέδων, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΣΚ, ΜΚ,
ΦΚ4. ΚΩΎ, TKI, KI'T, KTB τὰ τρίγωνα, xo-
ρυφὴ δὲ τὸ .4 σημεῖον, πρὸς ἑκάστην τῶν πυραμίδων,
ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΞΜΕ, EMP, ΜΘΡ, MOII,
MIIN, ΗΜΘ, MOZ τὰ τρίγωνα, κορυφὴ δὲ τὸ Ν
σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Bzf πρὸς τὴν
ΖΘ. καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ
AZBTIMO 9 4 πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον,
πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ
ΕΞΞΟΗΠΤΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον,
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ B4 πρὸς τὴν ΖΘ.
καὶ ἐπεὶ ὃ ΑΒΓΖΚΑ κῶνος πρὸς τὸ 44 στερεὸν τρι-
πλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ B4 πρὸς τὴν ZO, ἔχει
ὃὲ καὶ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ABIIT A
πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν πυρα-
μίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ EREGHIIGP πολύ-
yovov, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἥπερ ἡ Bd πρὸς τὴν ΖΘ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὃ
ABIDA ΚΑ κῶνος πρὸς τὸ 44 στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς,
ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥ Ζ ὦ πολύγωνον, xo-
ρυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν

11

408 APPENDIX II.

μὲν ἔχουσαν τὸ EXE ZOHIIOP πολύγωνον, κορυφὴν.

ὃὲ τὸ Ν σημεῖον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ὁ 4ΑΒΓΖΩΚΑΩ
κῶνος πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ
ΑΣΒΓΠΥΖᾧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον,
οὕτως τὸ .4 στερεὸν πρὸς τὴν πυραμέδα τὴν βάσιν
μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν
ὃὲ τὸ Ν σημεῖον. usítov δὴ ὁ 4ΒΓΖΩ͂ ΚΑ κῶνος τῆς
πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ AZBIITOA
πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ 4 σημεῖον. μεῖξον ἄρα
καὶ τὸ 44 στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχού-
σης τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν
σημεῖον. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων" ὕπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα
ὁ ABIAKA κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ EZHOMN
κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ BA πρὸς
τὴν ZO. λέγω δή. ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖξον. εἰ γὰρ Óv-
νατόν, ἔστω πρὸς τὸ 4. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ A4 στερεὸν
πρὸς τὸν ΑΒΓΖΚΑ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει
ἥπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν 4B. ὡς δὲ τὸ 4 στερεὸν πρὸς
τὸν ΑΒΓΩ͂ΚΑ κῶνον, οὕτως ὁ EZHMMN κῶνος
πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΩ͂ΚΑ κώνου στερεόν. ὃ
EZHOMN ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ABI AKA
κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΖΘ
πρὸς τὴν B. ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ ἄρα
o ABI'AKA κῶνος πρὸς μεῖξόν τι τοῦ ΕΖΗΘΜΝ
κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ B4
πρὸς τὴν ΖΘ. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττόν τι.
ὁ ΑΒΓΖ,ΚΑ ἄρα κῶνος πρὸς vov ΕΖΗΘΜΝ κῶνον
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΩ πρὸς τὴν ΖΘ.

Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι
πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὧν αἱ βάσεις.

APPENDIX II. 409

ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ xv-
λινδροι, ὧν αἱ βάσεις ἔστωσαν οἱ 4ΒΓΖ4, ΕΖΗΘ
κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΑ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βά-
6sov ἔστωσαν al Z2, ΖΘ. λέγω. ὅτι ἐστίν. ὡς ὃ
ΑΒΓΖ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὃ
48ΒΓ24 4) κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον. εἰ γὰρ
μή ἐστιν ὡς ὁ ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ xv-
κλον, οὕτως ὁ ABI κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ,
ἔσται ὁ ΑΒΓΖΚΑ κῶνος ἥτοι πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ
ΕΖΗΘ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖξον. ἔστω πρότερον
πρὸς ἔλαττον τὸ Α' στερεόν, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸν
EZHO κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἀνεστάτω
ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνφ.
ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς μείξων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ
τοῦ κώνου. τετμήσϑωσαν αἱ EZ, ZH, HO περιφέ-
οδιαι δίχα κατὰ τὰ E, O, Π, P σημεῖα, καὶ ἐπεξεύχ-
ϑωσαν αἱ ΕΞ. EZ, ΖΘ, ΘΗ, HII, ΠΘ, GP, ΡΣ,
καὶ ἀνεστάτω ἀφ᾽ ἑκάστου τῶν ΕΞ, EZ, ZO, 6H,
HII, ΠΘ, GP, PZ τριγώνων πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ
κώνῳ. ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμέδων μεῖξόν
ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καϑ᾽ αὑτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
τοιαύτης δὴ γινομένης ἀεὶ ἐπισκέψεως ληφϑήσεταί τινα
τμήματα ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς
ὑπεροχῆς, ἧς ὑπερέχει ὁ ZO MN κύκλος τοῦ A4 στε-
ρεοῦ. λελήφϑω καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΞΖ, ΘΗΠ,
ΘΡΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ
EXSZOHIIO0P πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον,
μεῖζόν ἐστι τοῦ 44 στερεοῦ. ἐγγεγράφϑω δὴ εἰς τὸν
ABIA κύκλον τῷ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολυγώνῳ ὅμοιον

1) Δ supra scr. m. 1.

410 APPENDIX II.

πολύγωνον τὸ ADBTITA44O πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ
κώνῳ. ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως ὁ ABI'A κύκλος
πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς BA τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZO τετράγωνον,
οὕτως τὸ ΑΣΒΠΥ ΖΦ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ
πολύγωνον, ὡς ἄρα 0 ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον, οὕτως τὸ ΑΣΒΤΙΥΖ ὦ πολύγωνον πρὸς τὸ

ΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ὁ A4BDI4
κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ 4ΒΓΩ͂ΚΑ
κῶνος πρὸς τὸ A4 στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΑΣΒΤΓΥ ΖΦ
πολύγωνον πρὸς τὸ EXZOHIIGP πολύγωνον, οὕτως
ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥ ΖΦ πο-
λύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ
ΑΣΒΤΓΥΖ ᾧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ 4 σημεῖον,
πρὸς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ
EARZOHIIO P πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον.
ὡς ἄρα ὁ ABIAK A κῶνος πρὸς τὸ 4 στερεόν, οὕτως
1 πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΣΒΤΓΥῪΥ Ζ ᾧ πολύ-
γῶνον, κορυφὴ δὲ τὸ 44 σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα
τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον,
κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ
ABIAKA κῶνος πρὺς τὴν πυραμίδα τὴν βάσιν μὲν
ἔχουσαν τὸ ΑΣΒΤΓΥ ΖΦ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ
τὸ 4 σημεῖον, οὕτως τὸ 4 στερεὸν πρὸς τὴν πυραμίδα
τὴν βάσιν μὲν ἔχουσαν τὸ ΕΞ ZOHIIOP πολύγωνον,
κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον. μείξων δὲ ὁ ABI'AK A
κῶνος τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν μὲν ἐχούσης τὸ
ΑΣΒΤΓΥΖ ᾧ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ 4 σημεῖον.
μεῖξον ἄρα καὶ τὸ 4 στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν
μὲν ἐχούσης τὸ EXZOHIIOP πολύγωνον, κορυφὴν

APPENDIX II, 411

δὲ τὸ N σημεῖον. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον" ὕπερ ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον, οὕτως 0 A4BIAKA κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι
τοῦ ΕΖΘΝ κώνου στερεόν.

λέγω δὴ οὐδὲ πρὸς usifov. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω
πρὸς μεῖξον τὸ 4. ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ
κύκλος πρὸς τὸν 4ΒΓ4 κύκλον, οὕτως τὸ 4 στερεὸν
πρὸς τὸν 4ABIZÍA κῶνον. ὡς δὲ τὸ 44 στερεὸν πρὸς
τὸν 4ΒΓΖ.Α κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς
ἐλαττόν τι τοῦ 4ΒΓΖ4.4 κώνου στερεόν. ὡς ἄρα ὃ
ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν 4ΒΓΖ κύκλον, οὕτως ὁ
EZHON κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου τοῦ
48 ΓΖ 4) στερεοῦ" ὅπερ ἀδύνατον δέδεικται. οὐκ
ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ABI κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύ-
κλον, οὕτως.ὁ ABIZA κῶνος πρὸς μεῖξόν τι τοῦ
EZHON κώνου στερδόν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς
ἔλαττον. ἔστιν ἄρα ὡς 0 48Γ4 κύκλος πρὸς τὸν
EZHO κύκλον, οὕτως ὁ 4ΒΓΖ.. κῶνος πρὸς τὸν
ΕΖΗΘΝ κῶνον. καί ἐστι μὲν κύλινδρος ó βάσιν
ἔχων τὸν 4ΒΓΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ,
τριπλάσιος τοῦ A4BIA κώνου, τοῦ δὲ ΕΖΗΘΝ
κώνου τριπλάσιος ὁ κύλινδρος ὃ βάσιν μὲν ἔχων τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ ABD κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως
ὁ A4BI'A44 κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κύλινδρον.

᾿Εὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς
ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν
κύλινδρον, οὕτως ὃ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.

1) 4 supra scr. m. 1.

412 APPENDIX II.

κύλινδρος γὰρ ὁ 44] ἐπιπέδῳ τῷ HO τετμήσϑω
παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς AB,
ΓΖ, καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κυλίνδρου ἄξονι τὸ ΗΘ
ἐπίπεδον κατὰ τὸ K σημεῖον. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ
ΗΘ κύλινδρος πρὸς τὸν H4 κύλινδρον, οὕτως ὁ
EK ἄξων. ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ 4, M σημεῖα,
καὶ κείσϑωσαν τῷ μὲν ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδήποτε ὁ
ZA, ZM, καὶ ἐκβεβλήσϑω διὰ τῶν 4, Ν, Ηὶ, M)
σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς AB, DI, καὶ νε-
νοήσϑωσαν ἐν τοῖς διὰ τῶν 4. Ν, 8, M σημείων
ἐπιπέδοις περὶ κέντρα τὰ 4, N, HB, M κύκλοι οἵ
OIIPZ, ΤΥΦΧ ἴσοι ὄντες τοῖς ABI A, καὶ νενοήσϑω-
᾿ σαν κύλινδροι οὗ ΠΡ, PB, 47Τ, TX. καὶ ἐπεὶ οἵ
ΑΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἵ ἄρα
ΠΡ, ΗΡ, ΒΗ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἵ
βάσεις. ἴσαι δὲ ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ βάσεις. ἴσοι ἄρα
εἰσὶ καὶ οἵ ΠΡ, PB, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοις. καὶ
ἐπεὶ οὗ 4N, NE, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις,
εἰσὶ δὲ καὶ οὗ ΠΡ, PB, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις,
καί ἐστιν ἴδον τὸ πλῆϑος τῷ πλήϑει, ὁσαπλασίων ἄρα
ἐστὶν ὁ ΑΚ ἄξων τοῦ EK ἄξονος, τοσαυταπλασίων
ἐστὶ καὶ ó ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΒΗ κυλίνδρου. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ
ΚΖ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ XH κύλινδρος
τοῦ ΗΖ κυλίνδρου. εἰ μὲν οὖν ἴσος ἐστὶν ὃ AK ἄξων
τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ͂ κύλινδρος τῷ
ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείξων ἐστὶν ὁ ΚΑ ἄξων τοῦ
KM ἄξονος, μείξων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ
HX κυλίνδρου, εἰ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ AK ἄξων τοῦ

1) .4 in ras.; supra JN scr. M m. 1.

APPENDIX II. 413

KM ἄξονος. ἐλάσσων ἐστὶ xal ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ
HX κυλίνδρου. τεσσάρων δὴ μεγεϑῶν ὄντων, ἀξόνων
μὲν τῶν EK, KZ, κυλίνδρων τῶν BH, H A, εἴληπται
ἰσάκις πολλαπλάδια τοῦ μὲν EK ἄξονος καὶ BH xv-
λίνδρου 0 vs Καὶ 4 ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ δὲ
ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ H4 χυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων
καὶ ὁ Η κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ὃ
AK ἄξων τοῦ KM ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὃ ΠΗ͂ κχύ-
λινδρος τοῦ H X κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος ἐστὴν ὁ Κα
ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος
τῷ HX κυλίνδρῳ, καὶ εἰ ἐλάσσων ἐστὶν 0 AK ἄξων
τοῦ ΚΜ ἄξονος, ἐλάσσων ἐστὶ καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος
τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς
τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως ὁ BH κύλινδρος πρὸς τὸν H4
κύλινδρον.

Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι
πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν AB, I'4 κύ-
λινδροι οὗ EB, Ζ4. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΒ ἄξων
πρὸς τὸν KA ἄξονα, οὕτως ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν
Z4 κύλινδρον. |

ἐκβεβλήσθω γὰρ o K.4 ἄξων ἐπὶ τὸ N σημεῖον,
καὶ κείσϑω τῷ HO ἄξονι ἴσος o ΑΝ, καὶ περὶ ἄξονα
τὸν ΑΝ κύλινδρος νοείσϑω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἵ EB,
ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτό εἰσιν ὕψος, πρὸς ἀλλή-
λους εἰσὶν ὡς αἴ βάσεις. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις. ἴσος
ἄρα καὶ ὁ ΒΕ κύλινδρος τῷ I'M κυλίνδρῳ. καὶ ἐπεὶ
κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ và I4 τέτμηται παραλλήλῳ
ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ
κύλινδρος πρὸς τὸν Z4 κύλινδρον, οὕτως ὃ ΜΝ πρὸς

μι

8

14

414 APPENDIX II.

τὸν ΚΑ ἄξονα: ἴσος δέ ἐστιν ὁ uiv ΓΜ κύλινδρος
τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὃ δὲ 4M ἄξων τῷ HO ἄξονί ἐστιν.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν Z4 κύλιν-
δρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν KA ἄξονα. ὡς δὲ
ὁ ΒΕ κύλινδρος πρὸς τὸν Z4 κύλινδρον, οὕτως ὃ
ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΩ͂Κ κῶνον. καὶ ὡς ἄρα ὁ
ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν Καὶ ἄξονα, οὕτως 0 τε ABH
κῶνος πρὸς τὸν IK κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος
πρὸς τὸν Z4 κύλινδρον.

Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνϑασιν
αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι, καὶ ὧν κώνων καὶ κυλένδρων
ἀντιπεπόνϑασιν oí βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἐκεῖνοι ἴσοι
εἰσίν,

ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν
οὗ 4ΒΓΖ4 κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ EZ, ΗΘ. λέγω, ὅτι
τῶν 4BZ, I'40 κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνϑασιν
αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσι, τουτέστιν ὡς ἡ AB βάσις πρὸς
τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ EZ ὕψος.

τὸ γὰρ ΕΖ ὕψος τῷ HO ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ
οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος
ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ai
βάσεις. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ 482 κῶνος ἢ κύλινδρος
πρὸς τὸν ΓΖΩ͂Θ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως ἡ AB
βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν. ἴσος δέ ἐστιν ὃ ABZ
κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΚΖΩ͂Θ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ. ἴση.
ἄρα καὶ ἡ AB βάσις vij ΓΖά βάσει. ἔστι δὲ καὶ τὸ
ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει ἴσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 4Ε
βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς
τὸ ΕΖ ὕψος. μὴ ἔστω δὴ ἴσον τὸ ΗΘ ὕψος τῷ ΕΖ
ὕψει, ἀλλ᾽ ἔστω μεῖξον τὸ HO, καὶ κείσϑω τὸ EZ

“ APPENDIX II. A15

ἴσον τῷ ΗΚ, καὶ ἀπὸ βάσεως τῆς ΓΩ͂, ὕψους δὲ τοῦ
HK νενοήσϑω κῶνος ἢ κύλινδρος ὁ ΓΖΩ͂Κ. ἐπεὶ οὖν
ὁ ABZ κῶνος 1| κύλινδρος τῷ ΓΖ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ
ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ 4B βάσις πρὸς
τὴν ΓΖΔ βάσιν, οὕτως ὁ 482 κῶνος ἢ κύλινδρος
πρὸς ΓΩ͂Κ κῶνον ἢ κύλινδρον. ἴσος δὲ ὁ 482 κῶνος
ἢ κύλινδρος τῷ I6 κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ. ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ 48 βάσις πρὸς τὴν ΓΖΩ͂ βάσιν, οὕτως ὁ ΓΖ4Θ
κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΖ K κῶνον ἢ κύλινδρον.
ὡς δὲ ὁ ΓΖ4Θ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΩ͂Κ
κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως τὸ HO ὕψος πρὸς τὸ HK
ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ἡ 4B βάσις πρὸς τὴν I'4 βάσιν,
οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ
ΗΚ ὕψος τῷ ΕΖ ὕψει. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48 βάσις
πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ EZ
ὕψος. τῶν 482, ΓΖ4Θ ἄρα κώνων ἢ κυλίνδρων
ἀντιπεπόνϑασιν αἵ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν al βάσεις τοῖς ὕψεσιν,
καὶ ἔστω ὡς ἡ 4B βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως
τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν
ὁ ABA κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΘΖΩ͂ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ.
πάλιν γὰρ τὸ ΕΖ ὕψος τῷ ΗΘ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν
ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AB
βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως ὁ ABZ κῶνος ἢ
κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΩ͂Θ κῶνον ἢ κύλινδρον. ὡς δὲ
ἡ 48 βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ HO ὕψος
πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ὁ ABZ κῶνος ἢ xv-
λινδρος πρὸς τὸν ΓΩ͂Θ κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως
τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ ΗΘ ὕψος
τῷ ΕΖ ὕψει. ἴσος ἄρα καὶ ὁ 482 κῶνος ἢ κύλιν-
δρος τῷ ΓΖΘ κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ. μὴ ἔστω δὴ ἴσον

416 APPENDIX II.

τὸ EZ ὕψος τῷ HO ὕψει, xal ἔστω μεῖξον τὸ ΗΘ
τῷ EZ, καὶ κείσϑω τὸ EZ ἴσον τῷ ΗΚ. ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ AB βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως ὁ ABZ
κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΖ K κῶνον ἢ κύλινδρον.
ὡς 03 ὁ 48 βάσις moóc τὴν ΓΖά βάσιν, οὕτως τὸ
ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΕΖ ὕψος, τουτέστι πρὸς τὸ HK.
καὶ ὡς ἄρα ὁ AZ B κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΖ Καὶ
κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ
ὕψος. ὡς δὲ τὸ ΗΘ ὕψος πρὸς τὸ ΗΚ ὕψος, οὕτως
ὁ ΓΖ4Θ48ΒΖ2Ζ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν I'4 κῶνον
ἢ κύλινδρον. xal ὡς ἄρα ὁ 4BZ κῶώνος ἢ κύλινδρος
πρὸς τὸν I'4K κῶνον ἢ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΓΖΘ
κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΖ K κῶνον ἢ κύλινδρον.
τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἐστίν.
ἴσος ἄρα ὃ A4BZ κῶνος ἢ κύλινδρος τῷ ΓΖ4Θ κώνῳ
ἢ κυλίνδρῳ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

15 470ο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν
μείξονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι μὴ
ψαῦον τοῦ ἐλάσδονος κύκλου.

ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οἱ 4 ΒΓ,
4ΕΖ. δεῖ δὴ εἰς τὸν μείξονα κύκλον τὸν 4ΒΓΖΩ͂
πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάτ-
τονος κύχλου τοῦ EZ.

ἤχϑωσαν τῶν ABI, 4ΕΖ κύκλων δύο διάμετροι
πρὸς ὀρϑὰς ἀλλήλαις αἱ AT, 4 B, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ
Z τῇ 4Γ πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ
ΖΘ. ἐφάπτεται ἄρα τοῦ ΕΖ κύκλου. τέμνοντες δὴ
τὴν I'4 περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΖ
δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλήψομέν τινὰ περι-
φέρειαν, ἥτις ἔσται ἐλάσσων τῆς ΗΓ. λελήφϑω καὶ

D E Ma D nn e MAS

APPENDIX II. 411

ἔστω ἡ KI, καὶ ἤχϑω ἀπὸ vov Καὶ σημείου ἐπὶ τὴν
AD κχάϑετος ἡ ΚΑ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ M, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν α ΚΙ, ΓΜ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΓ,
ΓΜ πολυγώνου. ἰσοπλεύρου ἐστὶ πλευρὰ τοῖ εἰς τὸν
ΑΒΓ4 éyygagouévov. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ
ΗΘ τῇ KM, ἡ δὲ ΗΘ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ κύκλου, ἡ
KM ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ κύκλου. πολλῷ ἄρα
οὐδετέρα τῶν KI, ΓΜ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖ κύκλου.

- ἐὰν ἄρα τῇ ΚΓ περιφερείᾳ ἴσας περιφερείας ἀφαιρῶμεν

κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ ἐπιξευγνύομεν εὐθείας, ἔσται εἰς τὸν
ABIA κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγραμμένον
ἡ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ EZ, καὶ φανε-
ρόν, ὅτι τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον ἀρτιόπλευρόν
ἐστιν" ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ζύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν
μείξονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἢ καὶ ἀρτιόπλευ-
gov ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ
τὴν ἐπιφάνειαν.

ἐννοείσϑωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον
οὖσαι τὸ Α. δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν
πολύεδρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς
ἐλάσσονος σφαίρας. τετμήσθωσαν al σφαῖραι ἐπιπέδῳ
διὰ τοῦ κέντρου. ποιήδει δὴ τομὰς μεγίστους κύκλους.
ποιείτω τοὺς ABI, ΕΖΗ, καὶ ἔστω ó uiv ΒΓΖ
κύκλος ἐν τῇ μείξονι σφαίρᾳ, ὁ δὲ ΕΖΗ ἐν τῇ ἐλάσ-
ὅονι. καὶ ἤχϑωσαν τοῦ Bl κύκλου δύο διάμετροι
πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἴ BE, ΓΖ. καὶ δύο κύκλων
περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων BI, ΕΖΗ εἰς τὸν μεί-
ἕονα κύκλον τὸν ΒΓΖ πολύγωνον ἰσόπλευρόν vs καὶ
ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφϑω μὴ ψαῦον τοῦ ἑλάσσονος

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV. 27

amp

418 APPENDIX II.

κύκλου τοῦ ΕΖΗ, xal ἔστωσαν πλευραὶ τοῦ πολυ-
γώνου αἱ ΒΚ, ΚΑ, 4Μ, ΜΓ, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ
MA ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ S, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ 4
σημείου τῷ τοῦ ΒΓΖ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἢ
AN καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς μείξονος σφαί-
Q«c κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ δι᾽ ἕκατέρας τῶν D,
Mj καὶ τῆς AN ἐπίπεδα ἐχβεβλήσϑω. ποιήσει δὴ
τομὰς κύκλους. ποιείτω, ὧν ἡμικύκλια ἔστω τὰ ΓΝΖΩ͂,
MN. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οὗ BI, ΓΝΖΩ͂, ΜΝΞ
κύκλοι ἀλλήλοις, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ BI' τεταρτη-
μορέῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταξ εἰσι καὶ ἐν
ἑκατέρῳ τῷ ΓΝ, MN τῇ ΜΓ ἴσαι. ἐνηρμόσϑωσαν
καὶ ἔστωσαν αἴ ΓΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΝ, ΝΣ, ZT, TT,
TM, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ TO, TII, EP, καὶ ἀπὸ
μὲν τοῦ Ο ἐπὶ τὴὲν ΓΖ κάϑετος ἤχϑω ἡ ΟΦ, ἀπὸ
0à τοῦ T ἐπὶ τὴν ME ἡ TX, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΦΧ.
ἐπεὶ οὖν ἡ N.4 ὀρϑή ἐστι πρὸς τὸ ΒΓ ἐπίπεδον, καὶ
πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς N.4 ἐπίπεδα ὀρϑά ἐστι πρὸς
τὸ ΒΓ ἐπίπεδον. ἕν δέ τι τῶν διὰ τῆς NAA ἐπιπέδων
ἐστν ἡ ΓΝΖΔ κύκλος. ὁ DN4 ἄρα κύκλος ὀρϑός
ἐστι πρὸς τὸν BI κύκλον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ
MNA κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν ΒΓΖ κύκλον. καὶ
ἐπεὶ τὸ ΓΝΖ ἐπέπεδον ὀρϑόν ἐστι πρὸς τὸ BI,
καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΖΔ πρὸς ὀρϑὰς ἦκται
ἐν τῷ D'NA ἐπιπέδῳ ἡ OO, ἡ OO ἄρα καὶ τῷ BI'4
ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρϑάς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ TX
τῷ ΒΓΖ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρϑάς. παράλληλος ἄρα
ἐστὶν ἡ OG τῇ TX. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ TM τῇ
OI, icov ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς TM τετράγωνον τῷ ἀπὸ
τῆς ΟΓΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς OI' ἴσον
ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν 4 ΓΦ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς TM ἴσον ἐστὶ

APPENDIX II, 419

τὸ ἀπὸ τῆς ES M X. xol τὸ ὑπὸ τῶν ΓΦ ἄρα ἴσον
ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΜΧ καὶ 4ΓΦ") τῷ ὑπὸ τῶν
AMX. καί ἐστιν ἴδη ἡ 4Γ τῇ AM. ἴση ἄρα ἐστὶ
καὶ ἡ ΓΦ τῇ MX. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ DA ὅλῃ τῇ
AM ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ MI.
πάλιν ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς EI'O τετράγωνον ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς ΜΥ τετραγώνῳ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς
ΓΟ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΦ, ΦΟ' ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ
ΓΦΟ γωνία" τῷ δ᾽ ἀπὸ τῆς MT ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ
τῶν MX, XT" ὀρϑὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ MXO γωνία:
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΦ, ΦΟ ἄρα ἴδα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν
MX, XT, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
MX. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς DO λοιπῷ «τῷ ἀπὸ τῆς
XT ἐστιν ἴδον. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ OO τῇ TX. ἔστι
δὲ αὕτη καὶ παράλληλος. καὶ αἱ ΦΧ, OT ἄρα ἴσαι
τέ εἰσι καὶ παράλληλοι. ἡ ἄρα ΦΧ τῇ ΓΜ ἐστι παρ-
dAÀmAog. καὶ ἡ ΓΜ ἄρα τῇ OT ἐστι παράλληλος.᾿
καὶ ἐφ’ ἑκατέρας αὐτῶν εἴληπται τυχόντα σημεῖα τὰ
Ν, M, O, I, καὶ ἐπεξευγμέναι εἰσὶν αἱ MT, ΓΟ. αἵ
ρΑΥΜ, ΜΙ, ΓΟ, OT ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ τὸ ΥΜ͵ΓῸ
τετράπλευρον. τὸ ἄρα TMI'O τετράπλευρον ἐν ἕνέ
ἐστιν ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν
TOIIT, PZ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἔστι
δὲ καὶ τὸ ΣΡΝ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδω. καὶ ἐπεὶ
ἴση ἐστὶν ἡ MT τῇ ΓΟ, καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ
ΜΓ τῇ TO, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ M, I, T, O ση-
usta, ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 44 σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ MI'TO
τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάϑετος ἡ AI καὶ συμβαλ-
λέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ "U. τὸ "UU ἄρα σημεῖον κέν-
1) ἀπὸ τῆς Corr. in ὑπὸ τῶν m. 1.
2) Φ corr. ex X m. 1.
27*

420 APPENDIX II.

vgov ἐστὶ τοῦ περὶ τὰ M, Γ, Ὁ, T σημεῖα κύκλου.
ἐπεξεύχϑω ἡ "PI. καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον ἐν κύκλῳ
ἐστὶ τὸ MI'OT, καὶ τρεῖς αἱ TM, ΜΓ, ΓΟ ἴσαι
ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ μείξων ἐστὶν ἡ ΜΓ τῆς TO, τὸ
ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΦ μεῖξόν ἐστιν ἢ
διπλάσιον. ἤχϑω ἀπὸ τοῦ ΜΕ ἐπὶ τὴν ΓΦ κάϑετος
ἡ ΜΩ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΓΩ τῆς $244, ὡς
δὲ ἡ ΓΦ πρὸς τὴν 9.4. οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΩ τοῦ
ἀπὸ τῆς $M, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΩῶ, $M ἐλάσσονά
ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν M. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῶν ΓΩ.
4 Μ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς MI. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ
ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν ΜΦΩ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς
ΜΓ vov ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖξόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. τὸ
ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ͂ τῇ 4Μ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς
ΓΘ τῷ ἀπὸ τῆς 4M. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς DA ἴσα
ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΨ, 74. ὀρϑὴ γάρ ἐστιν ἡ πρὸς
τῷ Ψ γωνία. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΑ͂ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ
. φῶν ΜΏ, 94. ὀρϑὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΜΩ 4 γωνία.

τὰ ἀπὸ τῶν ΓΨ, "7,4 ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΩ,
£14, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΜΩ μεῖξόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς
ΓΨ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΨΑ μεῖξόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς 4$. μείζων ἀρὰ ἡ ΨΑ τῆς 42 ἡ δὲ AQ.
μξδίξων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαέρας.
πολλῷ ἄρα 7 ΨΑ͂ μείξων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς
ἐλάσσονος σφαίρας. καὶ ἡ 4 χάϑετος ἐπὶ τὸ ΜΓΟΥ͂
ἐπίπεδόν ἐστιν. τὸ ἄρα MI'OT ἐπίπεδον οὐ ψαύει
τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ éxd-
τερον τῶν TOIIT, TIIPZ τετραπλεύρων οὐ ψαύει
τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὐδὲ τὸ ΝΣΡ τρίγωνον ψαύει
τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. ἐὰν δὴ ἐν ἑκάστῃ τῶν λοιπῶν

APPENDIX II. 491

τεταρτημορίων τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν. ἕξομεν εἰς
τὴν μείξονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον καὶ ἀρτιόπλευ-
ρον ἐγγεγραμμένον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσδονος σφαίρας.

᾿Εὰν δὴ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ Β ΓΖ σφαίρᾳ
στερδῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγρό-
ψωμεν, ἔσται ἑκάστη τῶν πυραμίδων τῶν βάσιν μὲν
ἐχουσῶν τὰ MI'OT, TOIIT, TIIPZ καὶ τὸ NOP
τρίγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ 4 σημεῖον, ὁμοία τῇ ὁμο-
ταγεῖ πυραμέδι. αἴ δὲ ὅμοιαι πυραμέδες πρὸς ἀλλήλας
τριπλασίονα λόγον ἔχουσιν ἥπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ
πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν. ἑκάστη ἄρα τῶν πυρα-
μέδων τῶν βάσιν τῶν βάσιν μὲν ἐχουσῶν τὰ ΜΓΟΎ,
TOIIT, TII PZ τετράπλευρα καὶ τὸ ΝΣΡ τρίγωνον,
κορυφὴν δὲ τὸ 4 σημεῖον, πρὸς ἑκάστην τῶν ὁμοταγῶν
πυραμίδων τριπλασίονα ἢ λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΓΑ͂ πρὸς
τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. καὶ ὅλον
ἄρα τὸ πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ IA
πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. ὡς δὲ
ἢ L4 πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρον τῆς δτέρας σφαίρας,
οὕτως ἡ D πρὸς τὴν διάμετρον τῆς ἑτέρας σφαίρας.
καὶ ὅλον ἄρα τὸ πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ πολύεδρον
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς τὴν διά-
μετρον τῆς σφαίραςρ: “ὦ

Αϊ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ
εἰσὶ τῶν διαμέτρων.

ἔστωσαν σφαῖραι αἱ ABI, 4Ε2Ζ, διάμετροι δὲ
τῶν ABI, A4EZ σφαιρῶν ἔστωσαν αἱ BI', ΕΖ. λέγω,
ὅτε ἡ ABI' σφαῖρα πρὸς τὴν 4EZ σφαῖραν τριπλα-
σίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

1) Corr. ex τριπλάσια m. 1.

422 APPENDIX II.

εἰ γὰρ μὴ ἔχει ἡ ABI σφαῖρα πρὸς τὴν 4EZ
τριπλασίονα Aóyóv ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ, ἕξει
ἄρα ἡ. 4ΒΓ σφαῖρα ἦτοι πρὸς ἐλάσσονά τινα σφαῖραν
τῆς 4ΕΖ ἢ πρὸς μείζονα τριπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ
ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα
τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσϑω ἡ 4ΕΖ2Ζ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ
αὐτὸ κέντρον, καὶ δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον
οὐσῶν τῶν 4 ΕΖ, ΗΘΚ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν
4ΕΖ στερεὸν πολύεδρον ἐγγεγράφϑω μὴ ψαῦον τῆς
ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν,
καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῷ
4 EZ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον
στερεὸν πολύεδρον. τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρα στε-
ρδὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ 4EZ σφαίρᾳ στερεὸν
πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς
τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ 48ΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ
τριπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ ABI' σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν,
οὕτως τὸ ἐν τῇ 4ΒΓ στερεὸν πολύεδρον. ἐναλλὰξ
ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ABI' σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πο-
λύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ 4EZ
σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείξων δὲ ἡ 4ΒΓ σφαῖρα
τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου. μείξων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ
σφαῖρα τοῦ ἔν τῇ 4ΕΖ σφαίρᾳ στερεοῦ πολυέδρου.
ἀλλὰ καὶ ἐλάσσων" ἐμπεριέχεται γάρ' ὅπερ ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ σφαῖρα πρὸς ἔλασσόν τινα τῆς 4 ΕΖ
. τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ 4ΕΖ σφαῖρα πρὸς
ἐλάσσονά τινα τῆς 4ΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ.

λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ABI' σφαῖρα πρὸς μεῖξόν

APPENDIX II. 423

τινα τῆς Z4EZ τριπλασίονα λόγον ἔχεν ἥπερ ἡ ΒΓ
πρὸς τὴν ΕΖ.

& γὰρ δυνατόν, ἡ 48 Γ σφαῖρα πρὸς μείξονα λόγον
ἐχέτω τῆς 4 EZ σφαίρας πρὸς τὴν 4 ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς
τὴν EZ. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ 4 σφαῖρα πρὸς τὴν ABT
σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ EZ πρὸς τὴν
ΒΓ. ὡς δὲ ἡ 4 σφαῖρα πρὸς τὴ 48ΒΓ σφαῖραν, οὕτως
ἡ 4 EZ σφαῖρα πρὸς ἐλάσδονά τινα τῆς 4ΒΓ σφαίρας.
καὶ ἡ 4EZ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ABT
σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν
BI* ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ Α48ΒΓ σφαῖρα πρὸς
μείξονά τινα τῆς 4 ΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ
πρὸς ἐλάσσονα. ἡ A4BI' σφαῖρα πρὸς τὴν 4 EZ σφαῖ-
ραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ.

Εὐκλείδου στοιχείων 1) (f.

1) Infra add. στερεῶν.